中档题专项突破(8) 圆的综合题-【名师学案】2026年中考数学复习堂堂清

中档题专项突破（八）圆的综合题 考情分析 中考对圆的考查，不仅关注了圆的相关性质，还关注了切线的性质、孤长与阴影部分面积 的计算，知识跨越了圆的三个章节的内容，并涉及到三角函数的运算，综合性较高 。解题策略 【方法指导】(1)延长AO交⊙O于E,连接 (1)在解决与圆有关的证明或计算中，常用 CE,则∠ACE=90°，由圆周角定理得∠ABC 到的辅助线有：构造直径所对的圆周角；作弦心 =∠AEC,可得∠ADB=90°，即AD⊥BC: 距；连接圆心和切点等；(2)在解决与圆有关的 (2)延长AO交⊙O于点F,连接FB,可证得 证明或计算中，常用到的知识点有：垂径定理及 ∠BAF=∠CAH,由勾股定理可求直径 推论，勾股定理，圆心角弧、弦之间的关系定理， AE,从而可得⊙O半径. 圆周角定理及推论，三角函数，相似三角形的判 【解答】(1)证明：延长AO交⊙O于E,如图1， 定及性质，切线的性质定理，弧长及扇形的面积 则∠ACE=90°， 公式等；(3)证明直线与圆相切的方法：①当直 ∴.∠CAE+∠AEC=90°. 线与圆有公共点时，连半径，证明连线与直线垂 :AC=AC,.∠ABC=∠AEC 直；②当直线与圆设有公共点时，作垂直，证明 垂线段的长等于圆的半径；(4)关于阴影部分面 ,∠BAD=∠CAO,即∠BAD=∠CAE 积的计算，要会适当添加辅助线，将不规则的图 .∠ABC+BAD=90°..∠ADB=90 形转化为规则的图形去求，除了要掌握扇形面 ∴.AD⊥BC: 积的公式外，还要掌握阴影部分面积计算的几 (2)解：延长AO交⊙O于点F,连接FB,如图2， 种方法：①直接运用公式法；②和差法；③转化 AF为⊙O的直径，∴.∠ABF=90° 法。 :∠BAD=∠CAO ∴.∠BAD+∠HAF=∠CAO+∠HAF 考向一与圆的性质有关的证明与计算 即∠BAF=∠CAH, 【例1】(2024·汉川市一模)如图1，△ABC 内接于⊙O,D为BC上一点，连接AD,AO, .BF=CH.∴BF=CH ∠BAD=∠CAO. ,AB=10,CH=6,∠ABF=90°， (1)如图1，求证：AD⊥BC; ∴.AF=WAB+BF=√10+62=2√34. (2)如图2，延长AD交⊙O于点H,连接 则OC=√34， CH,若AB=10,CH=6,求⊙O的半径 即⊙0的半径为√34 过点/训练 1.(2022·武汉)如图，以AB为直径的⊙O 经过△ABC的顶点C,AE,BE分别平分 图 图2 ∠BAC和∠ABC,AE的延长线交⊙O于 197 点D,连接BD. 用勾股定理求出⊙O的半径，再求出∠COF (1)判断△BDE的形状，并证明你的结论； 的度数，最后根据孤长公式即可解决问题， (2)若AB=10,BE=210,求BC的长， 【解答】(1)证明：连接OD, .BD=BC,BO-BO.DO=CO, ∴.△BOD≌△BOC(SSS).∴.∠BDO=∠BCO ,∠ACB=90°，∴.∠BDO=90°，即OD⊥AB, 又点D在⊙O上，∴.AB是⊙O的切线： (2)解：令⊙O的半径为r, 在Rt△AOD中，(3)2+r2=(r+1)2, 解得r=1,∴.AO=2. 如A-882∠A=30 ∴.∠D0C=120°. 又△BOD≌△BOC,∴.∠DOB=∠COB=60°. 弧CF的长为 60·元·1=元 180 3 对点训练 2.(2024·武汉)如图，△ABC为等腰三角 形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O 相切于点D,底边BC与半圆O交于E,F 两点。 (1)求证：AB与半圆O相切； (2)连接OA.若CD=4,CF=2,求 考向二与圆的切线有关的证明与计算 sin∠OAC的值. 【例2】(2024·湖北)Rt△ABC中，∠ACB =90°，点O在AC上，以OC为半径的圆交 AB于点D,交AC于点E,且BD=BC. (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)连接OB交⊙O于点F,若AD=√3，AE =1,求弧CF的长。 【方法指导】(1)连接OD,利用全等三角形的 性质得出∠ODB=90°即可解决问题；(2)利 198 3.(2023·十堰)如图，在Rt△ABC中，∠C 4.(2022·鄂州)如图，△ABC内接于⊙O,P =90°，AC=BC,点O在AB上，以O为圆 是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB 心，OA为半径的半圆分别交AC,BC,AB =∠OAC,过点O作BC的平行线交PC 于点D,E,F,且点E是弧DF的中点. 的延长线于点D. (1)求证：BC是⊙O的切线； (1)试判断PC与⊙O的位置关系，并说明 (2)若CE=√2，求图中阴影部分的面积 理由； (结果保留π). (2)若PC=4,anA=方，求△0CD的 D 面积. 199 @走进中考 6.(2024·宿迁)如图，在⊙O中，AB是直 5.(2023·襄阳)如图，在△ABC中，AB= 径，CD是弦，且AB⊥CD,垂足为E,AB AC,O是BC的中点，⊙O与AB相切于 =20,CD=12,在BA的延长线上取一点 点D,与BC交于点E,F,DG是⊙O的直 F,连接CF,使∠FCD=2∠B. 径，弦GF的延长线交AC于点H,且GH (1)求证：CF是⊙O的切线； ⊥AC. (2)求EF的长 (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若DE=2,GH=3,求DE的长l. 4E 200 7.(2022·黄冈)如图，正方形ABCD内接于 (3)若CI=2E.DI=号E,求△ABC的 ⊙O,点E为AB的中点，连接CE交BD 于点F,延长CE交⊙O于点G,连接BG. 周长 (1)求证：FB=FE·FG: (2)若AB=6,求FB和EG的长。 0 8.(2024·烟台)如图，AB是⊙O的直径， △ABC内接于⊙O,点I为△ABC的内 心，连接CI并延长交O于点D,E是BC 上任意一点，连接AD,BD,BE,CE (1)若∠ABC=25°，求∠CEB的度数： (2)找出图中所有与DI相等的线段，并 证明； 201-号×0CX1=号×2X1=1.:S6m=3Sar, ÷S%m=3×0CX1n=2×2X1yn=3. ·=3.当点P的纵坐标为3时，则3=3 解得x=1,当点P的纵坐标为一3时，则一3= 3,解得=一1，点P的坐标为(1,3)或(-1， 一3).2.解：(1)把A(6,1)代入y=中，解得 m=6,故反比例函数的解析式为=：把B (a,-3)代人为=，解得a=-2,故B(-2, -3),把A(6,1),B(-2,-3)代入y1=kx+b, 6k+b=1, 得26+6-3.解得 k=豆'故一次函数解 b=-2. 析式为=7-2：(2)8(3)由图象可知， 当一2<x<0或x>6时，直线y1=kx十b落在 双曲线y=上方，即>，所以y>2时 的取值范围是-2<x<0或x>6.3.解：(1)把 A1,m),B4,m)两点坐标代入y=一合x十号， 得 m=名+ m=2, ”=二2×4+点，解得 1.A(1,2),B 1n2 (4,2).把点A1,2)代人y=名，=2：(2由函 数图象知：当1<x<4时，对于x的每一个值，函 数y=- 2十号的值大于函数y=子的值直 1 线y=一2x十p(p为常数)在直线AB的上方 或与AB重合.p≥号.4.(1)33解：(2) 将A(1,3),B(3,1)代入y=kx+b,得 。1解阳合+：一次面数的解析式 13k+b=1, 为：y=一x十4；对于y=-x+4,当x=0时，y= 4,∴.点C(0,4)..OC=4..S△oAB=S△x Sm=×4X3-号×4X1=4:(3)由图象可 知，当x+心时，x的范围为0<≤1或≥ 3.5.解：(1)：反比例函数y=(x>0)与一 次函数y=mx十1的图象交于点A(2,3),.3= 会，3=2m十1解得k=6,m=1.一次函数的 解析式为y=x+1,反比例函数的解析式为y= :(2)将x=4代入一次函数的解析式，得y 5.∴.D(4,5).将x=4代入反比例函数的解析 式，得y=多B(4,2)BD=5-号- 5am-2×受×4-2》-是. 6.(1)-2<x <3(2)D(3)解：如图，作函数y=x一1与y 一只的图象。 由图象可得，x2一x一6<0的解集为一2<x<0, 或0<x<3,综上，x2一x一6<0的解集为一2< x<3. 中档题专项突破（八）圆的综合题 对点训练 1. 解：(1)△BDE为等腰直角三角 形.证明：：AE平分∠BAC,BE平分∠ABC, ∴.∠BAE=∠CAD=∠CBD,∠ABE=∠EBC :∠BED=∠BAE+∠ABE,∠DBE=∠DBC 十∠CBE,∴.∠BED=∠DBE.∴.BD=ED. :AB为直径，.∠ADB=90°.∴.△BDE是等腰 直角三角形；（另解：计算∠AEB=135°也可以得 证.)(2)连接OC,CD,OD,OD交BC于点F. :∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD.∴.BD= DC..OB=OC..OD垂直平分BC.,△BDE 是等腰直角三角形，BE=2√0，∴.BD=2√5. .AB=10,∴.OB=OD=5.设OF=t,则DF= 5-t.在Rt△BOF和Rt△BDF中，52-t2= (25)2-(5-t)2,解得t=3,∴.BF=4..BC=8. (1)证明：连接OD,OA,作 B E OH⊥AB于H,如图，，△ABC为等腰三角形， O是底边BC的中点，∴.AO⊥BC,AO平分 ∠BAC.AC与⊙O相切于点D,∴.OD⊥AC, 而OH⊥AB..OH=OD..AC是⊙O的切线； (2)由(1)知OD⊥AC,在Rt△OCD中，CD=4, OC=OF+CF OD+2,OD2+CD2=OC2, .OD2+42=(OD+2)2..OD=3..OC=5. msC-畏专在R△O1中，msC-瓷 青.iOnC-e-手 3. (1)证明：连接OE,OD..∠C=90°，AC=BC, .∠OAD=∠B=45°..OA=OD,.∠OAD= ∠ADO=45°..∠AOD=90°.，点E是弧DF 的中点，∠D0E=∠EOF=号∠DOP=45, .∠OEB=180°-∠EOF-∠B=90°.∴.OE1 BC.,OE为半径，.BC是⊙O的切线；(2)解： OE⊥BC,∠B=45°，.△OEB为等腰直角三 角形.设BE=OE=x,则OB=√2x,∴AB=x十 √2x.AB=√2BC,.x十√2x=√2(W2+x). =2..Snu=Scc-Saor=x2X2- 45x2=2-受：4.解：1)PC是⊙0的切线： 360 理由如下：，AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90. ∴∠OAC+∠OBC=90.OB=OC,∴∠OBC =∠OCB..∠PCB=∠OAC,∴.∠PCB+ ∠OCB=90°.∴.∠PCO=90°，即OC⊥PC.OC 是半径，.PC是⊙O的切线；(2)在Rt△ACB 中，anA=瓷：anA=子瓷=子 ,∠PCB=∠OAC,∠P=∠P,.△PCB∽ △PAC腮-紧-瓷r0=4PB =2,PA=8..AB=PA-PB=8-2=6.∴.OC -0B=0A=8.:BC/0D.器-器即高 ∴CD=6.001CD.dSaw=700 = 1 ·CD=号X3x6= 走进中考 5. (1)证明：连接OA,过点O 作OM⊥AC于点M,如图：·AB=AC,点O是 BC的中点，.AO为∠BAC的平分线.⊙O与 AB相切于点D,DG是⊙O的直径，∴.OD为 ⊙O的半径.∴.OD⊥AB.又OM⊥AC..OM= OD,即OM为⊙O的半径..AC是⊙O的切线； (2)解：过点E作EN⊥AB于点N,如图：点O 为⊙O的圆心，∴.OD=OG,OE=OF.又∠DOE =∠GOF,∴.△ODE≌△OGF(SAS).∴.DE= GF..'DE=2,GH=3,..GF=2...FH=GH- 4 GF=3-2=1.,AB=AC,点O是BC的中点， .OB=OC,∠B=∠C.又OE=OF,.BE= CF.,GH⊥AC,EN⊥AB,.∠BNE=∠CHF =90°.又∠B=∠C,BE=CF,∴.△BNE≌ △CHF(AAS).∴.EN=FH=1.在Rt△DEN 中，DE=2,EN=1.sim∠EDN== .锐角∠EDN=30°.由(1)可知：OD⊥AB, ∴.∠ODE=90°-∠EDN=90°-30°=60°.又 OD=OE,∴.△ODE为等边三角形.∴∠DOE= 60°，OD=OE=DE=2.∴DE的长1=60xX2 180 2π 3 6. (1)证明：如图，连接 0 0 OC..AC=AC,∴.∠AOC=2∠B.又∠FCD= 2∠B,∴∠FCD=∠COE.:AB⊥CD, ∴.∠CEO=90°..∠COE+∠OCE=90 ∴.∠FCD+∠OCE=90°=∠OCF,即OC⊥CF :OC是⊙O的半径，∴.CF是⊙O的切线；(2) 解：，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD,.CE =DE=2CD=6.:AB=200C=10.∴0E =√OC-CE=8.:∠OCF=∠OEC=90°， ∠COE=∠POC.∴A0CEOA0FC.∴S乐 8柴品-高0F要EF-0F-0E 5-8=9 7.D (1)证明：，四边形ABCD是正 方形，.AD=BC.AD=BC..∠DBA=∠G. S∠EFB=∠BFG,∴.△EFBO△BFG..FB F.FB=FE·FG,(2)解：连接OE,如图， .AB=AD=6,∠A=90°，.BD= √AD+AB=62.∴0B=2BD=32.:点 E为AB的中点，∴.OE⊥AB.,四边形ABCD 是正方形，.BC⊥AB,∠DBA=45°，AB=BC 0E/BC,OE=BE=AB.器是=司 :o-3B=子B FB FB 2√2.：点E为AB的中点，.AE=BE=3. .EC=√BE2+BC=3√5.，AE·BE=EG· ECEG=35.8.1)解：：AB是⊙0的直 5 径，∴.∠ADB=∠ACB=90°.又∠ABC=25, ∴.∠CAB=90°-25°=65°..四边形ABEC是 ⊙O内接四边形，.∠CEB十∠CAB=180°. .∠CEB=180°-∠CAB=115°；(2)解：DI= AD=BD,证明：连接AI,如图1： D 图1 图2 ,点I为△ABC的内心，∴.∠CAI=∠BAI, ∠ACI=BCI=3∠ACB=45.AD=BD, ∴.∠DAB=∠DCB=∠ACI,AD=BD. ,∠DAI=∠DAB+∠BAI,∠DIA=∠ACI+ ∠CAI,.∠DAI=∠DIA..DI=AD=BD: (3)解：过I分别作IQ⊥AB,IF⊥AC,IP⊥BC, 垂足分别为Q,F,P,如图2：点I为△ABC的 内心，即为△ABC的内切圆的圆心..Q,F,P 分别为该内切圆与△ABC三边的切点.∴.AQ= AF,CF=CP,BQ=BP.CI=22,IFC= 90°，∠ACI=45°，.CF=CI·cos45°=2=CP. :D1=AD=BD,D1=号E,∠ADB=90 ∴AB=VAD+BD=E×3E=13.∴△ABC 的周长为AB+AC+BC=AB+AF+CF+CP+ BP=AB+AQ+BQ+2CF=2AB+2CF=30. 压轴题专项突破（一）构建函数模型解 决实际问题 对点训练 1.(1)3046解：(2)由题意得：当0<x≤4时， y=10x,当x>4时，y=4×10+(x-4)×10× 0.6=6x+16,∴.付款金额y关于购买苹果的重 量：的后数加折式为：9=0968：8) 文文在甲超市购买10kg苹果需付费：6×10+ 16=76(元)，文文在乙超市购买10kg苹果需付 费：10×10×0.8=80（元），76<80，∴.甲超市 更划算.答：文文在甲超市购买更划算.2.解： (1)根影题意，得20e十0的1：解得 a=3.5a=3.5,b=6:(2)①由题意，得1 b=6. (5-3.5)x=1.5x(80x≤120)，当300-x 200时，100≤x≤120，y2=(8-6)×(300-x)= -2x+600:当300-x>200时，80≤x<100,y2 4 =(8-6)×200+(7-6)×(300-x-200)=-x +500;.y2= -x+500(80<1<100,②由题 -2x+600(100≤x≤120)； 意，得W=(5-m-3.5)x+(7-6)×(300-x) =(0.5-m)x+300,其中80≤x≤120，，当0.5 -m≤0时，W=(0.5-m)x+300≤300，不合题 意，.0.5一m>0..W随x的增大而增大..当 x=80时，W的值最小.由题意，得(0.5一m)× 80+300≥320，解得m≤0.25，∴.m的最大值为 0.25.答：为了保证当天销售这两种鱼总获利W 的最小值不少于320元，m的最大值为0.25. 3解：1由题意，得y=80-5×名0 22 +180,.160x≤2×160，.160<x≤320.∴.y 与x之间的函数关系式为y=一 7x+180(160 <x320);(2)设日利润为元，根据题意，得 0=G-160(-7x+180）=-2r+260z 28800=- 2(-260)r+5000:-7<0,且 160<x≤320，∴.当x=260时，w有最大值为 5000元.答：销售单价为260元时，所获得的利 润最大，最大日利润为5000元；(3)由题意，可 知320×(260-160)+320×40(1+m%)+320 ×40(1+m%)2=80000.解得m1=50,m2 -350<0(舍去).∴.m的值为50. 走进中考 4.解：(1)y=(200-x)(60+4×0)=-0.4x +20x+12000=-0.4(x2-50x+625)+ 12250=-0.4(x一25)2+12250..每辆轮椅的 利润不低于180元，.x≤20..当x=20时，利 润最大，最大利润为：一0.4×(20-25)2+12 250=12240(元).答：y与x的函数关系式为y =一0.4x2+20x十12000；每辆轮椅降价20元 时，每天的销售利润最大，最大利润为12240 元；(2)12160=-0.4(x-25)2+12250.0.4(x -25)2=12250-121600.4(x-25)2=90解得 x1=40(不合题意，舍去)，x2=10.∴.售出轮椅的 辆数为：60+4×8-64（辆）.答：这天售出了64 辆轮椅.5.解：(1)根据题意得：y=300一10(x 一44)=一10x+740,.y与x之间的函数关系 式为y=一10x+740(44≤x≤52)；(2)根据题 意，得=（一10x+740)(x-40)=-10x2+ 1140x-29600=-10(x-57)2+2890,.-10 <0,.当x<57时，0随x的增大而增大，44 ≤x≤52，.当x=52时，0有最大值，最大值为 -10×(52-57)2+2890=2640,.将纪念品的 销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获