精品解析：湖南长沙市长郡中学2026届高三下学期考前模拟测试二数学试题

高三数学模拟卷二 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以. 因为，所以. 所以. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】全称量词命题的否定为将量词更改，命题否定， 因此命题“，”的否定为命题“，”. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 4. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及函数值的正负确定. 【详解】函数， 令，为奇函数， 为偶函数，所以函数为奇函数，排除选项AB， ，，， 所以，排除选项C， 故选：D. 5. 已知，且，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】选项A，因为，所以，所以成立. 选项B，若，则不成立. 选项C，因为，并且(，等号取不到)，所以， 因此，成立. 选项D，，等号在时成立，但是，所以等号无法取到，因此. 6. 已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（ ） A. 24 B. 12 C. 10 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】求弦最小值，即求圆心到直线距离的最大值. 因为，所以在圆中， 所以， 因此. 7. 在中，，，为边上一点，且，，则边长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，所以， 因为， ， ， 所以，， 解得. 8. 已知椭圆：与抛物线：交于，两点，点为椭圆上顶点，直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过抛物线的对称性设出和的坐标并表示出和斜率之积，联立椭圆方程求解离心率. 【详解】 因为与关于轴对称，所以设，，. 则，， 所以斜率之积.则， 又因，则 则得,因,则得, 故. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 两个变量线性相关程度越强，则相关系数的绝对值就越接近1 B. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高 C. 想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，作零假设：喜欢参加体育活动与性别无关 D. 在列联表中，若每个数据，，，均变成原来的2倍，则不变（，其中） 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A，两个变量线性相关程度越强，则相关系数的绝对值就越接近成立，所以A正确； 选项B，残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，所以B错误； 选项C，独立性检验的零假设通常设定为 “两个变量无关”，该假设成立，所以C正确； 选项D，代入得，所以发生了改变，所以D错误. 10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，为棱上（含端点）的动点，为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 若为的中点，则直线与直线是异面直线 B. 若为的中点，点到直线的距离为 C. 存在点，使得 D. 存在点，使得平面 【答案】BC 【解析】 【详解】选项A，，因为为中点，为中点， 所以，所以与在同一平面，所以和不是异面直线. 选项B，，建立如图直角坐标系，设，易得，，， 因此， 因为，，. 所以，. 选项C，设，，所以，， 因为，所以，，解得，即存在符合题意. 选项D，因为， 所以，， 设平面法向量， 因为且, 则且,令可得, 所以解得， 若平面，则，，解得，不满足条件，即不存在符合题意的点. 11. 设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，其在复平面内对应的点为，，．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．根据上面知识，下列选项中正确的有（ ） A. 当，，且为偶数时，复数为纯虚数 B. 若，则 C. 复平面中，点绕原点逆时针旋转得到 D. 复平面中，将直线：绕点顺时针旋转得到直线： 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意结合复数的三角表示以及几何意义依次判断即可. 【详解】对于A，已知，则复数可以表示为， 根据题意，，其中为偶数， 当时，，这是实数，不是纯虚数，故A错误； 对于B，已知，则模长，辐角满足，所以， 因此，则，故B正确； 对于C，点对应的复数为，模长，设辐角为，则， 将点绕原点逆时针旋转，相当于将复数乘以， 设旋转后的点为，对应的复数为，则， 对应的点的坐标为，故C正确； 对于D，设直线上任意一点为，对应的复数为，旋转后的点为，对应的复数为， 根据题意，是由顺时针旋转得到的，即是由逆时针旋转得到的， 因此，所以，， 将代入直线方程：，得，化简得， 因此旋转后得直线方程为，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量，满足，，且，则与的夹角______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据垂直关系可得，即可利用夹角公式求解. 【详解】因为，所以，即，解得. 由，，可得. 故答案为： 13. 如图，单位圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，点位于第一象限，点，，为正三角形，则__________． 【答案】## 【解析】 【详解】， 因为，且 所以. 因此. 14. 已知为自然对数的底数，不等式对恒成立，则实数的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过讨论得到的范围，将不等式恒成立问题转换为最值问题，结合参数与函数值关系，即可求解. 【详解】若，则无意义， 若，当时，且，不满足题意， 因此，则， 令，问题转化为求的最大值，使得原函数求导得， ， 由于恒成立，的符号由决定， 对求导，， 令，得，当时，此时， 的最小值为 ， 因此恒成立，，在上单调递增， 当时，，，故，因此恒成立，满足条件. 当时，，在上单调递减，在上单调递增，且最小值. 又因为时，时， 故有两个零点， 此时的单调性为，时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增， 因此在处取得最小值需满足， 由于是的根，故，则， 将代入得，， 即， 令()，则，代入原式，， 则， 解得，结合得， 即， 由，令()， 求导得，， 因此在上单调递增，最大值为， 此时，代入验证，满足恒成立， 故实数的最大值为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设为数列的前项和，且， （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的最大值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【小问1详解】 由，得， 所以，即， 当时，，故， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以． 【小问2详解】 ，， 当时，，故， 当时，，故， 当时，， 故时，， 故，，所以数列的最大值为. 16. 函数，． （1）时，求在处的切线方程； （2）若有两个极值点，求的取值范围． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【详解】（1）时，，， 又，，所以在处的切线方程为， 即． （2）， 由题可知在有两个变号零点， 由，得，令，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 又，，，，所以， 由有两个极值点，则，故 17. 如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上一点，正方形内接于，设平面与平面的交线为直线，点Q为直线上一点. （1）证明：； （2）求四棱锥外接球的表面积； （3）若平面平面，平面平面，当直线与平面所成角的余弦值为时，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，结合线面平行的判定定理和性质定理进行证明即可； （2）根据圆柱的性质，结合球的表面积公式进行求解即可； （3）根据面面垂直的性质定理建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 在正方形中，， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面与平面的交线为直线，且平面， 所以； 【小问2详解】 设是的中点，设圆柱的底面半径为， 因为圆柱的轴截面是边长为2的正方形 所以，， 显然， 所以点是四棱锥外接球的球心， 所以四棱锥外接球的表面积为； 【小问3详解】 在正方形中，， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，而平面， 所以， 同理可证，所以为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， ， 设平面的法向量为， ， 所以有，所以，令，所以， 即， 因为直线与平面所成角的余弦值为， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 所以有 ，或， 当时，， 当时，， 所以的长为或. 18. 人工智能（AI）离不开光，光电子因AI重生——AI是需求发动机，光学光电子是AI的算力底座、感知神经与计算新范式，二者深度绑定、相互成就．某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，求恰有一件为合格品的概率（用分数表示）． （2）现采取分层（按次品与合格品分层）随机抽样的方式，从100件样品中共抽取10件，再随机选出3件，求选出的这3件样品中次品件数的分布列与数学期望． （3）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立．若，证明：． 【答案】（1） （2） 0 1 2 （3）若，则，， 又， 所以， 由切比雪夫不等式可知，， 所以． 【解析】 【小问1详解】 记事件从这100件样品中随机抽取2件，求恰有一件为合格品， 则． 【小问2详解】 由题中表格可知合格品（指标大于或等于76）有件，次品有件． 从100件样品中按分层随机抽样的方式抽取10件，则这10件样品中合格品件数为，次品的件数为，随机选出3件，这3件中次品的可能取值为0，1，2， 且，，， 所以的分布列如下： 0 1 2 则． 【小问3详解】 略 19. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，虚轴长为2，且点在双曲线上． （1）求双曲线的方程． （2）斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点（异于点）． ①若直线，的斜率分别记为，，，求的值． ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①1；②在轴上存在定点，使得为定值2． 【解析】 【分析】(1)通过虚轴长度确定后再将点代入方程求解. (2)①设出直线后与双曲线联立通过韦达定理表示出后带入条件求解. ②通过联立椭圆与直线以及圆与直线判断为两者共同的根，因此联立后的方程应相同，以此求解出斜率以及方程，最后通过定值这一条件求出点. 【小问1详解】 由条件，，所以， 又点在双曲线上，所以，解得， 故双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 ①设点，，设直线的方程为， 因为点不在直线上，则，可得， 联立可得， 则 ，解得或， 由题意可得所以且， 所以， ， ， 即 ，． ②设的外接圆方程为，代入坐标， 则 将代入， 可得， 即， 同理 ， 所以，为关于的方程 的两根， 又因为，为关于的方程的两根， 所以方程 与方程为同解方程， 所以解得 易知点，即点，， 所以直线的方程为，即， 设，，， 因此， 要使其为定值，只需即可. ， 故在轴上存在定点，使得为定值2． 【点睛】通过方程间的联立来求解直线并求出点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学模拟卷二 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. （ ） A. B. C. D. 4. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则弦的最小值为（ ） A. 24 B. 12 C. 10 D. 5 7. 在中，，，为边上一点，且，，则边长为（ ） A. B. C. D. 4 8. 已知椭圆：与抛物线：交于，两点，点为椭圆上顶点，直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 两个变量线性相关程度越强，则相关系数的绝对值就越接近1 B. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高 C. 想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，作零假设：喜欢参加体育活动与性别无关 D. 在列联表中，若每个数据，，，均变成原来的2倍，则不变（，其中） 10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，为棱上（含端点）的动点，为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 若为的中点，则直线与直线是异面直线 B. 若为的中点，点到直线的距离为 C. 存在点，使得 D. 存在点，使得平面 11. 设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，其在复平面内对应的点为，，．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．根据上面知识，下列选项中正确的有（ ） A. 当，，且为偶数时，复数为纯虚数 B. 若，则 C. 复平面中，点绕原点逆时针旋转得到 D. 复平面中，将直线：绕点顺时针旋转得到直线： 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量，满足，，且，则与的夹角______. 13. 如图，单位圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，点位于第一象限，点，，为正三角形，则__________． 14. 已知为自然对数的底数，不等式对恒成立，则实数的最大值为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设为数列的前项和，且， （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的最大值． 16. 函数，． （1）时，求在处的切线方程； （2）若有两个极值点，求的取值范围． 17. 如图，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上一点，正方形内接于，设平面与平面的交线为直线，点Q为直线上一点. （1）证明：； （2）求四棱锥外接球的表面积； （3）若平面平面，平面平面，当直线与平面所成角的余弦值为时，求的长. 18. 人工智能（AI）离不开光，光电子因AI重生——AI是需求发动机，光学光电子是AI的算力底座、感知神经与计算新范式，二者深度绑定、相互成就．某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，求恰有一件为合格品的概率（用分数表示）． （2）现采取分层（按次品与合格品分层）随机抽样的方式，从100件样品中共抽取10件，再随机选出3件，求选出的这3件样品中次品件数的分布列与数学期望． （3）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立．若，证明：． 19. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，虚轴长为2，且点在双曲线上． （1）求双曲线的方程． （2）斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点（异于点）． ①若直线，的斜率分别记为，，，求的值． ②若的外接圆圆心为，试问在轴上是否存在定点使为定值？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $