专题02一次方程组期末复习讲义(22大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年华东师大版七年级数学下册

专题02一次方程组期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解二元一次方程、二元一次方程组、方程组的解等核心概念，能准确辨别相关方程与方程组。 2.掌握代入消元法和加减消元法两种基本解法，理解消元思想的本质。 3.了解三元一次方程组的概念，掌握其简单解法。 4.梳理各类实际应用题型，熟记常见问题的等量关系。 1.能根据方程组特点，灵活选择合适的消元方法，提升运算准确率与解题效率。 2.熟练掌握解方程组的规范步骤，纠正运算、符号类常见错误。 3.学会分析实际问题，精准提取条件、找出等量关系，建立方程组模型。 4.强化消元、转化的数学思想，提升代数推理与综合分析能力。 1.概念类选择、填空题零失误，夯实基础得分点。 2.方程组计算题型步骤完整、格式规范、计算无误。 3.熟练解答常规应用题，快速列式、准确求解并规范作答。 4.突破含参数方程组、图表信息题、综合拓展题，全面减少失分。 题型01:.二元一次方程的定义 题型02:二元一次方程的解 题型03.二元一次方程组的判定 题型04.二元一次方程组解的判定 题型05.由方程组的解求参数 题型06.代入消元法 题型07.加减消元法 题型08.二元一次方程组的特殊解法 题型09.错解复原问题 题型10.由实际问题列方程组 题型11.构造方程组求解 题型12.方程组解的情况求参数 题型13.方程组相同解问题 题型14.由几何问题列方程组 题型15.行程问题 题型16.工程问题 题型17.分配问题 题型18.销售利润问题 题型19.和差倍分问题 题型20.三元一次方程组的定义及解 题型21.三元一次方程组的应用 题型22.新定义运算 知识点01:基础核心概念 1.二元一次方程 含有两个未知数，含未知数的项次数都是 1，且分母不含未知数的整式方程。标准形式：ax+by=c 2.二元一次方程的解 满足方程的一对未知数的值；一个二元一次2.方程有无数组解。 3.二元一次方程组 由两个二元一次方程组成，含有两个相同未知数。 4.方程组的解 同时满足方程组中两个方程的一组未知数的值；公共解，唯一一组（常规题型）。 知识点02:概念对比表 名称 未知数个数 最高次数 解的个数 一元一次方程 1 个 1 唯一解 二元一次方程 2 个 1 无数组解 二元一次方程组 2 个 1 大多唯一解 知识点03:二元一次方程组两种解法（本章核心） 两种解法对比表 解法 适用题型 解题核心 优点 代入消元法 某一个未知数系数为1；容易直接变形 变形式、代入消元、化二元为一元 简单易懂，适合基础薄弱学生 加减消元法 同一未知数系数相同或互为相反数；系数成倍数 同加同减，消去同一个未知数 计算更快，期末考试主流解法 (一)代入消元法步骤 (二)加减消元法步骤 (三)高频易错点（教师必强调） 1.代入法：回代时代入原始简单方程，不要代入变形后的方程； 2.加减法：方程扩倍时所有项必须同时乘，常数项最容易漏乘； 3.符号混乱：负数加减、去括号符号出错； 4.最终答案必须加大括号，不加大括号直接扣分。 知识点04:列二元一次方程组解应用题（期末大题必考） (一)解题黄金五步走（环环相扣，不踩坑） 审→设→列→解→验答，五步闭环搞定所有应用题，核心是找等量关系！ 1.审：圈关键词，分清已知 / 未知，锁定两个核心未知量+两个等量关系（题眼！）； 2.设：直接设（问啥设啥）or 间接设（设中间量，简化计算），带单位，明含义； 3.列：用未知数翻译等量关系，列出二元一次方程组（等式两边量纲一致，别漏单位）； 4.解：代入消元法 / 加减消元法二选一，算出未知数的值（计算别粗心，消元要 5.验答：两步验证→①代入方程组，看是否成立；②贴合实际问题（人数、数量不能为负 / 小数），最后规范写答，带单位。 (二):等量关系 “寻宝指南”（应用题的核心密码） 所有题型的本质都是找等量关系，这些 “高频线索” 直接圈，一找一个准！ ● 配套问题:根据配套比例（如 1 张桌子配 4 把椅子）列出方程，通常涉及生产人数、天数分配。 ● 行程问题:基本关系：路程 = 速度 × 时间。相遇问题：总路程 = 速度和 × 时间；追及问题：路程差 = 速度差 × 时间；注意同时出发、早出发等情况。 ● 工程问题:基本关系：工作量 = 工作效率 × 时间；常将总工作量看作 1，或给出具体数值。 ● 分配问题:如物资分配、人员调配，根据总量和部分量关系列方程。 ● 销售利润问题:售价 = 进价 + 利润；利润率 = 利润 ÷ 进价；打折、提价、降价后的等量关系。 ● 和差倍分问题:直接根据 “和”“差”“倍”“分” 列方程。 (三).应用题型方法速查表. 题型 等量关系 出题特点 和差倍比问题 和 = 两数相加；差 = 大数−小数；倍数关系 最简单，基础必考 行程问题 路程 = 速度 × 时间；相遇、追及、航行 分值高，综合类常考 销售利润问题 总价 = 单价 × 数量；利润 = 售价−进价 期末最爱考大题 配套问题 零件数量之比 = 配套比例 学生易错，等量难找 工程问题 总工作量 = 效率 × 时间；合作效率相加 常设总量为 1 知识点05:三元一次方程组及其解法 1. 三元一次方程 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程，叫做三元一次方程。 一般形式：ax+by+cz=d（a、b、c、d为常数，a0，b0，c0）。 2. 三元一次方程组 定义：由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 3. 解法（核心：消元→二元→一元） 基本思路：通过代入法或加减法，消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再解二元一次方程组，最后回代求出第三个未知数。 步骤： 1 消：利用代入或加减，消去一个未知数，得到二元一次方程组； ② 解：解二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③ 回代：将这两个值代入原方程组中较简单的方程，求出第三个未知数的值；④ 写：写出三元一次方程组的解（用大括号联立三个未知数的值）。 题型01:.二元一次方程的定义 1．下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若 是关于的二元一次方程，则_____ 3．小江去商店购买签字笔和笔记本（签字笔的单价相同，笔记本的单价相同）．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱会不足，差25元；若购买19支签字笔和13本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买 17 支签字笔和9本笔记本，则（   ） A．他身上的钱会不足，差 95 元 B．他身上的钱会剩下 95 元 C．他身上的钱会不足，差 105 元 D．他身上的钱会剩下 105元 题型02:二元一次方程的解 4．若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则m的值是（    ） A．8 B．5 C． D． 5．已知二元一次方程的一个解是，的值为______． 6．方程的正整数解的个数等价于在排列1，1，1，1，1，1，1形成的6个空隙中，任选一个空用隔板隔离，比如排列1，，1，1，1，1等价于，排列1，1，1，1，，1等价于，因为原排列有6个空隙，所以方程共有6个正整数解；类似的，方程的正整数解的个数为（     ） A．15 B．20 C．10 D．19 题型03.二元一次方程组的判定 7．下列方程组中是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 8．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（  ） A． B． C． D． 9．下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型04.二元一次方程组解的判定 10．解为的方程组是（   ） A． B． C． D． 11．写出一个解为的二元一次方程组为________． 12．在下列方程组中，只有一个解的是（     ） A． B． C． D． 题型05.由方程组的解求参数 13．如果是关于x和y的二元一次方程的解，那么a的值是（　　） A． B． C．3 D．1 14．小明求得方程组的解为，则表示的数为__________． 15．若是关于的二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 16．已知关于x、y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不管取任何值，方程总有一个固定解，请求出这个解． 题型06.代入消元法 17．方程组的解是（     ） A． B． C． D． 18．已知方程组的解满足，则________． 19．解方程组 (1)； (2)． 题型07.加减消元法 20．二元一次方程组的解为________． 21．用加减法解方程组下列解法不正确的是（    ） A．，消去 B．，消去 C．，消去 D．，消去 22．解下列方程（组）： (1)； (2)． 23．解方程组： (1)； (2)． 题型08.二元一次方程组的特殊解法 24．若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为________． 25．学习数学就是一个不断发现问题，分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知关于m、n的二元一次方程组的解是，求关于x、y的二元一次方程组的解，小明经过思考后直接得到，解得，小明的这种求解思想是（   ） A．换元思想 B．数形结合思想 C．分类讨论思想 D．方程思想 26．阅读下面的内容，利用换元法解方程组时，可以设将方程组转化为，进行求解．运用此思路解决下列问题： (1)方程组的解为______． (2)若关于、的二元一次方程组的解为，求方程组的解． 题型09.错解复原问题 27．甲、乙两人解关于的方程组时，甲看错的值解得乙看错b的值解得则该方程组正确的解为______． 28．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 29．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得．求原方程组的正确解． 题型10.由实际问题列方程组 30．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某物流公司为提高工作效率．拟购买两种型号智能机器人．若买1台型机器人、4台型机器人，共需320万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元．求两种型号智能机器人的单价． 31．某公司生产甲、乙两款学习机，每天生产的甲款学习机的数量比生产的乙款学习机的数量多80台，3天生产的甲款学习机数量比4天生产的乙款学习机的数量多140台，该公司每天生产甲、乙两款学习机分别是多少台？ 32．某种自行车轮胎，若安装在前轮，行驶后报废；若安装在后轮，行驶后报废．小明新买了一辆自行车，同时安装了一对新轮胎（两个轮胎相同）． (1)如果小明在行驶一段路程后，将前、后轮胎交换位置，继续行驶直到两个轮胎同时报废．设交换前行驶了，交换后又行驶了．请根据题意，列出关于、的方程组． (2)计算和的值，并求出这辆自行车最多可以行驶多少千米． (3)如果小明希望在总行驶里程达到时恰好交换轮胎，并且交换后仍然继续行驶到两个轮胎同时报废．请问他的这个想法能否实现？请通过计算说明理由． 题型11.构造方程组求解 33．若定义，其中，为常数，且，，则的值为_______________． 34．我们定义：若整式M与N满足：（k为整数），我们称M与N为关于k的平衡整式，例如，若，我们称M与N为关于1的平衡整式．若与y为关于2的平衡整式，与为关于5的平衡整式，求的值为（   ） A．2 B． C．12 D．26 35．定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． (1)当时， ． (2)若，则 ． ． 题型12.方程组解的情况求参数 36．已知方程组的解满足，则k的值是______． 37．如果关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，那么k的值为（    ） A． B．3 C．5 D． 38．在解关于x，y的方程组时，甲把方程组中的a看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的b，求得的解为．求正确的的值． 题型13.方程组相同解问题 39．已知关于的方程组和有相同的解，则______． 40．已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D． 41．解答： (1)已知方程组与方程组的解相同，求、的值． (2)关于，的方程组的解满足，求． 题型14.由几何问题列方程组 42．将8个一样大小的小长方形进行拼图，可以拼成如图1所示的大长方形；或拼成如图2所示的大正方形，中间留下了一个边长为的小正方形，求小长方形的长和宽．若设小长方形的长为，宽为，则下列可列方程组________． 43．如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，设每块墙砖的长为，宽为，则符合右侧图形的方程组是（   ） A． B． C． D． 44．如图，在大长方形ABCD中，放入8个小长方形， (1)每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？ (2)图中阴影部分面积为多少平方厘米？ 题型15.行程问题 45．“网约出行”改变了人们的出行方式．某网约平台的打车出行计价规则为：打车总费用＝里程费+耗时费，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算．已知甲、乙两乘客用该平台网约打车出行，按其计价规则，其行驶里程数、平均车速及打车总费用等信息如下表： 乘客 里程数（公里） 平均速度（公里/时） 打车总费用（元） 甲 8 乙 (1)求x与y的值； (2)小明的妈妈也采用了该平台的打车出行方式，其出行的平均车速为公里/时，行驶了9公里，请你计算小明的妈妈应付车费多少元？ 46．从甲地到乙地的路是一段上坡路和一段下坡路．如果上坡平均每分钟走50m，下坡平均每分钟走100m，那么从甲地走到乙地需要25min，从乙地走到甲地需要20min．求从甲地到乙地上坡与下坡的路程． 47．如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． (1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等．求甲、乙两人的速度； (2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行，1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，则甲出发______分钟，两人与点的距离相等． 题型16.工程问题 48．一家商店进行装修．若请甲，乙两个装修队同时施工，8天可以完成装修；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天也可以完成装修．甲，乙两队单独完成装修各需多少天？ 49．某公司目前有A，B两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，求A，B两款植保无人机每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？ 50．为擦亮红塔区文旅名片，彰显“聂耳故乡·山水红塔”的独特魅力，进一步美化聂耳音乐广场玉湖环湖景致，让碧波映岸、步道含韵的生态画卷愈发靓丽，为市民游客打造宜居宜游的休闲胜地．现对一段长380米的环湖步道沿岸进行清淤整治，任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治30米，两队一共用时10天完成全部任务．则甲、乙工程队分别整治了多少天?（用二元一次方程组求解） 题型17.分配问题 51．某加工厂接到一批制作课桌椅的订单．已知该工厂有名工人，每人每天平均可以加工张课桌或把椅子，一套课桌有张课桌和把椅子，为了使每天加工的课桌和椅子刚好配套，求加工课桌和椅子的工人数量． 52．已知：用3辆型车和2辆型车装满货物一次可运货17吨；用1辆型车和1辆型车装满货物一次可运货7吨.某物流公司现有31吨货物需要运送，计划同时租用型车辆，型车辆，可以一次运完，且恰好每辆车都装满货物. (1)1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若租用型车每辆需租金100元，租用型车每辆需租金120元，请选出最省钱的租车方案并求出最少租车费. 53．综合与实践：设计制作纸盒方案 如图，有两种无盖纸盒，制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片和3个长方形纸片，竖式无盖纸盒需要1个正方形纸片和4个长方形纸片． 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 ① n个竖式无盖纸盒 n ② (1)现要制作横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个，则表格中①应填_________；②应填_________．（用含m、n的式子表示） (2)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (3)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 题型18.销售利润问题 54．某研学小组计划在暑假期间参加“非遗传承，研学之旅”活动．已知该活动有画糖人和剪纸两个体验项目，据了解体验2次画糖人的费用比1次剪纸的费用多10元，体验4次画糖人的费用和3次剪纸的费用相同．若体验画糖人的总次数是5人次，剪纸总次数是4人次，且用于这次活动的总预算为150元，请判断这个费用是否够用，并说明理由． 55．海南热带水果种类丰富、风味独特，其中火龙果以果形饱满、果肉清甜多汁、果香清爽怡人享誉四方，凤梨则以果形匀整、果肉脆嫩无渣、果香浓郁醇厚而深受喜爱．某超市欲同时购进一批火龙果和凤梨，市场调查1 kg火龙果比1 kg凤梨贵4元，若购进100 kg火龙果和200 kg凤梨共需2200元，则火龙果和凤梨的单价分别是多少元？ 56．近几年，新能源汽车日渐走俏．某汽车店计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解：2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计105万元；3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该店计划正好用300万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均需购买），请你写出所有购买方案． 题型19.和差倍分问题 57．某电器公司计划装运甲、乙两种家电到农村销售(规定每辆汽车按规定满载，且每辆汽车只能装同一种家电)，下表为每辆汽车装运甲、乙两种家电的台数．若用8辆汽车装运甲、乙两种家电300台到A地销售，问装运甲、乙两种家电的汽车各有多少辆？（用二元一次方程组解决） 家电种类 甲 乙 每辆汽车能装满的台数 30 40 58．为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购A、B两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个A型垃圾箱与3个B型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个A型垃圾箱的支出，比购买1个B型垃圾箱少20元．求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？ 59．列方程解下列问题： 随着机器人技术的飞速发展，智能机器人在我们的生产生活中发挥着越来越重要的作用．某工厂引入A、B两种类型的智能搬运机器人共同完成仓库货物的搬运任务．已知1台A型机器人和2台B型机器人每小时一共可搬运货物300箱，每台A型机器人比每台B型机器人每小时多搬运货物30箱． (1)求每台A型机器人和B型机器人每小时分别搬运多少箱货物； (2)工厂仓库现有3240箱货物需要紧急搬运，计划安排A、B两种共15台机器人共同完成搬运任务．当所有机器人同时开始到同时完成搬运任务时，所有A型机器人搬运的货物量是仓库货物总量的，则机器人完成这次搬运任务用了多少小时？ 题型20.三元一次方程组的定义及解 60．已知方程组，则________． 61．某校七年级举办的趣味运动会，共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目．规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记a分，第二名的班级记b分，第三名的班级记c分（，a，b，c均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和．该年级共有四个班，若这四个班比赛的总成绩分别为21，6，9，4，则的值为________． 62．解方程组： (1) (2) (3) 题型21.三元一次方程组的应用 63．江堤边发生管涌，江水不断涌到堤边一个原本干涸的池塘，假定每分钟涌出的水量相同，如果用两台抽水机抽水，分钟可以抽完池塘里的蓄水；如果用4台抽水机抽水，分钟可以抽完；如果要在分钟内将池塘里的蓄水抽完，那么至少需要抽水机多少台？ 64．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行多少千米？ 65．【学习材料】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例如：已知，求的值． 解：②①得，③ ③得， 所以，的值为3． 【类似迁移】 （1）已知，求的值． 【实际应用】 （2）学校运动会即将到来，六（2）班学生准备购买若干啦啦队道具积极准备入场表演，根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗需要66元；六（2）班共45位同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？ 题型22.新定义运算 66．如果对于非零的两个有理数和，规定☆．若，，则的值为__________． 67．定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． （1）当时，_______． （2）若，则_______，_______． 68．对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（   ） ①，； ②若，则； ③若，则m，n有且仅有2组整数解； ④若无论取何值时，的值均不变，则； ⑤若对任意有理数，都成立，则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 69．我们新定义：对于任意实数，，如果满足，那么称，互为“和谐数”，点为“和谐点”． (1)若为“和谐点”，求的值； (2)已知，是二元一次方程组的解，是否存在实数，使点为“和谐点”?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 70．规定；形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”. (1)方程的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____． (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02一次方程组期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解二元一次方程、二元一次方程组、方程组的解等核心概念，能准确辨别相关方程与方程组。 2.掌握代入消元法和加减消元法两种基本解法，理解消元思想的本质。 3.了解三元一次方程组的概念，掌握其简单解法。 4.梳理各类实际应用题型，熟记常见问题的等量关系。 1.能根据方程组特点，灵活选择合适的消元方法，提升运算准确率与解题效率。 2.熟练掌握解方程组的规范步骤，纠正运算、符号类常见错误。 3.学会分析实际问题，精准提取条件、找出等量关系，建立方程组模型。 4.强化消元、转化的数学思想，提升代数推理与综合分析能力。 1.概念类选择、填空题零失误，夯实基础得分点。 2.方程组计算题型步骤完整、格式规范、计算无误。 3.熟练解答常规应用题，快速列式、准确求解并规范作答。 4.突破含参数方程组、图表信息题、综合拓展题，全面减少失分。 题型01:.二元一次方程的定义 题型02:二元一次方程的解 题型03.二元一次方程组的判定 题型04.二元一次方程组解的判定 题型05.由方程组的解求参数 题型06.代入消元法 题型07.加减消元法 题型08.二元一次方程组的特殊解法 题型09.错解复原问题 题型10.由实际问题列方程组 题型11.构造方程组求解 题型12.方程组解的情况求参数 题型13.方程组相同解问题 题型14.由几何问题列方程组 题型15.行程问题 题型16.工程问题 题型17.分配问题 题型18.销售利润问题 题型19.和差倍分问题 题型20.三元一次方程组的定义及解 题型21.三元一次方程组的应用 题型22.新定义运算 知识点01:基础核心概念 1.二元一次方程 含有两个未知数，含未知数的项次数都是 1，且分母不含未知数的整式方程。标准形式：ax+by=c 2.二元一次方程的解 满足方程的一对未知数的值；一个二元一次2.方程有无数组解。 3.二元一次方程组 由两个二元一次方程组成，含有两个相同未知数。 4.方程组的解 同时满足方程组中两个方程的一组未知数的值；公共解，唯一一组（常规题型）。 知识点02:概念对比表 名称 未知数个数 最高次数 解的个数 一元一次方程 1 个 1 唯一解 二元一次方程 2 个 1 无数组解 二元一次方程组 2 个 1 大多唯一解 知识点03:二元一次方程组两种解法（本章核心） 两种解法对比表 解法 适用题型 解题核心 优点 代入消元法 某一个未知数系数为1；容易直接变形 变形式、代入消元、化二元为一元 简单易懂，适合基础薄弱学生 加减消元法 同一未知数系数相同或互为相反数；系数成倍数 同加同减，消去同一个未知数 计算更快，期末考试主流解法 (一)代入消元法步骤 (二)加减消元法步骤 (三)高频易错点（教师必强调） 1.代入法：回代时代入原始简单方程，不要代入变形后的方程； 2.加减法：方程扩倍时所有项必须同时乘，常数项最容易漏乘； 3.符号混乱：负数加减、去括号符号出错； 4.最终答案必须加大括号，不加大括号直接扣分。 知识点04:列二元一次方程组解应用题（期末大题必考） (一)解题黄金五步走（环环相扣，不踩坑） 审→设→列→解→验答，五步闭环搞定所有应用题，核心是找等量关系！ 1.审：圈关键词，分清已知 / 未知，锁定两个核心未知量+两个等量关系（题眼！）； 2.设：直接设（问啥设啥）or 间接设（设中间量，简化计算），带单位，明含义； 3.列：用未知数翻译等量关系，列出二元一次方程组（等式两边量纲一致，别漏单位）； 4.解：代入消元法 / 加减消元法二选一，算出未知数的值（计算别粗心，消元要 5.验答：两步验证→①代入方程组，看是否成立；②贴合实际问题（人数、数量不能为负 / 小数），最后规范写答，带单位。 (二):等量关系 “寻宝指南”（应用题的核心密码） 所有题型的本质都是找等量关系，这些 “高频线索” 直接圈，一找一个准！ ● 配套问题:根据配套比例（如 1 张桌子配 4 把椅子）列出方程，通常涉及生产人数、天数分配。 ● 行程问题:基本关系：路程 = 速度 × 时间。相遇问题：总路程 = 速度和 × 时间；追及问题：路程差 = 速度差 × 时间；注意同时出发、早出发等情况。 ● 工程问题:基本关系：工作量 = 工作效率 × 时间；常将总工作量看作 1，或给出具体数值。 ● 分配问题:如物资分配、人员调配，根据总量和部分量关系列方程。 ● 销售利润问题:售价 = 进价 + 利润；利润率 = 利润 ÷ 进价；打折、提价、降价后的等量关系。 ● 和差倍分问题:直接根据 “和”“差”“倍”“分” 列方程。 (三).应用题型方法速查表. 题型 等量关系 出题特点 和差倍比问题 和 = 两数相加；差 = 大数−小数；倍数关系 最简单，基础必考 行程问题 路程 = 速度 × 时间；相遇、追及、航行 分值高，综合类常考 销售利润问题 总价 = 单价 × 数量；利润 = 售价−进价 期末最爱考大题 配套问题 零件数量之比 = 配套比例 学生易错，等量难找 工程问题 总工作量 = 效率 × 时间；合作效率相加 常设总量为 1 知识点05:三元一次方程组及其解法 1. 三元一次方程 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程，叫做三元一次方程。 一般形式：ax+by+cz=d（a、b、c、d为常数，a0，b0，c0）。 2. 三元一次方程组 定义：由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 3. 解法（核心：消元→二元→一元） 基本思路：通过代入法或加减法，消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再解二元一次方程组，最后回代求出第三个未知数。 步骤： 1 消：利用代入或加减，消去一个未知数，得到二元一次方程组； ② 解：解二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③ 回代：将这两个值代入原方程组中较简单的方程，求出第三个未知数的值；④ 写：写出三元一次方程组的解（用大括号联立三个未知数的值）。 题型01:.二元一次方程的定义 1．下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：A、含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故选项不符合题意； B、原式变形为，含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故选项不符合题意； C、是二元一次方程，故选项符合题意； D、含有三个未知数，不是二元一次方程，故选项不符合题意； 2．若 是关于的二元一次方程，则_____ 【答案】/ 【分析】根据二元一次方程的定义，列出关于的一元一次方程，求解得到的值，再计算即可． 【详解】 是关于，的二元一次方程， 根据二元一次方程的定义，含未知数的项的次数均为， 可得 ，解得 ∴． 3．小江去商店购买签字笔和笔记本（签字笔的单价相同，笔记本的单价相同）．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱会不足，差25元；若购买19支签字笔和13本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买 17 支签字笔和9本笔记本，则（   ） A．他身上的钱会不足，差 95 元 B．他身上的钱会剩下 95 元 C．他身上的钱会不足，差 105 元 D．他身上的钱会剩下 105元 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的应用，设签字笔的单价为x 元，笔记本的单价为 y 元，根据题意，得到，进而得到，根据小江购买 17 支签字笔和9本笔记本的钱为元，进而得到剩余的费用为，整体代入法，求值即可． 【详解】解：设签字笔的单价为x 元，笔记本的单价为 y 元． 根据题意，得， 整理，得． ∵ 小江购买 17 支签字笔和9本笔记本的钱为元， ∴ ． 即小江身上的钱会剩下 95元． 故选 B． 题型02:二元一次方程的解 4．若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则m的值是（    ） A．8 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：把代入，得， 解得． 5．已知二元一次方程的一个解是，的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，求代数式的值，解题的关键是利用整体思想代入求解，将已知的方程的解代入原方程，得到与的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：把代入二元一次方程中， ∴， ∴； ∴． 6．方程的正整数解的个数等价于在排列1，1，1，1，1，1，1形成的6个空隙中，任选一个空用隔板隔离，比如排列1，，1，1，1，1等价于，排列1，1，1，1，，1等价于，因为原排列有6个空隙，所以方程共有6个正整数解；类似的，方程的正整数解的个数为（     ） A．15 B．20 C．10 D．19 【答案】A 【分析】本题仿照题干给出的隔板法思路求解，将7个1排成一排，要分成3个正整数部分，需要在中间空隙中选2个插入隔板，计算选法数量即可得到正整数解的个数． 【详解】解：∵方程的解为正整数， ∴均为大于等于1的正整数 仿照题干给出的示例，将7个1排成一排， 即 ∴7个1之间共有个空隙， 要将7个1分成3组，分别对应，需要从6个空隙中任选2个插入隔板， 计算选法总数：从6个空隙选第一个有6种选法，选第二个有5种选法，两个隔板顺序不影响结果， ∴总选法为， ∴方程的正整数解的个数为15， 题型03.二元一次方程组的判定 7．下列方程组中是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的定义判断即可，二元一次方程组需满足：一共含两个未知数，所有方程都是整式方程，未知数的最高次数为1． 【详解】解：A、方程组中共有x，y，z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故该方程组不是二元一次方程组； B、第一个方程不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义，故该方程组不是二元一次方程组； C、方程组共含x，y两个未知数，两个方程都是整式方程，且未知数的最高次数都是1，符合二元一次方程组的定义，故该方程组是二元一次方程组； D、第二个方程中项的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故该方程组不是二元一次方程组． 8．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程组需满足三个条件：①所有方程都是整式方程；②方程组总共只含两个未知数；③每个方程都是一次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A. ，共含x、y两个未知数，都是一次整式方程，是二元一次方程组，不符合题意； B. ，共含x、y、z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，符合题意； C. ，共含x、y两个未知数，都是一次整式方程，是二元一次方程组，不符合题意； D. ，共含x、y两个未知数，都是一次整式方程，系数为分数不改变次数，是二元一次方程组，不符合题意． 9．下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】解：①、符合二元一次方程组的定义，故①符合题意； ②、第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故②不符合题意； ③、符合二元一次方程组的定义，故③符合题意； ④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 题型04.二元一次方程组解的判定 10．解为的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二元一次方程组的解是能使方程组中每个方程左右两边相等的未知数的值，将代入验证， 代入得：，因此第一个方程应为，排除A， C； 再代入得：，因此第二个方程应为，排除B； 只有D的两个方程都满足． 11．写出一个解为的二元一次方程组为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，掌握含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程成为解题的关键． 直接根据二元一次方程组的定义写成方程组即可． 【详解】解：依题意，以为解的一个的二元一次方程组为． 故答案为：（答案不唯一）． 12．在下列方程组中，只有一个解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可通过化简方程组，根据两个方程系数的关系判断解的个数，两个一次方程对应未知数系数不成比例时，方程组只有一个解． 【详解】选项A：对于，将第二个方程两边同除以3，得，与第一个方程完全相同，因此方程组有无数个解，故A不符合要求； 选项B：对于，将第二个方程两边同除以2，得，与矛盾，因此方程组无解，故B不符合要求； 选项C：对于，将第一个方程两边同乘2，得，与矛盾，因此方程组无解，故C不符合要求； 选项D：对于，化简第二个方程得，两个方程未知数对应系数不成比例，联立可求得唯一解，因此方程组只有一个解，故D符合要求． 题型05.由方程组的解求参数 13．如果是关于x和y的二元一次方程的解，那么a的值是（　　） A． B． C．3 D．1 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将给定的解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：∵ 是方程的解， ∴， 解得． 14．小明求得方程组的解为，则表示的数为__________． 【答案】 【分析】已知方程组解中的的值，先将代入第一个方程求出的值，再将和代入第二个方程即可求出表示的数． 【详解】解：将代入得， 解得， 将，代入第二个方程得． 15．若是关于的二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了根据二元一次方程的解求参数，将代入中计算求解，即可解题． 【详解】解：若是关于的二元一次方程的解， ， 解得， 故选：C． 16．已知关于x、y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不管取任何值，方程总有一个固定解，请求出这个解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将变形为，分别令求得的值，即可求解； （2）先通过方程组解出、的值，再将、代入代数式求出即可； （3）将原式进行变换后即可求出这个固定解． 【详解】（1）解：， ∴， 当时，， 当时，， ∴的所有正整数解为， ； （2）解：由和得， ， 解得，代入得， ， 解得； （3）解：整理得， ， 根据题意得， 解得， 所以，这个固定不变的解为． 题型06.代入消元法 17．方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 将②代入①得，， 解得， 将代入②得，， ∴方程组的解为． 18．已知方程组的解满足，则________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，将代入原方程组中的第一个方程，求出和的值，再将和值代入第二个方程，从而求出的值. 【详解】解：的解满足 将代入得： ， 解得：， 把代入，解得， 把，代入得： ， 解得：． 故答案为：3 ． 19．解方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程组运用代入消元法解答即可； （2）方程组运用加减消元法解答即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②得：， 解得， 把代入①得：， 所以，方程组的解为； （2）解： 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 所以，方程组的解为． 题型07.加减消元法 20．二元一次方程组的解为________． 【答案】 【详解】解：化简，得， ，得 ， ∴． 将代入②得，， 解得． ∴． 21．用加减法解方程组下列解法不正确的是（    ） A．，消去 B．，消去 C．，消去 D．，消去 【答案】D 【分析】加减消元法要求消去某个未知数时，需使该未知数的系数化为相等或互为相反数，再通过加减运算消去该未知数，据此判断各选项即可． 【详解】解：A选项：得：，得：，两式相减可消去，该解法正确，故A选项不符合题意； B选项：得：，得：，两式相减可消去，该解法正确，故B选项不符合题意； C选项：得：，得：，两式相加可消去，该解法正确，故C选项不符合题意； D选项：可得：，整理得：，不能消去，该解法错误，故D选项符合题意． 22．解下列方程（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组． （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可； （2）用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得 移项，得； （2）解： 由①得，③ 由②得，④ ③-④得， 解得： 将代入③得， 解得， ∴． 23．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：得，， 解得， 把代入①得，， 解得． 方程组的解为． （2）解：整理得 ， ④得 ⑤， ③+⑤得， 解得， 把代入④得， 解得． 方程组的解为． 题型08.二元一次方程组的特殊解法 24．若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为________． 【答案】 【分析】把的两边都除以4变形为，然后把和看作一个整体，用换元法求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的解为， ∴， ∴． 25．学习数学就是一个不断发现问题，分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知关于m、n的二元一次方程组的解是，求关于x、y的二元一次方程组的解，小明经过思考后直接得到，解得，小明的这种求解思想是（   ） A．换元思想 B．数形结合思想 C．分类讨论思想 D．方程思想 【答案】A 【分析】令，，根据题意可得出，解出x，y即可． 【详解】解：令，， ∴原方程组可化为， 依题意，得， ∴， 解得． 小明这样解方程的思想是换元思想． 26．阅读下面的内容，利用换元法解方程组时，可以设将方程组转化为，进行求解．运用此思路解决下列问题： (1)方程组的解为______． (2)若关于、的二元一次方程组的解为，求方程组的解． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）设，，将原方程组可化为，解二元一次方程求得，从而可求得原方程组的解； （2）由已知得，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 解得， 解得， 所以原方程组的解为； （2）解：∵关于x，y二元一次方程组的解为， 方程组的解满足， 解得：． 题型09.错解复原问题 27．甲、乙两人解关于的方程组时，甲看错的值解得乙看错b的值解得则该方程组正确的解为______． 【答案】 【分析】先根据甲、乙看错的条件，分别求出正确的、的值，再代入原方程组求解． 【详解】解:甲看错的值，解得，将其代入，可得：， 解得：． 乙看错的值解得，将其代入，可得：， 解得：． ∴原方程为：． 对两边同时乘以，可得：①； 由可得：②； 将②代入①，得：， 解得：． 把代入②，解得：． ∴该方程组正确的解为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是利用甲、乙看错的条件分别求出正确的值，再代入原方程组求解． 28．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据甲看错了方程①中的a，将代入②中可求得b的值，根据乙看错了②中的b，将代入①中可求得a的值，由此可求得的值． 【详解】解：甲看错了①中的a，但②是正确的，所以满足方程②： ∴，解得； 乙看错了②中的b，但①是正确的，所以满足方程①： ∴，解得． ∴． 29．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得．求原方程组的正确解． 【答案】 【分析】甲看错了方程①中的，但他解出的答案满足正确的方程②，故将代入方程②可得的值，同理，将代入方程①可得的值利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 解得； 将代入方程得：， 解得． 即原方程组为，即， 将③代入①得：， 解得， 将代入③得：， 则原方程组的正确解为． 【点睛】这类题目不需要你去管甲和乙具体是怎么算错的，只需要抓住“错解中包含正确方程的信息”这一核心点，代入求值即可． 题型10.由实际问题列方程组 30．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某物流公司为提高工作效率．拟购买两种型号智能机器人．若买1台型机器人、4台型机器人，共需320万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元．求两种型号智能机器人的单价． 【答案】 型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元， 根据题意，得， 解得：， 答：型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元． 31．某公司生产甲、乙两款学习机，每天生产的甲款学习机的数量比生产的乙款学习机的数量多80台，3天生产的甲款学习机数量比4天生产的乙款学习机的数量多140台，该公司每天生产甲、乙两款学习机分别是多少台？ 【答案】该公司每天生产甲款学习机180台，生产乙款学习机100台 【分析】设甲为台，乙为台，每天生产的甲款学习机的数量比生产的乙款学习机的数量多80台，则，3天生产的甲款学习机数量比4天生产的乙款学习机的数量多140台，则，据此解答即可． 【详解】解：设该公司每天生产甲款学习机台，生产乙款学习机台． 由题意，得，   解这个方程组，得， 答：该公司每天生产甲款学习机180台，生产乙款学习机100台． 32．某种自行车轮胎，若安装在前轮，行驶后报废；若安装在后轮，行驶后报废．小明新买了一辆自行车，同时安装了一对新轮胎（两个轮胎相同）． (1)如果小明在行驶一段路程后，将前、后轮胎交换位置，继续行驶直到两个轮胎同时报废．设交换前行驶了，交换后又行驶了．请根据题意，列出关于、的方程组． (2)计算和的值，并求出这辆自行车最多可以行驶多少千米． (3)如果小明希望在总行驶里程达到时恰好交换轮胎，并且交换后仍然继续行驶到两个轮胎同时报废．请问他的这个想法能否实现？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)，千米． (3)小明的这个想法不能实现，理由见解析 【分析】（1）设交换前行驶了，交换后又行驶了．根据题意列出方程组即可； （2）方程组变形后求出方程组的解即可； （3）设交换前行驶了千米，求出前轮磨损和后轮磨损即可作出判断． 【详解】（1）解：设交换前行驶了，交换后又行驶了．则； （2）解； 整理得到 解得 ∴， 即这辆自行车最多可以行驶千米． （3）小明的这个想法不能实现，理由如下： 设交换前行驶了千米，则前轮磨损为，后轮磨损为， ∵， ∴在行驶到千米之前，后轮轮胎就已经报废，所以小明无法在行驶千米时交换轮胎， ∴小明的这个想法不能实现． 题型11.构造方程组求解 33．若定义，其中，为常数，且，，则的值为_______________． 【答案】 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，列出方程组，求出方程组的解即可得到的值． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 得：， 解得：． 34．我们定义：若整式M与N满足：（k为整数），我们称M与N为关于k的平衡整式，例如，若，我们称M与N为关于1的平衡整式．若与y为关于2的平衡整式，与为关于5的平衡整式，求的值为（   ） A．2 B． C．12 D．26 【答案】A 【分析】根据题中的新定义列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可求出的值． 【详解】解∶根据题意，得， 整理得， ，得， ∴． 35．定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． (1)当时， ． (2)若，则 ． ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． （1）当时，分别求出和即可得出答案； （2）根据条件列出方程组即可求出的值． 【详解】（1）解：当时， ， ， 故答案为：； （2）根据题意得： 解得： 故． 题型12.方程组解的情况求参数 36．已知方程组的解满足，则k的值是______． 【答案】 【分析】利用整体代换的思想，将原方程组中两个方程作差，得到与已知条件形式相同的表达式，进而建立关于的一元一次方程求解． 【详解】解：， ，得， 整理得， 原方程组的解满足， ， 解得． 37．如果关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，那么k的值为（    ） A． B．3 C．5 D． 【答案】C 【分析】由得：，从而得到，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∵， ∴， 解得：． 38．在解关于x，y的方程组时，甲把方程组中的a看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的b，求得的解为．求正确的的值． 【答案】6 【分析】把代入方程可求出b的值，把代入方程可求出c的值，再根据乙看错了方程组中的b，得解为，可知是方程的解，继而求出a的值；将a，b，c，的值代入原式后，计算即可． 【详解】解：把代入方程中，得， 解得， 把代入方程中，得， 解得， 把代入方程中，得， 解得； ∴． 题型13.方程组相同解问题 39．已知关于的方程组和有相同的解，则______． 【答案】5 【分析】本题主要考查解方程组，根据两个方程组有相同的解，则公共解满足所有方程，因此先联立不含参数的二元一次方程，求出公共解，再代入含参数的方程得到关于的方程组，求解后计算即可． 【详解】解：关于的两个方程组有相同的解， 联立不含参数的方程得， 两式相加，得， 解得， 将，代入得， 将代入得， 解得，， ， 故答案为：． 40．已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个方程组的解相同，说明这个解同时满足四个方程，因此先联立两个不含、的方程求出公共解、，再将解代入含、的方程，即可计算得到的值． 【详解】解： 两个方程组的解相同 联立不含、的方程得 ， 得 ，解得 ． 把代入得 ，解得 ． 将，代入含、的方程得， 方程④两边同除以得 ． ． 41．解答： (1)已知方程组与方程组的解相同，求、的值． (2)关于，的方程组的解满足，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知的两个方程组的解相同得到关于、的方程组，求出、的值，再将、的值代入含、的两个方程中，得到关于、的二元一次方程组，进而求出、的值即可； （2）解方程组求出，的值，再将，的值代入即可求出的值． 【详解】（1）解：∵方程组与方程组的解相同，， ∴这两个方程组的解也是方程组的解， 由①得， 将代入②得， 解得， 将代入①，得， 解得, ∴两个方程组的公共解为， 将代入含有，的方程组得， 得， 解得， 将代入③，得， 解得； （2）解：解方程组， 得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∵关于，的方程组的解满足， ∴将，代入得， 解得． 题型14.由几何问题列方程组 42．将8个一样大小的小长方形进行拼图，可以拼成如图1所示的大长方形；或拼成如图2所示的大正方形，中间留下了一个边长为的小正方形，求小长方形的长和宽．若设小长方形的长为，宽为，则下列可列方程组________． 【答案】 【分析】根据长方形的对边相等及正方形的邻边相等，即可得出关于的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得 ， 整理得． 43．如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，设每块墙砖的长为，宽为，则符合右侧图形的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设每块墙砖的长为，宽为，利用“3块横放比1块竖放高”和“2块横放比2块竖放低”这两个等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设每块墙砖的长为 ，宽为 ∵3块横放的墙砖高度为，1块竖放的墙砖高度为 ∴ 可得方程：，即 ∵2块横放的墙砖高度为，2块竖放的墙砖高度为 ∴可得方程：，即 ∴ 联立可得方程组：． 44．如图，在大长方形ABCD中，放入8个小长方形， (1)每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？ (2)图中阴影部分面积为多少平方厘米？ 【答案】(1)7厘米和2厘米 (2)53平方厘米 【分析】（1）设小长方形宽为x厘米，长为y厘米，由图象列二元一次方程组，代入消元法求解即可． （2）阴影面积为大长方形ABCD面积减去8个小长方形面积． 【详解】（1）设小长方形宽为x厘米，长为y厘米，则有 BC=4x+y=15，CD=2x+y，AB=9+x ∵AB=CD ∴2x+y =9+x 即x+y=9 故有二元一次方程组 将y=9-x代入4x+y=15有 4x+9-x =15 解得x=2 将x=2代入y=9-x 解得y=7 故小长方形的长和宽分别是7厘米和2厘米． （2）由（1）问可知大长方形长ABCD为15cm，宽为11cm，则长方形面积为15×11=165cm2 小长方形的面积为2×7=14cm2 由题干知长方形中有8个小长方形 故 即 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，列二元一次方程组解应用题的一般步骤，审：审题，明确各数量之间的关系，设：设未知数（一般求什么，就设什么），找：找出应用题中的相等关系，列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组，解：解方程组，求出未知数的值，答：检验方程组的解是否符合题意，写出答案． 题型15.行程问题 45．“网约出行”改变了人们的出行方式．某网约平台的打车出行计价规则为：打车总费用＝里程费+耗时费，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算．已知甲、乙两乘客用该平台网约打车出行，按其计价规则，其行驶里程数、平均车速及打车总费用等信息如下表： 乘客 里程数（公里） 平均速度（公里/时） 打车总费用（元） 甲 8 乙 (1)求x与y的值； (2)小明的妈妈也采用了该平台的打车出行方式，其出行的平均车速为公里/时，行驶了9公里，请你计算小明的妈妈应付车费多少元？ 【答案】(1)x的值为2，y的值为 (2)小明的妈妈应付车费元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数四则混合运算，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）根据甲、乙的打车总费用，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用打车总费用=里程费+耗时费，即可求出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：x的值为2，y的值为； （2）（元）． 答：小明的妈妈应付车费元． 46．从甲地到乙地的路是一段上坡路和一段下坡路．如果上坡平均每分钟走50m，下坡平均每分钟走100m，那么从甲地走到乙地需要25min，从乙地走到甲地需要20min．求从甲地到乙地上坡与下坡的路程． 【答案】从甲地到乙地上坡的路程为1000m，下坡的路程为500m 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是根据题意列出对应的二元一次方程组． 设从甲地到乙地上坡的路程为，下坡的路程为，根据时间=路程÷速度分别列出和的二元一次方程组，求出和的值即可． 【详解】解：设从甲地到乙地上坡的路程为，下坡的路程为， 根据題意，得 解得； 答：从甲地到乙地上坡的路程为，下坡的路程为． 47．如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点，星港街上的点与点的距离为． (1)若甲从点出发，骑车向北匀速直行；同时乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等．求甲、乙两人的速度； (2)若甲从点先出发，骑车向北匀速直行，1分钟后，乙从点出发，沿现代大道步行向东匀速直行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，则甲出发______分钟，两人与点的距离相等． 【答案】(1)，乙的速度是 (2)4分钟或7分钟 【分析】（1）设甲的速度是，乙的速度是，根据题意列出方程组，解出的值即可； （2）设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、，根据题意分、、三种情况分析，分别求出、与的关系式，结合列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：设甲的速度是，乙的速度是， ∵经过分钟或分钟时，甲、乙两人与点的距离相等 ∴， 解得：， 甲的速度是，乙的速度是； （2）解：设甲出发分钟后，甲、乙两人与点的距离分别为、， 甲到达A点所用时间为， ①当时，，， 令，则，解得（舍去）； ②当时，，， 令，则， 解得； ③当，，， 令，则， 解得：； 综上所述，甲出发4分钟或7分钟后，两人与点的距离相等． 题型16.工程问题 48．一家商店进行装修．若请甲，乙两个装修队同时施工，8天可以完成装修；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天也可以完成装修．甲，乙两队单独完成装修各需多少天？ 【答案】甲，乙两队单独完成装修各需12天和24天． 【分析】本题考列二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 设甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，根据题意，列二元一次方程组求解． 【详解】解：设甲队的工作效率为，乙队的工作效率为． 由题意，得， 解得， 甲单独完成装修天数：（天）， 乙单独完成装修天数：（天）． 答：甲，乙两队单独完成装修各需12天和24天． 49．某公司目前有A，B两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，求A，B两款植保无人机每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？ 【答案】 A款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒． 【分析】设A款植保无人机每小时可为x亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为y亩土地进行农药喷洒，根据“3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒”建立二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设A款植保无人机每小时可为x亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为y亩土地进行农药喷洒， 由题意得， 解得， 答：A款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒． 50．为擦亮红塔区文旅名片，彰显“聂耳故乡·山水红塔”的独特魅力，进一步美化聂耳音乐广场玉湖环湖景致，让碧波映岸、步道含韵的生态画卷愈发靓丽，为市民游客打造宜居宜游的休闲胜地．现对一段长380米的环湖步道沿岸进行清淤整治，任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治40米，乙工程队每天整治30米，两队一共用时10天完成全部任务．则甲、乙工程队分别整治了多少天?（用二元一次方程组求解） 【答案】 甲工程队整治了8天，乙工程队整治了2天 【分析】根据两队总工作天数为10天，两队整治的长度为380米，设出未知数后列出二元一次方程组求解即可. 【详解】解：设甲工程队整治了天，乙工程队整治了天， 根据题意列方程组得， 解得， 答：甲工程队整治了8天，乙工程队整治了2天. 题型17.分配问题 51．某加工厂接到一批制作课桌椅的订单．已知该工厂有名工人，每人每天平均可以加工张课桌或把椅子，一套课桌有张课桌和把椅子，为了使每天加工的课桌和椅子刚好配套，求加工课桌和椅子的工人数量． 【答案】人加工课桌，人加工椅子 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意正确找出等量关系．设人加工课桌，人加工椅子，根据题意列出二元一次方程组即可求解． 【详解】解：设人加工课桌，人加工椅子， 由题意得， 解得：， 答：人加工课桌，人加工椅子． 52．已知：用3辆型车和2辆型车装满货物一次可运货17吨；用1辆型车和1辆型车装满货物一次可运货7吨.某物流公司现有31吨货物需要运送，计划同时租用型车辆，型车辆，可以一次运完，且恰好每辆车都装满货物. (1)1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若租用型车每辆需租金100元，租用型车每辆需租金120元，请选出最省钱的租车方案并求出最少租车费. 【答案】(1)1辆型车装满货物一次可运货3吨，1辆型车装满货物一次可运货4吨 (2)有3种租车方案，详见解析 (3)方案三：租用型车1辆，型车7辆，最少租车费为940元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的整数解；熟练根据题意列出相对应的方程是解题的关键． （1）根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意列出二元一次方程，求其正整数解即可； （3）根据（2）的方案分别计算租车费，然后比较大小即可得出答案． 【详解】（1）解：设每辆型车、型车都装满货物一次可以分别运货吨、吨， 根据题意列方程组得， 解得， 答：1辆型车装满货物一次可运货3吨，1辆型车装满货物一次可运货4吨. （2）解：结合题意和（1）得， . ，都是正整数， 或或， 答：有3种租车方案： 方案一：租用型车9辆，型车1辆； 方案二：租用型车5辆，型车4辆； 方案三：租用型车1辆，型车7辆. （3）解：租用型车每辆需租金100元，租用型车每辆需租金120元， 方案一需租金：（元）； 方案二需租金：（元）； 方案三需租金：（元）， ， 最省钱的租车方案是方案三：租用型车1辆，型车7辆，最少租车费为940元. 53．综合与实践：设计制作纸盒方案 如图，有两种无盖纸盒，制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片和3个长方形纸片，竖式无盖纸盒需要1个正方形纸片和4个长方形纸片． 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 ① n个竖式无盖纸盒 n ② (1)现要制作横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个，则表格中①应填_________；②应填_________．（用含m、n的式子表示） (2)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (3)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 【答案】(1)； (2)能做成横式无盖纸盒60个，制作竖式无盖纸盒40个． (3)分配60名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套． 【分析】（1）根据制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片，竖式无盖纸盒需要和4个长方形纸片列代数式即可． （2）能做成横式无盖纸盒x个，制作竖式无盖纸盒y个，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可． （3）设分配x名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，则一天生产长方形纸板张，生产正方形纸板张，设生产横式无盖纸盒k个，制作竖式无盖纸盒h个，配套要求，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片， 则制作横式无盖纸盒m个，则需要个正方形纸片， ∵竖式无盖纸盒需要4个长方形纸片． 则制作竖式无盖纸盒n个，则需要个长方形纸片， 故答案为：，． （2）解：能做成横式无盖纸盒x个，制作竖式无盖纸盒y个， ， 解得：， 答：能做成横式无盖纸盒60个，制作竖式无盖纸盒40个． （3）解：设分配x名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板， 则一天生产长方形纸板张，生产正方形纸板张， 设生产横式无盖纸盒k个，制作竖式无盖纸盒h个，配套要求， 根据题意得：， ∵， ∴原式变成， 解得：， ∴， 答：分配60名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套． 题型18.销售利润问题 54．某研学小组计划在暑假期间参加“非遗传承，研学之旅”活动．已知该活动有画糖人和剪纸两个体验项目，据了解体验2次画糖人的费用比1次剪纸的费用多10元，体验4次画糖人的费用和3次剪纸的费用相同．若体验画糖人的总次数是5人次，剪纸总次数是4人次，且用于这次活动的总预算为150元，请判断这个费用是否够用，并说明理由． 【答案】这个费用不够用 【分析】先设体验1次画糖人的费用为元，体验1次剪纸的费用为元，根据题干给出的等量关系列出二元一次方程组，求解得到单次费用后，计算本次活动所需总费用，再与总预算150元比较大小，即可得出结论． 【详解】解：设体验1次画糖人的费用为元，体验1次剪纸的费用为元， 根据题意可得方程组， 解得， ∴所需总费用：（元）， 用于这次活动的总预算为150元，且 这个费用不够用． 55．海南热带水果种类丰富、风味独特，其中火龙果以果形饱满、果肉清甜多汁、果香清爽怡人享誉四方，凤梨则以果形匀整、果肉脆嫩无渣、果香浓郁醇厚而深受喜爱．某超市欲同时购进一批火龙果和凤梨，市场调查1 kg火龙果比1 kg凤梨贵4元，若购进100 kg火龙果和200 kg凤梨共需2200元，则火龙果和凤梨的单价分别是多少元？ 【答案】 火龙果单价为10元/，凤梨单价为6元/ 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意找出两个等量关系，设未知数后列出方程组，求解方程组即可求解． 【详解】解：设火龙果的单价为元/kg，凤梨的单价为元/kg 根据题意可得 将第一个方程变形为，代入第二个方程得 得 解得 把代入得， 答：火龙果的单价是10元/，凤梨的单价是6元/． 56．近几年，新能源汽车日渐走俏．某汽车店计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解：2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计105万元；3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该店计划正好用300万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均需购买），请你写出所有购买方案． 【答案】(1)A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元． (2)购进辆A型汽车，辆B型汽车；购进辆A型汽车，辆B型汽车；购进辆A型汽车，辆B型汽车． 【分析】（1）设出两种型号汽车的单价，根据“2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计105万元；3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计95万元”列二元一次方程组求解即可得到结果； （2）设出购进两种型号汽车的数量，根据总进价列出二元一次方程，结合两种型号汽车都需购买，即数量均为正整数的条件，找出所有符合的解，即可得到所有购买方案． 【详解】（1）解：设A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元． 根据题意得： 解得 答：A型汽车每辆进价为万元，B型汽车每辆进价为万元． （2）解：设购进A型汽车辆，购进B型汽车辆． 根据题意得： 变形得 均为正整数 为整数， 即是的正整数倍，且 由， 解得 符合条件的为 当时， 当时， 当时， 即所有购买方案为：购进辆A型汽车，辆B型汽车；购进辆A型汽车，辆B型汽车；购进辆A型汽车，辆B型汽车． 题型19.和差倍分问题 57．某电器公司计划装运甲、乙两种家电到农村销售(规定每辆汽车按规定满载，且每辆汽车只能装同一种家电)，下表为每辆汽车装运甲、乙两种家电的台数．若用8辆汽车装运甲、乙两种家电300台到A地销售，问装运甲、乙两种家电的汽车各有多少辆？（用二元一次方程组解决） 家电种类 甲 乙 每辆汽车能装满的台数 30 40 【答案】装运甲家电的汽车有2辆，装运乙家电的汽车有6辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系．设装运甲家电的汽车有x辆，装运乙家电的汽车有y辆．根据题目中的等量关系列出方程组，求解即可． 【详解】设装运甲家电的汽车有x辆，装运乙家电的汽车有y辆． 根据题意，得 解得 . 答：装运甲家电的汽车有2辆，装运乙家电的汽车有6辆． 58．为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购A、B两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个A型垃圾箱与3个B型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个A型垃圾箱的支出，比购买1个B型垃圾箱少20元．求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？ 【答案】 每个型垃圾箱50元，每个型垃圾箱120元 【分析】根据题意找出等量关系，设未知数列出方程组求解即可； 【详解】解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元， 由题意得：， 解得：， 答：每个型垃圾箱50元，每个型垃圾箱120元． 59．列方程解下列问题： 随着机器人技术的飞速发展，智能机器人在我们的生产生活中发挥着越来越重要的作用．某工厂引入A、B两种类型的智能搬运机器人共同完成仓库货物的搬运任务．已知1台A型机器人和2台B型机器人每小时一共可搬运货物300箱，每台A型机器人比每台B型机器人每小时多搬运货物30箱． (1)求每台A型机器人和B型机器人每小时分别搬运多少箱货物； (2)工厂仓库现有3240箱货物需要紧急搬运，计划安排A、B两种共15台机器人共同完成搬运任务．当所有机器人同时开始到同时完成搬运任务时，所有A型机器人搬运的货物量是仓库货物总量的，则机器人完成这次搬运任务用了多少小时？ 【答案】(1)每台A型机器人每小时搬运120箱，每台B型机器人每小时搬运90箱 (2)机器人完成这次搬运任务用了2小时 【分析】（1）设每台型机器人每小时搬运箱货物，每台型机器人每小时搬运箱货物，列出二元一次方程组，即可得到答案； （2）设安排型机器人台，则安排型机器人台，搬运时间为小时，根据A、B两种机器人搬运的货物量分别列出方程，联立方程组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设每台型机器人每小时搬运箱货物，每台型机器人每小时搬运箱货物， ， 解得， 答：每台A型机器人每小时搬运120箱，每台B型机器人每小时搬运90箱； （2）解：设安排型机器人台，则安排型机器人台，搬运时间为小时， ， 解得， 答：机器人完成这次搬运任务用了2小时． 题型20.三元一次方程组的定义及解 60．已知方程组，则________． 【答案】8 【分析】将乘以2，得，再减去即可得到解答． 【详解】解：， 由得：， 由得：． 61．某校七年级举办的趣味运动会，共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目．规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记a分，第二名的班级记b分，第三名的班级记c分（，a，b，c均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和．该年级共有四个班，若这四个班比赛的总成绩分别为21，6，9，4，则的值为________． 【答案】10 【分析】先求出的值，再结合且均为正整数的条件列举可能取值，根据最高总成绩排除不符合题意的情况，得到的值后计算乘积. 【详解】解：设本次趣味运动会五个比赛项目的记分总和为，则 . 四个班的总成绩分别为，，，， . ， 可得. ，且，，均为正整数， 当时： 若，则 ，满足； 若，则 ，此时五个项目都获得第一名的最高总分为 ，不符合题意，舍去； 当时，，，此时 ，不满足条件，舍去. 综上可得，，，， . 62．解方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先把方程②乘以4，再和方程①相加即可消元解答； （2）先把两个方程去分母，去括号，整理成标准形式，再用加减消元法可求解； （3）先把三个方程相加，可求出，，的和，然后用这个方程与其它方程相减即可求解． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：， 原方程组可变为：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． （3）解：， ，得， 即， ，得， ，得， ，得， ∴方程组的解为 题型21.三元一次方程组的应用 63．江堤边发生管涌，江水不断涌到堤边一个原本干涸的池塘，假定每分钟涌出的水量相同，如果用两台抽水机抽水，分钟可以抽完池塘里的蓄水；如果用4台抽水机抽水，分钟可以抽完；如果要在分钟内将池塘里的蓄水抽完，那么至少需要抽水机多少台？ 【答案】至少需要6台抽水机才能在分钟之内将水抽完 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是设出未知数，在不能具体解出所有未知数值得时候我们可以假设其中的一个未知数为常量，然后再代入计算． 设开始抽水前管道已经涌出a立方米的水，管道每分钟涌出b立方米的水，每台抽水机每分钟可以抽走c立方米的水，根据等量关系可建立方程组，解出a、b关于c的表达式，从而代入求解即可． 【详解】解：设开始抽水前管道已经涌出a立方米的水，管道每分钟涌出b立方米的水，每台抽水机每分钟可以抽走c立方米的水，则依题意得： ， 解得：， 如果要在分钟内将水抽完，则至少需要的抽水机台数为：． 答：至少需要6台抽水机才能在分钟之内将水抽完． 64．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行多少千米？ 【答案】这辆车将能行3750千米 【分析】此题考查了三元一次方程组的应用，设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1 km磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为．又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km．分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，得到方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km．由题意可得    两式相加，得， 则  ． 答：这辆车将能行3750千米． 65．【学习材料】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例如：已知，求的值． 解：②①得，③ ③得， 所以，的值为3． 【类似迁移】 （1）已知，求的值． 【实际应用】 （2）学校运动会即将到来，六（2）班学生准备购买若干啦啦队道具积极准备入场表演，根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗需要66元；六（2）班共45位同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？ 【答案】（1）18；（2）450元 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，理解题意并列得正确的方程组是解题的关键． （1）将两个方程相加后再两边同时除以2即可； （2）设买一条彩带需要x元，一个头饰需要y元，一面小红旗需要z元，根据题意列得方程组，然后整体求值即可． 【详解】解：（1）②+①得，③， 得，， 所以，的值为18； （2）设买一条彩带需要x元，一个头饰需要y元，一面小红旗需要z元， 由题可得， 得：， 所以，， 答：购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要450元． 题型22.新定义运算 66．如果对于非零的两个有理数和，规定☆．若，，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，需理解规定的意义和运算顺序，解决本题根据新定义的意义，求出是关键； 根据已知规定及两式，确定出的值，再利用新规定化简原式即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：，． ，解得： ． 67．定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． （1）当时，_______． （2）若，则_______，_______． 【答案】 1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． （1）当时，分别求出和即可得出答案； （2）根据新定义的运算列出方程组即可求出，的值． 【详解】解：（1）当时， ， ， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：， 故，， 故答案为：1；． 68．对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（   ） ①，； ②若，则； ③若，则m，n有且仅有2组整数解； ④若无论取何值时，的值均不变，则； ⑤若对任意有理数，都成立，则． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程（组），由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据，，，可确定（3）正确；根据，得出或，可确定（4）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，可确定（5）正确． 【详解】解：， ， 解得，故（1）正确； ， ， ， ， ，故（2）正确； 、均取整数， ，，， ∴，，（舍去），（舍去），（舍去），（舍去） ∴m，n有2组整数解，故（3）正确； ∵，无论取何值时，的值均不变， ， ∴或，故（4）不正确； ， ， ， 对任意有理数、都成立， ，故（5）正确； 综上所述：（1）（2）（3）（5）正确， 故选：C． 69．我们新定义：对于任意实数，，如果满足，那么称，互为“和谐数”，点为“和谐点”． (1)若为“和谐点”，求的值； (2)已知，是二元一次方程组的解，是否存在实数，使点为“和谐点”?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据“和谐点”的定义建立关于k的一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）解方程组，结合“和谐点”的定义建立关于m的一元一次方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：为“和谐点”， ∴根据题意，得， 解得； （2）解：存在，理由如下： 解方程组， 得， 点是“和谐点”， ， 即， 解得， 综上所述，当时，点是“和谐点”． 70．规定；形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”. (1)方程的“共轭二元一次方程”为________，它们组成的“共轭一方程组”的解为_____． (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可，解方程组即可； （2）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可求出“共轭系数”． 本题主要考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得方程的“共轭二元一次方程”为， 由题意，得， 解得， 故答案为：，． （2）解：由二元一次方程组为“共轭方程组”， 得， 解得， 故， 故此“共轭方程组”的共轭系数为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $