精品解析：吉林省吉林市第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

吉林一中2025-2026学年度下学期期中考试 高一数学（创）试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知复数满足（i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. i D. 3. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且，则向量的模长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，当角有两解时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形，，，将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，分别根据甲、乙、丙、丁四个条件判断三角形的形状，甲:；乙:；丙:；丁:．判断结果与其它三个不一样的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 已知向量，则（ ） A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为5 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 10. 若复数，则（ ） A. z的虚部为7 B. z在复平面内对应的点位于第三象限 C. D. z是方程的一个根 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P在内（含边界）且，则以下结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角是 B. 与平面所成的线面角的正切值为 C. 点P的运动轨迹长度为 D. 点P到平面ABCD距离的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，，则向量在向量方向上的投影向量为________． 13. 中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台，，，侧面面积为，则该正四棱台的体积为________. 14. 已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 直线经过两直线和的交点. （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长. 16. 如图，已知在四棱柱中，平面分别是､的中点. （1）求证：平面； （2）若底面为直角梯形，，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 现代传媒大厦是我市最高的标志性建筑．某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算传媒大厦的高度．如图（1）龙城大道沿线的水平路面上有两点、其中指向正西方向，首先利用百度地图测距功能测出长度为，接着在飞龙路沿线选定水平路面上可直接测距的、两点，测得，，，，学习小组根据上述条件计算出长度，并将其与的实际长度进行比较，若误差介于米米之间，则认为百度地图测距是正确的． （1）通过计算说明百度地图测距是否正确？（） （2）如图（2），小组在处测得现代传媒大厦楼顶在西偏北方向上，且仰角，在处测得楼顶在正北方向上，通过计算．若百度地图测出的是准确的，请根据以上数据测算出传媒大厦的高度（精确到1米） 18. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）若，点D在AC上，直线BD上一点P满足，在点C和点D的变化过程中， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当最小时，求的值． 19. 如图，顶点为的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，，垂足为，且，是的中点． （1）证明：平面； （2）当三棱锥的体积最大时，求的长； （3）是否存在一个点，满足点到点，，，，的距离均相等？若存在，求出二面角的余弦值的取值范围，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林一中2025-2026学年度下学期期中考试 高一数学（创）试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系求解. 【详解】直线的斜率为，又因为直线的一个方向向量为，所以该直线的斜率也为，故. 故选：C. 2. 已知复数满足（i为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. i D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的计算公式化简求，再化简求. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 3. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，，则，相交或异面，故错误； 对于B，，则与的关系可以是平行，相交或，故错误； 对于C，，则，故正确 对于D，如图，满足，不满足，故D错误. 4. 如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且，则向量的模长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，结合向量数量积的运算律求向量的模长. 【详解】由，又底面是正方形，且， 所以， 故. 故选：A 5. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，先由的面积求出及的值，再根据平面向量共线定理，向量的加法法则和平面向量基本定理求出，进而确定，求出，再利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】由，可得， 所以. 由可得. 因为为CD上一点，所以设， 则 . 因为， 所以，解得， 所以， 所以 (当且仅当，即时等号成立). 所以的最小值是. 6. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，当角有两解时，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：根据余弦定理和角C有两解，可得关于c的一元二次方程有两个正根，从而求解. 法二：根据角C有两解可知三角形存在两解的情形，利用其条件即可得出a的范围. 【详解】法一：由余弦定理可得，，所以. 因为角C有两解，所以关于c的一元二次方程有两个正根，所以， 解得，所以a的取值范围为. 法二：因为，，所以， 因为角C有两解，A为锐角，所以，即. 所以a的取值范围为. 7. 如图，四边形，，，将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，将几何问题转化为关于二面角的函数问题，再求解三角函数的最值即可. 【详解】取的中点记为，连接，，.，，则二面角的平面角为. 记二面角的大小为，则. 如图所示，以为原点，为轴，为轴， 过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系. ，. ，，. 直线和所成角为， ，. 当，即，有最小值，最小值为. 8. 在中，分别根据甲、乙、丙、丁四个条件判断三角形的形状，甲:；乙:；丙:；丁:．判断结果与其它三个不一样的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，结合二倍角公式判断甲、乙，利用正弦定理将边化角，再由两角差的正弦公式判断丙，利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式判断丁. 【详解】对于甲:，由正弦定理可得， 即，又，所以或，即或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形且； 对于乙:，由正弦定理可得， 所以， 又，所以，， 所以， 即，又，所以或， 即或，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形且； 对于丙:，由正弦定理可得， 所以，又且， 所以，所以，即，所以为等腰三角形； 对于丁:，由正弦定理可得， 所以， 即， 所以， 即， 所以或， 又且， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形且. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换公式一一计算. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分． 9. 已知向量，则（ ） A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为5 C. 若，则 D. 若，则与的夹角为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由向量垂直得数量积为0，列方程即可验算；对于B，先由向量平行列方程得参数，再由数量积验算即可；对于C，由向量线性运算、模的坐标运算公式验算即可；对于D，由向量夹角的余弦坐标公式验算即可. 【详解】对于A，若与垂直，则，解得，故A正确； 对于B，若，则，解得，则， 所以，故B错误； 对于C，若，则， 所以，，故C正确； 对于D，若，则， 所以，，， 则，故与的夹角不为，故D错误. 10. 若复数，则（ ） A. z的虚部为7 B. z在复平面内对应的点位于第三象限 C. D. z是方程的一个根 【答案】AD 【解析】 【详解】，其虚部为，A选项正确， 在复平面对应的点为，在第二象限，B选项错误. ，C选项错误. ，D选项正确. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P在内（含边界）且，则以下结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成的角是 B. 与平面所成的线面角的正切值为 C. 点P的运动轨迹长度为 D. 点P到平面ABCD距离的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用异面直线夹角的计算方法结合正方体的特征判定A；先证明平面，结合等体积法计算到平面的距离，由线面夹角的定义可判定B，由勾股定理及圆的周长公式可判定C，由数形结合结合正三角形内切圆的特征计算即可判定D. 【详解】对于A，在正方体中易知且， 所以异面直线与所成的角即或其补角，显然，即A错误； 连接，易知， 又平面，所以平面， 而平面，所以，同理可知， 即平面，设垂足为E，取的中点，连接， 则，所以， 连接，由勾股定理可知， 对于B，易知与平面所成的角为， 故B正确； 对于C，由三棱锥为正三棱锥可知为该正三角形的中心， 则三点共线，， 所以点轨迹为以E为圆心，为半径的圆上，该圆即正三角形的内切圆， 所以点P的运动轨迹长度为，故C正确； 对于D，假设P的轨迹圆与交于G点，由上可知， 而到底面的距离为2，所以到底面的距离为， 由图形可知点P到平面ABCD距离的取值范围是，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，，则向量在向量方向上的投影向量为________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过向量减法运算求出向量的坐标，再利用平面向量投影向量的计算公式求解即可. 【详解】由 ，及 ， 将 代入上式，计算得：  ， 则， ， 由在方向上的投影向量为， 代入上述结果得：  即向量在向量方向上的投影向量为. 13. 中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台，，，侧面面积为，则该正四棱台的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据梯形面积公式求出斜高，再利用勾股定理求出正四棱台的高，最后根据正四棱台体积公式计算体积. 【详解】取正四棱台的上下底面的中心，，棱，的中点，， 连接，，，，则，分别是正四棱台的高和斜高， 依题意，，解得， 在直角梯形中，，，，， 则， 所以正四棱台的体积. 故答案为： 14. 已知､分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到最小值即为所求. 【详解】由直线与间的距离为得，过作直线垂直于，如图， 则直线的方程为：，将沿着直线往上平移个单位到点，有， 连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，有，即四边形为平行四边形， 则，即有，显然是直线上的点与点距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值，而， 所以的最小值为= 故答案为： 【点睛】思路点睛：（1）合理的利用假设可以探究取值的范围，严谨的思维是验证的必要过程. （2）转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径. （3）数形结合使得问题更加具体和形象，从而使得方法清晰与明朗. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 直线经过两直线和的交点. （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求得两直线交点坐标，利用直线平行求得直线的斜率，进而可求直线的方程. （2）求得直线的方程，计算可求线与坐标轴围成的三角形周长. 【小问1详解】 由题意联立，解得，即直线过点， 直线的斜率为， 又直线与直线平行，所以直线的斜率为， 由直线的点斜式方程可得直线的方程为，即 【小问2详解】 由直线，可得，所以直线的斜率， 由（1）知直线过点，所以直线的方程为， 令，可得，所以直线与的交点， 令，可得，所以直线与的交点， 所以，又， 所以直线与坐标轴围成的三角形周长为. 16. 如图，已知在四棱柱中，平面分别是､的中点. （1）求证：平面； （2）若底面为直角梯形，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面平行的判定定理证明平面//平面，即可证得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求得直线与平面所成角的正弦值.. 【小问1详解】 取的中点，记为，连接，则//， 因为平面，平面，所以//平面； 连接，由//，得四边形是平行四边形， 所以//. 因为平面，平面， 所以//平面； 因为，平面， 所以平面//平面； 因为平面，所以平面. 【小问2详解】 因为平面，且，所以两两垂直. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， 因为分别是､的中点，所以. 所以. 设平面的法向量为，直线与平面所成角为， 则， 令，则，所以平面的一个法向量为. 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 现代传媒大厦是我市最高的标志性建筑．某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算传媒大厦的高度．如图（1）龙城大道沿线的水平路面上有两点、其中指向正西方向，首先利用百度地图测距功能测出长度为，接着在飞龙路沿线选定水平路面上可直接测距的、两点，测得，，，，学习小组根据上述条件计算出长度，并将其与的实际长度进行比较，若误差介于米米之间，则认为百度地图测距是正确的． （1）通过计算说明百度地图测距是否正确？（） （2）如图（2），小组在处测得现代传媒大厦楼顶在西偏北方向上，且仰角，在处测得楼顶在正北方向上，通过计算．若百度地图测出的是准确的，请根据以上数据测算出传媒大厦的高度（精确到1米） 【答案】（1）百度地图测距是正确的 （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用正弦定理可得，然后在中，利用余弦定理求出，进而可求出，结合判断规则判断即可. （2）在中，得到，在中，，代入求解即可. 【小问1详解】 设， 在中，，， 所以为等腰直角三角形，所以. 在中，，，，所以. 由正弦定理得，解得. 在中，由余弦定理得， 所以. 因为，所以， 因为，所以百度地图测距是正确的. 【小问2详解】 由题意知，，. 因为平面，，平面，所以，. 又，平面，，所以平面. 因为平面，所以. 在中，， 在中，， 故传媒大厦的高度约为. 18. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）若，点D在AC上，直线BD上一点P满足，在点C和点D的变化过程中， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当最小时，求的值． 【答案】（1） （2）（i） （ii） 【解析】 【分析】（1）运用正余弦定理化简等式，得到关于的余弦公式； （2）（ⅰ）建立坐标系，根据题意得到，运算得到点的轨迹方程，限定其坐标的取值范围，得到双变量函数，依次放缩，并注意取等条件. （ⅱ）注意上一问的取等条件，然后求出点的坐标，代入运算即可. 【小问1详解】 在中，因为，所以，代入得到， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 化简得， 又，， 所以 【小问2详解】 （i）因为，所以，所以 如图，建立平面直角坐标系 此时， 设， 因为，所以 设， 代入得， 整理得，解得 ，当且仅当取得等号 又因为，当且仅当取得等号， 所以的最小值为 （ii）此时，所以直线， ，所以直线， 联立，解得，所以 19. 如图，顶点为的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，，垂足为，且，是的中点． （1）证明：平面； （2）当三棱锥的体积最大时，求的长； （3）是否存在一个点，满足点到点，，，，的距离均相等？若存在，求出二面角的余弦值的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】（1）由题意知，平面，因为平面，所以. 又，，平面，，所以平面. （2） （3）存在点满足条件，二面角的余弦值的取值范围为 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理得到平面，在中求得，结合等体积法可得到当三棱锥的体积最大时，在中求解即可. （3）根据线面垂直的性质得到，，进而得到，，，四点共圆，圆心为中点；取中点，连接，可得到平面，结合勾股定理即可判断点即为所求的点；作，交于点，连接，证明平面，则即为二面角的平面角，在中求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，平面，因为，平面，所以，. 又，，平面，，所以平面. 因为，平面，所以，. 设过的一个轴截面交底面圆周于，点，则为等腰直角三角形， 所以，为等腰直角三角形，则， 又是的中点，所以，且. 因为，平面，，所以平面. 在中，. ， 当且仅当时，等号成立， 即当三棱锥的体积最大时，. 在中，，平面图如图： 在中，，，所以， 在中，. 故当三棱锥的体积最大时，的长为. 【小问3详解】 在四棱锥中， 由（2）得，平面，平面，所以，即. 又，即，所以，，，四点共圆，圆心为中点，记为. 取中点，连接，则， 由（2）得，平面，所以平面. 由，得， 故点即为所求的点. 作，交于点，连接， 因为平面，，平面，所以，. 又，平面，，所以平面. 因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角，记为. 在等腰中，，所以为中点，又为中点，所以. 在中，， 而，则，所以，故. 所以存在点满足条件，二面角的余弦值的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $