精品解析：湖南师范大学附属中学2026届高三考前自测数学试题

高三模拟卷（三） 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集均为的子集，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线 与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 2 5. 某工厂质量监控小组从一批面粉中抽取袋测量重量，已知抽取的袋面粉的样本均值（单位：千克）服从正态分布，若 ，则的最小值为[参考数据:若 ，则 ].（ ） A. 100 B. 60 C. 6 D. 1 6. 设数列{}的前n项和为且则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，则，（，），则下列表述正确的是（ ） A. 存在唯一的实数对，使得 B. 存在唯一的实数对，使得 C. 存在唯一的实数对，使得 D. 存在唯一的实数对，使得 8. 已知一个实心圆锥几何体的体积为V₁，从中挖去一个体积为V₂的半球，且球心在圆锥底面上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知方程的复数解为，，则（ ） A. B. C. 若，其中，则满足的复数z在复平面内对应的点在第二象限 D. 若，则的最小值是 10. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，平面内一直线过点F且与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作准线l的垂线 的最小值为4，以下说法正确的是（ ） A. 抛物线C的方程为 B. C. 若为等边三角形，则直线AB的斜率为 D. 若则△BFN的面积与的面积的比值为 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，函数和均为偶函数，则（ ） A. B. C. 函数的图象关于点对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若定义在 上的函数为奇函数，则__ 13. 从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，设取得的次品数为，则________． 14. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，且则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播种3粒种子，每粒种子发芽的概率均为且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. （1）当时，用表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望. （2）当取何值时，有个坑要补播种的概率最大?最大概率为多少? 16. 椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离是. （1）求椭圆C的方程； （2）过点且斜率为k的直线交椭圆C于M，N两点，若求k的取值范围. 17. 如图，在三棱锥中，为的中点.点在棱上，. （1）若平面，求二面角的大小； （2）在直线上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在请说明理由. 18. 已知函数，． （1）证明：有唯一零点； （2）记的零点为． （i）数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由； （ii）证明：． 19. 已知r是给定的正整数，设G是以满足下列条件①②③的函数为元素构成的集合： ①定义域为； ②； ③，其中 对给定的整数m，n（其中记 （1）当时，求集合 （2）若且不是3的倍数，证明：； （3）从集合G中随机取出一个函数，证明：对任意随机事件“”发生的概率都不超过 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三模拟卷（三） 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集均为的子集，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 根据图，阴影部分为，显然集合与无公共部分， 所以． 2. 若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知渐近线为，即， 可设双曲线方程为：， 把点代入方程得：， 该双曲线的方程为． 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法，令，，找到与的关系，然后利用诱导公式和倍角公式进行求值即可. 【详解】令，，则， 令，则 所以 故选：B. 4. 已知直线 与圆交于，两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线过定点，结合弦长公式计算即可． 【详解】由 可变形为，则该直线过定点， 又可变形为，该圆的圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为，则， 所以当直线与直线垂直，即最大时，最小， 又的最大值为,所以 ， 故的最小值为． 5. 某工厂质量监控小组从一批面粉中抽取袋测量重量，已知抽取的袋面粉的样本均值（单位：千克）服从正态分布，若 ，则的最小值为[参考数据:若 ，则 ].（ ） A. 100 B. 60 C. 6 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的原则，通过区间包含关系列不等式求解的最小值. 【详解】由题意，随机变量服从正态分布 ，因此均值 ，标准差， 根据参考数据， ，要满足 ， 需满足区间包含关系 ， 将 代入，可得 ， 即 ， 将代入不等式得： ， 对不等式变形求解： ， 两边取倒数（不等号方向反向）得 ， 两边平方得 ，解得 ， 因此的最小值为60. 6. 设数列{}的前n项和为且则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，所以 ， 所以， 所以 ， 根据对勾函数的性质， 在 上单调递减，在 上单调递增， 又当时，，当时，， 又，所以的最小值为. 7. 已知向量，，则，（，），则下列表述正确的是（ ） A. 存在唯一的实数对，使得 B. 存在唯一的实数对，使得 C. 存在唯一的实数对，使得 D. 存在唯一的实数对，使得 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，，由向量平行的充要条件判断A；由向量垂直的充要条件判断B；由向量相等的充要条件判断C，由向量模的计算公式判断D. 【详解】因为向量，，则，， 对于A，当且仅当，即， 即，由此可知存在无数组实数对，使得，故A错误； 对于B，当且仅当， 即，即， 当时，该方程不成立，此时不存在实数对，使得， 当时，此时，由此可知存在实数对，使得， 当且时，此时存在无数对实数对，使得，故B错误； 对于C，当且仅当，解得，故C正确； 对于D，， 即，进而可得 故当或者时，此时有无数组实数对，使得，故D错误. 故选：C. 8. 已知一个实心圆锥几何体的体积为V₁，从中挖去一个体积为V₂的半球，且球心在圆锥底面上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据圆锥和半球的体积公式表示为，然后通过导数求出其最大值. 【详解】设圆锥底面半径为 ，高为 ，半球半径为 ， 圆锥体积 ，半球体积，体积比为 因为底面中点（球心）到母线HM的距离等于半球半径 ，由等积法可得， 令 （），则 ，则， 将 代入体积比， 设 （），令 ，则 ， 令，解得 （即 ，）， 当 , ， 单调递增，当, ， 单调递减， 所以当， 取得最大值， 此时 取得最大值：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知方程的复数解为，，则（ ） A. B. C. 若，其中，则满足的复数z在复平面内对应的点在第二象限 D. 若，则的最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】先求解方程得到，，再代入计算即可判断选项A，B；根据复数的几何意义即可判断选项C，D． 【详解】由的复数解为，，解得，， 对于A， ，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，若，其中，则，所以 ， 所以z在复平面内对应的点在第四象限，故C错误； 对于D，由 ，又表示z在复平面上以原点为圆心的单位圆， 则表示单位圆上的点到点的距离，所以最小值为，故D正确． 10. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，平面内一直线过点F且与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作准线l的垂线 的最小值为4，以下说法正确的是（ ） A. 抛物线C的方程为 B. C. 若为等边三角形，则直线AB的斜率为 D. 若则△BFN的面积与的面积的比值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由过焦点弦长的最小值确定抛物线参数，从而判断A项.再根据抛物线定义，将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，并结合焦点弦中相关三角形的角度关系判断B项.对于C、D项，设直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理得到一些关系式，再结合向量关系求出相关量，进而计算三角形面积并求出它们之间的比例关系. 【详解】选项A，因为 ，故，得，抛物线方程为， A正确. 选项B， 因为，所以， 同理，所以 ， 故 ，即 ，故B正确； 选项C，为等边三角形，由抛物线定义，故只需 . 设，则 ，，由 ： 又，代入得，解得，. 直线过和 ，斜率为：， 题目只给出了，忽略了，故C错误. 选项D，设，，由，得： 设直线，与联立得，故. 代入，得，，. 所以 ，又，故， ，所以，D正确. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，函数和均为偶函数，则（ ） A. B. C. 函数的图象关于点对称 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据是偶函数得出函数关于轴对称，即，两边求导得出导函数关于点中心对称；为偶函数，则，得出，由中心对称得出，进而得出，故是周期为4的周期函数；再根据上述性质求出判断选项A；由周期性判断选项B；由的性质判断选项C；求出一个周期内的和，再利用导函数的周期性计算判断选项D． 【详解】是偶函数，则，两边对求导得， 则导函数关于点中心对称，令，得， 为偶函数，则， 则导函数关于轴对称，故， 由中心对称性，， 联立可得， 令，则， 则，故是周期为4的周期函数； 选项A：由，令得， 已知 ，故 ，故A错误； 选项B：是周期为4的周期函数，故，故B正确； 选项C：关于轴对称，无法证明关于点中心对称，故C错误； 选项D：， ， ， ， 一个周期内的和为： ， 又， ， 故，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若定义在 上的函数为奇函数，则__ 【答案】 【解析】 【详解】由题可知， ，所以， 又，即 ，即对任意恒成立， 所以，所以 13. 从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，设取得的次品数为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得服从超几何分布，进而即得. 【详解】由题意知服从超几何分布，则， 所以． 故答案为：. 14. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，且则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换化简目标式，结合正弦定理、余弦定理，依据已知条件将式子统一为关于的函数，再借助二次函数性质求出最值，并验证取等条件. 【详解】在中，已知， . 因为 ， ， 所以 . 设外接圆半径为，由正弦定理可得，，， 所以，且， 所以. 由余弦定理，代入以及，化简得，即. 所以，于是. ，结合 ，可得. 联立化简. 将代入， ，则， 原目标式化为 . 令，由边长约束得. 函数 是开口向下的二次函数，对称轴为， 当时，取得最大值，此时取得最小值. 因此 . 当即时，，，三边满足三角形三边关系，等号成立. 综上，原式的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播种3粒种子，每粒种子发芽的概率均为且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种. （1）当时，用表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望. （2）当取何值时，有个坑要补播种的概率最大?最大概率为多少? 【答案】（1）分布列见解析，数学期望为 （2）故当或6时，概率最大，最大概率为 【解析】 【分析】（1）每个坑中种3粒种子，每粒种子发芽概率为，且相互独立，一个坑需要补播种的条件是发芽种子数少于2，即发芽数为0或1，需要补种的概率为，用X表示要补播种的坑的个数，各个坑之间相互独立，每个坑补种的概率为,则,用二项分布的数学期望即可计算; （2）先计算有3个坑要补播种的概率，再利用的单调性求出最大概率值. 【小问1详解】 当时,的可能取值为，那么， 得到 ，分布列如下： 0 1 2 3 故. 【小问2详解】 由（1）可知，用X表示要补播种的坑的个数，则， 当时，， 设，则， 令，得；令，得 , ，故 , 所以当时，单调递增；当时，单调递减， 故当或6时，概率最大，最大概率为. 16. 椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离是. （1）求椭圆C的方程； （2）过点且斜率为k的直线交椭圆C于M，N两点，若求k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用离心率可以得到的关系，再利用左焦点到点的距离是，计算出； （2）设直线方程为，与椭圆方程联立，把通过转化为 ，韦达定理表示出，从而求出k的取值范围. 【小问1详解】 由于椭圆   的离心率  ， 则  ， ， 由于  ，故，，， 所以  ， 由于椭圆的左焦点为  ， 已知点  ，且  到  的距离为  ， 则，即 ， , 因为  ，所以  ， ，故  ， ， 所以椭圆  的方程为：； 【小问2详解】 由（1）可知，左焦点  ， 设过  且斜率为  的直线方程为，  、  ， 联立 ，得 ， 经检验， 根据韦达定理，可知， 由于  ，则 ，即， 即， 即 ， 整理，得 ， 将和 代入， 得 ， 化简得，解得， 所以的取值范围为. 17. 如图，在三棱锥中，为的中点.点在棱上，. （1）若平面，求二面角的大小； （2）在直线上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，点位于线段的延长线上，且满足. 理由如下： 设，则， 设平面的法向量为，，由（1）知， 由，故可取. 因为平面，， 由，可得 ，解得，即. 因此存在点，位于线段的延长线上，且，使得平面． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量的方法求面面角，进而可得二面角的大小； （2）先假设存在点，先求平面的法向量为，再由平面可得，从而可得，进而可得点的位置. 【小问1详解】 因为，为的中点，所以，且． 又因为平面，平面，平面， 所以， ． 故以为原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．如图： 由题意可得，， ， ，． 因为，即， 所以， 即． 易知平面的一个法向量为． 设平面的法向量为， 因 ，． 由，故可取故可取 ． 设二面角的大小为，由图可知为锐角， 则． 所以，即二面角的大小为． 【小问2详解】 略 18. 已知函数，． （1）证明：有唯一零点； （2）记的零点为． （i）数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由； （ii）证明：． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）不存在，理由见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，利用导数判断函数的单调性，即可判断零点； （2）（ⅰ）由方程两边取对数，转化为，再构造函数在上单调递增，结合等比数列的性质，即可判断证明； （ⅱ）根据不等式时，，得到不等式，得到不等式，再根据数列求和即可证明. 【小问1详解】 当时，，所以在上无零点， 因为，所以在上单调递增， 所以在上至多一个零点， 当时，有唯一零点1． 当时，因为，， 所以函数有唯一零点，得证， 【小问2详解】 （i）由（1）知，，且， 两边取自然对数，得，（*） 所以， 两式相减，得， 所以． 因为函数在上单调递增， 所以，所以数列单调递增． 假设数列中存在，，成等比数列，则， 所以． 由（*）式得，，代入上式，得 ， ．（**） 因为，所以， 又，所以方程（**）无解． 所以数列中不存在连续三项按某顺序构成等比数列． （ii）先证明：时，，（***） 设，则， 所以当时，，单调递减： 当时，，单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立． 由（***）式知，， 所以，所以， 所以． 在（***）式中，令，得， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，，当且仅当时等号成立． 当时，在（***）式中，令，得， 所以时， ． 当时，成立． 所以，得证． 19. 已知r是给定的正整数，设G是以满足下列条件①②③的函数为元素构成的集合： ①定义域为； ②； ③，其中 对给定的整数m，n（其中记 （1）当时，求集合 （2）若且不是3的倍数，证明：； （3）从集合G中随机取出一个函数，证明：对任意随机事件“”发生的概率都不超过 【答案】（1） （2）若，则所求证结论显然成立； 若，则对任意的， 由题意得且， 则． 设中有个等于，有个等于2， 则． 因此 所以若不是3的倍数则即． （3）记＂从集合中随机取出一个函数属于＂为事件，则所求概率记为， 则. 下面计算： 由题意得，集合中共有个不同函数， 设中有个等于，有个等于2，则． 解方程组，得． 由于， 故当不能被3整除或时或时，上述方程组无解，此时 ； 当能被3整除且时，方程组有解，此时符合题意的函数共有个，因此． 下面计算： 对函数，若它也满足，则， 而． 因此，三者中有一个等于2，两个等于，所以共有种可能． 因此． 因此 由前面分析可知当不能被3整除或时或时，成立； 当能被3整除且时，． 由于，因此， 所以． 综上所述，从集合中随机取出一个函数， 它既属于又属于的概率不超过． 【解析】 【分析】（1）根据定义，分类讨论即可； （2）分和讨论即可； （3）根据条件概率公式得，然后再计算和即可. 【小问1详解】 当时，定义域为，，， 因为，所以， 由，，则， 则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $