2026年中考数学二轮专题突破：圆的综合训练（二）

**基本信息** 以圆的核心性质为统领，通过20道梯度题组系统整合切线判定、相似应用等方法，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择（8题）|动态圆与三角形综合|构造辅助线（连半径、直径）、反证法|从圆的基本性质到多定理交叉应用| |填空（5题）|阴影面积、弧长计算|勾股定理与相似比结合|性质应用到定量计算的过渡| |解答（7题）|切线证明、动态问题|全等/相似构造、方程思想|从单一证明到综合探究的能力提升|

2026年人教版数学中考二轮专题突破：圆的综合训练（二） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知：如图，是的直径，点在的延长线上，弦交于，连接、、，，，过作弦交圆于、两点，连接、则下列结论： ；是的切线；；弦的弦心距等于则其中正确的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，内接于，，，将沿折叠为，将沿折叠为，延长和相交于点． ； 四边形是正方形； ； 若，，则． 以上说法正确的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3.如图，为半圆的直径，交于，为延长线上一动点，为中点，，交半径于，连接下列结论：；；；为定值．其中正确结论的个数为(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4.如图，为的直径，为半径上一点不与点，重合的长度为，的长度为，过点作的垂线交于点，则下列结论中，正确的个数为(    ) ；    ；   ；  ． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5.如图，的两条弦，互相垂直，垂足为，直径交线段于点，且，点是的中点． 下列结论正确的个数是(    ) ；；是等腰三角形； ． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6.已知的半径为，为圆内一定点，为圆上一动点，以为边作等腰，，，的最大值为(    ) A. B. C. D. 7.如图，是正的外接圆，点为圆上一点，连接，分别过点和点作延长线的垂线，垂足分别为点和点，连接、，已知，，现在有如下个结论：；∽；；，其中正确的结论有个 A. B. C. D. 8.如图，中，，以为直径的交于，交于，交于，点为延长线上的一点且延长交于，小华得出个结论：其中正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9.如图，为的直径，点是弧的中点，交于点，的切线与的延长线交于点，，则           ； 下列四个结论中正确的有          填写序号． ∽；  ； 弧的长；  ． 10.如图，两同心圆的圆心为，大圆的弦切小圆于，两圆的半径分别为、，则图中阴影部分的面积是           ． 11.如图，点、在以为直径的上，且是的中点，与交于点若，，则的长为            ． 12.如图，在半径为的中，点是劣弧的中点，点是优弧上一点，，下列结论： ；； 四边形是菱形；劣弧的长度为． 正确的是            ． 13. 如图，为半圆的直径，，分别切于，两点，切于点，连接，，下列结论：，，，，其中正确的有          填序号． 三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”． 小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图，两个固定长度的“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，分别在射线，上滑动，当与相切时，点恰好落在上，如图． 请仅就图的情形解答下列问题． 求证：； 若的半径为，，求的长． 15.本小题分 如图，内接于，，是的直径，是延长线上一点，且． 求证：是的切线； 若，，求线段的长． 16. 本小题分 如图，是的直径，是的切线，交于点． 若为的中点，证明：是的切线； 若，，求的半径的长． 17. 本小题分 如图，中，，以为直径的交于点，点为延长线上一点，且． 求证：是的切线； 若，，求的半径． 18.本小题分 如图，在锐角三角形中，是边上的高，以为直径的交于点，交于点，过点作，垂足为，交于点，交于点，连接，，． 求证：； 若，，，求的长． 19.本小题分 如图，四边形中，，以为直径的经过点，连接、交于点． 证明：； 若，证明：与相切； 在条件下，连接交于点，连接，若，求的长． 20.本小题分 如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且． 求证：是的切线； 若的半径为，的面积为，求的长； 在的条件下，为上一点，连接交线段于点，若，求的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：连接、、，过作于，于， ， ， ， ， ， ， 是直径， ，故正确； ， ， ， ， ， ， 是切线，正确； 假设，则， ， ， 已知没有给出，错误； 是直径， ， ， ， ， ， ，， ，，， ， ，， ≌， ，故正确． 故选：． 连接、、，过作于，于，求出，求出，根据垂径定理求出即可；求出和即可求出是圆的切线；采用反证法求出，但已知没有给出此条件，即可判断；求出，推出，证≌，推出，即可判断． 本题考查了切线的判定、全等三角形的性质和判定、圆周角定理、垂径定理、三角形的中位线等知识点的运用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，但有一定的难度． 2.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、正方形的判定与性质、翻折变换等知识，能够根据折叠的性质得到与所求相关的相等角和相等边是解答此题的关键． 连接、，由垂径定理知是的中点，而，可判定是直角三角形，则，根据圆周角定理即可求得的度数，即可对于做出判断；由折叠的性质可得到：，，，可判定四边形是正方形；由折叠的性质可得到：，，即可判断；设，进而可用表示出、的长，即可在中，由勾股定理求得的长． 【解答】 解：连接和， ， ， ， ， ，正确； ， ， 由折叠可知，，，，， ， ， 四边形是正方形，正确； 由折叠可得：，， ，正确； 由得，，，，， 设的长为，则，． 在中，， ， 解得，不合题意，舍去， ，错误， 则正确的有个． 故选B． 3.【答案】  【解析】【分析】  本题考查的是垂径定理、圆周角定理、三角形的外接圆与外心、解直角三角形，结合图形，对每个选项进行分析，作出正确的判断．根据三角形外心的定义得到点是的外心，然后利用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半可以证明根据直径所对的圆周角是直角以及的结论，可以知道点和点在以点为圆心的同一个圆上，得到根据垂径定理得到，然后用圆周角定理得到利用的结论，结合图形，在直角三角形中用余弦进行计算得到，是圆的半径的 倍，是一个定值． 【解答】 解：点是的中点，， 是的垂直平分线， 又是半圆的直径，， 是的垂直平分线， 点是的外心， ， ， ，故正确． 连接， 是半圆的直径， ， 点和点在以点为圆心的同一个圆上， ，故正确． 由知点是的外心， ，故正确． 在直角中，， ， 为定值，是半径的倍．故正确． 故选D． 4.【答案】  【解析】解：直径，为半径，所以正确； 过点作的垂线与的弧交于点，连接，，由射影定理可得，半径，所以正确； 左边，由，所以，所以正确； 右边，所以如果正确需要，因此需要，因为为半径上不与点重合的点，所以，所以不正确． 故选C． ．               5.【答案】  【解析】解：如图，连接、、， ，是的直径， ， ， ，即， ，， 同理可证：， ，即， 故正确； 连接，则， 是中点，， 垂直平分， ， ， 故正确； ， ，， ， ， 是等腰三角形， 故正确； 过点作于点，则是等腰直角三角形， ， ， ，， ，即平分， ， ， ， ． 故正确． 故选：． 如图，连接、、，利用圆周角定理得到，从而可证，，同理可证，即可判断；连接，，根据垂直平分线进而可得，即可判断；进而可计算出，，，从而得到，，即可判断；过点作于点，则是等腰直角三角形，，再根据角平分线的性质可得，从而得到，即可判断． 本题主要考查圆周角定理、三角形内角和定理、角平分线的性质、勾股定理等，解题关键是构造适当的辅助线． 6.【答案】  【解析】解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，延长到，使得，则， ， ， ， ， ， ，， ∽， ，即， ， ， ，都是顶角为的等腰三角形， ，， ∽， ， ，， ， ∽， ，即， ， ， ， 的最大值为， 故选：． 将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，延长到，使得，则，利用相似三角形的性质求出，再根据三角形的三边关系解决问题即可． 本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 根据等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识一一判断即可． 【解答】 解：是等边三角形 ， 、、、四点共圆， ，故正确． ， ， ，， ， ∽，故正确． ，， ，， 过点作于点． 四边形是矩形， ，， ． 在中，由勾股定理可得：，故错误． 在中，由勾股定理可得：， ， ：：． ，故错误． 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】本题考查了切线的判定与性质、切线长定理、圆周角定理、三角形中位线的性质以及等腰三角形的性质，此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法． 连结，，由，易得，，然后得出， 即可得出正确；又是直径可得，，得出，然后得出，即可判断出故正确；根据，，判断出中位线，即可得出正确． 【解答】 解：连结，， ，，，， ，， ，， ，即， 为的切线， 由已知得为的切线， ，故正确 是直径，，， ，， ，， ，，故正确 ，， 是的中位线，，故正确． 故选D． 9.【答案】   【解析】【分析】 本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，弧长公式等知识，证明是等边三角形是解题的关键． 利用两个角相等证明∽，得的长，再利用勾股定理求出，可得答案； 由知，∽，故正确，，故错误，根据，得，再由弧长公式进行计算即可判断，证明是等边三角形，平分，可判断正确． 【解答】 解：点是弧的中点， ， ， ， ∽， ， ， 是直径， ．  在中，由勾股定理得，， ， 故答案为； 由知，∽，故正确， ，故错误， 连接，， ， ， ，， 则为等边三角形， ， 的长为，故错误， 是的切线， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 平分， ， ，故正确， 故答案为． 10.【答案】  【解析】解：如图，切大， ， ，， ，， ， ． 故答案为：． 连接，根据切线的性质和两个圆的半径，可求得的度数，由勾股定理得出的长，进而得出，用的面积减去扇形的面积． 本题考查了切线的性质和扇形面积的计算，以及等腰三角形的性质． 11.【答案】  【解析】解：延长、交于点， 是弧的中点， ， 又为直径， ， 又 ， 在和中，由于是公共角， ， ，即， 解得或舍去， 故CE的长为， 故答案为：． 延长、交于点，根据圆周角定理得到，证明，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定与性质，菱形的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形，弧长的计算等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解题的根据． 根据圆心角、弧、弦之间的关系和已知条件得出，，根据求出，根据圆周角定理求出，根据等边三角形的判定得出和是等边三角形，求出，根据菱形的判定得出四边形是菱形，根据菱形的性质得出，，再逐个判断即可． 【解答】 解：点是劣弧的中点， ， ，， ， ， ， ， ， 和是等边三角形， ， 四边形是菱形，故正确； 设与交于点，如图所示， ，， 在中，， ，故正确； ，故正确； 劣弧的长是，故正确． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】解：连接，如图所示： 与圆相切，与圆相切，与圆相切， ， ，，， 在和中，， ≌， ， 同理≌， ， 又， ， 即，选项正确； 、为圆的切线， ，， 、为圆的切线， ，， ，选项错误； ，选项正确； ， ， ， ∽， ， ， 选项错误； 故答案为：． 此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，属于中档题． 连接，由，为公共边，利用可得出直角三角形与直角三角形全等，可得出，同理得到，而这四个角之和为平角，可得出为直角，选项正确；由，，都为圆的切线，得到，，可得出，选项错误；四边形为直角梯形，利用梯形的面积计算可得到选项正确；由∽，可得，则错误． 14.【答案】解：证明：如图， 连接，延长与圆交于点，则， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图所示， 连接，延长与圆交于点，连接，过点作于点， 则有：， 由可知， ， ，即，解得，， ， 在中，， 为圆的直径， ， ， 故长为．  【解析】本题考查切线的性质及圆周角定理，解此类型题目的关键是作出适当的辅助线，比如连接切点与圆心、将直径的两端与圆上某一点连接、过圆上某点作垂直于半径的线段等，根据辅助线构造直角三角形及相似三角形，再根据相关性质进行求解． 连接切点与圆心，根据角之间的互余关系及等量代换求解即可． 作出相关辅助线，构造相似三角形与，利用相似三角形的性质求得，，进而求出，最后根据勾股定理求解即可． 15.【答案】证明：是的直径， ， ， ， ， 又， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 解：由知，， 在和中， ，， ， 即， ， 在中，，， ， 解得， 即线段的长为．  【解析】根据直径所对的圆周角是，得出，根据圆周角定理得出，推出即可得出结论； 根据得出，再根据勾股定理得出即可． 本题主要考查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识是解题的关键． 16.【答案】证明：连接，， 是的直径，且在上， ， ， 为的中点， ， ， 是的切线， ， ， ， ， 即， 是的切线； 解：，， ∽， ， ，， ， ， ， ， 即的半径的长是．  【解析】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理和相似三角形的判定与性质等知识． 连接，，由是的直径，得到，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，求得，根据切线的性质得到，等量代换得到，于是得到结论； 证明∽，列比例式可得的长，最后根据勾股定理可得的长，进而可得的长． 17.【答案】解：如图，连接，， 是直径， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； 解：，， ， ， ， 设，则， ， ，， ∽， ，即 ，， ， 的半径为．  【解析】本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形． 根据圆周角定理得出，按照等腰三角形的性质和已知的倍角关系，证明为直角即可； 通过证得∽，根据相似三角形的性质即可求得． 18.【答案】证明：由题可知同弧所对的圆周角相等， ，为圆的直径， ，， ， ，即， 四边形是圆的内接四边形， ， ． 解：如图， 连接， 是圆的直径，且是的高，， ， ∽， ， ， ， ， ， ， 在与中：对顶角， ∽， ， ， ， ，解得，， 设，则， 在中有：， 即，解得，舍去， ， ， ， 在中，有：， 即， 解得，或舍去， 故HF的长为．  【解析】根据圆周角定理得出，再根据角之间的互余关系及等量代换推出，最后利用圆内接四边形的性质即可得证； 作出辅助线，可得：∽，∽，根据相似三角形的性质得到三角形边之间的关系，最后根据勾股定理求解即可． 本题考查圆周角定理、勾股定理及相似三角形的判定与性质，此类题目可以从问题着手作辅助线，利用辅助线构造出相似三角形或直角三角形进行求解． 19.【答案】解：连接， 在和中， ， ≌， ， 又， ， 为的直径， ，即， ； ， 设，则， ， ，且， ，，， 在中，， 在中，， ， ， ， 则与相切； 连接， 是的直径， ， ， ∽， ，即  ， 又，， ∽， ，即， 由可得， 即， 又， ∽， ， ，，，，， ，即， 解得：．  【解析】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点． 连接，证≌得，由知，再由为直径知，从而得； 根据可设，则，，证为中位线知，，，进一步求得，再在中利用勾股定理逆定理证即可得； 先证∽得 ，再证∽得，由得，即，结合知∽，据此可得，结合可得相关线段的长，代入计算可得． 20.【答案】证明：连接，如图： 为的直径， ，， ， ， 又， ，即， ， 是的切线； 过作于，过作于，如图： 的半径为， ， 的面积为， ，即， ， 中，， 中，， ， ，即， ， 解得，或舍去， ，， ， 而，， ≌， ，， ，， ∽， ， 即， 解得， 过作于，过作于，连接，如图： ，， ， ， ， 由知，， ，， 中，， ， 设，则， 由可得：， ， 解得：， ，， ．  【解析】连接，由为的直径，可得，再证明，结合已知，可得，从而证明是的切线； 过作于，过作于，由的面积为，可得，由得，可解得，根据≌，可得，再由∽，得，即，解，故CD 过作于，过作于，连接，由，，可得，而，故HE，，中，，可得，设，则，则，可解得，，从而． 本题考查圆的综合知识，涉及切线的判定、三角形面积、三角形全等及相似的判定和性质、勾股定理等，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造相似或全等三角形。 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $