精品解析：辽宁大连市第四十八中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题

2025—2026学年度第二学期期中考试 高一数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 在中，、是方程的两个实根，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是单位向量，且，若向量在上的投影向量为，则（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知函数，若方程的解为，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，且，则（ ） A. B. 或 C. D. 7. 某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系；．若实验室温度不低于11℃时需要降温，则在一天时间内实验室需要降温的时长为（ ） A. 6小时 B. 8小时 C. 9小时 D. 12小时 8. 已知函数，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列各式中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则不是锐角三角形 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图所示，线段是的弦，其中点为上任意一点，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 当时 D. 的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________． 13. 设当时，函数取得最大值，则_____. 14. __________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，. （1）若与共线，求实数的值； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16. 已知平面向量，函数. （1）求的单调递增区间； （2）若锐角满足，求的值. 17. 在中，内角对应的边分别是，且 . （1）求角的大小； （2）若，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 18. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 19. 如图，有一块矩形铁皮，其中，，阴影部分是一个半径为的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积的表达式为． （1）当时，设，求的值域； （2）当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中考试 高一数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 直接代入弧长与圆心角的计算公式即可. 【详解】根据公式得，，所以扇形圆心角的弧度数为. 故选：C. 2. 已知向量满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】由， ，得． ． 故． 3. 在中，、是方程的两个实根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵、是方程的两个实根， ∴，， ∴， 中. 4. 已知，是单位向量，且，若向量在上的投影向量为，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律，结合投影向量的意义求解. 【详解】依题意，， 向量在上的投影向量为，所以. 故选：C 5. 已知函数，若方程的解为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出在上的图象，考虑直线与其交点，从而可得的值，故可得的值. 【详解】在上的图象如图所示： 令，则， 令，故,即. 由图可得， 故， 故选：A. 6. 若，且，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给角的范围，同角三角函数的平方关系及各象限三角函数的正负，结合两角和的正弦公式即可求解． 【详解】因为，所以，又， 所以，， 所以， 又因为，所以，又， 所以，则， 所以 ． 7. 某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系；．若实验室温度不低于11℃时需要降温，则在一天时间内实验室需要降温的时长为（ ） A. 6小时 B. 8小时 C. 9小时 D. 12小时 【答案】B 【解析】 【详解】， 令，则，所以， 解得，由于，则或， 所以在这段时间，实验室需要降温， 即在一天时间内实验室需要降温的时长为小时. 8. 已知函数，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，因为，所以，进而可得，因为存在唯一实数，结合正弦函数的图象性质，可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，则. ，总存在唯一实数，使得， 即，使得在上有唯一解， 因为，所以， 因为总存在唯一实数，使得， 所以，即. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列各式中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二倍角公式以及两角和差的余弦公式，两角和差的正切公式逐项分析即可. 【详解】因为，所以A正确； 因为，所以B错误； 因为， 所以，即，所以C正确； 因为，所以D错误. 10. 已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则不是锐角三角形 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A：由，可得，则 或 ，由于为三角形的内角， 故或， 为直角三角形或钝角三角形，故A正确； 选项B：当时，，对于任意，， 恒成立，为钝角三角形，故B错误； 选项C：由 ，得， 由余弦定理得：， ， ，故C正确； 选项D：由正弦定理，则，即， ， ，故D正确． 11. 如图所示，线段是的弦，其中点为上任意一点，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 当时 D. 的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算律及定义，求得的范围，判断A；利用数量积的定义，求出，判断B；结合图象由点的位置不唯一，并求得，判断C；利用平面向量的数量积运算律及定义求得的最大值，判断D. 【详解】由题意可知，的半径为. ， 因为，所以， 所以，所以A正确； ，所以B正确； 当时，取的中点，记作，则三点共线， 当时，，所以； 当时，，所以. 所以C错误； ， 因为，所以， 所以的最大值是，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】由二倍角公式， 代入，得. 13. 设当时，函数取得最大值，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用辅助角公式，结合辅助角的函数值即求解. 【详解】由， 其中， 当时，函数取得最大值， 则，即， 则， 故答案为： 14. __________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换先化简，结合诱导公式即可求解. 【详解】由题意得： . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，. （1）若与共线，求实数的值； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标运算和向量平行的坐标表示求解可得； （2）根据且不同向列方程求解即可. 【小问1详解】 因为，，所以， ， 与共线，则，解得. 【小问2详解】 已知，， 若与的夹角为锐角，则且不同向， 由，解得， 由，解得，此时同向，不符合题意， 因此实数的取值范围为. 16. 已知平面向量，函数. （1）求的单调递增区间； （2）若锐角满足，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平面向量的数量积的坐标表示、三角恒等变换公式化简可得，再结合正弦函数的单调性求解即可； （2）由可得，再根据诱导公式、二倍角公式求解即可. 【小问1详解】 由 ， 取，解得， 故的单调增区间为， 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以. 17. 在中，内角对应的边分别是，且 . （1）求角的大小； （2）若，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后结合两角和的正弦公式、诱导公式求解； （2）由余弦定理求得，再用三角形面积公式计算； （3）利用诱导公式、两角和的正弦公式化简，再由锐角三角形确定角范围，然后由正弦函数性质得取值范围. 【小问1详解】 因为中，，由正弦定理得， 所以，即， 又，，则，所以； 【小问2详解】 由余弦定理得，即， 解得（舍去）， 所以； 【小问3详解】 , ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，， 所以. 18. 如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）计算出，利用平面向量的夹角公式可得出关于的方程，解之即可； （3）设、（，），利用平面向量的线性运算得出、关于、的关系式，利用余弦定理可得出和平面向量数量积的运算性质化简得出，设，利用正弦定理可得出，，利用三角恒等变换以及正弦函数的有界性可求得的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则， 则， 所以． 【小问2详解】 由，，得，，且， 所以，， 则， ， 因为与的夹角为，所以， 解得． 【小问3详解】 依题意，设、（，），且，，， 因为为的中点，则 ， 因为为中点，同理可得， 所以， 由题意知，， 则， 在中，依据余弦定理得，所以， 代入上式得，． 在中，由正弦定理得， 设，则，且， 所以，， ，为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则． 19. 如图，有一块矩形铁皮，其中，，阴影部分是一个半径为的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积的表达式为． （1）当时，设，求的值域； （2）当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值． 【答案】（1） （2）最小值是，所对应的的值是或． 【解析】 【分析】（1）根据题意，过作，分别表示出、，结合矩形的面积公式代入计算，即可得到的表达式，再将的解析式化简，由换元法，结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结果； （2）由解析式可得，即可得到时，取得最小值，然后代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 过作，垂足为，由题意可得：，， 所以， 所以矩形的面积， 当时， ， 令，因为，所以， 则函数，其对称轴为， 当时，， 当或时，，所以，即函数的值域为. 【小问2详解】 因为， 当时， 当且仅当，即 ，解得或时，等号成立． 所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $