专题05多边形的内角和与外角和期末复习讲义(16大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年华东师大版七年级数学下册

专题05多边形的内角和与外角和期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.了解多边形、正多边形、对角线等基本概念，掌握多边形对角线相关结论。 2.熟练掌握多边形内角和公式，理解公式推导思路并能灵活运用。 3.熟记 ** 多边形外角和恒为 360°** 的核心结论，区分内角和与外角和的区别。 4.掌握正多边形内角度数、外角度数的计算方法，理清正多边形边角特征。 1.能熟练求解多边形边数、内角和、单个内角度数、单个外角度数。 2.能利用多边形内外角和性质，解决边角综合计算问题。 3.培养公式建模能力，能根据已知条件逆向求多边形边数。 4.提升几何归纳、推理能力，掌握从特殊到一般的数学思想。 1.基础题型公式运用零失误，熟练解决选择、填空常考题。 2.熟练掌握已知边数求内外角、已知内外角求边数的双向题型。 3.掌握正多边形内外角计算、多边形对角线数量计算高频题型。 4.突破内外角混合综合题型、逆向求值题型，杜绝公式混淆失分。 题型01.多边形的概念与分类 题型02.多边形截角后的边数问题 题型03.多边形周长 题型04.网格中多边形面积比较 题型05.多边形对角线条数问题 题型06.对角线分成三角形个数问题 题型07.多边形内角和问题 题型08.多(少)算一个角问题 题型09.多边形截角后的内角和问题 题型10.复杂图形的内角和 题型11.正多边形的外角问题 题型12多边形外角和的实际应用. 题型13.多边形内角和与外角和综合 题型14.正多边形的内角问题 题型15.平面镶嵌 题型16.多边形内角和实际应用 知识点01:多边形核心概念 1.多边形：由 n 条不在同一直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形（n≥3，正整数），分为凸 / 凹多边形（初中重点研究凸多边形） 2.多边形元素：边、顶点、内角（相邻两边夹角）、外角（一边与邻边延长线夹角）、对角线（连接不相邻两个顶点的线段） 元素 定义 数量 边 组成多边形的各条线段 n 条 顶点 相邻两边的公共端点 n 个 内角 相邻两边组成的角 n 个 外角 多边形的边与它的邻边延长线组成的角 n 个（每个顶点 1 个） 对角线 连接不相邻两个顶点的线段 从一个顶点出发：n-3条总条数：条 知识点02:多边形分类 1.凸多边形:所有内角都小于 180°，任意一边延长，多边形整体都在这条直线同侧，课本重点、考试主考。 2.凹多边形:有一个或多个内角大于 180°，仅作概念了解，不做计算考查。 知识点03:正多边形 1.定义：各边都相等，并且各内角也都相等的多边形叫做正多边形。 2.关键：两个条件缺一不可，仅边相等或仅角相等，都不是正多边形。 3.正多边形单个外角公式 正n边形一个外角= 4.正多边形内外角对照表（老师必讲・学生速记） 正多边形 边数 一个外角 一个内角 正三角形 3 120° 60° 正方形 4 90° 90° 正五边形 5 72° 108° 正六边形 6 60° 120° 知识点04:多边形的内角和 1.推导思路 从 n 边形的一个顶点出发，可以作 (n-3) 条对角线，把 n 边形分割成 (n-2) 个三角形。 三角形内角和为 180，由此推出公式。 2.n 边形内角和公式 n边形内角和=(n-2)180 (n3) 3.基础应用 四边形内角和：(4-2)180=360 五边形内角和：((5-2)180=540 规律：多边形每增加一条边，内角和增加180。 知识点05:多边形外角和（本节最大考点） 1. 终极结论（必考） 任意多边形的外角和恒等于360 2. 关键性质 与边数无关！三角形、十边形、一百边形外角和都是 360° 每个内角 + 对应外角 = 180（邻补角） 3.正多边形角度计算（必考） 设正多边形边数为 n： 正 n 边形一个内角： 正 n 边形一个外角： 知识点06:高频易错点（教师重点强调・失分重灾区） 1.误以为外角和随边数增大而变大（致命错误：永远 360°） 2.求正多边形边数时，用内角直接除 360°（公式混用） 3.混淆对角线公式、记错总对角线数量 4.判断正多边形只看边相等或只看角相等（必须边角都相等） 5.内角和公式忘记-2，计算全程出错 题型01.多边形的概念与分类 1．下列图形中，是四边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是由四条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形， ∴是四边形的是选项． 2．下列图形中不是多边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．根据多边形的定义即可得到答案． 【详解】 解：是三边形，是多边形，故选项A不符合题意； 是四边形，是多边形，故选项B不符合题意； 不是多边形，故选项C符合题意； 是六边形，是多边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 3．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 题型02.多边形截角后的边数问题 4．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为______． 【答案】3 【分析】本题考查截一个多边形，一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条；当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：设原多边形边数为n；截去一个角后，边数变化有三种情况：①边数增加一条，则新边数为；②边数不变，则新边数为n；③边数减少一条，则新边数为； 已知新多边形为五边形，即新边数为5； 因此，，解得；或；或，解得； 所以原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3； 故答案为：3 5．一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为___________． 【答案】5或6或7 【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 【详解】解：如图所示： 六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 故答案为：5或6或7． 【点睛】本题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况． 6．如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键． 【详解】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形，②四边形，③五边形，不可能是六边形， 故选：D． 题型03.多边形周长 7．若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形周长的计算公式求解． 【详解】解：∵2（2m+3n）=4m+6n， 故选C． 【点睛】本题考查长方形的应用，熟练掌握长方形周长的意义和计算公式是解题关键． 8．如图，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为的小正方形，然后将余下的部分剪开拼成如图所示的长方形，若记大正方形的周长为，拼成的长方形的周长为，则与的大小关系是______． 【答案】 【分析】根据周长公式进行计算即可． 【详解】解：左图的周，右图的周长， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查计算图形周长，理解周长的定义以及长方形周长的计算方法是正确解答的前提． 9．如图，将大正方形的对角线分成条相等的线段，再以每一等份为一条对角线向外作一个小正方形．设大正方形的周长为，所有小正方形的周长之和为，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设大正方形对角线长为，利用正方形对角线与边长的关系，分别求出大正方形周长和所有小正方形周长之和，再进行比较． 【详解】解：设大正方形的对角线长为． 大正方形的边长为，周长． 把对角线分成等份，每一份长为，即每个小正方形的对角线长为． 每个小正方形的边长为，周长为． 共有个小正方形，所以所有小正方形的周长之和． A、，计算得，不符合题意； B、，计算得，不符合题意； C、，计算得，符合题意； D、，计算得，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质（对角线与边长的关系）、周长的计算。解题关键是通过设对角线长度，建立大、小正方形周长的表达式，从而比较大小． 题型04.网格中多边形面积比较 10．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 11．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则的面积与的面积比为__________． 【答案】1∶4 【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解． 【详解】解：， ， ∴的面积与的面积比为1∶4． 故答案为1∶4． 【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是解本题的关键． 12．边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”． （）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为________________； （）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为________________． 【答案】 【分析】（1）先分别求出菱形和正方形的面积，然后根据变形度为2求解即可； （2）先把网格中的菱形当成是正方形，然后算出三角形的面积，最后根据变形度求解即可得到答案. 【详解】解：（）∵边长为的正方形面积，边长为的菱形面积， ∴菱形面积：正方形面积， ∵菱形的变形度为，即， ∴． 故答案为：； （）∵菱形边长为，“形变度”为， ∴菱形形变前的面积与形变后面积比为， ∴． 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查了网格中面积的计算，解题的关键在于能够准确地读懂题意进行求解. 题型05.多边形对角线条数问题 13．现有一个多边形，从该多边形的一个顶点出发，最多能画出5条对角线，则该多边形是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】该题主要考查了多边形的对角线的定义，熟记从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线是解题的关键． 根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引条对角线，由此可得到答案． 【详解】解：∵从n边形的某个顶点可作条对角线， ∴， ∴， 故选：B． 14．如果一个多边形的内角和是，则这个多边形对角线总数为______条． 【答案】14 【分析】先由多边形内角和公式及已知的内角和求出这个多边形的边数，再由多边形的边数求出其对角线条数即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，则由题意可得： ，解得：， 即这个多边形是七边形， ∵七边形的对角线条数为：， ∴这个多边形的对角线共有14条． 故答案为：14 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，多边形的对角线条数是解题的关键．（1）n边形的内角和为：；（2）n边形的对角线条数． 15．如果过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，则该多边形对角线一共有（    ） A．18条 B．14条 C．20条 D．27条 【答案】D 【分析】先根据从n边形的一个顶点可以画条对角线确定该多边形的边数n，然后再根据一个多边形对角线总共有条解答即可． 【详解】解：∵过一个多边形的一个顶点的对角线有6条， ∴， ∴， ∴则该多边形对角线一共有（条）． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多边形对角线条数的公式，掌握从n边形的一个顶点可以画条对角线和一个多边形对角线总共有条是解答本题的关键． 16．探究归纳应用题： 【试验分析】 (1)如图①，过点A可以作1条对角线；同样，经过点B可以作1条对角线；经过点C可以作1条对角线；经过点D可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线； 【拓展延伸】 (2)运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有 条对角线，共有 条对角线；图③共有 条对角线； 【探索归纳】 (3)对于n边形（），共有 条对角线（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 (4)12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 【答案】(1)2 (2)2，5，9 (3) (4)共握54次手 【分析】（1）按照题干的分析方法完成即可； （2）按照题干的分析方法完成即可； （3）按照题干的分析方法完成即可； （4）利用前面（3）的结论即可完成． 【详解】（1）解：由题意得：（条）； （2）解：图②，从每一个顶点出发可以作2条对角线，可以作10条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； 图③，从每一个顶点出发可以作3条对角线，可以作18条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； 故答案分别为：2；5；9； （3）解：对于n边形（），从每一个顶点出发可以作条对角线，可以作条对角线，其中每条都重复了一次，则共有（条）； （4）解：12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，相当于十二边形的对角线条数问题，由（3）知，每不相邻的人都握一次手，共握手（次）． 题型06.对角线分成三角形个数问题 17．过八边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是__________． 【答案】11 【分析】根据过边形的一个顶点可以画出条对角线，分成个三角形，代入边数计算即可． 【详解】解：由八边形的边数为， 可得 ， ， 计算得，， 则． 18．在八边形内任取一点，把这个点与八边形各顶点分别连接可得到__________个三角形． 【答案】8 【分析】本题主要考查了多边形的性质，掌握“从边形内部任意一点出发，分别连接这个点与各顶点，可把这个边形分割成个三角形”是解题关键．从边形内部任意一点出发，分别连接这个点与各顶点，可把这个边形分割成个三角形，由此解答即可． 【详解】详解：在八边形内任取一点，连接该点与八边形的各顶点，这些连接线段将八边形分割成若干个三角形．每个三角形由该内点及八边形的两个相邻顶点组成，且每条边对应一个三角形，因此三角形的个数等于八边形的边数．八边形有8条边，故可得到8个三角形． 故答案为：8． 19．从多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成2026个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 【答案】B 【分析】本题考查多边形的对角线与三角形个数的关系，解题关键是记住“从边形一个顶点引对角线，可将其分成个三角形”这一核心结论． 1． 利用结论：三角形个数=边数； 2． 代入已知三角形个数2026，列方程：边数； 3． 解得边数． 【详解】解：从边形的一个顶点出发，可引出条对角线，把多边形分成个三角形． 已知分成2026个三角形，则： 解得： 所以这个多边形的边数是2028． 故选：B． 20．按要求完成下列各题： (1)完成表格中未填部分． 图形 边数 3 4 5 6 7 从一个顶点出发的对角线条数 0 1 2 3 ____ 三角形个数 1 2 3 4 ____ 内角和 _____ ____ (2)根据表中规律，n边形的内角和是______； (3)是否有内角和为的多边形？如果有，求出边数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)没有内角和为的多边形，理由见解析 【分析】（1）根据题意补全表格即可； （2）根据表中规律求解即可； （3）根据题意得到，然后求解判断即可． 【详解】（1）解：如图， 图形 边数 3 4 5 6 7 从一个顶点出发的对角线条数 0 1 2 3 4 三角形个数 1 2 3 4 5 内角和 （2）解：根据表中规律，n边形的内角和是； （3）解：没有内角和为的多边形，理由如下： 根据题意得， 解得，不是正整数， ∴没有内角和为的多边形． 题型07.多边形内角和问题 21．如图，______． 【答案】/360度 【分析】本题考查了三角形的内角和以及四边形的内角和定理，连接，设交于点，根据三角形的内角和定理即可证得，进而根据四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，设交于点，   在和中，， ， ． 即． 故答案为：． 22．如图，在中，，剪去得到一个四边形，则的度数为______． 【答案】 【分析】先根据三角形的内角和定理求得，再根据四边形的内角和为求解即可． 【详解】解：， ， ． 23．如图，四边形中，，分别平分，．已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，角平分线的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据四边形和三角形内角和定理以及角平分线的性质求解即可． 【详解】解：，分别平分，， ，， ． ， ， ． 题型08.多(少)算一个角问题 24．一个n边形，若其中(n－1)个内角的和为800°，则n＝________． 【答案】7 【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知多边形的内角和是180°的倍数，然后用800°÷180°所得商的整数部分加1就是（n﹣2）的值，由此可求得答案． 【详解】解：800°÷180°＝4……80°， ∵除去了一个内角， ∴n﹣2＝4+1＝5， ∴n＝5+2＝7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，根据公式利用多边形的内角和是180°的倍数是解题的关键． 25．一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为，则内角和是_______． 【答案】 【分析】本题考查多边形的内角和，设多边形的边数为，这个内角为，则该多边形的内角和为，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为，这个内角为，则该多边形的内角和为， 依题意，得：， 即， 解得：， ∴， ∴， ∴内角和是． 故答案为：． 26．已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（    ） A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形 【答案】B 【分析】设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°，利用多边形的内角和定理和已知条件列出等式，根据多边形的内角的性质列出不等式，利用不等式的整数解即可求得结论． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，多算的一个内角为x°， 则：（n-2）•180+x=1960， ∴x=2320-180n． ∵0°＜x＜180°， ∴0＜2320-180n＜180， 解得 ∵n为正整数， ∴n=12． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角，多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键． 27．小明在计算某个多边形的内角和时，由于粗心他漏掉一个内角，求得内角和，你能否求得他漏掉的内角度数和多边形内角和的正确结果吗？ 【答案】少算这个角的度数为，这个多边形的内角和为． 【分析】本题考查了多边形的内角和，掌握利用多边形边数求内角和的方法是解答本题的关键． 根据题意，设这个多边形的边数为，漏掉一个内角为，根据多边形内角和，找到等量关系，列出关系式，求出的范围，利用是整数，求出结果． 【详解】解：设这个多边形的边数为，漏掉一个内角为， 根据题意得： ， 即， ， ， 是整数， ， ， 内角和为：． 答：少算这个角的度数为，这个多边形的内角和为． 题型09.多边形截角后的内角和问题 28．将正方形截去一个角后，剩下的图形一定是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】此题考查图形的划分，进一步考查学生识图解决问题的能力，解题的关键是动手画图；一个正方形剪去一个角后，剩下部分可能是三角形，也可能是四边形；还可能是五边形，即可解答． 【详解】解：如图所示， 截去一个角后，剩下的图形可能为：三角形，四边形，五边形， 故选：D． 29．一个多边形剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是____． 【答案】或或 【分析】先利用多边形内角和公式求出新多边形的边数，再根据剪去一个角的不同情况推导原多边形的边数即可． 【详解】解：设所得新多边形的边数为， ∵所得多边形的内角和为， ∴， 解得，即所得新多边形为六边形， 当剪切线不经过原多边形的顶点时，剪后多边形边数比原多边形多，可得原多边形边数为； 当剪切线经过原多边形一个顶点时，剪后多边形边数与原多边形相等，可得原多边形边数为； 当剪切线经过原多边形两个顶点，剪后多边形边数比原多边形少，可得原多边形边数为， 综上所述：原多边形的边数是或或 30．如图是将一多边形剪去一个角，则新多边形的内角和（　　） A．比原多边形少180° B．与原多边形一样 C．比原多边形多360° D．比原多边形多180° 【答案】D 【分析】根据多边形的内角和定理求解可得． 【详解】按如图所示方式将一多边形剪去一个角，则新多边形的边数增加一条， 所以其内角和比原多边形的内角和多180°， 故选D． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，取决于其边数增加还是减少．是解决本题的关键． 31．把一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和为，则原多边形的边数？ 【答案】或18 【分析】根据多边形的内角和公式可得，求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论，计算即可． 【详解】解：设新多边形的边数为n， 则， 解得， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为18， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为19， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为20， 所以原多边形的边数可以为或18． 题型10.复杂图形的内角和 32．如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则________． 【答案】68 【分析】延长交于D，延长交于G， 根据外角的性质得到根据四边形的内角和和邻补角的定义得到于是得到结论． 【详解】解：延长BE交AC于D，延长CF交BD于G， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，四边形的内角和，邻补角的定义，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 33．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 【答案】 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【详解】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 34．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 题型11.正多边形的外角问题 35．一个多边形的每个外角都是，则这个多边形是（     ） A．三角形 B．四边形 C．六边形 D．十二边形 【答案】C 【分析】利用多边形外角和定理求解，任意多边形的外角和恒为，用外角和除以单个外角的度数即可得到多边形边数，进而判断多边形类型． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形每个外角都是，设边数为， ∴， ∴这个多边形是六边形． 36．如图，线段是一个正多边形的三条边，分别延长交于点M，若，则这个正多边形是______． 【答案】正八边形 【分析】根据正多边形的性质可知其外角相等，结合三角形内角和定理求出外角度数，再利用多边形外角和为即可求出边数． 【详解】解： 线段，，是一个正多边形的三条边， 该正多边形的每个外角都相等， ， ， 在中，， 该正多边形的边数为， 这个正多边形是正八边形． 37．如图，小明从O点出发，前进40米后向右转，再前进40米后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走（    ） A．360米 B．480米 C．540米 D．600米 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形外角和的应用，解题的关键是理解得到小明所走的图形是多边形，正多边形外角和是． 【详解】解：由题意可得，图形是一个正多边形， 每次前进40米后向右转， ，即图形是正12多边形， （米）， 他第一次回到出发点O时一共走480米， 故选：B． 38．已知某正多边形的一个内角比相邻的外角大． (1)求这个正多边形每个外角的度数； (2)求这个正多边形的边数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多边形外角与内角是平角，列出方程，求解即可； （2）利用正多边形的性质和外角和求解即可． 【详解】（1）解：设该正多边形的内角为， 由题意，得，解得． ∴，即这个正多边形的外角是； （2）解：因为多边形的外角和是， 所以， ∴这个正多边形的边数是18． 题型12多边形外角和的实际应用. 39．如图是某古建筑中的窗花图案，其边框是一个正八边形，则其边框的每一个内角为_______度． 【答案】 【详解】解：正八边形的一个外角为 ∴每一个内角为 40．如图，孔明在驾校练车，他由点出发向前行驶米到处，向左转．继续向前行驶同样的路程到处，再向左转．按这样的行驶方法，第一次回到点总共行驶了__________． 【答案】米 【分析】本意主要考查了多边形的外角和定理，即任意多边形的外角和都是．根据题意可知汽车所走的路程正好是一个外角为的多边形的周长，求出多边形的周长即可． 【详解】解：根据题意可知汽车所走的路程正好是一个外角为的多边形的周长， 该多边形的边数为：， 第一次回到点总共行驶了：（米）， 故答案为：米． 41．如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （2）延长交于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）解：∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度； （2）解：如图，延长交于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在五边形中， ∴． 题型13.多边形内角和与外角和综合 42．若一个边形的每个内角都是，则的值为（     ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题利用任意多边形外角和为的性质求解，思路为先求出多边形每个外角的度数，再用外角和除以单个外角的度数得到边数． 【详解】解：∵ 该边形每个内角都是， ∴ 每个外角的度数为 ， ∵ 任意多边形的外角和为， ∴ ． 43．若一个正多边形的内角和等于外角和的3倍，则该正多边形的边数是___________． 【答案】 八 【分析】设正多边形边数为n，根据多边形的内角和公式、外角和是列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设正多边形边数为n， 由题意得：， 解得：． 44．将若干个大小相等的正五边形排列成环形，如图是排列的前4个正五边形，要完成这一个圆环还需要（    ）个这样的正五边形． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先求出正五边形的内角度数，再根据拼接处周角为求出围成圆环所需的正五边形总数，最后减去已有的数量即可． 【详解】解：正五边形的内角为． 则在圆环内侧形成的正边形的一个内角为． 设围成这一圆环共需要个正五边形， 该正边形的一个外角为． ∵多边形的外角和为， ∴． 图中已排出4个正五边形，还需要个这样的正五边形． 45．按要求完成以下问题 (1)解不等式组： (2)一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，这个多边形是几边形？ 【答案】(1) (2)十边形 【分析】（1）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集； （2）设这个多边形是边形，根据多边形的内角和公式和与外角和等于列方程求解即可． 【详解】（1）解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴原不等式组的解集是． （2）解：设这个多边形是边形． 根据题意，得． 解得． ∴这个多边形是十边形． 题型14.正多边形的内角问题 46．若一个五边形的每个内角都是，则的值为（     ） A．36 B．72 C．108 D．144 【答案】C 【分析】先利用边形内角和公式求出五边形的总内角和，再计算每个内角的度数即可． 【详解】解：∵边形内角和公式为， ∴五边形的内角和为， ∵五边形每个内角都相等， ∴． 47．如图，直线与正六边形交于M，N两点，则__________°． 【答案】120 【分析】先根据正六边形的内角和可得每个内角的度数为，再根据四边形的内角和可得，最后再求解即可． 【详解】解：六边形是正六边形， 每个内角的度数为， ∴， ∵， ． 48．中，，分别以和为边作正方形和正六边形． (1)如图，当和重叠时，求n的值． (2)调整的大小，使和的夹角，直接写出调整后n的值． 【答案】(1)150 (2)145或155 【分析】本题考查了正多边形的内角和及周角的度数，解题的关键是能求出正方形和正六边形的内角的度数． （1）先求出和的度数，然后根据求解； （2）分两种情况画出图形求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形和正六边形， ∴，， ∴ ， ∴； （2）解：如图， ∵ ， ∴； 如图， ∵ ， ∴； 综上可知，n的值为145或155． 题型15.平面镶嵌 49．下列每组图形，不能镶嵌整个平面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面镶嵌，根据几何图形镶嵌成平面图形的关键是：围绕一点拼在一起的多变形的内角加在一起恰好组成一个周角，由此逐项分析即可得解，熟练掌握此知识点是解此题的关键． 【详解】解：A、2个三角形2个正六边形或4个三角形1个正六边形可以镶嵌，故不符合题意； B、1个左边的图和4个右边的图可以镶嵌，故不符合题意； C、正方形与正六边形不可以镶嵌，故符合题意； D、正方形的内角为，矩形的内角为，可以镶嵌，故不符合题意； 故选：C． 50．用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好无缝拼接．若这三种正多边形的边数分别为x、y、z，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的内角问题，理解题意，得到这三种边长相等的正多边形的内角和为是解答的关键． 利用正n多边形的内角公式求解即可． 【详解】解：根据题意，这三种边长相等的正多边形的内角和为， 则， ∴ ∴， ∴， 故答案为：1． 51．用九个像右边这样的瓷砖来完全覆盖左边的图形，有多少种方法？（   ） A．1 B．6 C．8 D．9 E．12 【答案】D 【详解】解：左边的图形可以看成3个正六边形，对于每一个正六边形都有两种方式用右边的小瓷砖覆盖；如图： 还有一种是中间看成六边形； 故一共有种方式将其完全覆盖． 52．我们知道形状相同的三角形或四边形均可以进行镶嵌．如图，用正三角形、正四边形和正六边形按图中所示的规律拼图案． (1)按图中所示的规律拼接， 完成平面镶嵌；（填“能”或“不能”） (2)第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，…，按此规律摆下去，则第个图案有个正方形；（用含的代数式表示） (3)若正多边形的边长为，在上面的一组图案中是否存在这样的图案：所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大？若存在，求出是第几个图案；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)能； (2)； (3)不存在，见解析． 【分析】（1）算出正三角形、正四边形和正六边形的内角，根据平面镶嵌的性质判断即可； （2）根据图案的规律进行推理即可； （3）根据图案规律推出第第个图案中正方形、正六边形的个数，再根据所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大，列方程求解即可． 【详解】（1）能，∵正三角形的每一个内角是，正方形的每一个内角是，正六边形的每一个内角是， 观察图案的拼接点，可发现：，拼接点处的内角和恰好为，满足平面镶嵌的条件； （2）第个图案有个正方形，即， 第个图案有个正方形，即， 第个图案有个正方形，即， …… 观察以上规律，第个图案有个正方形 （3）不存在，理由如下： 设第个图案中所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大， ∵由（2）可得第个图案中有个正方形， ∵由图案观察，第个图案中有个正六边形， 即：， 解得：， ∴显然不符合题意， ∴不存在这样的图案． 题型16.多边形内角和实际应用 53．图是鼓浪屿八卦楼的航拍图，八卦楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型和八棱红色穹顶，则八边形的内角和为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式． 根据多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：八边形的内角和为：， 故选：． 54．一个零件的形状如图所示，按照规定，所在直线和所在直线的夹角为的零件为合格零件．要检验该零件是否合格，有以下两种方案．甲：只需测量出和的度数；乙：量出和的度数也可以检验该零件是否合格．则两人的方案（）． A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理和四边形内角和定理即可判断． 【详解】解：如图，延长，交于点， 甲：测量出和的度数，则，则甲的方案正确； 乙：量出和的度数， ∵， ∴， ∴ ， ∴乙的方案正确； 综上：甲、乙均对． 55．现有一块如图所示的模板．为了加工成某种特定的形状，需要，的延长线的夹角为（）．由于交点不在模板上，不便测量，工人师傅测得，，，请通过计算判断该模板是否符合要求． 【答案】不符合．理由见解析 【分析】本题考查了多边形内角和定理和垂直的定义；根据五边形内角和等于，结合垂直的定义，计算可求的度数，然后根据题意进行判断． 【详解】解：不符合．理由是： ∵五边形的内角和是， ∴， ∴. ∴不符合规定． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05多边形的内角和与外角和期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.了解多边形、正多边形、对角线等基本概念，掌握多边形对角线相关结论。 2.熟练掌握多边形内角和公式，理解公式推导思路并能灵活运用。 3.熟记 ** 多边形外角和恒为 360°** 的核心结论，区分内角和与外角和的区别。 4.掌握正多边形内角度数、外角度数的计算方法，理清正多边形边角特征。 1.能熟练求解多边形边数、内角和、单个内角度数、单个外角度数。 2.能利用多边形内外角和性质，解决边角综合计算问题。 3.培养公式建模能力，能根据已知条件逆向求多边形边数。 4.提升几何归纳、推理能力，掌握从特殊到一般的数学思想。 1.基础题型公式运用零失误，熟练解决选择、填空常考题。 2.熟练掌握已知边数求内外角、已知内外角求边数的双向题型。 3.掌握正多边形内外角计算、多边形对角线数量计算高频题型。 4.突破内外角混合综合题型、逆向求值题型，杜绝公式混淆失分。 题型01.多边形的概念与分类 题型02.多边形截角后的边数问题 题型03.多边形周长 题型04.网格中多边形面积比较 题型05.多边形对角线条数问题 题型06.对角线分成三角形个数问题 题型07.多边形内角和问题 题型08.多(少)算一个角问题 题型09.多边形截角后的内角和问题 题型10.复杂图形的内角和 题型11.正多边形的外角问题 题型12多边形外角和的实际应用. 题型13.多边形内角和与外角和综合 题型14.正多边形的内角问题 题型15.平面镶嵌 题型16.多边形内角和实际应用 知识点01:多边形核心概念 1.多边形：由 n 条不在同一直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形（n≥3，正整数），分为凸 / 凹多边形（初中重点研究凸多边形） 2.多边形元素：边、顶点、内角（相邻两边夹角）、外角（一边与邻边延长线夹角）、对角线（连接不相邻两个顶点的线段） 元素 定义 数量 边 组成多边形的各条线段 n 条 顶点 相邻两边的公共端点 n 个 内角 相邻两边组成的角 n 个 外角 多边形的边与它的邻边延长线组成的角 n 个（每个顶点 1 个） 对角线 连接不相邻两个顶点的线段 从一个顶点出发：n-3条总条数：条 知识点02:多边形分类 1.凸多边形:所有内角都小于 180°，任意一边延长，多边形整体都在这条直线同侧，课本重点、考试主考。 2.凹多边形:有一个或多个内角大于 180°，仅作概念了解，不做计算考查。 知识点03:正多边形 1.定义：各边都相等，并且各内角也都相等的多边形叫做正多边形。 2.关键：两个条件缺一不可，仅边相等或仅角相等，都不是正多边形。 3.正多边形单个外角公式 正n边形一个外角= 4.正多边形内外角对照表（老师必讲・学生速记） 正多边形 边数 一个外角 一个内角 正三角形 3 120° 60° 正方形 4 90° 90° 正五边形 5 72° 108° 正六边形 6 60° 120° 知识点04:多边形的内角和 1.推导思路 从 n 边形的一个顶点出发，可以作 (n-3) 条对角线，把 n 边形分割成 (n-2) 个三角形。 三角形内角和为 180，由此推出公式。 2.n 边形内角和公式 n边形内角和=(n-2)180 (n3) 3.基础应用 四边形内角和：(4-2)180=360 五边形内角和：((5-2)180=540 规律：多边形每增加一条边，内角和增加180。 知识点05:多边形外角和（本节最大考点） 1. 终极结论（必考） 任意多边形的外角和恒等于360 2. 关键性质 与边数无关！三角形、十边形、一百边形外角和都是 360° 每个内角 + 对应外角 = 180（邻补角） 3.正多边形角度计算（必考） 设正多边形边数为 n： 正 n 边形一个内角： 正 n 边形一个外角： 知识点06:高频易错点（教师重点强调・失分重灾区） 1.误以为外角和随边数增大而变大（致命错误：永远 360°） 2.求正多边形边数时，用内角直接除 360°（公式混用） 3.混淆对角线公式、记错总对角线数量 4.判断正多边形只看边相等或只看角相等（必须边角都相等） 5.内角和公式忘记-2，计算全程出错 题型01.多边形的概念与分类 1．下列图形中，是四边形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列图形中不是多边形的是（   ） A． B． C． D． 3．定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02.多边形截角后的边数问题 4．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数不可能为______． 5．一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为___________． 6．如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 题型03.多边形周长 7．若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　） A． B． C． D． 8．如图，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为的小正方形，然后将余下的部分剪开拼成如图所示的长方形，若记大正方形的周长为，拼成的长方形的周长为，则与的大小关系是______． 9．如图，将大正方形的对角线分成条相等的线段，再以每一等份为一条对角线向外作一个小正方形．设大正方形的周长为，所有小正方形的周长之和为，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型04.网格中多边形面积比较 10．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 11．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则的面积与的面积比为__________． 12．边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”． （）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为________________； （）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为________________． 题型05.多边形对角线条数问题 13．现有一个多边形，从该多边形的一个顶点出发，最多能画出5条对角线，则该多边形是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 14．如果一个多边形的内角和是，则这个多边形对角线总数为______条． 15．如果过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，则该多边形对角线一共有（    ） A．18条 B．14条 C．20条 D．27条 16．探究归纳应用题： 【试验分析】 (1)如图①，过点A可以作1条对角线；同样，经过点B可以作1条对角线；经过点C可以作1条对角线；经过点D可以作1条对角线；且对角线与为同一条．通过以上分析和总结，图①共有 条对角线； 【拓展延伸】 (2)运用（1）的分析方法可得：图②每个顶点出发有 条对角线，共有 条对角线；图③共有 条对角线； 【探索归纳】 (3)对于n边形（），共有 条对角线（用含n的代数式表示）； 【拓展应用】 (4)12个人围着圆桌开会，每两个不相邻的人都握一次手，共握多少次手？ 题型06.对角线分成三角形个数问题 17．过八边形的一个顶点可以画条对角线，将它分成个三角形，则的值是__________． 18．在八边形内任取一点，把这个点与八边形各顶点分别连接可得到__________个三角形． 19．从多边形的一个顶点引出的所有对角线，把这个多边形分成2026个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．2027 B．2028 C．2029 D．2030 20．按要求完成下列各题： (1)完成表格中未填部分． 图形 边数 3 4 5 6 7 从一个顶点出发的对角线条数 0 1 2 3 ____ 三角形个数 1 2 3 4 ____ 内角和 _____ ____ (2)根据表中规律，n边形的内角和是______； (3)是否有内角和为的多边形？如果有，求出边数；如果没有，请说明理由． 题型07.多边形内角和问题 21．如图，______． 22．如图，在中，，剪去得到一个四边形，则的度数为______． 23．如图，四边形中，，分别平分，．已知，求的度数． 题型08.多(少)算一个角问题 24．一个n边形，若其中(n－1)个内角的和为800°，则n＝________． 25．一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为，则内角和是_______． 26．已知一个多边形多算了一个内角得到内角和是1960°，则这个多边形是（    ） A．十一边形 B．十二边形 C．十三边形 D．十五边形 27．小明在计算某个多边形的内角和时，由于粗心他漏掉一个内角，求得内角和，你能否求得他漏掉的内角度数和多边形内角和的正确结果吗？ 题型09.多边形截角后的内角和问题 28．将正方形截去一个角后，剩下的图形一定是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．以上都有可能 29．一个多边形剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是____． 30．如图是将一多边形剪去一个角，则新多边形的内角和（　　） A．比原多边形少180° B．与原多边形一样 C．比原多边形多360° D．比原多边形多180° 31．把一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和为，则原多边形的边数？ 题型10.复杂图形的内角和 32．如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则________． 33．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 34．如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型11.正多边形的外角问题 35．一个多边形的每个外角都是，则这个多边形是（     ） A．三角形 B．四边形 C．六边形 D．十二边形 36．如图，线段是一个正多边形的三条边，分别延长交于点M，若，则这个正多边形是______． 37．如图，小明从O点出发，前进40米后向右转，再前进40米后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走（    ） A．360米 B．480米 C．540米 D．600米 38．已知某正多边形的一个内角比相邻的外角大． (1)求这个正多边形每个外角的度数； (2)求这个正多边形的边数． 题型12多边形外角和的实际应用. 39．如图是某古建筑中的窗花图案，其边框是一个正八边形，则其边框的每一个内角为_______度． 40．如图，孔明在驾校练车，他由点出发向前行驶米到处，向左转．继续向前行驶同样的路程到处，再向左转．按这样的行驶方法，第一次回到点总共行驶了__________． 41．如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 题型13.多边形内角和与外角和综合 42．若一个边形的每个内角都是，则的值为（     ） A．6 B．8 C．9 D．10 43．若一个正多边形的内角和等于外角和的3倍，则该正多边形的边数是___________． 44．将若干个大小相等的正五边形排列成环形，如图是排列的前4个正五边形，要完成这一个圆环还需要（    ）个这样的正五边形． A．5 B．6 C．7 D．8 45．按要求完成以下问题 (1)解不等式组： (2)一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，这个多边形是几边形？ 题型14.正多边形的内角问题 46．若一个五边形的每个内角都是，则的值为（     ） A．36 B．72 C．108 D．144 47．如图，直线与正六边形交于M，N两点，则__________°． 48．中，，分别以和为边作正方形和正六边形． (1)如图，当和重叠时，求n的值． (2)调整的大小，使和的夹角，直接写出调整后n的值． 题型15.平面镶嵌 49．下列每组图形，不能镶嵌整个平面的是（    ） A． B． C． D． 50．用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好无缝拼接．若这三种正多边形的边数分别为x、y、z，则的值为______． 51．用九个像右边这样的瓷砖来完全覆盖左边的图形，有多少种方法？（   ） A．1 B．6 C．8 D．9 E．12 52．我们知道形状相同的三角形或四边形均可以进行镶嵌．如图，用正三角形、正四边形和正六边形按图中所示的规律拼图案． (1)按图中所示的规律拼接， 完成平面镶嵌；（填“能”或“不能”） (2)第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，…，按此规律摆下去，则第个图案有个正方形；（用含的代数式表示） (3)若正多边形的边长为，在上面的一组图案中是否存在这样的图案：所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大？若存在，求出是第几个图案；若不存在，请说明理由． 题型16.多边形内角和实际应用 53．图是鼓浪屿八卦楼的航拍图，八卦楼的名称源于其屋顶逐层凸起的八边形造型和八棱红色穹顶，则八边形的内角和为______． 54．一个零件的形状如图所示，按照规定，所在直线和所在直线的夹角为的零件为合格零件．要检验该零件是否合格，有以下两种方案．甲：只需测量出和的度数；乙：量出和的度数也可以检验该零件是否合格．则两人的方案（）． A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 55．现有一块如图所示的模板．为了加工成某种特定的形状，需要，的延长线的夹角为（）．由于交点不在模板上，不便测量，工人师傅测得，，，请通过计算判断该模板是否符合要求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $