专题01 一元一次不等式（4常考3易错3压轴）（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

**基本信息** 聚焦一元一次不等式，以“4常考+3易错+3压轴”题型分类，构建从基础到综合的递进训练体系，渗透推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考基础|4题型（26题）|含性质辨析、解法及数轴表示、整数解，覆盖选择/解答|从概念（性质）到技能（解法），夯实运算能力| |易错突破|3题型（11题）|含参数不等式、不等式组有解/无解、代数式最值，强化分类讨论|深化性质应用，培养严谨思维| |压轴创新|3题型（23题）|含实际应用（方案/最值）、方程与不等式综合、新定义题型，突出跨知识整合|关联实际与创新情境，发展模型意识与创新意识|

专题01 一元一次不等式（4常考3易错3压轴） 题型1 不等式基本性质辨析（常考选择） 题型6 不等式组有解/无解/有整数解（常考易错） 题型2 解一元一次不等式 + 数轴表示（常考解答） 题型7 代数式最值（易错） 题型3 一元一次不等式组求解 + 数轴表示（常考） 题型8 不等式实际应用（费用最值、方案）（压轴） 题型4 求不等式（组）的整数解（常考） 题型9 方程与不等式综合（压轴） 题型5 含参数不等式（易错） 题型10新定义题型（创新压轴） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 不等式基本性质辨析（常考选择）（共4小题） 1．（25-26七年级下·上海·期中）已知，那么下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海静安·期中）下列不等式的变形不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如果，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·上海金山·期末）下列有关不等式的解法中，错误的是（   ） A．，两边同加2，得 B．，两边同减6，得 C．，两边同乘，得 D．，两边同除以，得 题型2 解一元一次不等式 + 数轴表示（常考解答）（共5小题） 5．（25-26七年级下·上海虹口·期中）解不等式：，并在下图的数轴上表示出它的解集． 6．（25-26七年级下·上海·期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 7．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 8．（24-25七年级下·上海·期末）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 9．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）下面是小海同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解： 去分母，得      （第一步） 去括号，得 （第二步） 移项，合并同类项，得 （第三步） 系数化为1，得 （第四步） (1)解答过程中，从第_______步开始出错，错因是_______； (2)请你写出的正确解答过程，并把解集表示在数轴上． 解： 题型3 一元一次不等式组求解 + 数轴表示（常考）（共5小题） 10．（24-25七年级下·上海·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·上海闵行·期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 12．（25-26七年级下·上海普陀·期中）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 13．（25-26七年级下·上海·期中）解不等式组：并把解集表示在数轴上． 14．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）解不等式组：，并在数轴上表示出解集． 题型4 求不等式（组）的整数解（常考）（共9小题） 15．（24-25七年级下·上海·阶段检测）不等式的自然数解是_____． 16．（25-26七年级下·上海·期中）不等式的非负整数解为______． 17．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）不等式的最大整数解是______． 18．（24-25七年级下·上海静安·期中）如图，要使输出值大于100，则输入的最小正整数是___________． 19．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）不等式组的整数解为___________． 20．（24-25七年级下·上海松江·阶段检测）不等式组的正整数解为______． 21．（24-25七年级下·上海·期末）解不等式组，并写出它的非负整数解． 22．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式组：，并求它的非负整数解． 23．（24-25七年级下·上海长宁·期末）解不等式组，把它的解集表示在数轴上，并求出这个不等式组的所有整数解． 题型5 含参数不等式（易错）（共3小题） 24．（24-25七年级下·上海崇明·期末）已知是关于的一元一次不等式，则这个不等式的解集是___________． 25．（25-26七年级下·上海·期中）已知关于的不等式的解为，则的取值范围是______． 26．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集． 题型6 不等式组有解/无解/有整数解（常考易错）（共5小题） 27．（25-26七年级下·上海·期中）关于的不等式组无解，应满足的条件________． 28．（25-26七年级下·上海普陀·期中）如果关于的不等式的正整数解有4个，那么的取值范围是______． 29．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是______． 30．（24-25七年级下·上海长宁·期末）关于x的不等式组有5个整数解，那么m的取值范围是_____． 31．（25-26七年级下·上海·期中）当为何值时，关于的不等式组恰有一个解？ 题型7 代数式最值（易错）（共3小题） 32.已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为______． 33．已知实数，，．若，则的最大值为______． 34．已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 题型8 不等式实际应用（费用最值、方案）（压轴）（共7小题） 35．（25-26七年级下·上海·期中）根据以下学习素材，完成下列任务： 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒3斤 每盒4斤 现在需要对斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这32斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为元．若要将购买包装盒的成本控制在10元以内，请你设计出所有符合要求的分装方案，并说明理由． 36．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）年月日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，营造“书香校园”，学校计划采购两种型号的自助图书借阅机，方便学生借阅图书．相关信息如下表： 型借阅机 型借阅机 单日最大借阅量（册天） 单台采购成本（元台） 如果学校计划用不超过万元采购两种借阅机共台，并且要求单日总借阅量不低于册，请通过计算说明该学校有哪几种采购方案． 37．（25-26七年级下·上海闵行·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？ (2)在（1）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 38．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）随着人工智能与互联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某行业使用A、B两种型号的机器人搬运货物相关信息如表格所示，请根据表格完成下列问题： A型机器人 B型机器人 单价（万元/台） 80 60 工作量（吨/天） 75 50 (1)如果某企业计划买15台A、B机器人，并且购买B机器人的总价不少于A机器人总价的三分之一，请问最多购入几台A型机器人？ (2)如果另一企业计划用不超过1000万元购买A、B两种型号机器人共15台，且每天搬运货物不低于825吨，请通过计算，说明该企业有哪几种采购方案． 39．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）某初中519名学生和20名教师参加春游活动，现有A、B两种公交车型可供租用，且A、B两种公交车型核载人数分别为35人辆、28人辆．已知租用2辆A型客车与1辆B型客车需要1036元，租用1辆A型客车与3辆B型客车需要1358元． (1)求租用每辆A型客车与每辆B型客车各需要多少元； (2)若要求此次租车共18辆，且总租金不高于6200元，请问有几种租车方案？ 40．（24-25七年级下·上海闵行·期中）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时，共需715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 41．（25-26七年级下·上海闵行·期中）综合与实践：对每个人来说，膳食结构与热量平衡至关重要，它直接影响人们的身体健康．利用所学知识，结合项目资料，我们可以为自己设计科学的膳食方案和运动计划． 项目主题：膳食结构与热量平衡 项目资料： 表1：蛋清和燕麦的营养成分 食物 蛋白质 碳水化合物 蛋清 燕麦 表2：肉类和蔬菜提供的热量 类别 热量 肉类 千卡 蔬菜 千卡 表3：常见运动的热量消耗 运动 热量消耗 1组开合跳 千卡 1组深蹲 千卡 【项目任务】 (1)任务1．若一种早餐由若干份蛋清（每份）和若干份燕麦（每份）构成，其营养成分表显示蛋白质含量共，碳水化合物含量共，则制作这样一份早餐需要1份蛋清和______份燕麦． (2)任务2．初中男生每天摄入总热量应不低于千卡．若某初中男生某天摄入的主食中的热量是千卡，全天摄入的肉类和蔬菜共8份（每份），他每天至少应摄入肉类多少份？ (3)任务3．为达到热量平衡，除日常消耗外，一般还需要通过运动消耗千卡热量．若用开合跳和深蹲两种运动组合起来进行日常锻炼，共有哪几种运动方案？（运动方案中要同时包含开合跳和深蹲两种运动） 题型9 方程与不等式综合（压轴）（共8小题） 42．已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 43．若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 44．已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 45．已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围______． 46．已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 _______． 47．若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是_______． 48．已知关于的方程组（为常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 49．题目：已知关于x、y的方程组， 求：（1）若，求a值； （2）若，求a值． 问题解决： （1）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，将可得，又因为，则a值为______； （2）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，若将方程组中的①与②直接进行加减，已经不能解决问题，经过思考，王磊将，，得， 再将得：，又因为，…，请根据王磊的思路，求出m、n及a的值； 问题拓展： （3）已知关于x、y的不等式组，若，求a的取值范围． 题型10新定义题型（创新压轴）（共8小题） 50．（24-25七年级下·上海·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． 51．（25-26七年级下·上海虹口·期中）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． (1)不等式______的“和谐不等式”（填“是”或“不是”）． (2)如果关于x的不等式不是的“和谐不等式”，求m的取值范围． (3)当时，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 52．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，那么我们把这个一元一次方程叫作为这个不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是 ．（只需填序号） (2)如果不等式组的某个关联方程的根是整数，那么这个关联方程可以是 ．（写出一个即可） (3)如果方程是关于的不等式组的关联方程，请求出的取值范围． 53阅读材料：对x，y定义一种新运算“T”，，规定： （其中a，b均为非0常数，且）．如，若，． (1)求a，b的值； (2)求T（4，3）的值； (3)若关于c的不等式组恰好有3个整数解，求实数m的取值范围． 54．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)组合是_________________；（填有缘组合或无缘组合） (2)若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； 55．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 56．我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 57．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． $专题01 一元一次不等式（4常考3易错3压轴） 题型1 不等式基本性质辨析（常考选择） 题型6 不等式组有解/无解/有整数解（常考易错） 题型2 解一元一次不等式 + 数轴表示（常考解答） 题型7 代数式最值（易错） 题型3 一元一次不等式组求解 + 数轴表示（常考） 题型8 不等式实际应用（费用最值、方案）（压轴） 题型4 求不等式（组）的整数解（常考） 题型9 方程与不等式综合（压轴） 题型5 含参数不等式（易错） 题型10新定义题型（创新压轴） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 不等式基本性质辨析（常考选择）（共4小题） 1．（25-26七年级下·上海·期中）已知，那么下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，当时，；当时，， 不一定成立，A不符合题意； B．，当时，， 不一定成立，B不符合题意； C．， 一定成立，C符合题意； D．，当时，， 不一定成立，D不符合题意． 2．（24-25七年级下·上海静安·期中）下列不等式的变形不正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【详解】解：对于选项A：不等式两边同加上一个数，不等号不变，故A正确，不符合题意； 对于选项B：不等式两边同除以一个负数，不等号要变号，故B正确，不符合题意； 对于选项C：∵， ∴， 又∵， ∴，故C正确，不符合题意； 对于选项D：不等式两边同除以一个负数，不等号要变号，故D不正确，符合题意． 3．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如果，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，，A错误； B、举反例：若，满足，此时，，B错误； C、，不等式两边同时乘，不等号方向改变，得，不等式两边同时加，不等号方向不变，，C错误； D、，不等式两边同时减，不等号方向不变，，D正确． 4．（24-25七年级下·上海金山·期末）下列有关不等式的解法中，错误的是（   ） A．，两边同加2，得 B．，两边同减6，得 C．，两边同乘，得 D．，两边同除以，得 【答案】C 【详解】解：选项A：解不等式，两边同加2，得．此操作符合不等式性质（加减同一数不改变不等号方向），正确，不符合题意． 选项B：解不等式，两边同减6，得．此操作符合不等式性质（加减同一数不改变不等号方向），正确，不符合题意． 选项C：解不等式，两边同乘时，未改变不等号方向，错误．正确解法应为，符合题意． 选项D：解不等式，两边同除以时改变不等号方向，得，正确，不符合题意． 综上，错误的解法是C． 故选：C. 题型2 解一元一次不等式 + 数轴表示（常考解答）（共5小题） 5．（25-26七年级下·上海虹口·期中）解不等式：，并在下图的数轴上表示出它的解集． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 在数轴上表示如下图所示： 6．（25-26七年级下·上海·期中）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，， 数轴表示如下： 7．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集表示在数轴上如下： 8．（24-25七年级下·上海·期末）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得：， 即不等式的解集为． 将不等式的解集在数轴上表示为： 9．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）下面是小海同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解： 去分母，得      （第一步） 去括号，得 （第二步） 移项，合并同类项，得 （第三步） 系数化为1，得 （第四步） (1)解答过程中，从第_______步开始出错，错因是_______； (2)请你写出的正确解答过程，并把解集表示在数轴上． 解： 【详解】（1）解：解答过程中，从第一步开始出现错误，错因是去分母时，常数项1没有乘以最小公倍数； 故答案为：一，去分母时，常数项1没有乘以最小公倍数； （2）， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并，得：， 系数化1，得：， 数轴表示解集如图： 题型3 一元一次不等式组求解 + 数轴表示（常考）（共5小题） 10．（24-25七年级下·上海·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： ， 故选：C． 11．（24-25七年级下·上海闵行·期末）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 12．（25-26七年级下·上海普陀·期中）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ． 13．（25-26七年级下·上海·期中）解不等式组：并把解集表示在数轴上． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴不等式组的解集为， 如图， 14．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）解不等式组：，并在数轴上表示出解集． 【详解】解：解得， 解得， ∴， 在数轴上表示如下： 题型4 求不等式（组）的整数解（常考）（共9小题） 15．（24-25七年级下·上海·阶段检测）不等式的自然数解是_____． 【答案】0，1，2 【详解】解： 不等式的自然数解有：0，1，2． 故答案为：0，1，2． 16．（25-26七年级下·上海·期中）不等式的非负整数解为______． 【答案】0，1，2 【详解】解： 移项得： 合并同类项得： 系数化为得： 不等式的非负整数解是，，． 17．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）不等式的最大整数解是______． 【答案】2 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的最大整数解是2． 故答案为：2． 18．（24-25七年级下·上海静安·期中）如图，要使输出值大于100，则输入的最小正整数是___________． 【答案】21 【详解】解：设输入的值为， 当为偶数，，解得， 当为奇数，，解得， 则输入的最小正整数是． 19．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）不等式组的整数解为___________． 【答案】 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： ∴不等式组的整数解为： 20．（24-25七年级下·上海松江·阶段检测）不等式组的正整数解为______． 【答案】 【详解】解：， 解不等式得，， 所以不等式组的解集为， 所以不等式组的正整数解为， 故答案为：． 21．（24-25七年级下·上海·期末）解不等式组，并写出它的非负整数解． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的非负整数解为，． 22．（24-25七年级下·上海浦东新·期末）解不等式组：，并求它的非负整数解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组的非负整数解为，，． 23．（24-25七年级下·上海长宁·期末）解不等式组，把它的解集表示在数轴上，并求出这个不等式组的所有整数解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， 解集在数轴上表示，如图所示： ． 则该不等式的整数解为，0，1，2． 题型5 含参数不等式（易错）（共3小题） 24．（24-25七年级下·上海崇明·期末）已知是关于的一元一次不等式，则这个不等式的解集是___________． 【答案】 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，则， ∴， 解得 ． 故答案为：． 25．（25-26七年级下·上海·期中）已知关于的不等式的解为，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解： 原不等式的解集为， 解得． 26．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）已知关于的不等式的解集是，求关于的不等式的解集． 【详解】解：∵不等式的解集是， ，， ，整理得：， 把代入得，整理得：， ， ， ， ， ． 题型6 不等式组有解/无解/有整数解（常考易错）（共5小题） 27．（25-26七年级下·上海·期中）关于的不等式组无解，应满足的条件________． 【答案】 【详解】解：不等式组无解， ， 移项得 ， 合并同类项得． 28．（25-26七年级下·上海普陀·期中）如果关于的不等式的正整数解有4个，那么的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：， ∴， 由关于的不等式的正整数解有4个， ∴关于的不等式的正整数解是1、2、3、4， ∴， ∴. 29．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：对于不等式组， 解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组有解，两个不等式的解集存在公共部分， ∴， 解得：． 30．（24-25七年级下·上海长宁·期末）关于x的不等式组有5个整数解，那么m的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∵关于x的不等式组有5个整数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 31．（25-26七年级下·上海·期中）当为何值时，关于的不等式组恰有一个解？ 【答案】 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 根据题意得，， 解得，， 当时，关于的不等式组恰有一个解． 题型7 代数式最值（易错）（共3小题） 32.已知为整数，若的值都是整数的平方，则满足条件的的最小值为______． 【答案】578 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∵， ∴时，的值最小， ∴，此时，满足题意； 故答案为：578． 33．已知实数，，．若，则的最大值为______． 【答案】6 【详解】解：由得， 由得， 及， 解得：， 的最大值为3， 的最大值． 故答案为：6． 34．已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 【答案】有最大值，4 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 所以有最大值，是4． 题型8 不等式实际应用（费用最值、方案）（压轴）（共7小题） 35．（25-26七年级下·上海·期中）根据以下学习素材，完成下列任务： 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒3斤 每盒4斤 现在需要对斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这32斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为元．若要将购买包装盒的成本控制在10元以内，请你设计出所有符合要求的分装方案，并说明理由． 【详解】解：设分装时使用精包装盒，简包装盒，其中为正整数． 依题意得： 由①得， 代入②得： 不等式两边同乘得： 整理得解得 又因为是正整数，所以，即，解得 结合为正整数，可得是的倍数， 因此符合条件的取值为：当时，；当时，，均满足要求． 答：符合要求的分装方案是精包装4盒简包装5盒，或精包装8盒简包装2盒． 36．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）年月日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，营造“书香校园”，学校计划采购两种型号的自助图书借阅机，方便学生借阅图书．相关信息如下表： 型借阅机 型借阅机 单日最大借阅量（册天） 单台采购成本（元台） 如果学校计划用不超过万元采购两种借阅机共台，并且要求单日总借阅量不低于册，请通过计算说明该学校有哪几种采购方案． 【详解】解：万元元，设学校采购A型借阅机台，则采购B型借阅机台， 根据题意得， 解第一个不等式得； 解第二个不等式得， ∴不等式组的解集为， 因为为正整数， 所以的取值为或， 当时，； 当时，， 答：共有种采购方案，方案一：采购型借阅机台，型借阅机台；方案二：采购型借阅机台，型借阅机台． 37．（25-26七年级下·上海闵行·期中）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？ (2)在（1）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 【详解】（1）解：设生产A种产品件，则生产B种产品件（为非负整数）， 根据题意可得：， 解得：， ∵为整数， ∴， 对应三种生产方案：方案1：生产A产品2件，B产品8件； 方案2：生产A产品3件，B产品7件； 方案3：生产A产品4件，B产品6件； （2）解：方案1：总利润（万元）， 方案2：总利润（万元）， 方案3：总利润（万元）， ∵， ∴生产A产品2件，B产品8件获利最大，最大利润为26万元． 38．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）随着人工智能与互联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某行业使用A、B两种型号的机器人搬运货物相关信息如表格所示，请根据表格完成下列问题： A型机器人 B型机器人 单价（万元/台） 80 60 工作量（吨/天） 75 50 (1)如果某企业计划买15台A、B机器人，并且购买B机器人的总价不少于A机器人总价的三分之一，请问最多购入几台A型机器人？ (2)如果另一企业计划用不超过1000万元购买A、B两种型号机器人共15台，且每天搬运货物不低于825吨，请通过计算，说明该企业有哪几种采购方案． 【答案】(1)台A型机器人 (2)方案1：购买机器人3台，机器人台；方案2：购买机器人4台，机器人台；方案3：购买机器人5台，机器人台 【详解】（1）解：设购买机器人台，则B机器人台， 由题意得，， 解得 因为为整数， 所以最多购入台A型机器人； （2）解：设购买机器人台，则B机器人台， 由题意得，， 解得， 因为为整数， 所以取， 所以有三种方案，方案1：购买机器人3台，机器人台；方案2：购买机器人4台，机器人台；方案3：购买机器人5台，机器人台． 39．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）某初中519名学生和20名教师参加春游活动，现有A、B两种公交车型可供租用，且A、B两种公交车型核载人数分别为35人辆、28人辆．已知租用2辆A型客车与1辆B型客车需要1036元，租用1辆A型客车与3辆B型客车需要1358元． (1)求租用每辆A型客车与每辆B型客车各需要多少元； (2)若要求此次租车共18辆，且总租金不高于6200元，请问有几种租车方案？ 【答案】(1)租用每辆A型客车需要350元，每辆B型客车需要336元 (2)共有6种租车方案 【详解】（1）解：设租用每辆A型客车需要元，每辆B型客车需要元，由题意，得： ， 解得； 答：租用每辆A型客车需要350元，每辆B型客车需要336元； （2）解：设租用A型客车辆，则租用B型客车辆，由题意，得： ， 解得， ∵为整数， ∴， ∴共有6种租车方案． 40．（24-25七年级下·上海闵行·期中）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时，共需715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 【答案】(1)购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元 (2)该公司有 3种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆或购进A型汽车 12 辆，B 型汽车3辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元 【详解】（1）解：设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元， 根据题意可知： 解得：， 则购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元． （2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 根据题意可得出： 解得： ∵m为正整数， ∴或11或12， 当时，购进B型汽车为5辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为4辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为3辆， 此时利润为：（万元） 综上：该公司有 3种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆或购进A型汽车 12 辆，B 型汽车3辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元． 41．（25-26七年级下·上海闵行·期中）综合与实践：对每个人来说，膳食结构与热量平衡至关重要，它直接影响人们的身体健康．利用所学知识，结合项目资料，我们可以为自己设计科学的膳食方案和运动计划． 项目主题：膳食结构与热量平衡 项目资料： 表1：蛋清和燕麦的营养成分 食物 蛋白质 碳水化合物 蛋清 燕麦 表2：肉类和蔬菜提供的热量 类别 热量 肉类 千卡 蔬菜 千卡 表3：常见运动的热量消耗 运动 热量消耗 1组开合跳 千卡 1组深蹲 千卡 【项目任务】 (1)任务1．若一种早餐由若干份蛋清（每份）和若干份燕麦（每份）构成，其营养成分表显示蛋白质含量共，碳水化合物含量共，则制作这样一份早餐需要1份蛋清和______份燕麦． (2)任务2．初中男生每天摄入总热量应不低于千卡．若某初中男生某天摄入的主食中的热量是千卡，全天摄入的肉类和蔬菜共8份（每份），他每天至少应摄入肉类多少份？ (3)任务3．为达到热量平衡，除日常消耗外，一般还需要通过运动消耗千卡热量．若用开合跳和深蹲两种运动组合起来进行日常锻炼，共有哪几种运动方案？（运动方案中要同时包含开合跳和深蹲两种运动） 【答案】(1) (2)至少份 (3)共有种运动方案，分别为：①开合跳组，深蹲组；②开合跳组，深蹲组；③开合跳组，深蹲组 【详解】（1）解：设这份早餐中蛋清x份，燕麦y份， 由题意得，， 解得， ∴这份早餐中蛋清1份，燕麦2份； （2）设这名男生摄入肉类m份，则摄入蔬菜份， 由题意得，， 解得， ∴他至少摄入肉类3份； （3）设开合跳p组，深蹲q组， 由题意得，， 则， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，（舍去）， 综上所述，共有种运动方案，分别为：①开合跳组，深蹲组；②开合跳组，深蹲组；③开合跳组，深蹲组． 题型9 方程与不等式综合（压轴）（共8小题） 42．已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：关于x，y的方程组为， 解得：， 因为， 所以， 解得：． 故选：C． 43．若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【答案】D 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 44．已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：解方程组，得， ∵，， ∴， 解得， 又∵关于k的不等式的解集为：， ∴， 解得， ∴k的范围为． 又∵k为整数， ∴． 故选：B． 45．已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围______． 【答案】 【详解】解： 得，， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为， ∵方程组的解满足， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 46．已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 _______． 【答案】 【详解】解：， 得：，即， 得：， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 47．若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是_______． 【答案】 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 48．已知关于的方程组（为常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ，得：，故， 又由，则，得． （2）解： ，得：， 又由，得， 解得． 49．题目：已知关于x、y的方程组， 求：（1）若，求a值； （2）若，求a值． 问题解决： （1）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，将可得，又因为，则a值为______； （2）王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，若将方程组中的①与②直接进行加减，已经不能解决问题，经过思考，王磊将，，得， 再将得：，又因为，…，请根据王磊的思路，求出m、n及a的值； 问题拓展： （3）已知关于x、y的不等式组，若，求a的取值范围． 【答案】（1）5；（2），，；（3） 【详解】解：（1）， 将可得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：5； （2）， 将，，得， 由得：， ∵， ∴， 由得，， 解得， 把代入⑤得，， 解得， 把，代入⑦得，， 解得； （3）， 由，得，， 由得，， ∵， ∴， ∴． 题型10新定义题型（创新压轴）（共8小题） 50．（24-25七年级下·上海·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是 ；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围． 【答案】(1)①② (2) 【详解】（1）解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为； 解方程得， ， 方程①是不等式组的“关联方程”； 解方程得， ， 方程②是不等式组的“关联方程”； 解方程得， 方程③不是不等式组的“关联方程”； 故答案为：①②； （2）解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为； 解方程得， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， ， 解得． 51．（25-26七年级下·上海虹口·期中）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． (1)不等式______的“和谐不等式”（填“是”或“不是”）． (2)如果关于x的不等式不是的“和谐不等式”，求m的取值范围． (3)当时，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 【答案】(1)不是 (2) (3)或 【详解】（1）解：根据“和谐不等式”的定义可知：不等式与没有公共整数解， ∴不等式不是的“和谐不等式”， （2）解：解不等式可得， 解不等式得， ∵关于x的不等式不是的“和谐不等式”， 即两个不等式的公共解集中没有整数； 因为小于3的最大整数是2，所以要使公共解集中没有整数， ∴； （3）解：解不等式得， 解不等式得， ①当，即时，则， 此时不等式与不等式总有公共整数解， ∴时，不等式与不等式总是互为“和谐不等式” ②当，即时，， ∵不等式与不等式互为“和谐不等式”， ∴， 解得， ∴， 综上，n的取值范围为：或． 52．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，那么我们把这个一元一次方程叫作为这个不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是 ．（只需填序号） (2)如果不等式组的某个关联方程的根是整数，那么这个关联方程可以是 ．（写出一个即可） (3)如果方程是关于的不等式组的关联方程，请求出的取值范围． 【答案】(1)③ (2)（答案不唯一） (3)m的取值范围为 【详解】（1）解：解得；解得；解得， 解不等式组得； 则，不是不等式组的解，是不等式组的解， ∴是不等式组的关联方程； 故答案为：③； （2）解：由于不等式组的解集为，此范围的整数有1，2，3； 而方程的解为，则方程是不等式组的关联方程； 故答案为：（答案不唯一）； （3）解：解关于的不等式组，得； 解得； 由题意得：，解得：； 故m的取值范围为． 53阅读材料：对x，y定义一种新运算“T”，，规定： （其中a，b均为非0常数，且）．如，若，． (1)求a，b的值； (2)求T（4，3）的值； (3)若关于c的不等式组恰好有3个整数解，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）∵， ∴2a-2b=2（a-b）=4， ∴a-b=2． ， ∴a+4b=7， 解方程组：， 得：； （2） ∴ （3） 由得 由得 ∴解集为 ∵三个整数解 ∴整数解为－1，0，1 ∴ ∴． 54．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)组合是_________________；（填有缘组合或无缘组合） (2)若关于x的组合是“有缘组合”，求a的取值范围； 【答案】(1)无缘组合 (2) 【详解】（1）解：， 解得： ， 解得：， ∵一元一次方程的解不是一元一次不等式的解， ∴组合是“无缘组合”； （2）解： 解得：， 解不等式， 解得：， ∵关于x的组合是“有缘组合”， ∴在范围内， ∴ 55．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)； (3)． 【详解】（1）解：①， 整理得：， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：； ， 解不等式可得：， 解不等式可得：， 所以不等式组的解集为：； 根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”． 故答案为：①； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ， ， 根据“相依方程”的含义可得： ， ， 解得：； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 此时不等式组有5个整数解， 令整数的值为：，，，，， ， ∴， 则， 解得：，而为整数，则或0， 当时，， ∴， 因为， 解得：， 根据“相依方程”的含义可得：， 解可得：， 解可得：， 所以不等式组的解集为：； 当时，， ∴， 综上：． 56．我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；， (2) (3)存在， 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为， 故答案为：；，； （2）解： 解不等式得：， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得，, ∴ 当时，方程组解为：， 满足题意， 综上所述：的取值范围． （3）解：存在，理由如下： 当时，不等式的解集为， ∴，不符合， 当时，不等式的解集为， ∵， ∴， 解得：， 当时，不等式的解集为， ∴， 解得：， 当，不等式的解集为， ∴， 解得：，当时，，不符合， 当或，方程组无解， 综上所述：， ∴为， 解不等式组得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴， 解得：． 57．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【详解】（1）解：解，得：， 解，得：， ∴方程的解不是不等式的解， ∴不是； （2）， ，得：， ∵， ∴， 即：， ∴； （3）由，得 ， ∵， ∴， ∴，即， 由，得 ． ∵方程的解是不等式的“友好解”． ∴， 解得 ， ∴的最小整数值为：． $