精品解析：广东深圳市南山区深圳湾学校2025-2026学年第二学期第二次模拟测试九年级数学学科试题

深圳湾学校2025-2026学年度第二学期第二次模拟测试 九年级数学学科试题 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和座位号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上． 2．全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分．每小题有四个选项，其中只有一个是正确的．） 1. 马年春晚，机器人表演的节目《武》刷屏海内外．若人形机器人向前进行次空翻记作，则人形机器人向后进行次空翻记作（） A. B. C. D. 2. 中国传统纹样作为华夏文明的重要组成部分，是民族历史与祥瑞文化脉络赓续传承的生动体现．下列纹样是中心对称图形的是（ ） A. 如意云纹 B. 涡旋云纹 C. 四瓣结纹 D. 回字纹 3. 下列运算结果是的是（ ） A. B. C. D. 4. 一组数据：13，14，14，16，18，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 15，15 B. 15，14 C. 14，15 D. 14，14 5. 如图1是化学实验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图，如图2是其简化示意图．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，．以的中点O为圆心，长为半径作，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 地理老师介绍道：长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，小东根据地理老师的介绍，设长江长为x千米，黄河长为y千米，然后通过列、解二元一次方程组，正确的求出了长江和黄河的长度，那么小东列的方程组可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，E是边的中点，交于点F，连接，G是边上的中点，连接．已知， 则（ ） A. B. C. 2 D. 第二部分 （非选择题，共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共计15分） 9. 《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．某中学打算从这三部名著中选择两部作为校本课程的学习内容，恰好选中《九章算术》的概率为______． 10. 化简：__________． 11. 将直线沿y轴向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第三象限，则m的值可以是__________（写出一个即可）． 12. 如图，在平面直角坐标系中，等边和菱形的边、都在x轴上，反比例函数的图象经过点C．已知的面积为，则k的值为________． 13. 如图，为矩形的对角线，将绕点逆时针旋转得到，当点落在对角线上时，且，则的值为__________． 三、解答题（共7小题，共61分，其中第14小题6分，第15小题7分，第16小题8分，第17小题8分，第18题10分，第19题10分，第20题12分） 14. 计算：． 15. 下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应任务． 解∶去分母得∶，……第一步 去括号得∶，……第二步 移项得∶，……第三步 合并得∶，……第四步 系数化为1得：…第五步 任务一：以上解题过程中，第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． 任务二：请直接写出该不等式的正确解集： ． 任务三：请按小明解不等式的步骤解不等式： 16. 为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷（1人只能投1票），共有休闲设施、儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了人，其调查结果如下：如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2），请根据统计图回答下面的问题： （1）调查总人数______人，在扇形统计图中“健身”这一项所对应的圆心角度数为______． （2）请补充条形统计图； （3）若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？ （4）改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果（分数）如下： 项目 小区 休闲 儿童 娱乐 健身 甲 7 7 9 8 乙 8 8 7 9 若以进行考核，______小区满意度（分数）更高； 若以进行考核，______小区满意度（分数）更高． 17. 如图，为了测量一个小树林的宽度，数学兴趣小组利用无人机进行辅助测量，在小树林边缘的A点，观测悬停在C处的无人机，此时在A处测得C的仰角为，无人机的飞行高度为；操控无人机的同学让无人机垂直上升悬停在D处，此时在B处测得D的仰角为．若点A，B，C，D在同一平面内，求小树林的宽的值．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 18. 在矩形中，E是上一点，且； （1）尺规作图：作，使点O在对角线上，且经过E、D两点．（保留作图痕迹，标出点O，不写作法） （2）如图2，求证：为的切线； （3）若，求的半径． 19. 综合与实践 【问题背景】 短视频已成为人们获取信息的重要方式，某数学兴趣小组在开展“数据中的函数”项目式学习时，对某短视频平台的完播率进行了研究．完播率是指完整观看视频的人数比例，是衡量视频质量的重要指标．该小组希望探究视频时长与完播率之间的关系，为创作者优化视频长度提供参考． 【模型构建】 小组从平台数据库中随机选取质量接近的同一类视频，统计得到以下三组数据． 视频时长x（秒） 完播率y 20 0.8 30 0.9 40 0.8 小组发现，在视频质量接近的同类视频中，完播率y与视频时长x之间近似满足二次函数关系． （1）通过数据分析，视频时长为__________秒时，完播率最高为__________，并写出该二次函数的表达式__________； 【模型应用】 （2）平台为了优化推荐算法，规定：完播率低于0.5的视频将减少推荐权重，请求出完播率恰好为0.5时的视频时长． （3）平台发现，另一类质量相近视频的完播率y与视频时长x也满足二次函数关系，该小组经调研发现，该类视频的完播率在时长为30秒时达到最大值m，同时当视频时长为10秒时，完播率为0.4．若平台希望该类视频时长在25秒到40秒内（即）的完播率都不低于0.6，求m的取值范围． 【总结反思】 函数可以刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性．未来可结合更多变量（如视频内容类型、用户活跃时段等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 20. 综合与探究： 【探索发现】如图，可以用两个含的直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个直角三角形，那么我们称这个四边形为双垂四边形．如图，在四边形中，，此时四边形是双垂四边形． 【问题解决】 在中，，，，分别为线段上一点， （1）如图，若平分，，求证：四边形是双垂四边形； （2）如图，若，四边形是双垂四边形，，连接，求的长； 【拓展应用】 （3）如图，在中，，，为线段中点，为线段上一点，四边形是双垂四边形，将沿翻折到处，连接，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳湾学校2025-2026学年度第二学期第二次模拟测试 九年级数学学科试题 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和座位号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上． 2．全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分（选择题，共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分．每小题有四个选项，其中只有一个是正确的．） 1. 马年春晚，机器人表演的节目《武》刷屏海内外．若人形机器人向前进行次空翻记作，则人形机器人向后进行次空翻记作（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，用正负数可以表示一对相反意义的量，已知一个方向记为正，相反方向就记为负，直接得出结论即可． 【详解】解：∵向前进行次空翻记作，即规定向前为正方向，向后与向前是相反意义的量， ∴向后进行次空翻记作． 2. 中国传统纹样作为华夏文明的重要组成部分，是民族历史与祥瑞文化脉络赓续传承的生动体现．下列纹样是中心对称图形的是（ ） A. 如意云纹 B. 涡旋云纹 C. 四瓣结纹 D. 回字纹 【答案】C 【解析】 【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，故不符合题意； C、该图形是中心对称图形，故符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故不符合题意． 3. 下列运算结果是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式和单项式除以单项式的法则逐一进行计算即可. 【详解】解：A、； B、； C、； D、. 4. 一组数据：13，14，14，16，18，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 15，15 B. 15，14 C. 14，15 D. 14，14 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵这组数据中，14出现的次数最多，共2次，其余数均只出现1次， ∴众数为14， 原数据已经从小到大排列为：13，14，14，16，18， ∵数据个数为5，是奇数，中位数为排序后最中间的数， ∴中位数为14，因此这组数据的中位数和众数分别是14，14． 5. 如图1是化学实验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图，如图2是其简化示意图．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了四边形内角和定理，根据垂线的定义得到，再根据四边形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 如图，在矩形中，．以的中点O为圆心，长为半径作，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设半圆交于点，连接，过点作于点，证明四边形为矩形，进而通过得到，推出，即可求解． 【详解】解：如图，设半圆交于点，连接，过点作于点， ∵四边形是矩形， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， ， 同理可得， ， ． 7. 地理老师介绍道：长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，小东根据地理老师的介绍，设长江长为x千米，黄河长为y千米，然后通过列、解二元一次方程组，正确的求出了长江和黄河的长度，那么小东列的方程组可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，熟练掌握根据等量关系列二元一次方程组是解题的关键．根据题目中长江与黄河长度的关系，分别列出两个方程，组成方程组，再与选项对比． 【详解】解：由题意得 ． 故选：D． 8. 如图，在正方形中，E是边的中点，交于点F，连接，G是边上的中点，连接．已知， 则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用正方形的性质和相似三角形判定与性质求出  的长，进而利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出结果即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， E是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵G是边的中点， ． 第二部分 （非选择题，共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共计15分） 9. 《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．某中学打算从这三部名著中选择两部作为校本课程的学习内容，恰好选中《九章算术》的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用列举法求概率即可. 【详解】解：用A，B，C分别表示《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》三部名著，任意选择两部共有3种等可能的结果，其中满足题意的结果有2种， 故恰好选中《九章算术》的概率为. 10. 化简：__________． 【答案】## 【解析】 【详解】解： ． 11. 将直线沿y轴向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第三象限，则m的值可以是__________（写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一，即可） 【解析】 【分析】根据一次函数图象平移的“上加下减”法则，得到平移后直线的解析式，再根据直线经过第一、二、三象限的条件，得到的取值范围，写出一个符合条件的值即可． 【详解】解：将直线沿轴向上平移个单位长度，根据平移法则得平移后解析式为： ∵直线，， ∴直线恒过第一、第三象限，若要经过第二象限，需直线与y轴交点的纵坐标大于， 即： 解得 则的值可以是． 12. 如图，在平面直角坐标系中，等边和菱形的边、都在x轴上，反比例函数的图象经过点C．已知的面积为，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义、菱形的性质、等边三角形的性质，连接，根据等边三角形及菱形得到是菱形，结合反比例函数k的几何意义列式求解即可得到答案； 【详解】解：连接， ， ∵等边和菱形的边、都在x轴上， ∴，，轴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，为矩形的对角线，将绕点逆时针旋转得到，当点落在对角线上时，且，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查图形旋转的性质、相似三角形的判定及性质，过点作的平行线，交于点，设，，，根据图形旋转的性质可知，，，则，，根据，求得，根据，求得，结合，即可求得答案． 【详解】解：过点作的平行线，交于点，设，，． 根据图形旋转的性质可知，，． 则，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为： 三、解答题（共7小题，共61分，其中第14小题6分，第15小题7分，第16小题8分，第17小题8分，第18题10分，第19题10分，第20题12分） 14. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】利用负指数幂、零指数幂、绝对值和特殊三角函数求每部分的值，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 15. 下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应任务． 解∶去分母得∶，……第一步 去括号得∶，……第二步 移项得∶，……第三步 合并得∶，……第四步 系数化为1得：…第五步 任务一：以上解题过程中，第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． 任务二：请直接写出该不等式的正确解集： ． 任务三：请按小明解不等式的步骤解不等式： 【答案】任务一：五，不等式两边同时除以，没有改变不等号的方向；任务二：；任务三：． 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． 任务一：观察解不等式的步骤，找出出错的步骤，分析其原因即可； 任务二：写出不等式正确解集即可； 任务三：写出一条建议，符合题意即可． 【详解】解：任务一： 以上解题过程中，第五步开始出现错误，这一步错误的原因是，不等式的两边同除以时，没有改变不等号的方向； 故答案为：五，不等式的两边同除以时，没有改变不等号的方向； 任务二： 不等式的正确解集为； 故答案为：； 任务三： 去分母得∶， 去括号得∶， 移项得∶， 合并得∶， 系数化为1得：． 16. 为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷（1人只能投1票），共有休闲设施、儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了人，其调查结果如下：如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图（图1）和条形统计图（图2），请根据统计图回答下面的问题： （1）调查总人数______人，在扇形统计图中“健身”这一项所对应的圆心角度数为______． （2）请补充条形统计图； （3）若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？ （4）改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果（分数）如下： 项目 小区 休闲 儿童 娱乐 健身 甲 7 7 9 8 乙 8 8 7 9 若以进行考核，______小区满意度（分数）更高； 若以进行考核，______小区满意度（分数）更高． 【答案】（1）①100；② （2）见解析 （3）该城区10万名居民中愿意改造“娱乐设施”的约有人 （4）乙；甲 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图中健身的人数40人和扇形统计图中健身占比，用部分量除以对应百分比即可求出调查总人数；再用健身人数占总人数的比例乘以，即可计算出健身项目对应的圆心角度数； （2）用调查总人数依次减去休闲、儿童、健身的人数，求出选择娱乐设施的人数，然后在条形统计图中画出对应高度的直条，补全统计图即可； （3）先求出样本中愿意改造娱乐设施的人数占总调查人数的比例，再用该城区的总居民数乘以这个样本比例，即可估算出全城区愿意改造娱乐设施的人数； （4）先根据给定的两种不同权重比例，分别计算甲、乙两个小区的满意度平均分，第一种的权重直接计算算术平均数，第二种的权重按对应比例计算加权平均数，然后比较两个小区的平均分大小，即可得出哪个小区满意度更高． 【小问1详解】 解：①由题意得，； ②样本中“健身”的人数40人， “健身”所占的圆心角的度数为：； 【小问2详解】 解：样本中“娱乐”的人数（人），补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：（人）， 答：该城区10万名居民中愿意改造“娱乐设施”的约有人； 【小问4详解】 解：按照进行考核： 甲：（分）， 乙：（分）， ∵， ∴乙小区满意度（分数）更高； 按照进行考核： 甲：（分）， （分）， ∵， ∴甲小区满意度（分数）更高． 17. 如图，为了测量一个小树林的宽度，数学兴趣小组利用无人机进行辅助测量，在小树林边缘的A点，观测悬停在C处的无人机，此时在A处测得C的仰角为，无人机的飞行高度为；操控无人机的同学让无人机垂直上升悬停在D处，此时在B处测得D的仰角为．若点A，B，C，D在同一平面内，求小树林的宽的值．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】小树林的宽约为 【解析】 【分析】延长交延长线于点E．在中，根据求出，在中，根据，求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如答图，延长交延长线于点E． ∴． 由题意知，在中，，， ∵， ∴． 在中，，， ∵， ∴． ∴． 答：小树林的宽约为． 18. 在矩形中，E是上一点，且； （1）尺规作图：作，使点O在对角线上，且经过E、D两点．（保留作图痕迹，标出点O，不写作法） （2）如图2，求证：为的切线； （3）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作的中垂线，交于点，再以为圆心，的长为半径画圆即可； （2）连接，根据矩形的性质，等边对等角，推出，即可得证； （3）过O作，根据，设，则，勾股定理求出的值，进而得到，根据，得到，求出的长，进而求出的长，得到的长，再解即可. 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求． 【小问2详解】 证明：连接， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 为的切线； 【小问3详解】 解：过O作，则， 在中，， 设，则， ， 由勾股定理得， 解得：（舍去）， 由（2）得，， 在中，， ， ， ， ， ； 在中，， ， ； 由勾股定理得：； 的半径为. 19. 综合与实践 【问题背景】 短视频已成为人们获取信息的重要方式，某数学兴趣小组在开展“数据中的函数”项目式学习时，对某短视频平台的完播率进行了研究．完播率是指完整观看视频的人数比例，是衡量视频质量的重要指标．该小组希望探究视频时长与完播率之间的关系，为创作者优化视频长度提供参考． 【模型构建】 小组从平台数据库中随机选取质量接近的同一类视频，统计得到以下三组数据． 视频时长x（秒） 完播率y 20 0.8 30 0.9 40 0.8 小组发现，在视频质量接近的同类视频中，完播率y与视频时长x之间近似满足二次函数关系． （1）通过数据分析，视频时长为__________秒时，完播率最高为__________，并写出该二次函数的表达式__________； 【模型应用】 （2）平台为了优化推荐算法，规定：完播率低于0.5的视频将减少推荐权重，请求出完播率恰好为0.5时的视频时长． （3）平台发现，另一类质量相近视频的完播率y与视频时长x也满足二次函数关系，该小组经调研发现，该类视频的完播率在时长为30秒时达到最大值m，同时当视频时长为10秒时，完播率为0.4．若平台希望该类视频时长在25秒到40秒内（即）的完播率都不低于0.6，求m的取值范围． 【总结反思】 函数可以刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性．未来可结合更多变量（如视频内容类型、用户活跃时段等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【答案】（1）30；0.9； （2）10秒或者50秒 （3）m的取值范围是 【解析】 【分析】（1）先利用两组相同函数值确定二次函数对称轴，得出顶点坐标，设顶点式解析式，代入已知点求出系数，进而得到函数表达式． （2）把代入已求二次函数解析式，解一元二次方程，求出对应的自变量取值，即为对应视频时长． （3）根据最大值位置设出开口向下的顶点式函数，代入已知点用m表示出a；结合自变量区间与对称轴距离远近，判断区间内函数最小值位置；根据完播率要求列出不等式求解，结合取值范围确定m最终范围． 【小问1详解】 解： 当与时，函数值相等， 该二次函数图象的对称轴为直线． 当时，完播率取得最大值． 设二次函数解析式为， 把点代入解析式， ， ， ． 二次函数表达式为． 【小问2详解】 解：把代入， ， ， ， ， 解得，． 答：完播率恰好为时，视频时长为10秒或50秒． 【小问3详解】 解： 该二次函数在时取得最大值， 抛物线开口向下，设解析式为． 把，代入解析式， ， ， ． ， ， ， ． 抛物线对称轴为直线，开口向下， 在自变量取值范围内，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小． ，， 在范围内，对应的函数值最小． 依据题意可得：当时，． 把代入解析式得： ， ． 将代入不等式， ， ， ． 又， 综上：m的取值范围是 20. 综合与探究： 【探索发现】如图，可以用两个含的直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个直角三角形，那么我们称这个四边形为双垂四边形．如图，在四边形中，，此时四边形是双垂四边形． 【问题解决】 在中，，，，分别为线段上一点， （1）如图，若平分，，求证：四边形是双垂四边形； （2）如图，若，四边形是双垂四边形，，连接，求的长； 【拓展应用】 （3）如图，在中，，，为线段中点，为线段上一点，四边形是双垂四边形，将沿翻折到处，连接，请直接写出的长度． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）或或． 【解析】 【分析】（）由勾股定理得，所以，则，证明，所以，然后通过双垂四边形即可求证； （）过点作于点，求得，又，所以，通过勾股定理求得，证明，所以，再得到，，，最后通过勾股定理即可求解； （）分当时，当时，当时三种情况求解即可． 【小问1详解】 证明：在中，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是双垂四边形； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当时，过作于点，过作于点，则， 在中，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵为线段中点， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，解得：， ∴，，， ∴， 由折叠性质可知：，， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，过作于点，延长交延长线于点，则， 由上得，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 由折叠性质可知，，，，， 设，，则， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得： ∴，解得：或（舍去）， ∴，，， ∵， ∴， 设，， 由勾股定理得： ∴，解得：， ∴，， ∴， ∴； 如图，当时，过作于点，过作于点，则，由上得，，，，， 此时为中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， 由折叠性质可知，， 同理得， 在中，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 综上可得：的长为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $