精品解析：陕西西安市藤信高级中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题

高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册至选择性必修第三册第八章第一节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，解得. 2. 若随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，， 得，则. 3. 已知等差数列满足，则（ ） A. 82 B. 41 C. 83 D. 84 【答案】A 【解析】 【详解】设等差数列的公差为，则， 得，即. 4. 若随机变量，且，则（ ） A. 60 B. 70 C. 80 D. 90 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，所以. 5. 某博物馆文保中心有4名实习生，需分配到碑刻拓印、金石传拓、裱装整理3个岗位，每个岗位至少1人，每人只负责1个岗位，则不同的分配方案种数为（ ） A. 40 B. 36 C. 24 D. 48 【答案】B 【解析】 【详解】先将4名实习生分成3组，有种方法，再分配到3个岗位，有种方法，所以共有种分配方案. 6. 深海沉积微体化石取样，单份样本完整可用的概率为0.6，各样本是否完整可用相互独立，现随机抽取份样本，设这份样本中完整可用的样本份数为，若，则（ ） A. 120 B. 12 C. 150 D. 15 【答案】D 【解析】 【详解】因为各样本是否完整可用相互独立，且每份样本完整可用的概率均为0.6，所以， 则，即，解得. 7. 若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化问题为在上有解，进而结合二次函数的性质求解即可. 【详解】根据题意可得在上有解， 即在上有解，所以， 由，得，则 ，所以， 则的取值范围为. 8. 若事件，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由条件概率公式求得，再对等式两边求导，赋值即可求解. 【详解】由， 所以， 对等式两边求导，得， 令，得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，且图1、图2、图3、图4中的样本相关系数分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】由图可知，图1和图2是正相关，图3和图4是负相关，则， 而图1和图3的点相对更加集中，所以相关性更强，则，即， 则. 10. 已知函数，则（ ） A. B. 恰有2个零点 C. 恰有2个极值点 D. 曲线在点处的切线方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，令，得，即可判断A；利用导数的几何意义求解判断D；利用导数的正负分析函数的单调性，进而求解判断BC. 【详解】由，得， 令，得，解得，故A正确； 则，，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即，故D正确； 由于的定义域为，且， 令，得，令，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数只有1个极值点，故C错误； 而， ， ， 结合的单调性可得恰有2个零点，故B正确. 11. 已知数列的前项和为，且满足，且对任意，不等式恒成立，则下列说法正确的是（ ） A. 为等差数列 B. C. D. 实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用作差法可得即可判断A；利用等差数列前项和公式可得即可判断B，利用裂项相消法求和即可判断C；分为奇数和为偶数求出的取值范围，进而可判断D． 【详解】当时，，解得， 当时，则， 所以，故， 因为，满足， 所以的通项公式为，为等差数列，A正确； ，，B错误； 因为， 所以，C正确； 由不等式，可得， 当为奇数时，，化简可得，所以， 当为偶数时，，化简可得，所以， 所以实数的取值范围为，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式的第3项是___________． 【答案】 【解析】 【详解】由的展开式的第3项是． 13. 设随机变量的分布列为，则常数________，________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【详解】由已知，解得. . 14. 图中矩形的个数为______． 【答案】82 【解析】 【分析】根据题意，分别在矩形、、、和中利用分步乘法计数原理进行计算即可. 【详解】在矩形中，含有矩形的个数为； 在矩形中，含有矩形的个数为； 在矩形中，含有矩形的个数为． 除去上面考虑的情况，在矩形中，含有矩形的个数为； 在矩形中，含有矩形的个数为． 故图中矩形的个数为． 故答案为：82. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知递增的等比数列满足，且成等差数列. （1）求的通项公式； （2）求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，结合等比数列通项公式的基本量计算可得公比的值，进而求解即可； （2）根据等比数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 因为成等差数列，所以. 设的公比为，则，即， 解得或，因为为递增数列，且，所以，则. 【小问2详解】 由， 所以. 16. 现有中国四大名著各1本和6本不同的外国文学名著，某同学要从中取出4本带给4位室友阅读，每人1本，假如取每一本书都是等可能的. （1）求4位室友每人得到的都是中国四大名著的概率； （2）设选出的4本书中有本是中国四大名著，求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 4 . 【解析】 【分析】（1）根据排列结合古典概型的概率公式可求对应的概率； （2）根据超几何分布可求的分布列及数学期望. 【小问1详解】 设事件为“4人每人得到的都是中国四大名著”， 则事件所含有的基本事件有个， 4人从中取出4本书的所有取法即基本事件总数为， 所以室友4人每人得到的都是中国四大名著的概率. 【小问2详解】 随机变量的所有可能取值为，，，，. ，，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 随机变量的数学期望. 17. 某实验室从包含和的8种不同的稀有同位素中选4种依次加样到同一个反应容器内（共4步加样顺序：第1步、第2步、第3步、第4步）.求在下列条件下，各有多少种不同的加样顺序. （1），都被选用且不能在相邻两步加样； （2），都被选用且的加样顺序先于； （3），中只有1种被选用且不能在中间两步加样. 【答案】（1）180 （2）180 （3）480 【解析】 【分析】（1）先选取除，外的2种不同的稀有同位素进行加样，再利用插空法求解即可； （2）先选取除，外的2种不同的稀有同位素，再与，的加样顺序进行全排列，进而结合题意求解即可； （3）先从，中选1种安排该稀有同位素在第1步或第4步加入，再从剩下的6种不同的稀有同位素中选3种在剩下的3步中加入，进而求解即可. 【小问1详解】 先从除，外的6种不同的稀有同位素中选2种进行加样，有种加样顺序， 再将，插到3个空位中，有种加样顺序， 所以共有种加样顺序. 【小问2详解】 先从除，外的6种不同的稀有同位素中选2种，有种选法， 再将选出的2种稀有同位素与，的加样顺序进行全排列，有种加样顺序. 因为的加样顺序先于，且，的加样顺序共有种， 所以共有种加样顺序. 【小问3详解】 先从，中选1种，有种选法， 再安排该稀有同位素在第1步或第4步加入，有种安排方法， 最后从剩下的6种不同的稀有同位素中选3种在剩下的3步中加入，有种加样顺序， 所以共有种加样顺序. 18. 某花艺工作室承接中式花艺和现代花艺这两类花艺设计，根据以往的设计作品数据，中式花艺作品占，现代花艺作品占．设计师设计的中式花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因细节瑕疵不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因意境独特仍被客户采纳．设计师设计的现代花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因搭配疏漏不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因创意新颖仍被客户采纳．现从设计师以往所有的花艺作品中随机抽取一单花艺作品． （1）求这单花艺作品达到设计标准的概率； （2）若这单花艺作品未被客户采纳，求该单花艺作品是中式花艺作品的概率；（结果用分数表示） （3）求这单花艺作品达到标准且被客户采纳的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)利用全概率公式计算出单花艺作品达到设计标准的概率即可； (2)利用全概率公式计算出单花艺作品未被客户采纳的概率,再利用贝叶斯公式计算该单花艺作品是中式花艺作品的概率； (3)利用全概率公式计算这单花艺作品达到标准且被客户采纳的概率； 【小问1详解】 设事件：这单花艺作品达到设计标准,事件: 抽取一单花艺作品为中式花艺作品， 事件: 抽取一单花艺作品为现代花艺作品，那么 . 【小问2详解】 设事件：单花艺作品未被客户采纳，那么 ， 所以，若这单花艺作品未被客户采纳，求该单花艺作品是中式花艺作品的概率为 ; 【小问3详解】 设事件：单花艺作品达到标准且被客户采纳,那么 . 19. 已知函数，. （1）若，证明：对任意恒成立. （2）若对任意恒成立，求的取值范围. （3）若，证明：对任意正整数，都有. 【答案】（1）若，则. 令，，则， 设，，则， 所以函数在上单调递增，则， 所以函数在上单调递增，则， 故对任意恒成立. （2） （3）由（1）知，当时，对任意恒成立，且时，等号成立， 令，则 ，所以， 构造函数，， 因为 ，所以在上单调递增， 则，即，， 令，则， 所以 ， 故. 【解析】 【分析】（1）令，，求导，分析函数的单调性，进而求证即可； （2）令，，可得，问题等价于对任意恒成立，可得，可得，再分、两种情况证明时，对任意恒成立，即可求解； （3）结合（1）令可得，构造函数，，利用导数分析其单调性，可得，，令，可得，进而求证即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由对任意恒成立， 令，，则， 问题等价于对任意恒成立，则， 而，则，即. 下面证明时，对任意恒成立， 当时，，则 ， 所以， 令 ，则， 所以函数在上单调递增，则，所以， 则在上单调递增，所以； 当时， ，，则 ， 所以 . 综上所述，的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册至选择性必修第三册第八章第一节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 2. 若随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列满足，则（ ） A. 82 B. 41 C. 83 D. 84 4. 若随机变量，且，则（ ） A. 60 B. 70 C. 80 D. 90 5. 某博物馆文保中心有4名实习生，需分配到碑刻拓印、金石传拓、裱装整理3个岗位，每个岗位至少1人，每人只负责1个岗位，则不同的分配方案种数为（ ） A. 40 B. 36 C. 24 D. 48 6. 深海沉积微体化石取样，单份样本完整可用的概率为0.6，各样本是否完整可用相互独立，现随机抽取份样本，设这份样本中完整可用的样本份数为，若，则（ ） A. 120 B. 12 C. 150 D. 15 7. 若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若事件，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，且图1、图2、图3、图4中的样本相关系数分别为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. B. 恰有2个零点 C. 恰有2个极值点 D. 曲线在点处的切线方程为 11. 已知数列的前项和为，且满足，且对任意，不等式恒成立，则下列说法正确的是（ ） A. 为等差数列 B. C. D. 实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式的第3项是___________． 13. 设随机变量的分布列为，则常数________，________. 14. 图中矩形的个数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知递增的等比数列满足，且成等差数列. （1）求的通项公式； （2）求的前项和. 16. 现有中国四大名著各1本和6本不同的外国文学名著，某同学要从中取出4本带给4位室友阅读，每人1本，假如取每一本书都是等可能的. （1）求4位室友每人得到的都是中国四大名著的概率； （2）设选出的4本书中有本是中国四大名著，求随机变量的分布列及数学期望. 17. 某实验室从包含和的8种不同的稀有同位素中选4种依次加样到同一个反应容器内（共4步加样顺序：第1步、第2步、第3步、第4步）.求在下列条件下，各有多少种不同的加样顺序. （1），都被选用且不能在相邻两步加样； （2），都被选用且的加样顺序先于； （3），中只有1种被选用且不能在中间两步加样. 18. 某花艺工作室承接中式花艺和现代花艺这两类花艺设计，根据以往的设计作品数据，中式花艺作品占，现代花艺作品占．设计师设计的中式花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因细节瑕疵不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因意境独特仍被客户采纳．设计师设计的现代花艺作品达到设计标准的概率为，且达标作品中，仍有的作品因搭配疏漏不被客户采纳；未达标作品中，有的作品因创意新颖仍被客户采纳．现从设计师以往所有的花艺作品中随机抽取一单花艺作品． （1）求这单花艺作品达到设计标准的概率； （2）若这单花艺作品未被客户采纳，求该单花艺作品是中式花艺作品的概率；（结果用分数表示） （3）求这单花艺作品达到标准且被客户采纳的概率． 19. 已知函数，. （1）若，证明：对任意恒成立. （2）若对任意恒成立，求的取值范围. （3）若，证明：对任意正整数，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $