专题03一元一次不等式期末复习讲义(22大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年华东师大版七年级数学下册

专题03一元一次不等式期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.了解不等式、一元一次不等式、不等式解集等相关概念，能区分等式与不等式。 2.熟练掌握不等式的三条基本性质，重点区分性质 3 变号规则，明确与等式性质的区别。 3.掌握解一元一次不等式的完整解题步骤，能在数轴上正确表示解集。 4.理解一元一次不等式组、解集的概念，掌握四种解集类型并能快速判断。 5.熟记常见实际题型等量关系，会列一元一次不等式解决实际问题。 1.能规范求解一元一次不等式、不等式组，提升代数运算能力，规避变号易错问题。 2.能利用数轴分析解集、确定特殊解（整数解、非负整数解），培养数形结合思想。 3.能结合题意识别不等关系，准确抓取关键词，建立不等式数学模型。 4.能对比方程与不等式的异同，培养类比思想，提升综合分析问题能力。 1.基础题型：概念辨析、性质判断、简单解集求解，做到零失误。 2.计算题：熟练解不等式与不等式组，规范书写步骤、规范画数轴。 3.掌握整数解、参数问题等高频小题，突破易失分题型。 4.熟练掌握不等式应用题，重点攻克最值问题、方案选择问题，大题稳拿满分。 题型01.不等式的定义 题型02.不等式的解集 题型03.不等式的性质 题型04.一元一次不等式的定义 题型05.求不等式的解集 题型06.求不等式的整数解 题型07.数轴上表示不等式解集 题型08.求不等式解的最值 题型09.解|x|a型的不等式 题型10.列一元一次不等式 题型11.由不等式解决实际问题 题型12.由不等式解决几何问题 题型13.求不等组的解集 题型14.求不等式组的整数解 题型15.,由不等式组解集求参数 题型16.由不等式组解集的情况求参数 题型17.不等式组和方程组结合的问题 题型18.列一元一次不等式组 题型19.方案选择问题 题型20.经济问题 题型21.行程与分配问题 题型22.销售利润问题 知识点01:基础概念 1.不等式：用不等号连接的式子。常见符号：＞、＜、≥、≤、≠ 不等号的读法及其意义： 2.一元一次不等式：只含一个未知数、未知数次数为 1、分母不含未知数的整式不等式。标准形式：ax+b＞0、ax+b＜0 3.不等式的解：满足不等式的每一个未知数的值。 4.不等式的解集：所有解的集合；解集是范围，解是单个数值。 5.解不等式：求不等式解集的过程。 6.一元一次不等式组：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成。 7.不等式组的解集：几个不等式解集的公共部分。 知识点02:不等式基本性质（本章最核心、学生最大易错点） 性质 文字表述 数学符号表示 关键注意点 性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 若 a＞b， 则 a±c ＞ b±c。 加减任意数 / 式子，方向不变 性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 若 a＞b，c＞0， 则 ac ＞ bc，＞ 。 乘除正数，方向不变 性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 若 a＞b，c＜0， 则 ac ＜ bc， ＜ 易错点：乘除负数，必须变号 教师必讲：等式不存在变号；不等式只有乘除负数才变号。 知识点03:解一元一次不等式 1、解题五步流程（和解方程几乎一样，仅一处区别） 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1 2、解方程与解不等式对比表 步骤 一元一次方程 一元一次不等式 去分母、去括号、移项、合并同类项 步骤完全一样 步骤完全一样 系数化为 1 无变号问题 除以负数，不等号反向 最终结果 一个固定数值 一个取值范围 3、数轴表示解集（必考） 空心圆圈：不含这个数（＞、＜） 实心圆点：包含这个数（≥、≤） 方向口诀：大于向右画，小于向左画 4.高频易错点 (1)去分母漏乘常数项； (2)系数化为 1 时，除以负数忘记变号； (3)数轴虚实点混淆、方向画反。 知识点04:一元一次不等式组（四大解集模型）设 (a＜b) 知识点05:用一元一次不等式解决问题 核心解题步骤（6 步） 1.审：读题，分清已知量、未知量，找不等关系（抓关键词：大于、小于、不大于、至少、不超过、最多、不足等）。 2.设：设未知数（不设 “最多 / 至少”，直接设未知量，如 “设可买x件”）。 3.列：根据不等关系，列出一元一次不等式。 4.解：解一元一次不等式。 5.验：检验解集是否符合实际意义（如人数、件数为正整数，长度、重量为正数等）。 6.答：写出完整答案，明确 “最多 / 至少 / 不超过” 等结论。 题型 核心公式 销售利润 单件利润 = 售价−进价；总利润 = 单件利润 × 销量 经济方案 总费用 = 单价 × 数量 + 固定成本 行程 路程 = 速度 × 时间 分配 总量 = 单份数量 × 份数 ± 余量 知识点06:全章高频易错点（老师上课必强调） 1.混淆性质：乘除负数忘记改变不等号方向； 2.数轴表示：虚实圆点乱用、开口方向画反； 3.解不等式组：不会区分无解与有解； 4.整数解问题：多算、漏算 0、正负整数； 5.应用题：审题找不准不等关系，关键词判断错误； 6.参数题型：临界值等号取舍错误（最容易扣分）。 题型01.不等式的定义 1．下列数学表达式中是不等式的是（） A． B． C． D．0 2．不大于的倍，用不等式表示为_____________． 3．下列选项中，不能用不等式表示的是（    ） A．小于0 B．是正数 C．等于零 D．a比b大 题型02.不等式的解集 4．下列说法正确的是（　　） A．不等式的解是 B．不等式的解是 C．是不等式的一个解 D．是不等式的一个解 5．是下列不等式（    ）的一个解． A． B． C． D． 6．下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 题型03.不等式的性质 7．已知，下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，在数轴上的位置如图所示，则下列不等式中成立的是（     ） A． B． C． D． 9．已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型04.一元一次不等式的定义 10．下列不等式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 11．下列式子中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 12．若关于的一元一次不等式，则的值（　　） A． B．1或 C．或 D． 13．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型05.求不等式的解集 14．已知是不等式的一个解，则m的值可以是（     ） A． B． C． D．0 15．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_____． 16．若不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．已知关于的二元一次方程组，若方程组的解满足不小于．求的取值范围． 题型06.求不等式的整数解 18．不等式的非负整数解的和为（    ） A． B． C． D． 19．如果不等式只有个正整数解，则的取值范围是________． 20．定义新运算：对于任意实数，都有，如：，那么不等式的正整数解的个数是（ ） A． B． C． D． 21．已知关于，的方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围； (2)当为正整数时，求不等式的负整数解． 题型07.数轴上表示不等式解集 22．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 23．规定新运算：▲，例如：2▲1，若关于的不等式▲的解集在数轴上表示如图所示，则的值为__________． 24．某智能空调设置：当室内温度低于时自动开启制热模式，当室内温度高于时自动开启制冷模式．设室内温度为，当空调处于不工作状态时，t在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 25．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (1)         (2) 题型08.求不等式解的最值 26．将浓度为的的溶液加入到浓度为、质量为的溶液中，若要使蒸馏后得到的固体不少于克（假设蒸馏过程中无损耗），则至少要加入浓度为的溶液__________克． 27．已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D．1 28．有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2，同时区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，两区初始显示的数分别是和7． (1)按键1次后，求A，两区显示的结果的和； (2)若按键次后，A区的结果大于区的结果，求的最小值． 题型09.解|x|a型的不等式 29．已知x满足（x是整数），则x所有可能的值的绝对值之和为（   ） A．0 B．6 C．12 D．14 30．阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，，解得，所以； ②当，即时，，解得，所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，不等式的解集是____________． 31．先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 题型10.列一元一次不等式 32．“的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（   ） A． B． C． D． 33．下列根据数量关系列出的不等式错误的是（     ） A．x与2的积小于3： B．a是非负数： C．x与4的差不小于y的3倍： D．a的4倍与b的一半的和是负数： 34．本学期学校打算以知识竞赛的方式评选 “鹿鸣之星”．本次竞赛共有50道题，规定每答对一题得3分，答错或不答均扣2分．若得分不低于120分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对x道题，则有（     ） A． B． C． D． 35．某商场推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价为150元，标价为250元．现准备打折销售这种商品，且利润率不得低于，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 题型11.由不等式解决实际问题 36．某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题． 37．某中学在五一到来之际组织了一场以“强国有我”为主题的知识竞赛，这次竞赛共20道题，评分标准是____，小刚在这次竞赛中有2题未答，已知他的总分不低于80分，那么小刚至少答对的题数是多少？若设小刚答对了x道题目，可列不等式，则此次知识竞赛的评分标准是（   ）． A．答对1题给5分，答错1题扣2分，不答题不给分也不扣分． B．答对1题给5分，答错1题不扣分，不答题扣2分． C．答对1题给5分，答错1题或不答题扣2分． D．答对1题给5分，答错1题或不答题不给分也不扣分． 38．景德镇瓷器以白瓷闻名，素有“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磬”之称，品种齐全，曾达三千多种品名．五一假期期间，某陶瓷专卖店为了满足广大游客的需求，计划购进，两种陶瓷餐具进行销售．据了解，件种陶瓷餐具和件种陶瓷餐具的进价共计元；件种陶瓷餐具和件种陶瓷餐具的进价共计元． (1)求，两种陶瓷餐具每件的进价分别为多少元？ (2)该店计划购进、两种陶瓷餐具共件．已知种陶瓷餐具每件售价为元，种陶瓷餐具每件售价为元．为了保证全部售出后至少获利元，该店至少购进种陶瓷餐具多少件？ 题型12.由不等式解决几何问题 39．如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是_______． 40．圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝的长度为，圆圆从，两处弯曲，其中，她一定不能成功的是（    ） A． B． C． D． 41．如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 题型13.求不等组的解集 42．关于的不等式组的解如下图所示，则的值为_____． 43．定义：对于有理数a，符号表示不大于a的最大整数．例如：．若，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 44．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 45．解方程组及解不等式组： (1)解方程组 (2)解不等式组 题型14.求不等式组的整数解 46．不等式组的整数解为____________． 47．在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 48．若关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是______． 49．解不等式组并写出它的所有正整数解． 题型15.由不等式组解集求参数 50．不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的的值_____． 51．已知关于x的不等式组有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 52．已知不等式组的解集是，求的值． 题型16.由不等式组解集的情况求参数 53．若关于的不等式组有解，则的取值范围为___________． 54．对于定义了一种新运算，规定，关于的不等式组有且只有3个整数解，则实数k的取值范围是______． 55．已知关于x的不等式组的整数解有且仅有4个：，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 56．已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 题型17.不等式组和方程组结合的问题 57．已知关于、的方程组的解满足，则的取值范围是___． 58．关于x，y的方程组的解满足的值不小于7，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 59．关于x、y的方程组的解满足x、y均为负数． (1)求m的取值范围； (2)在（1）的条件下关于的不等式的解为，求m的整数值． 题型18.列一元一次不等式组 60．某长方体形状的容器长．宽，高．容器内原有水的高度为，现准备向它继续注水．用（单位：）表示新注入水的体积，写出的取值范围． 61．应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 62．新情景：（地方特色）利用以下素材解决问题． 素材1 “中国第一水乡”周庄，不仅有小桥流水的古韵，更藏着许多手工制作、传承百年的江南特色小吃，如袜底酥、青团、万三蹄等特色小吃，其中，万三蹄因明代富商沈万三而得名． 素材2 周庄古镇内某商店销售万三蹄，成本价是15元/个，分为线上，线下两种方式，都是整个出售，其中，线上1个和线下2个的售价共100元，线上2个和线下1个的售价共95元，五一小长假即将到来，预计今年5月1号到5号这五天的线上销售个数不多于1002个，两种方式的总销售个数达到4000个，总销售金额不多于135000元． (1)求万三蹄线上，线下的售价分别是每个多少元． (2)预计今年五一小长假万三蹄的线上销售个数可能有多少个？ (3)若万三蹄线上售价上涨m元/个，线下售价不变，则预计今年五一小长假这五天销售总利润是定值，请直接写出m的值． 题型19.方案选择问题 63．某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3个篮球和5个足球需要810元．根据以上信息解答： (1)购买1个篮球和1个足球各需要多少钱？ (2)学校计划采购篮球，足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，则有几种购买方案？哪一种方案所需费用最少？最少费用是多少元？ 64． “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购《西游记》和《骆驼祥子》两本书．经了解20本《西游记》和40本《骆驼祥子》共需1600元，20本《西游记》比20本《骆驼祥子》多400元． (1)求每本《西游记》和每本《骆驼祥子》各多少元？ (2)若学校要求购买《骆驼祥子》比《西游记》多20本，而且《西游记》不低于25本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案． 65．在某市创建全国卫生城市活动中，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍． (1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放23个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共50个，且费用不超过5000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 题型20.经济问题 66．某商场准备购进一批两种不同型号的衣服．已知购进种型号衣服1件和种型号衣服2件，共需元；购进种型号衣服2件和种型号衣服3件，共需元．销售一件种型号衣服可获利元，销售一件种型号衣服可获利元． (1)，两种型号衣服的进价各是多少元？ (2)若已知购进种型号衣服的数量是种型号衣服数量的2倍还多4件，要使在这次销售中获利不少于780元，且种型号衣服不多于件，则该商场在这次进货中，共有哪几种方案？ 67．广州市海心沙亚运公园经常有一些小商贩向游客售卖“小蛮腰”纪念品，纪念品有大小两种类型，（分别记为A型、B型）． (1)年国庆当天，明明与妹妹慧慧也在海心沙售卖“小蛮腰”纪念品，兄妹俩一天卖出两种型号的“小蛮腰”共个，售价A型每个元，B型每个元，销售额正好元，求A、B两种型号各卖出多少个？ (2)两种类型的“小蛮腰”纪念品批发价分别为元/个、元/个．国庆假最后一天，明明和慧慧拿元去进货，在售价与（1）相同的情况下，若要使当天利润不低于元，A型最多进多少个？ 68．国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． (1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ (2)甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ (3)已知每辆A型车的进价为15万元，每辆B型车的进价为20万元，在（2）的购车方案中，哪种方案的利润最高？最高利润是多少万元？ 题型21.行程与分配问题 69．为了筹备初三学生的心理赋能活动，学校准备采购心愿卡和明信片用于本次活动．心愿卡每件12元，明信片每件9元．计划一共采购100件，总费用不超过1100元，且心愿卡的数量不少于明信片数量的一半．则至少需要采购心愿卡多少件？ 70．年月日清晨时，湘江半程马拉松在长沙贺龙体育场南门鸣枪开赛．本届湘马用奔跑勾勒出长沙“山水洲城”的独特魅力，彰显湖湘儿女敢为人先的精神底色．赛道沿线精心打造多处氛围互动点．在公里赛点，长沙“湘A军团”球迷协会志愿者拿着喇叭为每一位经过的跑者加油鼓劲；在公里赛点，长沙市排舞运动协会志愿者手持小红旗，以整齐的排舞动作点燃赛场氛围．已知志愿者购买喇叭的单价比小红旗单价贵元，购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同． (1)分别求喇叭和小红旗的单价； (2)若两队志愿者共有人，排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，并且排成了一个纵排和横排人数相等的正方形的舞蹈队形，每位志愿者都手拿一面小红旗．请问排舞运动协会购买小红旗共花费了多少钱？ 71．热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 题型22.销售利润问题 72．某超市打算试销，两个品种的水果，拟定品种每箱售价比品种每箱售价贵25元，且已知销售2箱品种和3箱品种的总价为550元． (1)问A品种与品种每箱的售价分别是多少元？ (2)若品种每箱的进价为100元，品种每箱的进价为80元，现水果店打算购进A品种与品种共21箱，要求所花资金不高于1960元，且购进品种的数量不超过A品种数量的倍，则该超市应如何设计购进方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 73．在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的卡：甲型（高性能）和乙型（节能型）．已知购买10块甲型和5块乙型需200万元；购买15块甲型和10块乙型需325万元． (1)甲型、乙型单价各是多少万元？ (2)若需要购买卡70块，预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的10倍，有几种采购方案？ (3)若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？ 74．某超市销售A，B两种品牌的洗衣液，A品牌洗衣液每瓶进价30元，售价45元；B品牌洗衣液每瓶进价20元，售价30元． (1)若该超市一次性购进A，B两种品牌洗衣液共100瓶，总进价为2600元，求购进A，B两种品牌洗衣液各多少瓶？ (2)若该超市准备用不超过3200元的资金购进A，B两种品牌洗衣液共120瓶，且A品牌洗衣液的数量不少于B品牌洗衣液数量的，问该超市有几种进货方案？哪种进货方案获利最大？最大利润是多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03一元一次不等式期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.了解不等式、一元一次不等式、不等式解集等相关概念，能区分等式与不等式。 2.熟练掌握不等式的三条基本性质，重点区分性质 3 变号规则，明确与等式性质的区别。 3.掌握解一元一次不等式的完整解题步骤，能在数轴上正确表示解集。 4.理解一元一次不等式组、解集的概念，掌握四种解集类型并能快速判断。 5.熟记常见实际题型等量关系，会列一元一次不等式解决实际问题。 1.能规范求解一元一次不等式、不等式组，提升代数运算能力，规避变号易错问题。 2.能利用数轴分析解集、确定特殊解（整数解、非负整数解），培养数形结合思想。 3.能结合题意识别不等关系，准确抓取关键词，建立不等式数学模型。 4.能对比方程与不等式的异同，培养类比思想，提升综合分析问题能力。 1.基础题型：概念辨析、性质判断、简单解集求解，做到零失误。 2.计算题：熟练解不等式与不等式组，规范书写步骤、规范画数轴。 3.掌握整数解、参数问题等高频小题，突破易失分题型。 4.熟练掌握不等式应用题，重点攻克最值问题、方案选择问题，大题稳拿满分。 题型01.不等式的定义 题型02.不等式的解集 题型03.不等式的性质 题型04.一元一次不等式的定义 题型05.求不等式的解集 题型06.求不等式的整数解 题型07.数轴上表示不等式解集 题型08.求不等式解的最值 题型09.解|x|a型的不等式 题型10.列一元一次不等式 题型11.由不等式解决实际问题 题型12.由不等式解决几何问题 题型13.求不等组的解集 题型14.求不等式组的整数解 题型15.,由不等式组解集求参数 题型16.由不等式组解集的情况求参数 题型17.不等式组和方程组结合的问题 题型18.列一元一次不等式组 题型19.方案选择问题 题型20.经济问题 题型21.行程与分配问题 题型22.销售利润问题 知识点01:基础概念 1.不等式：用不等号连接的式子。常见符号：＞、＜、≥、≤、≠ 不等号的读法及其意义： 2.一元一次不等式：只含一个未知数、未知数次数为 1、分母不含未知数的整式不等式。标准形式：ax+b＞0、ax+b＜0 3.不等式的解：满足不等式的每一个未知数的值。 4.不等式的解集：所有解的集合；解集是范围，解是单个数值。 5.解不等式：求不等式解集的过程。 6.一元一次不等式组：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成。 7.不等式组的解集：几个不等式解集的公共部分。 知识点02:不等式基本性质（本章最核心、学生最大易错点） 性质 文字表述 数学符号表示 关键注意点 性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 若 a＞b， 则 a±c ＞ b±c。 加减任意数 / 式子，方向不变 性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 若 a＞b，c＞0， 则 ac ＞ bc，＞ 。 乘除正数，方向不变 性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 若 a＞b，c＜0， 则 ac ＜ bc， ＜ 易错点：乘除负数，必须变号 教师必讲：等式不存在变号；不等式只有乘除负数才变号。 知识点03:解一元一次不等式 1、解题五步流程（和解方程几乎一样，仅一处区别） 去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1 2、解方程与解不等式对比表 步骤 一元一次方程 一元一次不等式 去分母、去括号、移项、合并同类项 步骤完全一样 步骤完全一样 系数化为 1 无变号问题 除以负数，不等号反向 最终结果 一个固定数值 一个取值范围 3、数轴表示解集（必考） 空心圆圈：不含这个数（＞、＜） 实心圆点：包含这个数（≥、≤） 方向口诀：大于向右画，小于向左画 4.高频易错点 (1)去分母漏乘常数项； (2)系数化为 1 时，除以负数忘记变号； (3)数轴虚实点混淆、方向画反。 知识点04:一元一次不等式组（四大解集模型）设 (a＜b) 知识点05:用一元一次不等式解决问题 核心解题步骤（6 步） 1.审：读题，分清已知量、未知量，找不等关系（抓关键词：大于、小于、不大于、至少、不超过、最多、不足等）。 2.设：设未知数（不设 “最多 / 至少”，直接设未知量，如 “设可买x件”）。 3.列：根据不等关系，列出一元一次不等式。 4.解：解一元一次不等式。 5.验：检验解集是否符合实际意义（如人数、件数为正整数，长度、重量为正数等）。 6.答：写出完整答案，明确 “最多 / 至少 / 不超过” 等结论。 题型 核心公式 销售利润 单件利润 = 售价−进价；总利润 = 单件利润 × 销量 经济方案 总费用 = 单价 × 数量 + 固定成本 行程 路程 = 速度 × 时间 分配 总量 = 单份数量 × 份数 ± 余量 知识点06:全章高频易错点（老师上课必强调） 1.混淆性质：乘除负数忘记改变不等号方向； 2.数轴表示：虚实圆点乱用、开口方向画反； 3.解不等式组：不会区分无解与有解； 4.整数解问题：多算、漏算 0、正负整数； 5.应用题：审题找不准不等关系，关键词判断错误； 6.参数题型：临界值等号取舍错误（最容易扣分）。 题型01.不等式的定义 1．下列数学表达式中是不等式的是（） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式．根据不等式的定义逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：选项A．是用等号连接的等式，不符合不等式定义， 选项B．是代数式，未用不等号表示不等关系，不是不等式， 选项C．是用小于号连接的表示不等关系的式子，符合不等式的定义， 选项D．是单独的常数，属于代数式，不是不等式． 2．不大于的倍，用不等式表示为_____________． 【答案】 【分析】先确定的倍为，“不大于”表示不等关系为小于等于，根据题干描述即可列出对应不等式． 【详解】解：根据题意，的倍为， 不大于， 可得不等式：． 3．下列选项中，不能用不等式表示的是（    ） A．小于0 B．是正数 C．等于零 D．a比b大 【答案】C 【分析】根据选项语句描述概括出数量关系即可得出结论． 【详解】解：A.小于0，用不等式表示为：，故选项A不符合题意； B. 是正数，用不等式表示为：，故选项B不符合题意； C. 等于零，即，是相等关系，故选项C符合题意； D. a比b大，用不等式表示为：，故选项D不符合题意； 故选：C 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 题型02.不等式的解集 4．下列说法正确的是（　　） A．不等式的解是 B．不等式的解是 C．是不等式的一个解 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解和解集的定义．根据不等式的解集的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、不是不等式的解，故本选项不符合题意； B、不等式的解是所有小于0的数，故本选项不符合题意； C、不满足，故本选项不符合题意； D、是不等式的一个解，故本选项符合题意． 故选：D． 5．是下列不等式（    ）的一个解． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解，解题的关键是理解不等式的解的意义；把分别代入各选项判定即可； 【详解】解：、当时，，故本选项不符合题意； 、当时，，故本选项不符合题意； 、当时，，故本选项不符合题意； 、当时，，故本选项符合题意； 故选：． 6．下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式、不等式的解及解的判断方法，理解题意是解题的关键． 将代入各关系式，判断是否成立，若不成立，则不含有该解. 【详解】A、当时，，成立，不符合题意； B、当时，，，不成立，符合题意； C、当时，，，成立，不符合题意； D、当时，，，成立，不符合题意； 故选：B． 题型03.不等式的性质 7．已知，下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对选项A，∵，根据不等式基本性质，不等式两边同时加同一个整式，不等号方向不变， ∴两边同时加得，故A一定成立． 对选项B，若，由可得，例如时，，故B不一定成立． 对选项C，若，由可得，例如时，，故C不一定成立． 对选项D，举反例：取，，，满足，此时，故D不一定成立． 8．已知，，在数轴上的位置如图所示，则下列不等式中成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，，根据不等式的性质判断即可得到，，，． 【详解】解：由题意得，， 不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向要改变， ，故A成立； 不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变， ，故B不成立； 不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向要改变， ，故C不成立； 不等式两边同时加一个数，不等号方向不变， ，故D不成立． 9．已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由，不能得到，比如时，，故A错误； B、∵，∴，∴，故B错误； C、∵，当时，，故C错误； D、∵，，∴；故D正确. 题型04.一元一次不等式的定义 10．下列不等式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元一次不等式满足：左右两边为整式，只含有一个未知数，且未知数的次数为1，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、是分式，不等式左边不是整式，因此不是一元一次不等式，不符合题意； B、含有和两个未知数，因此不是一元一次不等式，不符合题意； C、未知数的次数为2，因此不是一元一次不等式，不符合题意； D、该不等式只含有1个未知数，且的次数为1，左右两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，符合题意． 11．下列式子中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义逐一判断选项，一元一次不等式需满足：只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式． 【详解】解：∵A选项满足所有三个条件，是一元一次不等式； B选项中未知数次数为2，不满足条件； C选项含有两个未知数，不满足条件； D选项中是分式，不等号左边不是整式，不满足条件． 12．若关于的一元一次不等式，则的值（　　） A． B．1或 C．或 D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， ， 或． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式． 13．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意得：且，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的不等式的解集为， ∴ ，且 ， ∴ ，解得： ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ，即 ， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解集的定义，解不等式，不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解集的定义，解不等式的基本步骤是解题的关键． 题型05.求不等式的解集 14．已知是不等式的一个解，则m的值可以是（     ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据不等式的解的定义，将已知解代入原不等式，求出m的取值范围，再对比选项得出正确结果． 【详解】解：∵是不等式的一个解． ∴将代入不等式得 ， 解得：． 四个选项中只有，符合要求． 15．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】先根据已知不等式的解集确定的符号，得到与的数量关系，再代入待求不等式，根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：， 移项，得， ∵解集是， ∴，且，即， 将代入不等式，得，， 合并同类项，得， ∵， ∴两边同除以，得． 16．若不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解两个不等式，得到第一个不等式的解集为 ，第二个不等式的解集为 ．由题意，所有满足第一个不等式的 都满足第二个不等式，因此需要 ，解此不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解：解不等式 ， ， ， ， 两边同乘 3 得 ， ， ， ∴ . 解不等式 ， ， ， ， 两边同除以-4，不等号方向改变， . ∵ 对于 的每一个值，都能使 成立， ∴ ， 两边同乘 10 得 ， ， ， ∴ . 因此， 的取值范围是 ， 故选： C． 【点睛】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于的不等式是解此题的关键． 17．已知关于的二元一次方程组，若方程组的解满足不小于．求的取值范围． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组得到，再将值代入不等式得到关于的不等式，求一元一次不等式解集即可． 【详解】解：关于的二元一次方程组， 由①②得，解得， 由①②得，解得， 方程组的解满足不小于， ， 解得． 题型06.求不等式的整数解 18．不等式的非负整数解的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解一元一次不等式得到的取值范围，再找出范围内的非负整数，计算它们的和即可得到结果． 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 不等式的非负整数解为 ，，， 非负整数解的和为，选项符合题意． 19．如果不等式只有个正整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先解不等式得到的取值范围，再确定个正整数解的具体值，据此得到的取值范围． 【详解】解：， 移项，得， ∵该不等式只有个正整数解， ∴正整数解为，，， ∴的取值范围为． 20．定义新运算：对于任意实数，都有，如：，那么不等式的正整数解的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据新定义列出关于的一元一次不等式，解不等式可得． 【详解】解：根据题意，原不等式转化为：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 系数化为，得：， 正整数解有个，为，，． 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 21．已知关于，的方程组的解满足不等式． (1)求实数的取值范围； (2)当为正整数时，求不等式的负整数解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，求不等式的整数解等知识，正确求解方程与不等式是解题的关键． （1）由加减消元法可得，即，即可求得a的取值范围； （2）根据（1）中所求a的范围可确定正整数a，代入不等式中，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：， 得：； ∵， ∴， 解得：； （2）解：∵，且a为正整数， ∴， 即不等式为， 解得：， ∴不等式的负整数解为． 题型07.数轴上表示不等式解集 22．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出不等式的解集，进而在数轴上表示出解集即可. 【详解】解：由，得； 在数轴上表示解集如图： 23．规定新运算：▲，例如：2▲1，若关于的不等式▲的解集在数轴上表示如图所示，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，用数轴表示不等式的解集，根据不等式的解集求参数，根据新定义，列出不等式，求出不等式的解集，结合数轴，确定的值即可． 【详解】解：由题意，得：▲， 解得：， 由数轴可知：， ∴， ∴； 故答案为： 24．某智能空调设置：当室内温度低于时自动开启制热模式，当室内温度高于时自动开启制冷模式．设室内温度为，当空调处于不工作状态时，t在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，即可得解． 【详解】解：根据题意可知： ， 在数轴上表示如下： 25．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (1)         (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示解集即可． 【详解】（1）解： 解得， ∴原不等式的解集为， 数轴表示为： （2）解： 解得， ∴原不等式的解集为， 数轴表示为： 题型08.求不等式解的最值 26．将浓度为的的溶液加入到浓度为、质量为的溶液中，若要使蒸馏后得到的固体不少于克（假设蒸馏过程中无损耗），则至少要加入浓度为的溶液__________克． 【答案】 【分析】设加入浓度为的溶液克，根据题意列不等式求解即可得到答案． 【详解】解：设加入浓度为的溶液克，则 ，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次不等式解实际问题，根据题意列出不等式是解决问题的关键． 27．已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】本题先根据已知条件用a表示b，结合a、b的非负性求出a的取值范围，，利用不等式的性质求最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 将代入得， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值，最小值为． 28．有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2，同时区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，两区初始显示的数分别是和7． (1)按键1次后，求A，两区显示的结果的和； (2)若按键次后，A区的结果大于区的结果，求的最小值． 【答案】(1)5 (2)4 【分析】本题考查有理数的混合运算以及一元一次不等式，能根据题意分别列出算式和不等式是关键． （1）根据题意列出算式计算即可； （2）根据A区的计算结果大于B区的计算结果列不等式，解出即可． 【详解】（1）解：按键1次后，，两区显示的结果的和； （2）解：由题意，得， 解得， 为整数， 的最小值为4． 题型09.解|x|a型的不等式 29．已知x满足（x是整数），则x所有可能的值的绝对值之和为（   ） A．0 B．6 C．12 D．14 【答案】C 【分析】先根据绝对值的性质求出满足条件的所有整数x，再计算所有x的绝对值之和，即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵是整数， ∴的所有可能取值为 ， ∴所有满足题意的的值的绝对值之和为． 30．阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，，解得，所以； ②当，即时，，解得，所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，不等式的解集是____________． 【答案】 【分析】仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集 【详解】解：， 当时，， ∴，解得， ∴； 当时，， ∴，解得， ∴， ∴原不等式的解集为． 31．先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、解不等式等知识点，从材料中得到解题方法是解题的关键． （1）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （2）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：， ∴或， ∴或． （3）解：在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值． ∵在数轴上1和对应的点的距离为3， ∴满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为． 故答案为． 题型10.列一元一次不等式 32．“的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，可列不等式为. 33．下列根据数量关系列出的不等式错误的是（     ） A．x与2的积小于3： B．a是非负数： C．x与4的差不小于y的3倍： D．a的4倍与b的一半的和是负数： 【答案】B 【详解】解：选项A：x与2的积为，小于3，列不等式得，A正确，不符合题意； 选项B：非负数是指大于或等于0的数，正确不等式应为，题目中表示负数，B错误，符合题意； 选项C：x与4的差为，不小于即大于等于，y的3倍为，列不等式得，C正确，不符合题意； 选项D：a的4倍为，b的一半为，和为负数即小于0，列不等式得，D正确，不符合题意． 34．本学期学校打算以知识竞赛的方式评选 “鹿鸣之星”．本次竞赛共有50道题，规定每答对一题得3分，答错或不答均扣2分．若得分不低于120分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对x道题，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别表示出答对得分和扣分数，再结合获奖的得分要求列出不等式即可． 【详解】解：设答对道题，则答错或不答的题数为道，根据题意得： ． 35．某商场推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价为150元，标价为250元．现准备打折销售这种商品，且利润率不得低于，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确打折的含义和销售问题中的等量关系以及不等关系列出不等式即可． 【详解】解：∵商品打折销售，标价为元， ∴实际售价为元． ∵利润售价-进价，商品进价为元， ∴利润为元． ∵利润率不得低于，利润率， ∴利润不得低于． ∴可列不等式为 ，即B选项符合题意． 题型11.由不等式解决实际问题 36．某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题． 【答案】18 【分析】设这个队答对了道题，则答错或不答道题，根据总得分基础分答对的题目数答错或不答的题目数，结合总得分不低于分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：设这个队答对了道题，则答错或不答道题， 根据题意得： ， 展开整理得 解得 的最小值为，即这个队至少答对了道题． 37．某中学在五一到来之际组织了一场以“强国有我”为主题的知识竞赛，这次竞赛共20道题，评分标准是____，小刚在这次竞赛中有2题未答，已知他的总分不低于80分，那么小刚至少答对的题数是多少？若设小刚答对了x道题目，可列不等式，则此次知识竞赛的评分标准是（   ）． A．答对1题给5分，答错1题扣2分，不答题不给分也不扣分． B．答对1题给5分，答错1题不扣分，不答题扣2分． C．答对1题给5分，答错1题或不答题扣2分． D．答对1题给5分，答错1题或不答题不给分也不扣分． 【答案】A 【分析】根据不等式中各项的含义，分别分析答对、答错、未答题的计分规则，从而确定评分标准． 【详解】解：已知一共20道题，2题未答，答对道，则答错的题目数量为， 不等式中： 表示答对道题，1题得5分的总得分； 表示答错道题，1题扣2分的扣分； 未答的2道题，式子中未涉及加减，说明不答题不给分也不扣分， 因此评分标准为：答对1题给5分，答错1题扣2分，不答题不给分也不扣分． 38．景德镇瓷器以白瓷闻名，素有“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磬”之称，品种齐全，曾达三千多种品名．五一假期期间，某陶瓷专卖店为了满足广大游客的需求，计划购进，两种陶瓷餐具进行销售．据了解，件种陶瓷餐具和件种陶瓷餐具的进价共计元；件种陶瓷餐具和件种陶瓷餐具的进价共计元． (1)求，两种陶瓷餐具每件的进价分别为多少元？ (2)该店计划购进、两种陶瓷餐具共件．已知种陶瓷餐具每件售价为元，种陶瓷餐具每件售价为元．为了保证全部售出后至少获利元，该店至少购进种陶瓷餐具多少件？ 【答案】(1) 种陶瓷餐具每件进价60元，种陶瓷餐具每件进价80元. (2) 至少购进种陶瓷餐具50件. 【分析】（1）首先根据题意列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设购进种陶瓷餐具件，根据“全部售出后至少获利元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设种陶瓷餐具每件进价为元，种陶瓷餐具每件进价为元， 则，解得 ∴种陶瓷餐具每件进价60元，种陶瓷餐具每件进价80元； （2）解：设购进种陶瓷餐具件，则购进种陶瓷餐具件， 根据题意，得， 解得， ∴最小整数的值为50， ∴至少购进种陶瓷餐具50件. 题型12.由不等式解决几何问题 39．如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：一颗玻璃球的体积为， ∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ∴， 解得：； ∵五颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴， 解得：； ∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：， 故答案为：． 40．圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝的长度为，圆圆从，两处弯曲，其中，她一定不能成功的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，解一元一次不等式，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列出不等式，即可解答． 【详解】解：，，能构成三角形， ， ， 解得， 又， ， 选项D不符合要求． 故选D． 41．如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当或时，的面积为 (3)当时，的面积大于 【分析】（1）根据，，可以求出点运动的路程，根据点运动速度即可求出需要的时间； （2）当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值；当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值； （3）当点在上运动时，可得，当点在上运动时，可得，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 点的运动速度为个单位长度每秒， 点整个运动过程中，共需秒； （2）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 综上所述，当或时，的面积为； （3）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当时，的面积大于． 题型13.求不等组的解集 42．关于的不等式组的解如下图所示，则的值为_____． 【答案】3 【分析】解不等式组得到不等式组的解集，和数轴得到的不等式组的解集比较即可得到答案． 【详解】解： 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， 数轴得到不等式组的解集为， ∴． 43．定义：对于有理数a，符号表示不大于a的最大整数．例如：．若，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义，得到，进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 44．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，进而确定不等式组的解集即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示如选项A所示． 45．解方程组及解不等式组： (1)解方程组 (2)解不等式组 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将方程组的第二个方程乘以2，再用第一个方程减去所得方程，可求出y的值； （2）分别求出每个不等式的解集，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小找不了（无解）”确定不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： 得，③， 得，，解得， 将代入②得，， 原方程组的解为； （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 该不等式组的解集为． 题型14.求不等式组的整数解 46．不等式组的整数解为____________． 【答案】，， 【分析】先分别求解不等式组中每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集，最后确定解集范围内的整数即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 则不等式组的解集为， 故不等式组的整数解为，，． 47．在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先分别解两个一元一次不等式，求出不等式组的解集，再找出解集中的整数，统计个数即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式的解集为， 整数解包括：0，1，2，3，4，共5个． 48．若关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先表示出不等式组的解集，根据不等式组只有3个整数解，确定出a的范围即可. 【详解】解： 解不等式，得， 解不等式， ， ， 因此不等式组的解集为， ∵不等式组只有3个整数解， ∴整数解为1， 2，3， 可得， 解得． 49．解不等式组并写出它的所有正整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有正整数解为，， 【分析】先分别求出每个不等式的解集，再根据“同小取小”的原则确定不等式组的解集，最后找出解集范围内的正整数即可． 【详解】解：解不等式得 解不等式得 原不等式组的解集为 不等式组的所有正整数解为，，． 题型15.由不等式组解集求参数 50．不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的的值_____． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据一元一次不等式组解集的确定法则“同大取大”，推导得到的取值范围，再写出一个符合条件的的值即可． 【详解】根据题意可得， 取满足的一个值即可， 故答案为（答案不唯一）． 51．已知关于x的不等式组有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式组，得到，根据“有且仅有三个正整数解”确定正整数解为1、2、3，进而列出关于的不等式；再解该不等式，得到的取值范围． 【详解】解：， 由①得， ， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 有且仅有三个正整数解， 正整数解为 1， 2， 3． ， 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ． ． 52．已知不等式组的解集是，求的值． 【答案】 【分析】解不等式组，用含a，b的式子表示出不等式组的解集，进而求出a，b的值，代入计算即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集是， ，， 解得，， ． 题型16.由不等式组解集的情况求参数 53．若关于的不等式组有解，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查根据一元一次不等式组的解集情况求解参数的取值范围，先分别解出两个一元一次不等式，再结合不等式组有解的条件，推导参数的取值范围即可． 【详解】解： 由①得： 由②得： 关于的不等式组有解 即． 54．对于定义了一种新运算，规定，关于的不等式组有且只有3个整数解，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据新定义化简关于a的不等式，根据不等式组有3个整数解，得到关于的不等式组，求解即可得到的取值范围． 【详解】解： 关于的不等式组可化为， 解不等式①得： ，即， 解不等式②得： ，即， 不等式组有且只有3个整数解，且， 整数解为 可得， 解得：． 55．已知关于x的不等式组的整数解有且仅有4个：，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，根据已知条件求出a，b的值成为解题的关键． 先解关于x的不等式组的解集，再根据其整数解确定a，b的值，进而确定的个数即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解， ∴ ， ∵不等式组的整数解，有且仅有4个：， ∴必须满足，解得， ∵a、b为整数， ∴或或，或6， ∴整数对有、、、、、，共6个． 故选：D． 56．已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 该不等式组无解， ， 解得：． 题型17.不等式组和方程组结合的问题 57．已知关于、的方程组的解满足，则的取值范围是___． 【答案】 【分析】根据加减消元法，得出，再结合，得到关于的不等式求解即可． 【详解】解：， 由得：， ， ， ， 58．关于x，y的方程组的解满足的值不小于7，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式．首先利用方程组得到关于的表达式，再根据题意列出关于的一元一次不等式求解即可． 【详解】解： ①－②，得 整理，得． ∵的值不小于7 ∴，即， 解得． 59．关于x、y的方程组的解满足x、y均为负数． (1)求m的取值范围； (2)在（1）的条件下关于的不等式的解为，求m的整数值． 【答案】(1) (2)m的整数值为 【分析】（1）先解方程组求出，，然后根据x、y均为负数列不等式组求解； （2）根据不等式的解为可得，结合（1）求出，找出其中的整数即可． 【详解】（1）解：， 由，得：； 即：． 将代入②，得：， ∵x、y均为负数 ∴， 解得：． （2）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴m的整数值为． 题型18.列一元一次不等式组 60．某长方体形状的容器长．宽，高．容器内原有水的高度为，现准备向它继续注水．用（单位：）表示新注入水的体积，写出的取值范围． 【答案】． 【分析】水的总体积不能超过容器的总体积，列出不等式组求解． 【详解】解：根据题意列出不等式组： 解得：． 【点睛】本题考查的是不等式组的应用，读懂题意，找到符合题意的不等关系式组是解决本题的关键． 61．应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 【答案】(1) (2)且且． 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）先求出所需乙种原料的质量为，再根据要求含有4200单位以上的维生素列出不等式即可得； （2）先求出所需乙种原料的质量为，再根据含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，列出不等式即可得． 【详解】（1）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素， ∴． （2）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元， ∴且且． 62．新情景：（地方特色）利用以下素材解决问题． 素材1 “中国第一水乡”周庄，不仅有小桥流水的古韵，更藏着许多手工制作、传承百年的江南特色小吃，如袜底酥、青团、万三蹄等特色小吃，其中，万三蹄因明代富商沈万三而得名． 素材2 周庄古镇内某商店销售万三蹄，成本价是15元/个，分为线上，线下两种方式，都是整个出售，其中，线上1个和线下2个的售价共100元，线上2个和线下1个的售价共95元，五一小长假即将到来，预计今年5月1号到5号这五天的线上销售个数不多于1002个，两种方式的总销售个数达到4000个，总销售金额不多于135000元． (1)求万三蹄线上，线下的售价分别是每个多少元． (2)预计今年五一小长假万三蹄的线上销售个数可能有多少个？ (3)若万三蹄线上售价上涨m元/个，线下售价不变，则预计今年五一小长假这五天销售总利润是定值，请直接写出m的值． 【答案】(1)线上30元/个，线下35元/个 (2)1000、1001、1002个 (3) 【分析】（1）设线上售价x元/个，线下售价y元/个，根据题意列出方程组求解即可； （2）设线上销售a个，线下销售个，根据题意列出不等式组即可求解； （3）根据题意列出代数式，然后化简即可． 【详解】（1）解：设线上售价x元/个，线下售价y元/个 根据题意得：， 解得：， ∴线上30元/个，线下35元/个； （2）解：设线上销售a个，线下销售个， 根据题意得：， 解得：， ∵a为整数， ∴， ∴线上销售个数可能有个或个或个； （3）解：根据题意得：利润， ∵预计今年五一小长假这五天销售总利润是定值， ∴， 解得：． 题型19.方案选择问题 63．某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球需要510元；购买3个篮球和5个足球需要810元．根据以上信息解答： (1)购买1个篮球和1个足球各需要多少钱？ (2)学校计划采购篮球，足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，则有几种购买方案？哪一种方案所需费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】(1)120元，90元 (2)一共有4种方案，方案一所需费用最少，最少的费用为5400元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用， 对于（1），先设购买1个篮球为x元，1个足球需要y元，再根据等量关系列出方程组，求出解即可； 对于（2），根据不等关系列出不等式组，求出解集得出方案． 【详解】（1）解：购买1个篮球需要x元，1个足球需要y元，根据题意，得 ， 解得， 所以购买1个篮球需要120元，1个足球需要90元； （2）解：设采购篮球m个，则足球个，根据题意，得 ， 解得， 所以， 一共有4种方案， 方案一：当采购篮球30个，足球20个时，所需费用为（元）； 方案二：当采购篮球31个，足球19个时，所需费用为（元）； 方案三：当采购篮球32个，足球18个时，所需费用为（元）； 方案四：当采购篮球33个，足球17个时，所需费用为（元）． ∵， ∴方案一所需费用最少，最少的费用为5400元． 64． “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购《西游记》和《骆驼祥子》两本书．经了解20本《西游记》和40本《骆驼祥子》共需1600元，20本《西游记》比20本《骆驼祥子》多400元． (1)求每本《西游记》和每本《骆驼祥子》各多少元？ (2)若学校要求购买《骆驼祥子》比《西游记》多20本，而且《西游记》不低于25本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案． 【答案】(1)每本《西游记》40元，每本《骆驼祥子》20元 (2)有2种购买方案，详见解析 【分析】（1）设每本《西游记》x元，每本《骆驼祥子》y元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设学校购买m本《西游记》，则购买本《骆驼祥子》，根据题意列出不等式组求出的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每本《西游记》x元，每本《骆驼祥子》y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每本《西游记》40元，每本《骆驼祥子》20元； （2）解：设学校购买m本《西游记》，则购买本《骆驼祥子》， 根据题意得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以为25，26， ∴该学校共有2种购买方案， 方案1：购买25本《西游记》，45本《骆驼祥子》； 方案2：购买26本《西游记》，46本《骆驼祥子》． 65．在某市创建全国卫生城市活动中，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍． (1)求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？ (2)该小区至少需要安放23个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共50个，且费用不超过5000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？ 【答案】(1)温馨提示牌的单价是50元，垃圾箱的单价是150元 (2)共有3种购买方案，分别是：方案1：购买23个垃圾箱，27个温馨提示牌；方案2：购买24个垃圾箱，26个温馨提示牌；方案3：购买25个垃圾箱，25个温馨提示牌；购买23个垃圾箱、27个温馨提示牌的方案所需资金最少，最少是4800元. 【分析】（1）设温馨提示牌的单价是x元，垃圾箱的单价是y元，根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱单价是温馨提示牌单价的3倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个垃圾箱，则购买个温馨提示牌，根据“至少需要购买23个垃圾箱，且购买费用不超过5000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出各购买方案，再求出选择各方案所需资金，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设温馨提示牌的单价是x元，垃圾箱的单价是y元， 依题意得：， 解得：． 答：温馨提示牌的单价是50元，垃圾箱的单价是150元． （2）解：设购买m个垃圾箱，则购买个温馨提示牌， 依题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案，方案1：购买23个垃圾箱，27个温馨提示牌；方案2：购买24个垃圾箱，26个温馨提示牌；方案3：购买25个垃圾箱，25个温馨提示牌； 选择方案1所需资金为（元）； 选择方案2所需资金为（元）； 选择方案3所需资金为（元）． ∵， ∴方案1所需资金最少，最少是4800元． 题型20.经济问题 66．某商场准备购进一批两种不同型号的衣服．已知购进种型号衣服1件和种型号衣服2件，共需元；购进种型号衣服2件和种型号衣服3件，共需元．销售一件种型号衣服可获利元，销售一件种型号衣服可获利元． (1)，两种型号衣服的进价各是多少元？ (2)若已知购进种型号衣服的数量是种型号衣服数量的2倍还多4件，要使在这次销售中获利不少于780元，且种型号衣服不多于件，则该商场在这次进货中，共有哪几种方案？ 【答案】(1)型号衣服每件元，型号衣服每件元； (2)有两种进货方案：①型号衣服购买件，型号衣服购进件；②型号衣服购买件，型号衣服购进件． 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意即可． （1）设型号衣服每件元，型号衣服每件元，由题意得，据此即可求解； （2）设型号衣服购进件，则型号衣服购进件，由题意得，据此即可求解； 【详解】（1）解：设型号衣服每件元，型号衣服每件元， 由题意得，解得， 答：型号衣服每件元，型号衣服每件元； （2）解：设型号衣服购进件，则型号衣服购进件， 由题意得 解得， 为正整数， 或， 当时，， 当时，． ∴有两种进货方案：①型号衣服购买件，型号衣服购进件；②型号衣服购买件，型号衣服购进件． 67．广州市海心沙亚运公园经常有一些小商贩向游客售卖“小蛮腰”纪念品，纪念品有大小两种类型，（分别记为A型、B型）． (1)年国庆当天，明明与妹妹慧慧也在海心沙售卖“小蛮腰”纪念品，兄妹俩一天卖出两种型号的“小蛮腰”共个，售价A型每个元，B型每个元，销售额正好元，求A、B两种型号各卖出多少个？ (2)两种类型的“小蛮腰”纪念品批发价分别为元/个、元/个．国庆假最后一天，明明和慧慧拿元去进货，在售价与（1）相同的情况下，若要使当天利润不低于元，A型最多进多少个？ 【答案】(1)A型卖出90个，B型卖出80个． (2)A型最多进30个． 【分析】（1）根据两种纪念品的总数量和总销售额两个等量关系，列二元一次方程组求解即可； （2）根据进货总资金不超过1000元，利润不低于800元列出不等式，求解得到A型进货数量的最大值． 【详解】（1）解：设A型卖出个，B型卖出个， 根据题意可得， 解得， 答：A型卖出90个，B型卖出80个； （2）解：设A型进个，B型进个， 根据题意，A型每个利润为（元），B型每个利润为（元）， 可得不等式组， 由第一个不等式整理得， 由第二个不等式整理得， 因此， 解得， 答：A型最多进30个． 68．国家一直倡导节能减排，改善环境，大力扶持新能源汽车的销售，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元． (1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ (2)甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？ (3)已知每辆A型车的进价为15万元，每辆B型车的进价为20万元，在（2）的购车方案中，哪种方案的利润最高？最高利润是多少万元？ 【答案】(1)每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元； (2)共有2种购车方案，方案1：购买2辆A型车，4辆B型车；方案2：购买3辆A型车，3辆B型车； (3)购买2辆A型车4辆B型车的方案利润最高，最高利润是30万元． 【分析】（1）设未知数根据两周的销售额列二元一次方程组，求解得到两种车的售价； （2）设A型车购买数量，根据A型车数量要求和购车费要求列一元一次不等式组，求整数解得到所有购车方案； （3）分别计算各方案的总利润，比较大小得到最高利润的方案和最高利润． 【详解】（1）解：设每辆A型车的售价为万元，每辆B型车的售价为万元，依题意得： ， 解得：， 答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元； （2）解：设购买辆A型车，则购买辆B型车，依题意得： ， 解得：， 又为正整数， 可以为2，3， 共有2种购车方案，方案1：购买2辆A型车，4辆B型车；方案2：购买3辆A型车，3辆B型车； （3）解：由题意得，每辆A型车的利润为（万元），每辆B型车的利润为（万元）， 方案1的总利润：（万元）， 方案2的总利润：（万元）， ， 购买2辆A型车，4辆B型车的方案利润最高，最高利润是30万元． 题型21.行程与分配问题 69．为了筹备初三学生的心理赋能活动，学校准备采购心愿卡和明信片用于本次活动．心愿卡每件12元，明信片每件9元．计划一共采购100件，总费用不超过1100元，且心愿卡的数量不少于明信片数量的一半．则至少需要采购心愿卡多少件？ 【答案】则至少需要采购心愿卡34件 【分析】本题为一元一次不等式组的实际应用题，解题思路是设采购心愿卡的数量为未知数，根据总费用限制和数量的不等关系列出不等式组，求解后结合件数为正整数的实际要求，得到最小采购数量． 【详解】解：设需要采购心愿卡x件，则采购明信片件，x为正整数， 根据题意可知：， 解不等式组得：， ∵x为正整数， ∴x的最小值为34， 答：则至少需要采购心愿卡34件． 70．年月日清晨时，湘江半程马拉松在长沙贺龙体育场南门鸣枪开赛．本届湘马用奔跑勾勒出长沙“山水洲城”的独特魅力，彰显湖湘儿女敢为人先的精神底色．赛道沿线精心打造多处氛围互动点．在公里赛点，长沙“湘A军团”球迷协会志愿者拿着喇叭为每一位经过的跑者加油鼓劲；在公里赛点，长沙市排舞运动协会志愿者手持小红旗，以整齐的排舞动作点燃赛场氛围．已知志愿者购买喇叭的单价比小红旗单价贵元，购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同． (1)分别求喇叭和小红旗的单价； (2)若两队志愿者共有人，排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，并且排成了一个纵排和横排人数相等的正方形的舞蹈队形，每位志愿者都手拿一面小红旗．请问排舞运动协会购买小红旗共花费了多少钱？ 【答案】(1)喇叭的单价为元，小红旗的单价为元 (2)元 【分析】（1）设小红旗单价为元，则喇叭的单价为元，根据“购买个喇叭与购买面小红旗的花费相同．”列出方程，即可求解； （2）设一横排有人，根据“排舞运动协会志愿者超过了总人数的三分之一但不到总人数的一半，”列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设小红旗单价为元，则喇叭的单价为元， 由题意得， ， 解得． ． 答：喇叭的单价为元，小红旗的单价为元． （2）解：设一横排有人， 由题意得，， 即，即 为整数，且， ． （元）． 答：排舞运动协会购买小红旗共花费了元． 71．热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 题型22.销售利润问题 72．某超市打算试销，两个品种的水果，拟定品种每箱售价比品种每箱售价贵25元，且已知销售2箱品种和3箱品种的总价为550元． (1)问A品种与品种每箱的售价分别是多少元？ (2)若品种每箱的进价为100元，品种每箱的进价为80元，现水果店打算购进A品种与品种共21箱，要求所花资金不高于1960元，且购进品种的数量不超过A品种数量的倍，则该超市应如何设计购进方案才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)品种每箱的售价是125元，品种每箱的售价是100元 (2)购进14箱品种和7箱品种时，利润最大，最大利润是490元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用和不等式组的应用，根据等量关系，列出方程组，根据不等关系，列出不等式组． （1）设A种每箱售价为元，种每箱售价为元，根据品种每箱售价比品种每箱售价贵25元，且已知销售2箱品种和3箱品种的总价为550元，列出不等式组，解不等式组即可； （2）设购进品种箱，则品种箱，根据所花资金不高于1960元，且购进品种的数量不超过A品种数量的倍，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设A种每箱售价为元，种每箱售价为元，根据题意得： ， 解得：， 答品种每箱的售价是125元，品种每箱的售价是100元； （2）解：设购进品种箱，则品种箱， ， 解得， 取正整数， 可取12 ，13 ，14， 方案一：品种12箱，品种9箱， 利润元； 方案二：品种13箱，品种8箱， 利润元； 方案三：品种14箱，品种7箱， 利润元； 答：购进14箱品种和7箱品种时，利润最大，最大利润是490元． 73．在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的卡：甲型（高性能）和乙型（节能型）．已知购买10块甲型和5块乙型需200万元；购买15块甲型和10块乙型需325万元． (1)甲型、乙型单价各是多少万元？ (2)若需要购买卡70块，预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的10倍，有几种采购方案？ (3)若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)甲型单价是15万元，乙型单价是10万元 (2)共有2种采购方案 (3)采购甲型60块、乙型10块时商家获得利润最大，最大利润是340万元 【分析】（1）设甲型、乙型单价各是万元，万元，由购买10块甲型和5块乙型需200万元；购买15块甲型和10块乙型需325万元，可列出二元一次方程组，即可解答； （2）设购买甲型a块，根据预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的10倍，列出一元一次不等式组，解出解集，再根据a为整数，即可解答． （3）根据a的取值，逐个计算，即可解答． 【详解】（1）解：设甲型、乙型单价各是万元，万元，依题意，得 ， 解得． 答：甲型、乙型单价各是15万元，10万元． （2）解：设购买甲型a块，依题意，得 解①，得， 解②，得， 解③，得， ∴不等式组的解集为， ∵a为整数 ∴a的取值为59，60，共2种采购方案． （3）解：当时，（万元）， 当时，（万元）， ∵，（块） ∴采购甲型60块、乙型10块时商家获得利润最大，最大利润是340万元． 74．某超市销售A，B两种品牌的洗衣液，A品牌洗衣液每瓶进价30元，售价45元；B品牌洗衣液每瓶进价20元，售价30元． (1)若该超市一次性购进A，B两种品牌洗衣液共100瓶，总进价为2600元，求购进A，B两种品牌洗衣液各多少瓶？ (2)若该超市准备用不超过3200元的资金购进A，B两种品牌洗衣液共120瓶，且A品牌洗衣液的数量不少于B品牌洗衣液数量的，问该超市有几种进货方案？哪种进货方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) 购进A品牌洗衣液60瓶，B品牌洗衣液40瓶. (2) 共有41种进货方案，购进A品牌洗衣液80瓶，B品牌洗衣液40瓶时获利最大，最大利润是1600元. 【分析】（1）设购进A品牌洗衣液瓶，购进B品牌洗衣液瓶，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）设购进A品牌洗衣液瓶，则购进B品牌洗衣液瓶，根据题意列出一元一次不等式组并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：设购进A品牌洗衣液瓶，购进B品牌洗衣液瓶， 根据题意，可得， 解得 ， 答：购进A品牌洗衣液60瓶，B品牌洗衣液40瓶； （2）解：设购进A品牌洗衣液瓶，则购进B品牌洗衣液瓶， 根据题意，可得， 解得， ∴共有种进货方案， ∵A品牌洗衣液每瓶的利润为元；B品牌洗衣液每瓶的利润为，， ∴A品牌洗衣液越多时，利润越高， ∴购进A品牌洗衣液80瓶，B品牌洗衣液瓶时获利最大，最大利润是元. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $