专题04 函数的实际应用--2026年山东省济南市中考数学三轮冲刺

**基本信息** 以一次、反比例、二次函数为脉络，通过方法提炼+典例解析构建函数实际应用解题体系，注重模型建立与数形结合，培养用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界的核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数应用|3例|待定系数法、分段函数思想、图象信息提取|从简单行程问题到电量关系，逐步深化函数模型与实际情境的对应| |反比例函数应用|3例|模型构建、自变量取值实际意义、数形结合|结合洋流、溶液稀释、杠杆原理，体现反比例关系在不同领域的应用| |二次函数应用|3例|最值问题（销售利润/几何面积）、顶点式求解析式|通过投篮、跳蚤跳跃等运动轨迹，展现二次函数在最优化问题中的核心价值|

专题04 函数的实际应用 1 2 解决实际问题的思路： 关于实际应用的题，题目一般都比较长，涉及的知识点也比较多，做题时，要有耐心地读懂题意，然后利用相关知识解决问题． 3 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 热点1 一次函数的实际应用 一次函数的应用： （1）简单的一次函数问题要准确建立函数模型，并注意分段函数思想的应用． （2）理清题意，准确表示出数量之间的关系是解决实际问题的关键． （3）能够从函数图象中获取解答问题的信息是解题的关键． 【例1】　（2026•高州市一模）在高州市曹江镇新开发了一个旅游景点“高州第一滩”，今年的“五一劳动节”假期吸引了大量的游客前往游玩，但是也留下了很多废弃的垃圾，由此党委镇政府也成立了“河滩清洁行动”小组．现有甲、乙两支志愿者队伍同时从河滩入口出发前往不同区域清理垃圾．甲队出发1分钟后乙队才出发，y（米）表示两队离河滩入口的距离，x（分钟）表示甲队行走的时间．图中两条直线分别表示甲、乙两队离河滩入口的距离y与甲队行走时间x的函数关系． （1）求甲队离河滩入口的距离y甲与行走时间x的函数关系式． （2）若河滩上有一处距离入口800米的区域垃圾较多，问哪支队伍先到达该区域？早到几分钟？ 【答案】（1）甲队行走的距离与时间x的函数关系式为：y甲＝120x； （2）甲队先到达该区域，早到分钟． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）求出乙队行走的距离y乙与甲队行走时间x的函数关系式和乙队离海滩入口的距离与行走时间x的函数关系式，根据题意列方程求解即可． 【解答】解：（1）由图可设甲与行走时间x的函数关系式：y甲＝kx， 已知当x＝10时，y＝1200， 代入可得1200＝10k， 解得k＝120， ∴甲队行走的距离与时间x的函数关系式为：y甲＝120x； （2）设乙队行走的距离y乙与甲队行走时间x的函数关系式为y乙＝kx+b， 因为乙队x＝1时出发， 当x＝5时，y＝n， 此时甲队y甲＝120×5＝600， 即n＝600， 当x＝1时，y乙＝0，把（5，600）和（1，0）代入y乙＝kx+b得： ，解得， 所以乙队离海滩入口的距离与行走时间x的函数关系式为y乙＝150x﹣150， 对于甲队，当y＝800时，800＝120x， 解得x， 对于乙队，当y＝800时，800＝1500x﹣300， 解得x， ∵分钟， 所以甲队先到达该区域，早到分钟． 【例2】　（2026•三门县模拟）小丽驾驶电动汽车从家前往景点游玩，行驶一段路程后停车充电，然后继续行驶，直至到达景点．汽车充电前、充电后都以80km/h的速度匀速行驶，且每小时的耗电量均相同．出发后，汽车剩余电量Q（单位：kW•h）与行驶路程s（单位：km）的关系如图所示． （1）小丽驾车几小时后停车充电？ （2）求线段AB所表示的Q与s之间的函数表达式． （3）若此电动汽车剩余电量超过60kW•h的行驶属于“高电量行驶”．求小丽驾驶前往景点的过程中，属于“高电量行驶”的总路程． 【答案】（1）小丽驾车行驶3h后停车充电； （2）Q＝﹣0.25s+140（240≤s≤440）； （3）240km． 【分析】（1）根据停车充电时的路程和已知行驶速度，用“时间＝路程÷速度”直接计算行驶时长； （2）先确定A、B两点坐标，设一次函数表达式，代入两点列方程组求解系数，再标注自变量取值范围； （3）先分别求出充电前、后电量为60kW•h对应的路程，从而计算可以得解． 【解答】解：（1）由图象可知，汽车行驶240km后停车充电，已知行驶速度为80km/h， ∴行驶时间＝路程/速度， 答：小丽驾车行驶3h后停车充电； （2）设线段AB的函数表达式为Q＝ks+b（k≠0）， 由图象得：A（240，80），B（440，30）， ∴， ∴． ∴线段AB的函数表达式为：Q＝﹣0.25s+140（240≤s≤440）； （3）①充电前（0≤s≤240）： 设充电前的函数表达式为Q＝k1s+100， 将点（240，40）代入：40＝240k1+100 ∴k1＝﹣0.25， ∴Q＝﹣0.25s+100． 令Q＝60， ∴60＝﹣0.25s+100， ∴s＝160km． ∴此电动汽车剩余电量超过60kW•h的路程为160km； ②充电后（240≤s≤440）：线段AB的表达式为Q＝﹣0.25s+140， 令Q＝60， ∴60＝﹣0.25s+140， ∴s＝320km， ∴此电动汽车剩余电量超过60kW•h的路程为320﹣240＝80（km）． ∴属于“高电量行驶”的总路程为：160+80＝240（km）． 【例3】　（2026•新昌县二模）春节期间，超大规模的无人机灯光秀点亮康乐广场上空，为广大市民奉上了一场视觉盛宴．其中甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度h（米）与无人机飞行的时间t（秒）之间的函数关系如图所示．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的平台起飞，两架无人机同时匀速上升，甲无人机到达指定高度后停止上升，开始表演，完成表演的规定动作后，再继续按原速飞行上升．两架无人机同时上升至距离地面100米处，并进行联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面． 请结合图象解答下列问题： （1）求两架飞机联合表演的时长及乙无人机上升时的飞行速度． （2）求甲无人机第一次表演的时长． 【答案】（1）两架飞机联合表演的时长为10秒，乙无人机上升时的飞行速度为4米/秒； （2）甲无人机第一次表演的时长为10秒． 【分析】（1）根据图象中的数据可以计算出两架飞机联合表演的时长及乙无人机上升时的飞行速度； （2）先计算出甲无人机的速度，再计算出a的值，然后即可得到甲无人机第一次表演的时长． 【解答】解：（1）由图象可得， 两架飞机联合表演的时长为30﹣20＝10（秒）， 乙无人机上升时的飞行速度为（100﹣20）÷20＝4（米/秒）， 即两架飞机联合表演的时长为10秒，乙无人机上升时的飞行速度为4米/秒； （2）由图象可得， 甲无人机上升时的飞行速度为60÷6＝10（米/秒）， ∴20﹣a＝（100﹣60）÷10， 解得a＝16， ∴甲无人机第一次表演的时长为a﹣6＝16﹣6＝10（秒）， 即甲无人机第一次表演的时长为10秒． 热点2 反比例函数的实际应用 （1）用反比例函数的有关知识解决实际应用问题，构建反比例函数模型解决实际应用问题，巩固反比例函数性质． （2）在解决实际问题时，注意分段函数的应用． （3）注意自变量和函数值取值的实际意义． （4）正确识图，找到关键的点，运用数形结合的思想解决问题． 【例4】　（2026•广州二模）某海洋保护区使用监测无人机巡查生态环境，以海岸线为x轴，垂直海岸线方向为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，无人机主巡航航线是直线，需与一条洋流边界线交汇以采集水样．无人机与洋流边界在交汇点A（3，2）相遇． （1）求无人机航线参数b和洋流边界参数k； （2）一架无人机在A处采集水样后，转向沿西北方向航行，到达洋流边界上的点P投放浮标，求点P的坐标． 【答案】（1），k＝6； （2）P（2，3）． 【分析】（1）将A（3，2）分别代入和求解即可； （2）过点P，A分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点B，连接AP，则△APB为等腰直角三角形，PB＝AB，设，则，解方程即可． 【解答】解：（1）由条件可得，， 解得，k＝6； （2）如图，过点P，A分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点B，连接AP，则∠PBA＝90°， 由条件可知∠PAB＝90°﹣45°＝45°， ∴△APB为等腰直角三角形， ∴PB＝AB， 设，则， ∴a2﹣5a+6＝0， 解得a1＝2，a2＝3（舍去）， ∴a＝2， ∴P（2，3）． 【例5】　（2026•盐湖区一模）在校园科技节活动中，同学们自制了一套定量溶液稀释实验装置，用于探究溶液稀释规律．已知稀释过程中溶质质量保持不变，溶液浓度C（单位：%）与溶液体积V（单位：mL）成反比例函数关系．实验测得：当溶液体积为50mL时，浓度为30%． （1）求出C与V之间的函数关系式； （2）实验要求稀释后溶液浓度不得低于20%，那么稀释后溶液体积V应不高于多少？ 【答案】（1）； （2）当稀释后溶液浓度不低于20%时，溶液体积V不高于75mL． 【分析】（1）根据反比例函数的定义设出函数关系式，将已知的V、C对应值代入，求出比例系数k，从而确定函数关系式； （2）先根据反比例函数的单调性，结合浓度不低于20%的条件，求出对应的溶液体积，再根据函数的增减性判断体积的取值范围． 【解答】解：（1）设（k＞0），由条件可得， 解得k＝1500， ∴C与V之间的函数关系式为； （2）当C＝20时，， ∵1500＞0， ∴V＞0时，溶液浓度C随溶液体积V的增大而减少， 所以，当稀释后溶液浓度不低于20%时，溶液体积V不高于75mL． 【例6】　（2026•河南模拟）如图1，取一根长150cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆上的中点O处并将其吊起来．在点O左侧10cm处挂一个物体，在点O右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧测力计与中点O的距离L（单位：cm），弹簧测力计的示数F（单位：N）也随之变化，下表记录了几组L和F的值． L/cm … 1 2 4 … F/N … 80 40 20 … （1）求出F关于L的函数表达式（不写自变量取值范围），并在图2中直接画出函数图象； （2）已知杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，即物体所受重力×物体到点O的距离＝对弹簧测力计的拉力×弹簧测力计到点O的距离，求点O左侧所挂物体所受的重力； （3）若使弹簧测力计的示数不超过5N，则L的取值范围为　16≤L≤75　 ． 【答案】（1），图象如下： （2）点O左侧所挂物体所受的重力为8N； （3）16≤L≤75． 【分析】（1）根据表格信息可得FL＝1×80＝80，进一步可得解析式，再描点画图即可； （2）设重力为G，可得10G＝80，进一步可得答案； （3）根据及木棒的中点为O可得答案． 【解答】解：（1）由题意，得：FL＝1×80＝80， ∴， 如图， （2）设重力为G， ∴10G＝80， 解得：G＝8（N）． （3）∵弹簧测力计的示数不超过5N， ∴， 解得：L≥16， ∵O为一根长150cm的匀质木杆的中点， ∴L≤75， 综上：16≤L≤75． 故答案为：16≤L≤75． 热点3 二次函数的实际应用 二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型，也是某些单变量最优化的数学模型，如最大利润等实际问题，生活中的最优化问题通过数学模型可抽象为二次函数的最值问题． 由于学生对于这一转化过程较难理解，因此试题基本以分步设问的方式让学生逐层深入、稳步推出，让学生自主建立数学模型，在这个过程中可通过画图探讨最值． （1）利用二次函数解决销售利润问题 商品销售中求最大利润、最大销量等问题，关键是通过题意，确定二次函数的解析式，然后确定最大值，注意自变量x的取值要使实际问题有意义． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决实际问题时，要把实际问题中的数据落实到抛物线上，从而确定函数解析式，再通过解析式解决相关问题． 【例7】　（2026•开封二模）篮球投篮的运动路线是一条抛物线．如图，一名运动员跳起投篮，篮球准确落入篮圈．以球员站立地面位置为原点，地平线为x轴，垂直地面的直线为y轴建立平面直角坐标系．已知该球员出手点A距地面高度为2m，当篮球运行水平距离为4m时，篮球达到最大高度4m，篮筐中心B离地面高度为3m． （1）求篮球飞行路线对应的抛物线解析式； （2）求篮筐距离投篮球员的水平距离；（结果保留根号） （3）一名防守队员站在球员前方水平距离2m处，他伸手最高能达到3.2m，通过计算判断他能否拦到篮球． 【答案】（1）篮球运行路线所在抛物线解析式为； （2）篮筐距离投篮球员的水平距离为米； （3）他不能拦到篮球． 【分析】（1）根据题意得抛物线顶点坐标为（4，4），经过点（0，2），然后利用待定系数法即可求解； （2）把y＝3代入，求出x的值即可； （3）把x＝2代入，求出y的值，然后比较即可． 【解答】解：（1）设篮球运行路线所在抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+4， ∴（0﹣4）2a+4＝2，解得：， ∴篮球运行路线所在抛物线解析式为； （2）把y＝3代入得，， 解得：，（舍去）， 答：篮筐距离投篮球员的水平距离为米； （3）把x＝2代入得，， ∵3.5＞3.2， ∴他不能拦到篮球． 【例8】　（2026•诸暨市二模）电子跳蚤可在复杂环境中执行任务．将其抽象为一点，起跳后的运动轨迹可看作抛物线的一部分，且每次运动的轨迹形状保持不变．实验中，跳蚤从水平地面上的点O起跳，最终落在水平地面上的点P．以点O为原点，OP所在直线为x轴，过点O垂直于地面的直线为y轴，以1cm为一个单位长度建立平面直角坐标系xOy．已知OP＝20cm，轨迹最高点距地面（x轴）10cm． （1）求跳蚤跳跃轨迹对应的抛物线函数表达式． （2）跳蚤前方地面上有一长方体挡板，其截面为矩形ABCD，与运动轨迹在同一平面内．已知OA＝28cm，AB＝2cm，BC＝7.5cm．若跳蚤先向挡板垂直方向爬行k米，再按（1）中的轨迹跳跃一次，刚好跳到挡板上底面，即其下落轨迹经过线段CD（含端点C、D），求爬行距离k的取值范围． 【答案】（1）； （2）0.13≤k≤0.15． 【分析】（1）依据题意得，最高点为（10，10），则可设顶点式y＝a（x﹣10）2+10，再将P（20，0）代入得0＝a（20﹣10）2+10，从而，进而可以得解； （2）依据题意，在中，令y＝7.5，则x1＝5（不合题意，舍去），x2＝15，进而可得13≤100k≤15，从而可以得解． 【解答】解：（1）由题意得，最高点为（10，10）， 设顶点式y＝a（x﹣10）2+10， 将P（20，0）代入得0＝a（20﹣10）2+10， ∴， ∴； （2）在中，令y＝7.5， ∴x1＝5（不合题意，舍去），x2＝15． ∴13≤100k≤15，则0.13≤k≤0.15． 【例9】　（2026•潮安区模拟）如图，小球击出后飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力．小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系．其中v0表示小球飞出时的初速度，a为小球初速度方向与水平向右方向的夹角．解答以下问题： （1）若v0＝40m/s，a＝30°，小球需要多少时间飞行才能使飞行高度达到15m？ （2）若a＝45°，且小球飞行3s后飞行高度最大，求小球飞出时的初速度是多少？ 【答案】（1）小球需要1s或3s时间飞行才能使飞行高度达到15m； （2）小球飞出时的初速度是30m/s． 【分析】（1）把v0＝40m/s，a＝30°，h＝15代入解析式，解关于t的方程即可； （2）把a＝45°代入解析式，然后求出抛物线对称轴，再根据t＝3求出v0． 【解答】解：（1）当v0＝40m/s，a＝30°时，h＝40•sin30°•t﹣5t2＝40t﹣5t2＝﹣5t2+20t， ∵h＝15， ∴﹣5t2+20t＝15， 整理得：t2﹣4t+3＝0， 解得t1＝1，t2＝3， ∴小球需要1s或3s时间飞行才能使飞行高度达到15m； （2）当a＝45°时，sin45°， ∴hv0t﹣5t2， ∴t， ∵小球飞行3s后飞行高度最大， ∴3， 解得v0＝30， ∴小球飞出时的初速度是30m/s． 第2页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的实际应用 一、选择题（共6小题） 1．（2026春•兴化市月考）如图，在平面直角坐标系中，线段OA，BC分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度y1，y2（m）与飞行时间x（s）的函数关系，其中y2＝﹣4x+150，线段OA与BC相交于点P，AB⊥y轴于点B，点A的横坐标为25，则在第（　　）秒时1号和2号无人机在同一高度． A．13 B．14 C．15 D．16 2．（2026春•长沙期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行1200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示．有下列结论：①甲步行的速度为50米/分；②乙出发后5分钟追上甲；③乙步行的速度为70米/分；④乙到达终点时，甲离终点还有200米．其中正确的结论有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 3．（2026•召陵区模拟）在一定的温度下，某容器内充满了一定量的气体，该容器内气体的压强p（kPa）是气体体积V（mL）的反比例函数，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A．当V＝15mL时，p＝400kPa B．气体体积V大于20mL时，压强p小于300kPa C．气体体积V每增加10mL，压强p减小100kPa D．当15mL＜V＜60mL时，压强p的变化范围为100kPa＜p＜400kPa 4．（2026•沂水县一模）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kpa）与汽缸内气体的体积V（ml）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kpa加压到100kpa，则气体体积压缩了（　　） A．10ml B．15ml C．20ml D．25ml 5．（2026•雁塔区校级模拟）某经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度h（m）与时间t（s）满足二次函数h＝at2+bt，其图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（　　） A．该图象的对称轴是直线t＝2.5 B．此次飞行无人机飞行的最大高度为9m C．当t＝1时，该无人机飞行的高度为6m D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是7s 6．（2026•白银模拟）掷实心球是中考体育考试项目之一，如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为2m．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3.6m处．则该该男生此次掷实心球的成绩是（　　） A．12m B．10m C．8m D．2m 二、填空题（共6小题） 7．（2026•辽阳一模）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙车先出发，图中的折线段表示甲乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，则a的值是　 　 ． 8．（2026春•渝中区校级期中）A车从甲地驶往乙地，B车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设A车行驶的时间为x（h），A与B两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．A车行驶10h到达目的地，B车继续行驶，直至也到达目的地．若在A与B相遇时，C车以A车的速度从乙地出发驶往甲地，根据图中的信息，C车行驶　 　 小时与B车相距200km． 9．（2026•金平区一模）在压力不变的情况下，某物体所受到的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示．当S＝0.2m2时，该物体所受到的压强为 　 　 Pa． 10．（2026•宝鸡模拟）视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关．随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，即两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度f（单位：度）与车速v（单位：km/h）成反比例函数关系，它的函数图象如图所示，当车速为50km/h时，视野角度f为　 　 度． 11．（2026•平邑县一模）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系式为：.有下列结论： ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6m； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为3m； ③铅球落地时的水平距离为10m． 其中，正确结论的序号是　 　 ． 12．（2026•大连一模）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随着音乐的节奏起伏变化而变化，某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边15m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y＝3x上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为y＝ax2+bx，若要求喷出的抛物线水线不能到岸边，则a的取值范围为 　 　 ． 三、解答题（共6小题） 13．（2026•上虞区二模）某校无人机社团进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞匀速上升，同时乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞下降，8秒时甲、乙无人机分别到达各自训练计划指定的高度开始表演，24秒时乙无人机完成表演动作，以每秒米的速度继续飞行上升，30秒时与甲无人机汇合，此时距离地面的高度为b米，甲、乙无人机以相同的速度下降返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与无人机飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示． 请结合图象解答下列问题： （1）填空：a＝　 　 ；b＝　 　 ． （2）求线段MN所在直线的函数表达式． （3）两架无人机在下降返回地面的过程中，当x为何值时，它们距离地面还有2米？（直接写出答案即可）． 14．（2026•宁海县二模）2026年3月，宁波国际马拉松赛事圆满落幕．某补给车队从赛道起点出发，前往位于赛道半程的补给站运送物资．在补给车队出发10min后，志愿者小宁发现遗漏了一批物资，立即开车补送物资．小宁追上车队放下物资后按原速度返回，补给车队则保持原速前往补给站．补给车队和小宁离起点的路程y（km）和补给车队出发后的时间x（min）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）补给车队的速度为　 　 km/min，b的值为　 　 ； （2）求线段BC所在直线的函数表达式； （3）补给车队出发多少时间后，与小宁的距离为7km． 15．（2026•黔南州模拟）天舟九号货运飞船与中国空间站实现“太空牵手”，为空间站送去了宝贵的“太空快递”．快递中有一个给食物加热的餐具．该餐具给食物加热的时间与食物的温度之间的函数图象如图所示．该餐具4分钟就可以将20℃的食物加热到100℃，此后停止加热，食物温度开始下降．已知食物温度下降过程中食物温度y（单位：℃）与时间x（单位：min）成反比例关系． （1）求食物温度下降过程中y与x的函数关系式．（无需写出自变量x的取值范围） （2）若食物需要从20℃加热到100℃，然后降温到40℃方可食用．问食物从开始加热，到可以食用需要等待多长时间？ 16．（2026•潮阳区一模）跨学科题（数学+物理） 某中学科技小组设计了一款节能小车，其动力由可充电电池提供．实验数据显示，小车行驶时的耗电量与速度成反比．当速度为v＝10米/秒时，电池每小时耗电量为E＝2度． （1）求耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式； （2）为确保小车在科技展上连续行驶至少t0＝4小时，科技小组需将速度调整为v0，此时每小时耗电量降至E0．已知调整后的耗电量E0满足分式方程：．结合第（1）问的函数关系，求调整后的速度v0（米/秒）． 17．（2026•辽宁一模）【问题背景】 大连东港音乐喷泉是一座集音乐喷泉、水舞和灯光秀于一体的城市景观，是集机电一体、智能控制、水雾嬉戏、夜间光影于一身的现代化喷泉．喷泉以大海为背景，与璀璨夺目的国际会议中心遥相呼应、互为映衬，显示出海的风采、潮的韵律．定时喷放的音乐喷泉每天都会吸引大量市民前往观看．图1是音乐喷泉中常见的一组图形，它的每一条水流都可以看成是抛物线的一部分，这些抛物线都满足以下两点特征：1．它们都经过同一点；2．它们都在某一抛物线的内部，且分别与该抛物线有且仅有一个交点，我们把这条抛物线叫作以上各水流所在抛物线的“包络线”． 【模型建立】 我们以水流所在抛物线都经过的点为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，已知“包络线”的解析式满足：，水平面是直线y＝m，与“包络线”交于A，B两点（点A在点B的左侧），其中一条水流所在抛物线y1经过点B． 【解决问题】 （1）当a＝1，时， ①AB＝　 　 ； ②求抛物线y1的解析式． （2）若抛物线y2的顶点坐标为（1，1），求“包络线”的解析式． 18．（2026•许昌二模）某校春季趣味运动会上，“默契抛接球”项目正在热烈进行中．数学兴趣小组借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，1个单位长度代表1米．小诺在点A（6，1）处将球（看成点）抛出，其运动路线为抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2的一部分，小哲恰好在点B（0，c）处接住，随后跳起将球回抛，其运动路线为抛物线C2：的一部分． （1）a＝　 　 ，c＝　 　 ． （2）当n＝4时，求小哲将球回抛过程中球离地面的最大高度． （3）若小诺发现在x轴上方1米的高度上，且到点A水平距离不超过1米的范围内可以接住球，请直接写出符合条件的n的取值范围． 一、选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A C C B B 一、选择题（共6小题） 1．【答案】C 【分析】当x＝0时，y2＝150，求出点B的坐标，进而求出y1＝kx的解析式，联立y2＝﹣4x+150与y1＝kx，求出点P的坐标即可得到答案． 【解答】解：当x＝0时，y2＝150， ∴点B的坐标为（0，150）， 由题意知点A的坐标为（25，150）， 设y1＝kx（k≠0）， 将（25，150）代入y1＝kx得150＝25k， ∴k＝6， ∴y1＝6x， ∴线段OA对应的函数表达式为：y1＝6x， 由题意可知， 则6x＝﹣4x+150， 解得：x＝15， ∴6x＝90， ∴点P的坐标为（15，90）， ∴则在第15秒时1号和2号无人机在同一高度为90m， 故选：C． 2．【答案】A 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：①甲先出发2分钟，走了100米， 所以速度：v甲＝100＝50米/分， 故结论①正确； ②甲在t＝7分钟时被追上，乙是t＝2分钟出发的， 所以用时：7﹣2＝5 分钟， 结论②正确； ③乙5分钟追上甲，此时甲走了7×50＝350米， 所以乙的速度：米/分， 结论③正确； ④乙到达终点时，甲离终点距离是：1200﹣（2）×50＝242（米）， 故④不正确， 最终结论正确的结论是：①②③， 故选：A． 3．【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质逐项分析即可． 【解答】解：∵容器内气体的压强p（kPa）是气体体积V（mL）的反比例函数， ∴设， 将点（20，300）代入反比例函数的解析式可得，解得k＝6000， ∴， 当V＝15mL时，，故A正确，不符合题意； ∵k＝6000＞0， ∴p随V的增大而减小， 观察图象可知，当气体体积V大于20mL时，压强p小于300kPa，故B正确，不符合题意； 当V＝30mL时，， 当气体体积增加10mL时，即V＝40时，， 200﹣150＝50≠100，故C错误，符合题意； ∵p随V的增大而减小，当V＝15mL时，p＝400kPa；当V＝60mL时，， ∴当15mL＜V＜60mL时，压强p的变化范围为100kPa＜p＜400kPa，故D正确，不符合题意， 故选：C． 4．【答案】C 【分析】先计算出p关于V的函数解析式，然后将p＝75和p＝100代入解析式求出相应的V的值，再作差即可． 【解答】解：设p， ∵点（100，60）在该函数图象上， ∴60， 解得k＝6000， ∴p， 当p＝75时，V80，当p＝100时，V60， 80﹣60＝20， 即若压强由75kpa加压到100kpa，则气体体积压缩了20ml， 故选：C． 5．【答案】B 【分析】先根据图象可得，t＝2和t＝4时，h＝8，即可求解对称轴，即可判断A；再将点（2，8），（4，8）代入h＝at2+bt求解抛物线表达式，继而进行判断B、C、D． 【解答】解：由图象可得，t＝2和t＝4时，h＝8， ∴对称轴为直线t3，故A错误，不符合题意； 将点（2，8），（4，8）代入h＝at2+bt，则， 解得， ∴抛物线表达式为h＝﹣t2+6t， ∵﹣1＜0， ∴当t＝3时，hmax＝﹣9+18＝9（m），故B正确，符合题意； 当t＝1时，h＝﹣1+6＝5（m），故C错误，不符合题意； 当h＝0时，则﹣t2+6t＝0，解得t＝6或t＝0， ∴该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是6s，故D错误，不符合题意， 故选：B． 6．【答案】B 【分析】已知顶点坐标为（4，3.6），设成顶点式y＝a（x﹣4）2+3.6，将（0，2）代入求出a的值，即可求出函数表达式，再求出y＝0时x的值，即D点的坐标，则可知OD的长． 【解答】解：设行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y＝a（x﹣4）2+3.6， 将（0，2）代入得：16a+3.6＝2， 解得：a＝﹣0.1， ∴y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6＝﹣0.1x2+0.8x+2， 当y＝0时，﹣0.1x2+0.8x+2＝0， 解得：x1＝10，x2＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴D点的坐标为（10，0）， ∴OD的长为10， ∴该男生此次掷实心球的成绩是10米， 故选：B． 二、填空题（共6小题） 7．【答案】1． 【分析】由图象可知，乙车出发0.5小时后，甲车开始出发，根据乙车0.5小时行驶了30千米，求出乙车的速度，进而求出乙车到达A地所用的时间，进而求出甲车到达B地所用时间，求出甲车的速度，根据a小时，两车相遇，进行求解即可． 【解答】解：由图象可得，乙车的速度为：30÷0.5＝60（千米/小时）； ∴乙车到达A地所用时间为（小时）， ∴乙车先到达A地， ∴甲车从A地到B地所用时间为1.75﹣0.5＝1.25（小时）， ∴甲车的速度为100÷1.25＝80（千米/小时）， ∴60a+80（a﹣0.5）＝100，解得a＝1； 故答案为：1． 8．【答案】4或． 【分析】根据图象中的数据可以计算出A车和B车的速度，然后计算出它们相遇时用的时间，即可计算出C车行驶多长与B车相距200km． 【解答】解：由图象可得， A车的速度为：1500÷10＝150（km/h）， B车的速度为：1500÷20＝75（km/h）， 两车相遇时所用的时间为：1500÷（150+75）（h）， 设C车行驶mh与B车相距200km， B车和C车相遇之前，75（m）﹣150m＝200，得m＝4； B车和C车相遇之后且C车未达到甲地，150m﹣75（m）＝200，得m； 故答案为：4或． 9．【答案】500 【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把S＝0.2代入，问题得解． 【解答】解：设反比例函数的解析式为p（k≠）， 由函数图象得反比例函数经过点（0.1，1000）， ∴k＝0.1×1000＝100， ∴反比例函数的解析式为p， 当S＝0.2时，p500． 故答案为：500． 10．【答案】80． 【分析】首先根据题意，可得视野角度f（度）与车速v（km/h）成反比例函数关系，用待定系数法可得反比例函数的关系式；代入进一步求解可得答案． 【解答】解：根据题意：设视野角度f（度）与车速v（km/h）的函数关系式为， 由条件可得：， 解得：k＝4000， ∴视野角度f（度）与车速v（km/h）的函数关系式为， 当v＝50时，． 故答案为：80． 11．【答案】②③． 【分析】把x＝0代入函数表达式中进行计算，即可判断①；把x＝4代入函数表达式中进行计算，即可判断②；把y＝0代入函数表达式中进行计算，即可判断③． 【解答】解：∵， ∴当x＝0时，y， ∴该男生推铅球出手时，铅球的高度为m， 故①不正确； 当x＝4时，y1643， ∴铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为3m， 故②不正确； 当y＝0时，x2x0， 解得：x1＝10，x2＝﹣2（舍去）， ∴铅球落地时的水平距离为10m， 故③正确； 所以，上列结论，正确结论的序号是②③， 故答案为：②③． 12．【答案】a． 【分析】依据题意，抛物线的顶点在直线y＝3x上可得b的值，根据喷出的抛物线水线不能到岸边，而出水口离岸边15m可知其对称轴，可得a的范围． 【解答】解：由题意，∵y＝ax2+bx的顶点为（，），抛物线的顶点在直线y＝3x上， ∴3． ∴b＝6． ∵喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边15m， ∴，即：． ∴a． 故答案为：a． 三、解答题（共6小题） 13．【答案】（1）3，24； （2）y＝﹣0.5+20； （3）当x为44时，它们距离地面还有2米． 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，先计算出b的值，再计算a的值即可； （2）根据函数图象中的数据，可以计算出线段MN所在直线的函数表达式； （3）先计算出两架无人机在下降返回地面的过程中的速度，然后即可得到x的值． 【解答】解：（1）由图象可得， b＝16（30﹣24）＝24， a＝24÷8＝3， 故答案为：3，24； （2）设线段MN所在直线的函数表达式为y＝kx+n， ∵点（0，20），（8，16）在该直线上， ∴， 解得， 即线段MN所在直线的函数表达式为y＝﹣0.5+20； （3）由图象可得， 两架无人机在下降返回地面的过程中的速度为：24÷（46﹣30）＝1.5（米/秒）， 它们距离地面还有2米时对应的x的值为：46﹣2÷1.5＝44， 即当x为44时，它们距离地面还有2米． 14．【答案】（1）0.7；25； （2）y＝0.7x﹣3.5； （3）补给车队出发10或后，与小宁的距离为7km． 【分析】（1）依据题意，结合图象可得，补给车队的速度＝14÷20＝0.7（km/min）；又补给车队出发10min后，志愿者小宁出发，可得a＝10，则20﹣10＝10，从而b＝35﹣10＝25，进而得解； （2）依据题意，设线段BC所在直线的函数表达式为y＝kx+m，又由题意得，k＝0.7，则y＝0.7x+m，结合图象过点B（25，14），进而计算可以得解； （3）依据题意，分当0＜x≤20时和当x＞25时两种情形讨论计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，结合图象可得，补给车队的速度＝14÷20＝0.7（km/min）； ∵补给车队出发10min后，志愿者小宁出发， ∴a＝10，则20﹣10＝10． ∴b＝35﹣10＝25． 故答案为：0.7；25； （2）设线段BC所在直线的函数表达式为y＝kx+m， 由题意得，k＝0.7， ∴y＝0.7x+m， ∵图象过点B（25，14）， ∴17.5+m＝14． ∴m＝﹣3.5． ∴函数表达式为y＝0.7x﹣3.5； （3）①当0＜x≤20时， ∵补给车队的速度为0.7km/min， ∴10min时补给车队的路程为7km，此时刚好小宁出发，符合题意； ②当x＞25时， ∵B（25，14），D（35，0）， ∴yBD＝﹣1.4x+49． 由（2）得yBC＝0.7x﹣3.5， ∴令0.7x﹣3.5﹣（﹣1.4x+49）＝7，则． 答：补给车队出发10或后，与小宁的距离为7km． 15．【答案】（1）； （2）10min． 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出y＝40时的自变量的值，即可得出结果． 【解答】解：（1）食物温度下降过程中y与x成反比例关系，设． ∵反比例函数的图象过点（4，100）， ∴，解得k＝400， ∴． （2）若食物需要从20℃加热到100℃，然后降温到40℃方可食用． 令y＝40，得， 解得x＝10． 答：食物从餐具开始加热，到可以食用需要等待10min． 16．【答案】（1）； （2）米/秒． 【分析】（1）设函数关系式为，再代入v＝10，E＝2求出k的值即可求解； （2）解分式方程求出E0的值，由（1）得，再代入E0的值，即可求出v0的值． 【解答】解：（1）设函数关系式为， 代入v＝10，E＝2得，， 解得k＝20， ∴； （2）∵， ∴， 解得， 由（1）得，， 代入，得， 解得， ∴调整后的速度v0为米/秒． 17．【答案】（1）①；②； （2）． 【分析】（1）①将a＝1代入，再令，求出点A与点B得坐标，从而求出AB得值； ②容易判断抛物线y1经过原点，故设y＝tx2+dx，将点代入，得，则．联立两个抛物线可得（84t+42）x2+（13﹣72t）x﹣42＝0，根据题意，只有一个交点，则Δ＝0，解得，从而得出抛物线y1的解析式； （2）根据抛物线y2顶点坐标（1，1），过点（0，0）求出解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1，联立两条抛物线可得，由Δ＝0，解得，从而得出“包络线”的解析式． 【解答】解：（1）①a＝1，则， 由条件可得： ， 解得， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴； 故答案为：； ②由图可设抛物线y1的解析式为y＝tx2+dx， 由条件可得： ， ∴， ∴抛物线y1的解析式为， 联立抛物线y1与抛物线y，并消去y得： ， 整理得（84t+42）x2+（13﹣72t）x﹣42＝0， ∵两条抛物线有且仅有一个交点， ∴Δ＝（13﹣72t）2﹣4（84t+42）×（﹣42）＝0， 整理得5184t2+12240t+7225＝0， 因式分解得（72t+85）2＝0， 解得， ∴， ∴抛物线y1的解析式为； （2）设抛物线y2的解析式为y＝k（x﹣1）2+1， 由条件可得：0＝k+1， 解得k＝﹣1， ∴抛物线y2的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1， 联立抛物线y2与抛物线y，并消去y得： ， 整理，得， ∵两条抛物线有且仅有一个交点， ∴， 解得， ∴“包络线”的解析式为． 18．【答案】（1），1； （2）小哲将球回抛过程中球离地面的最大高度为米； （3）符合条件的n的整数值为4和5． 【分析】（1）点A（6，1）在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令x＝0，即可求得c的值； （2）利用二次函数的性质求解即可； （3）求得点A的坐标范围为（5，1）到（7，1），求得n的取值范围，即可求解． 【解答】解：（1）由条件可得1＝a（6﹣3）2+2，解得：， ∴抛物线C1的解析式为， 令x＝0，则； 故答案为：，1； （2）∵n＝4，c＝1， ∴抛物线C2： ， ∵， ∴当x＝2时，y有最大值，最大值为， ∴小哲将球回抛过程中球离地面的最大高度为米； （3）∵到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到球， ∴点A的坐标范围为（5，1）到（7，1）， 当经过（5，1）时，， 解得； 当经过（7，1）时，， 解得， ∴， ∴符合条件的n的整数值为4和5． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $