精品解析：广东省深圳市南实南山实验教育集团2024-2025学年九年级下学期第二次学业质量监测数学试卷（二模）

深圳市南山实验教育集团2024-2025学年初三年级 第二次学业质量监测 数学 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共8页，共20题．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 近年来，随着环保意识的提升，越来越多的消费者选择购买新能源汽车，以实现更加节能的出行方式．下列四款图案为新能源汽车的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 北斗卫星导航系统是我国自主研发的一款导航系统，北斗卫星导航系统服务性能优异，提供定位导航时授时精度最高可达秒．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，， 为的中位线，连接 ．若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 《算法统宗》是我国明代数学家程大位（1533-1606）所著，文中记录了“二果问价”问题：四百五十文钱，甜果苦果买四百八．苦果七个四文钱，甜果九个十一文，苦甜果各几何？设苦果有 个，甜果有 个，则可列二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点E为边上一点，连结 交对角线于点G．若，，则 的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 7. 下列说法正确的是（ ） A. 连接两点之间的线段，叫做两点间的距离 B. 一元二次方程的根为 C. D. 若两个图形关于某条直线对称，则对称点的连线互相平行或在同一条直线上 8. 如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离 （千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，下列结论正确的有（ ） ①两城相距600千米； ②乙车比甲车晚出发2小时，却早到2小时； ③乙车出发后5小时追上甲车； ④甲乙两车相距50千米时，或． A. 3个 B. 4个 C. 2个 D. 1个 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：a3－a=______． 10. 如图，这是4张背面相同的卡片，卡片正面印有不同的生活现象图案，现将所有卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取1张，则这1张卡片的正面图案恰好是物理变化的概率是________． 11. “湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，是深圳的地标性建筑之一，如图①，A，B表示摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点O是圆心，半径为 ，A、B是圆上的两点，，则的长为________．（结果保留） 12. 如图，点A在x轴的正半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B．若B是的中点，的面积为5，则k的值为________． 13. 如图，点是正方形边上的一点，将沿直线翻折得到，连接并延长交的延长线于点 ，连接 、．若 ，，则________． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 以下是小麟同学化简分式的过程，根据他的过程，完成相应的任务． 解：原式 第一步 第二步 第三步 ． 第四步 任务一： 从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； 任务二： 请写出该分式化简的正确过程； 任务三： 当时，请你取合适的整数作为a的值，求出代数式的值． 15. 受2025年春晚节目《秧》的影响，人形机器人跳舞引发一番浪潮．为满足市场需求，某商场准备购入一批人形机器人，现有和两款人形机器人适合．相关调研人员分别随机调查了这两款机器人各10台，记录了它们续航时间x（分钟），并将其分四个等级：不合格，合格，良好，优秀 ，调查结果如下： 款：111，115，112，108，118，122，114，115，105，110； 款： 根据以上信息，解答下列问题： 类别 平均数 中位数 众数 方差 113 113 a 21.8 b c 112 36.6 （1）上表中 ________，________，________； （2）若该商场购买一批款人形机器人500台，请估算这批款人形机器人续航时长的等级为“良好及以上”的台数； （3）根据题中的信息和数据，你认为商场应该选择哪款人形机器人？请说明理由（写出一条理由即可）． 16. 图（1）为深圳某大型商场的自动扶梯，图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿 （）向正前方走了3m，发现日光灯C刚好在他的正上方，已知自动扶梯的坡度为，的长度是13m． （1）求图中B到一楼地面的高度： （2）求日光灯C到一楼地面的高度．（，结果精确到0.1） 17. 综合实践 背景 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利． 素材1 某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等． 素材2 若农业公司共购进20架无人机，A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架． 问题解决 任务1 A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ 任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 18. 如图，为直径， 为上一点，过 作的切线交的延长线于点． （1）尺规作图：过作的垂线，交于点 ，交于点；（保留作图痕迹，标明相应字母，不写作法） （2）若，，求的长． 19. 综合与探究 【定义】对于y关于x的函数，函数在范围内有最大作m和最小值n，则称为函数的极差值，记作． 【示例】对于函数 ，在范围内，当时，该函数取最大值 ；当时，该函数取最小值，即． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）一次函数 的极差值________； （2）已知函数的图象经过以下各点： ①绘图： 列表：下表是x与y的几组对应值，其中________； x … 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … y … q 0 3 4 3 0 5 … 描点：根据表中各组对应值，请在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，下图画出了部分图象，请你把图象补充完整； ②求该函数的的值； ③已知函数和函数是y关于x的函数，并且两个函数的相等．其中函数的图象经过点，请直接写出k的值． 20. 九年级16班某同学针对三角形角平分线进行了如下的研究： （一）探究过程 （1）如图①，在中， 平分 交于点D，该同学得出． 如图②，该同学给出如下证明过程： 方法一： 如图②．过点A作，交延长线于点E． ∵ ∴________① ∵ 平分 ∴ ∴ ∴ ________② ∴ 方法二： 如图③过点D作 于点N， 于点M，过点B作于点E． ∵ 平分 ，且 ， ∴________③ ∴________④ 又∵ ∴ 请完成填空：①________；②________；③________；④________； （二）内化迁移 （2）如图④，点D为的边延长线上一点，连接 ，M为边延长线上一点，当时，判断与的数量关系，并给出证明； （三）问题解决 （3）如图⑤，在矩形中， ，，E为边上一点，G为延长线上一点．Q为矩形内部一动点，连接并延长交于点H，连接，若，平分交于点F，，当时，连接、，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市南山实验教育集团2024-2025学年初三年级 第二次学业质量监测 数学 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共8页，共20题．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 近年来，随着环保意识的提升，越来越多的消费者选择购买新能源汽车，以实现更加节能的出行方式．下列四款图案为新能源汽车的标志，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行判断即可．轴对称图形的关键是找对称轴，中心对称图形的关键是找对称中心． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意； 故选D． 2. 北斗卫星导航系统是我国自主研发的一款导航系统，北斗卫星导航系统服务性能优异，提供定位导航时授时精度最高可达秒．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查开方运算，二次根式的性质，合并同类项，积的乘方运算，根据相关法则和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选C． 4. 如图，在中，， 为的中位线，连接．若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质定理，平行线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件得出为等腰三角形和顶角的度数，再根据三角形中位线的性质得出 和，最后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴为等腰三角形，， ∵ 为的中位线， ，且， ， 故选：C． 5. 《算法统宗》是我国明代数学家程大位（1533-1606）所著，文中记录了“二果问价”问题：四百五十文钱，甜果苦果买四百八．苦果七个四文钱，甜果九个十一文，苦甜果各几何？设苦果有个，甜果有 个，则可列二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一欠方程组，找准数量关系，正确列出二元一次方程组是解答关键． 利用总价＝单价数量，结合“四百五十文钱，甜果苦果买四百八”列出方程组即可求解． 【详解】解： 甜果苦果买个， ． 共花费 文钱，苦果七个四文钱，甜果九个十一文， ， 根据题意列出方程组为． 故选：B． 6. 如图，在中，点E为边上一点，连结 交对角线于点G．若，，则 的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质，证明 ，列出比例式，求出的长，进而求出 的长即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ∴ ， ∴， ∴， ∴； 故选C． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 连接两点之间的线段，叫做两点间的距离 B. 一元二次方程的根为 C. D. 若两个图形关于某条直线对称，则对称点的连线互相平行或在同一条直线上 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了两点之间的距离的定义，解一元二次方程，度和分的换算，轴对称图形的性质，连接两点之间的线段的长度，叫做两点间的距离，据此可判断A；利用因式分解法求出方程的解即可判断B；根据度与分之间的进率为60可判断C；根据轴对称图形的性质可判断D． 【详解】解：A、连接两点之间的线段的长度，叫做两点间的距离，原说法错误； B、∵， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程的根为或，原说法错误，不符合题意； C、，原说法错误，不符合题意； D、若两个图形关于某条直线对称，则对称点的连线互相平行或在同一条直线上，原说法正确，符合题意； 故选：D． 8. 如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离 （千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，下列结论正确的有（ ） ①两城相距600千米； ②乙车比甲车晚出发2小时，却早到2小时； ③乙车出发后5小时追上甲车； ④甲乙两车相距50千米时，或． A. 3个 B. 4个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标． 由图象所给数据可求得甲、乙两车离开城的距离 与时间的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为50，可求得可得出答案． 【详解】解：图象可知、两城市之间的距离为，甲行驶的时间为10小时，而乙是在甲出发2小时后出发的，且用时6小时， 即比甲早到2小时，故①②都正确； 设甲车离开城的距离 与的关系式为， 把)代入可求得， ∴， 设乙车离开城的距离 与的关系式为， 把和代入可得 ， 解得， ∴， 令可得：， 解得， 即甲、乙两直线的交点横坐标为， ， 此时乙出发时间为3小时，即乙车出发3小时后追上甲车，故③错误； 由题意可知，乙出发前甲、乙两地相距50千米时， 则， 解得， 乙追上甲前，则 解得 当乙追上甲后，令，， 解得， 当乙到达目的地，甲自己行走时，， ∴综上所述，当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，或或或，故④错误． 综上可知正确的有①②，共2个． 故选：C． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：a3－a=______． 【答案】a（a－1）（a + 1） 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键． 10. 如图，这是4张背面相同的卡片，卡片正面印有不同的生活现象图案，现将所有卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取1张，则这1张卡片的正面图案恰好是物理变化的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式．根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵4张卡片，恰好是物理变化的情况有4种， ∴从中随机抽取1张，则这1张卡片的正面图案恰好是物理变化的概率是：． 故答案为：． 11. “湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，是深圳的地标性建筑之一，如图①，A，B表示摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点O是圆心，半径为 ，A、B是圆上的两点，，则的长为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式，并规范计算是解题的关键．利用弧长公式直接计算即可． 【详解】半径为 ， 的长， 故答案为：． 12. 如图，点A在x轴的正半轴上，点C在反比例函数的图象上，交y轴于点B．若B是的中点，的面积为5，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及全等三角形的判定和性质，理解反比例函数系数k的几何意义是解答的关键． 根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式可得，进而得出，由系数k的几何意义可得答案． 【详解】解：如图，过点C作轴于D， ∴， ∵点B是的中点， ∴ ， 在和中， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 如图，点是正方形边上的一点，将沿直线翻折得到，连接并延长交的延长线于点，连接 、．若 ，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，翻折的性质等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的添加辅助线是解题的关键． 连接，作于点，求得，根据翻折的性质得到，求出，得到，得出，可证明，得到，求出 ，，证明，得到，可证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，作于点， ， 四边形是正方形，， ，，，， 根据翻折的性质得，， ， ，，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 以下是小麟同学化简分式的过程，根据他的过程，完成相应的任务． 解：原式 第一步 第二步 第三步 ． 第四步 任务一： 从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； 任务二： 请写出该分式化简的正确过程； 任务三： 当时，请你取合适的整数作为a的值，求出代数式的值． 【答案】任务一：二；通分时候分子分母没有同时乘以； 任务二：解：原式 ； 任务三：当 时，原式（或当 时，原式） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键． 任务一：根据题目中的解答过程可得出结论； 任务二：利用分式的混合运算的法则解答即可； 任务三：找出合适的a的值，代入计算即可求解． 【详解】解：任务一 从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是通分时候分子分母没有同时乘以； 故答案为：二；通分时候分子分母没有同时乘以； 任务二略 任务三 解：由题得， ∴且， 当且为整数时， 或 ， ①当 时，原式； ②当 时，原式． 15. 受2025年春晚节目《秧》的影响，人形机器人跳舞引发一番浪潮．为满足市场需求，某商场准备购入一批人形机器人，现有和两款人形机器人适合．相关调研人员分别随机调查了这两款机器人各10台，记录了它们续航时间x（分钟），并将其分四个等级：不合格，合格，良好，优秀 ，调查结果如下： 款：111，115，112，108，118，122，114，115，105，110； 款： 根据以上信息，解答下列问题： 类别 平均数 中位数 众数 方差 113 113 a 21.8 b c 112 36.6 （1）上表中 ________， ________， ________； （2）若该商场购买一批款人形机器人500台，请估算这批款人形机器人续航时长的等级为“良好及以上”的台数； （3）根据题中的信息和数据，你认为商场应该选择哪款人形机器人？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）115，113，112 （2）350台 （3）选择款人形机器人， 理由：根据表中的和两款人形机器人的平均数相同，款人形机器人的中位数，众数和方差都优于款人形机器人，因此商场应该选择款人形机器人． 【解析】 【分析】（1）把款和款的各10个数按从小 到大的顺序排列，根据平均数、中位数和众数的确定方法求解即可； （2）用500乘以“良好及以上”的占比，即可求解； （3）根据中位数、众数和方差作决策即可． 【小问1详解】 解：∵款：111，115，112，108，118，122，114，115，105，110， ∴从小到大排列：105，108，110，111，112，114，115，115， 118，122， ∴； ∵款：109，118，102，119，106，112，123，112，112，117， ∴从小到大腓列：102，106，109，112，112，112，117，118，119，123， ∴ ， ∵第5个与第6个数都是112， ∴， 故答案为：115，113，112； 类别 平均数 中位数 众数 方差 113 113 115 21.8 113 112 112 36.6 【小问2详解】 解：（台）， 故这批款人形机器人续航时长的等级为“良好及以上”的约350台； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查统计表，求平均数、中位数数、众数，利用中位数、众数和方差作决策，部分估计总体，解题的关键是掌握相关知识． 16. 图（1）为深圳某大型商场的自动扶梯，图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面示意图．小明站在扶梯起点A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿 （）向正前方走了3m，发现日光灯C刚好在他的正上方，已知自动扶梯的坡度为，的长度是13m． （1）求图中B到一楼地面的高度： （2）求日光灯C到一楼地面的高度．（，结果精确到0.1） 【答案】（1）5m （2）10.4m 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质．解题的关键在于找出线段的数量关系． （1）过点B作于H，设，然后根据坡度的概念结合勾股定理列方程求解； （2）过点C作于F，过点D作于I，交BH于J，由题意可得，四边形、四边形是矩形，，然后利用锐角三角函数解直角三角形． 【小问1详解】 解：过点B作于H 设 ∵的坡度为 ∴ ∴ 在 中，由勾股定理得： 解得： 答：B到一楼地面的高度为5m． 【小问2详解】 解：过点C作于F，过点D作于I，交BH于J，如图所示： 则，四边形、四边形是矩形， ∴，，， 由（1）知 ∴ ∴ 在中，， ∴， ∴ ∴ 答：日光灯C到一楼地面的高度为10.4m． 17. 综合实践 背景 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利． 素材1 某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等． 素材2 若农业公司共购进20架无人机，A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架． 问题解决 任务1 A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ 任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】任务1：A型无人机每小时喷洒8公顷，B型无人机每小时喷洒10公顷；任务2：采购A型无人机10台，B型机10台时总费用最少，最少费用为110万元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一次函数是解题的关键． 任务1，设A型无人机每小时送喷洒x公顷，则B型每小时喷洒公顷，列分式方程求解即可； 任务2，设A型无人机a台，则B型无人机台，总费用为w万元，根据题意得 ，求出；，当 ，（万元），此时B型无人机（台）． 【详解】解：任务1，设A型无人机每小时送喷洒x公顷，则B型每小时喷洒公顷 由题意可得： 解得： 经检验： 是原分式方程的根， 答：A型无人机每小时喷洒8公顷，B型无人机每小时喷洒10公顷． 任务2，设A型无人机a台，则B型无人机台，总费用为w万元， 由题意可知： 解得： ∵ ， ∴w随a的增大而减小， ∴当 ，（万元） 此时B型无人机（台）． 答：采购A型无人机10台，B型机10台时总费用最少，最少费用为110万元． 18. 如图，为直径，为上一点，过作的切线交的延长线于点． （1）尺规作图：过作的垂线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，标明相应字母，不写作法） （2）若，，求的长． 【答案】（1） 如图所示，直线即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线，圆的切线定理，平行线的判定和性质，锐角三角函数比，直径定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并作辅助线． （1）利用过直线外一点作已知直线的垂线的步骤进行求作即可； （2）连接，，利用切线定理和平行线的性质得出 ，结合给出条件得出 ，连接 ，利用直径定理和锐角三角函数比即可求解． 【小问1详解】 解：以为圆心，为半径画弧，交 延长线于一点，分别以这点和点为圆心，大于它们之间距离的为半径，画弧交于一点，过这点与点作直线即可； 【小问2详解】 解：如图，连接，， ∵是的切线， ∴，即 ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在Rt 中，， ∵， ∴ ， ∴ ， 连接 ， ∵是的直径， ∴ ， 在Rt 中，， ∴． 19. 综合与探究 【定义】对于y关于x的函数，函数在范围内有最大作m和最小值n，则称为函数的极差值，记作． 【示例】对于函数 ，在范围内，当时，该函数取最大值；当时，该函数取最小值，即． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）一次函数 的极差值________； （2）已知函数的图象经过以下各点： ①绘图： 列表：下表是x与y的几组对应值，其中________； x … 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … y … q 0 3 4 3 0 5 … 描点：根据表中各组对应值，请在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，下图画出了部分图象，请你把图象补充完整； ②求该函数的的值； ③已知函数和函数是y关于x的函数，并且两个函数的相等．其中函数的图象经过点，请直接写出k的值． 【答案】（1）3 （2）①5， 将代入函数，则， 由表格数据，描点连线绘制函数图象如图： ②5； ③或 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的性质先求出最大值与最小值，作差即可； （2）①将代入函数计算即可求出的值，然后描点连线即可画出图象；②根据图象，得到最大值与最小值，作差即可求解；③利用二次函数与一次函数的性质，求出最大值与最小值，建立关于k的方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数 中， ， ∴y随x的增大而减小， 当，y有最大值为， 当，y有最小值为， 则； 【小问2详解】 解：①略 ②观察函数图象知，函数的最大值为5，最小知为0，则； ③当时，，当时，， 则， ∵抛物线过点，则， ∴， 当时，抛物线的表达式为， ∴抛物线的图象关于对称，且开口向下， 当时，即， 函数在处取得最小值为0，在处取得最大值为， 则，即， 解得或(舍去)； 当时，即， ∵二次函数的顶点， ∴最大值为，在或处取得最小值为0， 则（不符合题意，舍去）； 当时，即， ∵二次函数的顶点， ∴最大值为，在处取得最小值为， 则，即， 解得：（舍去）或（舍去）； 当 时，抛物线的表达式为， ∵， ∴y随x的增大而减小， 当，y有最大值为， 当，y有最小值为， 则， 解得：； 综上，k的值为或． 【点睛】本题为二次函数综合运用，涉及到新定义、函数作图、一次函数与二次函数的图象和性质等，分类求解是解题的关键． 20. 九年级16班某同学针对三角形角平分线进行了如下的研究： （一）探究过程 （1）如图①，在中，平分 交于点D，该同学得出． 如图②，该同学给出如下证明过程： 方法一： 如图②．过点A作，交延长线于点E． ∵ ∴________① ∵平分 ∴ ∴ ∴ ________② ∴ 方法二： 如图③过点D作 于点N， 于点M，过点B作于点E． ∵平分 ，且 ， ∴________③ ∴________④ 又∵ ∴ 请完成填空：①________；②________；③________；④________； （二）内化迁移 （2）如图④，点D为的边延长线上一点，连接，M为边延长线上一点，当时，判断与的数量关系，并给出证明； （三）问题解决 （3）如图⑤，在矩形中， ，，E为边上一点，G为延长线上一点．Q为矩形内部一动点，连接并延长交于点H，连接，若，平分交于点F，，当时，连接、，求的最小值． 【答案】（1）①，②，③，④； （2）， 证明：如图①， 作，交于H， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴， 即平分 ； 证法二：， 理由如下，如图②， 过点D作于点E，于点F， 过点B作于点G， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴ 又∵， ∴ 即平分 ； （3） 【解析】 【分析】（1）方法一：过点A作，交延长线于点E．证明，得到，再证明，即可证明结论成立； 方法二：过点D作 于点N， 于点M，过点B作于点E．利用三角形面积公式即可证明结论成立； （2）对照（1）的方法，即可证明； （3）连接 ，，求得，由（2）的结论求得平分 ，再，推出，据此求解即可． 【详解】（1）解：方法一： 如图②．过点A作，交延长线于点E． ∵ ∴ ∴① ∵平分 ∴ ∴ ∴② ∴； 方法二： 如图③过点D作 于点N， 于点M，过点B作于点E． ∵平分 ，且 ， ∴，③ ∴④ 又∵ ∴； 故答案为：①，②，③，④； （2）略 （3）解：如图③， 连接 ，， ∵四边形是矩形，且 ，， ∴， ∵平分，且， ∴，， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴， 由（2）得 平分 ， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∵， ∴当B、Q、D三点共线时，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，矩形的性质等知识，解决问题的关键是利用证明的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $