精品解析：上海市杨浦区复旦大学附属中学2026届高三下学期5月数学限时模拟数学试题

2026届复旦大学附属中学高考5月限时模拟 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分 考号：____________） 考生注意： 1．本试卷的选择题均为单选题 2．解答题需要写出必要的计算说明过程 3．试卷共6页，请作答在答题纸上 4．请自备科学计算器（卡西欧）并准确填写考号 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 已知集合 ，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别化简集合A（求二次函数的值域）和集合B（解绝对值不等式），再计算两个数集的交集即可. 【详解】由， ， 所以 2. 若直线的一个法向量为，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由直线，知其一个法向量为， 又也是直线的法向量，则，可得. 3. 若复数Z满足：，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】对等式两边同时取模，可得. 4. 不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】转化成分式不等式组，分别求解再取交集. 【详解】由题意得：， 由，化简得 ，解得：； 由，化简 ，解得； 取交集得： 5. 设n为正整数，若的展开式共有7项，则此展开式中含的项的系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二项展开式的项数特征求出的值，再利用通项公式确定含的项对应的参数，进而计算系数。 【详解】二项式的展开式共有项， 由题意展开式共7项，故，解得， 二项式的展开式通项为 ， 化简得， 令 ，解得， 所以含的项的系数为 . 6. 一个正实数，它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等差数列，则这个正实数是__________． 【答案】## 【解析】 【详解】首先排除不符合题意的情况： 1. 若该正实数为整数，则小数部分，此时 成等差数列， 由等差中项性质得 ，解得，不符合正实数要求； 2. 若该正实数小于1，则整数部分，此时 成等差数列， 由等差中项性质得 ，解得，对应数为0，不符合正实数要求； 设该正实数为，其中整数部分，小数部分， 由题意， 依次成等差数列，根据等差中项性质得： 化简得，即，结合 ，得，即， 又，故，代入得， 因此该正实数为. 7. 已知函数 在上有两个最值点，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】结合正弦函数图象，根据题意列不等式计算即可求解. 【详解】因为，所以， 由正弦函数性质可知，要使函数有两个最值点， 则，且，解得且， 所以的取值范围为. 8. 已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将题设的距离关系转化为带绝对值的等式，通过平方消去根号后分类讨论去绝对值，验证后得到完整轨迹方程. 【详解】设动点的坐标为， 由题意得 ， 等式两边平方得： 化简得： 当时，，代入得； 当时，，代入得即. 综上，点的轨迹方程为（）和（）. 9. 已知在中， ，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的平方求模，借助二次函数求最小值，然后可求得角，再由余弦定理求边，由正弦定理求角，再进行向量的数量积运算可求得最小值. 【详解】设，对平方得： ， 由于 , ，所以当时，取到最小值， 即， 因为，所以， 由余弦定理可得：， 取中点为，则 ， 因为为边上任意一点，则的最小值为点到的距离， 再由正弦定理可得：， 所以，即的最小值为. 10. 学生的考试成绩往往与上一门考试的情况有直接联系，某校分析了学生的考试情况，用频率估计概率，得到：学生第一门考好与考差的概率都是，从第二门考试起，若前一门考差，则这一门出现考差、考好的概率分别为，若前一门出现考好，则这一门出现考差、考好的概率分别为，则该校学生某次考试第五门考差的平均概率为__________．（精确到0.001） 【答案】0.474 【解析】 【分析】设第门考差的概率是，则，利用全概率公式求得与的关系，结合等比数列的通项公式求得，令计算即得. 【详解】设“第门考差”， “第门考好”， “第门考差”， ，，，，，， 由全概率公式得 所以，， ，， 所以是等比数列，首项是，公比是， 所以，所以， 所以. 11. 在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与无关，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先将转化为点到两直线距离之和的5倍，根据取值与无关得出距离和与位置无关，再由圆心到直线距离判断圆与直线相离，最后根据直线与圆相切求出的值并确定的取值范围. 【详解】由已知可得所在的圆的方程为， 设， 故可看作点到直线与直线 距离之和的5倍， 因为的取值与无关， 所以这个距离之和与点在圆上的位置无关， 圆心到直线的距离为， 所以圆与直线相离，如图所示，可知直线平移时， 点与直线的距离之和均为直线之间的距离，此时可得圆在两直线之间， 当直线与圆相切时， ，解得（舍去），或，所以. 故答案为： 12. 已知函数有两个极值点，且满足：，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，可得是方程的两不等正根，进而可得，令，则，利用导数可求得的最小值. 【详解】函数的定义域为， 求导得， 因为是函数的极值点，所以是方程的两不等正根， 则有，，， 所以，，即，且有，， 令，则，则， 求导得， 当，，所以在上单调递减， 当，，所以在上单调递增. 所以的最小值为. 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】若对数函数存在，则底数且； 若表示双曲线，则，即， 综上，若两者均存在，则或. 而2在上述区间内， 所以是对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件. 14. 圆锥的底面半径为12，高为12，现于圆锥内放置一个圆柱，使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合，则该圆柱体积的最大值为（ ） A. 64 B. 128 C. 144 D. 256 【答案】D 【解析】 【详解】如图，依题意，，，设此时的圆柱的半径为， 则，，所以， 所以该圆柱体积为，， ，令 ，得， 当， ，单调递增，当， ，单调递减， 所以，当，取得最大值，此时. 15. 一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（ ） A. 32 B. 48 C. 64 D. 82 【答案】D 【解析】 【分析】分①②③④四边同色、①②③④只有三边同色另一边不同色和①②③④每两个同色三种情况分别求解即可. 【详解】如图所示： 当①②同色时，矩形A另外两边有1种方法染色； 当①②不同色时，矩形A另外两边有2种方法染色； 同理其他区域也一样， 所以：①②③④四边同色，此时共有种； 当①②③④只有三边同色时，另一边与其不同色时， 此时共有种； 当①②③④每两个同色时，此时共有种； 综上，共有种. 16. 若函数在其定义域内恒成立，则称为“级导同函数”，对“级导同函数”有如下两个命题，则（ ） 命题①：为奇函数的充要条件为为偶函数 命题②：若经过一二象限，则一定不经过三四象限且一定不具有周期性 A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用导数的知识求出的表达式，然后结合表达式判断两个命题的真假. 【详解】为“级导同函数”，即， 若，则，满足， 若，则，，(其中是常数)， 所以（其中为常数），， 所以或. 命题①，充分性：为偶函数， 若，则，既不是奇函数，也不是偶函数， 所以若为偶函数，则必有，而是奇函数，充分性满足； 必要性：为奇函数，无奇偶性，则，因此是偶函数，必要性满足. 所以命题①正确； 命题②，若经过一二象限，则， 由于且 ，故恒为正，其图像只经过第一、二象限； 同时，当时，为单调函数，故不具有周期性，所以命题②正确. 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 如图，在正三棱台中，，，点为的重心． （1）求证：． （2）求：直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）延长交于点，取的中点，连接和，由线面垂直的判断定理可得平面，再由性质定理即可得证； （2）法1：利用空间向理求解即可； 法2：先根据直线与平面所成角的定义，作出此角，在中，根据正弦的定义求解即可； 法3：利用补形法求解即可. 【小问1详解】 如图，延长交于点，取的中点，连接和， ∵点为的重心，为正三角形， ∴点为的中点，， 又点为的中点，侧面是等腰梯形， ， ，平面， 平面， 平面， . 【小问2详解】 法1： 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系． 则，，． 在梯形中，作交于点，作交于点， 由正三角形的性质可得，， 由勾股定理得， 由， 即,可得， 由勾股定理得． ，， ，，. 设平面的法向量为． 由，得， 令，则，． ． 设直线与平面所成角的大小为， ∴， ∴直线与平面所成角的大小为； 法2： 如图，过点作交于点，连接． 平面平面， ∴平面平面. 又平面平面，平面，， 平面， 是直线与平面所成角． 在梯形中，作交于点，作交于点， 由正三角形的性质可得，，由勾股定理得， 由， 即,可得， 所以，所以． ． 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为． ∴直线与平面所成角的大小为； 法3： 如图，补形为正三棱锥． 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为． ，， 由，，知，， 由勾股定理得，即， ， 即直线与平面所成角的正弦值为． ∴直线与平面所成角的大小为． 18. 随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大．为了解教师对AI大模型使用情况，现从用分层随机抽样的方法在上海随机抽取了200名教师，对使用元宝、通义千问、豆包、文心一言四种国产AI大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用元宝、通义千问、豆包、文心一言的AI大模型人次如下： 大模型种类 元宝 通义千问 豆包 文心一言 人次 32 30 30 28 用频率估计概率． （1）已知上海约有20000名教师，则其中男性教师约有________人，其中使用4种AI大模型的种数与人数________近似满足正态分布（选填“是”或“否”），下列最不适合用于分析上述表格数据的是（ ） A茎叶图 B．散点图 C．频率分布直方图 D．扇形图 （2）从上海教师中随机选取一人，记事件为选取的为男教师，事件为选取的教师仅会使用2种模型，求：，并判断事件和事件是否独立； （3）从上海使用3种AI大模型（元宝、通义千问、豆包、文心一言中的3种）的教师中，随机选出3人，记使用豆包的有人，求：的分布，及其数学期望，方差． 【答案】（1）8000 ；否；A （2），不独立 （3） . 【解析】 【分析】（1）用频率代替概率，计算填第一空；根据正态分布为连续分布填第二空；根据四种统计的图的特点选择； （2）利用频率估计概率，结合条件概率公式和独立事件的定义可求相应的概率和独立性判断； （3）利用二项分布可求的分布列及其数学期望. 【小问1详解】 由题意可得，用分层随机抽样的方法在上海随机抽取了200名教师中男教师的概率为， 所以上海约有20000名教师，则其中男性教师约有人， 因为使用AI大模型人数分布不是连续分布， 故使用4种AI大模型的种数与人数不近似满足正态分布，答案填否； 四种统计图特点： 茎叶图：能直接看到每一个具体数据值，不会丢失细节信息，适用于小样本数据的快速探索性分析； 散点图：分析两个变量的关联，核心作用是反映两个变量之间的相关性和变化趋势； 频率分布直方图：能清晰呈现数据的分布特征，直观反映数据的集中区间和离散程度，适用于大样本数据的分布分析； 扇形图：用扇形面积占圆面积的比例，直观表示各部分占总体的百分比； 所以最不适合用于分析上述表格数据的是茎叶图； 【小问2详解】 由题设可得，， 故. 因为，故不独立； 【小问3详解】 从该地区中使用3中大模型教师中任取一名教师，该教师使用豆包的概率为， 由题设可取且， 故，， ，， 故的分布列如下： 故；. 19. 如图，在平面上以三边为边分别向外作三个正三角形，记这三个正三角形的中心分别为．（被称为拿破仑三角形） （1）证明：为正三角形； （2）若，求周长的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据是三个正三角形的中心的几何性质，再利用余弦定理分别求解即可； （2）结合余弦定理和面积公式求解，进而建立关于的方程，可得周长，设，换元构造函数，结合函数单调性求解即可. 【小问1详解】 连接，设． 分别是正三角形的中心， ， 在中， ， ， 同理，． ，即为正三角形． 【小问2详解】 在中，， ．又． 由余弦定理得：，即，① 在中，由余弦定理得：，② 由①得：，故， 由①，②得：，故． ． 又由②得：． 设，则． 下面证明在上单调递减．任取． ， ，同理，． ． 故．即的周长取值范围为． 20. 已知椭圆：的左右顶点分别为，上下顶点分别为，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于两点，当过的左焦点时，． （1）求：椭圆的标准方程； （2）若点，点为椭圆上一动点，当取得最小值时，点恰与点重合，求：实数的取值范围； （3）记直线与直线的交点为，求：的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用排列组合公式求出直线斜率，结合椭圆中菱形周长与的关系，联立方程组即可求出椭圆方程； （2）将距离的平方转化为关于椭圆上点的横坐标的二次函数，依据最小点位置确定对称轴范围，即可得到的取值范围； （3）联立直线与椭圆，结合韦达定理推出交点在定直线，利用点到直线的距离即可求得的最小值. 【小问1详解】 因为，即，所以，即， 则直线的方程为：，令，得，即. 因为椭圆：的左右顶点分别为， 上下顶点分别为，四边形为菱形，边长为， 所以周长为，即， 又因为，所以，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，满足，即， 所以， 这是关于的二次函数，开口向上，对称轴为， 由题意知，当时最小，所以，即. 【小问3详解】 由题意知直线的方程为，设， 由，得， 所以，解得， 又， 设，因为 在同一条直线上， 所以， 又在同一条直线上，所以， 所以，所以， 所以点在直线上，所以. 21. 定义：设函数在定义域上可导，若曲线上存在三个不同的点，，，使得直线与曲线在点处的切线平行或重合，且成等比数列，则称为“等比函数”． （1）试判断是否为“等比函数”并说明理由． （2）求证：任意二次函数都不是“等比函数”． （3）若，幂函数是“等比函数”，求：的取值范围． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取，计算即可判断； （2）设二次函数，由题意可得，结合已知可得，从而可得结论； （3）由和时，由定义域可知不符合题意，从而且，由，可得符合题意，进而可得均不符合题意. 【小问1详解】 取，则 ， 由，得 ，所以 ， 又成等比数列，所以是“等比函数”. 【小问2详解】 设二次函数，求导得， 由直线与曲线在点处的切线平行或重合， 所以 ，所以， 所以 ，所以，所以， 又因为成等比数列，所以，所以， 所以 ，所以，与矛盾， 故任意二次函数都不是“等比函数”． 【小问3详解】 若，可得的定义域不为或在处不可导，所以 . 当且时，函数在处无意义，所以的定义域不为， 所以且，结合已知可得 当时，可得，所以，所以 ， 又 ，满足，符合题意； 当时，由（2）可知幂函数不是“等比函数”，故不符合题意； 当时，由，得， 因为成等比数列，所以， 所以，所以， 所以， 又， 当且仅当，即时取等号，又，故等号不成立， 所以方程在时无解. 综上所述：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届复旦大学附属中学高考5月限时模拟 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分 考号：____________） 考生注意： 1．本试卷的选择题均为单选题 2．解答题需要写出必要的计算说明过程 3．试卷共6页，请作答在答题纸上 4．请自备科学计算器（卡西欧）并准确填写考号 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 已知集合 ，则__________． 2. 若直线的一个法向量为，则实数的值为__________． 3. 若复数Z满足：，则__________． 4. 不等式的解集为__________． 5. 设n为正整数，若的展开式共有7项，则此展开式中含的项的系数为__________． 6. 一个正实数，它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等差数列，则这个正实数是__________． 7. 已知函数 在上有两个最值点，则的取值范围为__________． 8. 已知点到点的距离比到直线的距离大2，则点的轨迹方程为__________． 9. 已知在中， ，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值为__________． 10. 学生的考试成绩往往与上一门考试的情况有直接联系，某校分析了学生的考试情况，用频率估计概率，得到：学生第一门考好与考差的概率都是，从第二门考试起，若前一门考差，则这一门出现考差、考好的概率分别为，若前一门出现考好，则这一门出现考差、考好的概率分别为，则该校学生某次考试第五门考差的平均概率为__________．（精确到0.001） 11. 在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与无关，则实数的取值范围是__________. 12. 已知函数有两个极值点，且满足：，则的最小值为__________． 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 14. 圆锥的底面半径为12，高为12，现于圆锥内放置一个圆柱，使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合，则该圆柱体积的最大值为（ ） A. 64 B. 128 C. 144 D. 256 15. 一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（ ） A. 32 B. 48 C. 64 D. 82 16. 若函数在其定义域内恒成立，则称为“级导同函数”，对“级导同函数”有如下两个命题，则（ ） 命题①：为奇函数的充要条件为为偶函数 命题②：若经过一二象限，则一定不经过三四象限且一定不具有周期性 A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 如图，在正三棱台中，，，点为的重心． （1）求证：． （2）求：直线与平面所成角的大小． 18. 随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融入我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大．为了解教师对AI大模型使用情况，现从用分层随机抽样的方法在上海随机抽取了200名教师，对使用元宝、通义千问、豆包、文心一言四种国产AI大模型的情况统计如下： 使用大模型的种数性别 0 1 2 3 4 男 4 27 23 16 10 女 6 48 27 24 15 在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用元宝、通义千问、豆包、文心一言的AI大模型人次如下： 大模型种类 元宝 通义千问 豆包 文心一言 人次 32 30 30 28 用频率估计概率． （1）已知上海约有20000名教师，则其中男性教师约有________人，其中使用4种AI大模型的种数与人数________近似满足正态分布（选填“是”或“否”），下列最不适合用于分析上述表格数据的是（ ） A茎叶图 B．散点图 C．频率分布直方图 D．扇形图 （2）从上海教师中随机选取一人，记事件为选取的为男教师，事件为选取的教师仅会使用2种模型，求：，并判断事件和事件是否独立； （3）从上海使用3种AI大模型（元宝、通义千问、豆包、文心一言中的3种）的教师中，随机选出3人，记使用豆包的有人，求：的分布，及其数学期望，方差． 19. 如图，在平面上以三边为边分别向外作三个正三角形，记这三个正三角形的中心分别为．（被称为拿破仑三角形） （1）证明：为正三角形； （2）若，求周长的取值范围． 20. 已知椭圆：的左右顶点分别为，上下顶点分别为，且四边形的周长为，过点且斜率为的直线交于两点，当过的左焦点时，． （1）求：椭圆的标准方程； （2）若点，点为椭圆上一动点，当取得最小值时，点恰与点重合，求：实数的取值范围； （3）记直线与直线的交点为，求：的最小值． 21. 定义：设函数在定义域上可导，若曲线上存在三个不同的点，，，使得直线与曲线在点处的切线平行或重合，且成等比数列，则称为“等比函数”． （1）试判断是否为“等比函数”并说明理由． （2）求证：任意二次函数都不是“等比函数”． （3）若，幂函数是“等比函数”，求：的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $