陕西西北大学附属中学2025-2026学年下学期期中检测高二数学试题

西北大学附中25-26下学期期中检测 高二数学试题 一、选择题（合计8小题，每题4分，共32分） 1.若函数f()=ax2+有两个极值点，则实数a的取值范围为() A.（-3,0 B.(0, c.(o,) D.（) 2.已知等比数列{a}的前n项和为Sn,且S5+S3=2S4+6,a3a6=27,则{a的公比为() A.3或号 B.3或-号 c.V或号 D.V或-盟 3.己知ab=1,若在a,b之间插入3个数x1,x2,x3,使这5个数构成等比数列，则x1x2x3=() A.-1 B.1 C.-1或1 D.-2或2 4.已知a,B,Y成等差数列，2sina-siny=2cosB,2cosa+cosy=3sinB,则cos(a+y)=() A-品 B.i c.3 D.1 5.已知等差数列{a}的前n项和为Sm,若a2+a1o=20,S5=5,则ag=() A.13 B.19 C.25 D.33 6.移动互联网给人们的沟通交流带来了方便.如微信，既可供用户彼此添加好友”单独交流，又可供多个 用户建立一个“群”(“群”里的人彼此不一定是“好友”关系)共同交流.如果某人在微信上发了朋友圈，他的 “好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到.现有一个10人的“群’，其中1人在朋友圈上发了一条 信息，“群里有3人看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有()种 A.256 B.255 C.128 D.84 7.若a>1,b>10,且na+1=21,b+e10-b=31,则b-na=() A.-10 B.In10 C.10 D.10n10 8.定义在R上的函数f(x)满足：f(-1+x)-f(-1-x)=0,且f(1+x)+f(1-x)=0,当x∈[-1,1]时， f(x)=ax3-x2-1,则f(x)的最大值与最小值的差为() A.8 B.6 C.4 D.2 二、多选题（本题共3小题，每小题4分，共18分） 9.赓续绵延秦川情，携手共谱新篇章.2026年“十五五筹备期间，某中学向全校学生征集“立上游一新陕 西主题宣传文案，共收到300篇作品.由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于 分为优秀，若征文得分X(单位：分)近似服从正态分布N(75,σ2)，且及格率为80%，则下列说法正确的 是() 试卷第1页共4页 A.随机取1篇征文，则评分在[60,90)内的概率为0.6 B.已知优秀率为10%，则m=90 C.o越大，P(X≥75)的值越大 D.o越小，评分在(70,80)的概率越大 10.己知函数f(x)=x3+3x2+ax+b,b∈R,使得f(x)有三个零点x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则下列说 法正确的是() A.a的取值范围为(-o,3) B.x2x3-2<0 C.若f(2-x)+f(x-4)>4,则b>a D.函数f(x)在三个零点处的切线斜率的倒数之和为1 11.对于一个方格图，定义“连续完美分割”：当且仅当方格图可被互不重叠且连通的四个形状相同的区域完 全分割，且每个区域恰含有1个M和1个N.给出下列方格图，可“连续完美分割'的是() N M M M MM N M N MN N M N N M NN M NN N N M MNMM MNM c D 三、填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分） 12.杜甫在《绝句》中写道：“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天.”从这十四个字中任取两个字，则声母相 同的概率是 13.若直线y=kx是曲线y=e的一条切线，则k= 14.已知正项等比数列{a}的前n项和为Sn,a1,a2是关于x的方程x2-4x+p=0的两个不等实根，则4S6+ S2-6S4的最小值为 四、解答题（本题共5小题，15-17题10分，18-19题14分，共58分） 15.己知函数f(x)=xnx, (1)求函数在x=1处的切线方程. 试卷第2页共4页 (2)若函数g(x)=f(x)-bx有两个不同的零点，求实数b的取值范围. 16.某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择 羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为行：若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛 球的概率为号，选择乒乓球的概率为：若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第 一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； (3)记甲第n(n∈N宀天选择羽毛球的概率为Pn,请写出Pn与Pm-1m≥2)的关系. 17。甲、乙、丙三人进行远程射击，命中目标的概率分别为子现按甲、乙、丙的顺序循环，由甲先 射击，规则如下：若当次射击命中，则下一次由接下来的第1个人进行射击；若当次射击未命中，则跳过1 个人，下一次由接下来的第2个人进行射击。 ()前3次射击结束，求丙未进行射击的概率： (2)若第n次由甲、乙、丙射击的概率分别为Pn,Qn,Rn ①求Rn; ②若前n次射击中，丙射击的次数记为Xn,求E(Xm), 试卷第3页共4页 18.己知函数f(x)对任意的x,y∈R+,都有f(xy)=xfy)+yf(x)成立，且f(9)=6. (1)求f(1),f(3) (2)若令an=f3"),求证：数列是等差数列. )求证：当n≥3时，合+品++…+品>-（月] 19.己知a∈R,函数f(x)=xex-ax2-2ax (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)若f(x)有极小值，且极小值为0，求a的值： (3)当a=0时，函数g(x)=sinx·f(x)-x2在(0，+oo)上的零点按从小到大排列构成一个数列，记为{xn(n∈ N),求证：x2-1+x2m<(4n-1)π. 试卷第4页共4页 西北大学附中25-26下学期期中检测高二数学试题参考答案 选择题(58分) 2 J 4 5 6 7 8 9 10 B 从 C B B D C A AD AC 11 ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分） 12.日 13.e 14.-5 四、解答题（本题共5小题，15-17题10分，18-19题14分，共58分） 15.(1)函数f(x)=xnx的定义域为(0，+o),求导得f'(x)=1+lnx,则f(1)=1,而f(1)=0, 所以函数f(x)在x=1处的切线方程为x-y-1=0 (2)由g)=0,得x-bx2=0而x>0,则b=警令h()=些 函数g(x)=f(x)-bx2有两个不同的零点，等价于函数y=h(x)的图象与直线y=b有两个交点， 求导得h(=,由h>0,得0<x<e:由h)<0,得x>e, 则函数h(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减，则h()m=h(e)=, 而h(1)=0,当x>1时，h(x)>0,又当x→+o时，h(x)→0， 则当且仅当0<b<时，函数y=h(x)的图象与直线y=b有两个交点， 所以实数b的取值范围是(0，) 16.(1)设事件A1,A2,A3分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为B2, 则A1UA2UA3=2且A1,A2,A3两两互斥， 依题意，P(A)=P(42)=P(4)=方PB2A)=PB2A2)=子P(B2A)=号 且B2=A1B2UA2B2UA3B2, 由全概率公式得PB,)=PA)P(B2A)+P(4,)P(B2A2)+P(4,)P(B,IA)=×+号×号+×对月 (2)由贝叶斯公式，得所求概率为P4g1B)=24恤-苹-号 1、1 P(B2) (3)设甲第n(n∈N天选择羽毛球的概率为Pn,甲第n(n∈N天选择乒乓球的概率为Rn, 由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为得R=对所有肌≥1均成立， 答案第1页共5页 从而选择篮球的概率为Sn=1-Pn-R=子-Pn, 当n≥2时，由全概率公式，得Pn的递推关系为Pn=Pn-1×+R-1×号+Sn-1×行 而Rn-1=子，S-1=子-Pn-1,化简得Pn=Pn-1+m≥2)，P1= 17.(1)解：设事件A为甲射击命中，事件B为乙射击命中，事件M为前3次射击结束，丙未进行射击， 那么P(M)=P(4⑧)=(1-)=子所以前3次射击结束，丙未进行射击的概率为 (2)①Rn=2Qm-1+2P-1又Pn-1+Qm-1+Rn-1=1, 所以，R=1-Rm-1),化简得R-3=-2(Rn-1-),又R=0, 所以，数列R-是首项为-子，公比为-的等比数列， R-3=-3(-)m-1,则Rn=1-(-2)”-1] ②设变量Yk为第k次丙射击，Yk= 1,第k次丙射击 0,第欧不是丙射击'X.= 0x)=2E月=2风：=n+(-”-号 18.(1)己知对任意x,yER+,f(xy)=xfy)+yf(x)恒成立. 令x=y=1,得f(1)=1·f(1)+1·f(1)=2f(1),移项得f(1)=0: 令x=y=3,得f(9)=3f3)+3f(3)=6f3),己知f(9)=6,代入得6=6f3),解得f(3)=1. (2)己知a.=f(3四，对n≥2，将x=3,y=3-1代入原函数式得f(3·3m-1)=3f(3m-1)+3m-1f(3), 即a=3a-1+3-1.1(f3)=1),两边同除以3"得=号+号即-号=号 首项号==子因此是首项为公差为的等差数列，得证， 3》由(2》可得：宗专即a.=n31,从而吃= 首先用数学归纳法证明当n≥3时，2n-1>n: n=3时，22=4>3，成立： 假设n=k≥3时2k-1>k,则n=k+1时，2k=2·2k-1>2k=k+k>k+1,成立. 因此对n≥3，>高两边乘六得>点=（份 对求和式放缩： ∑，++∑=1+∑>目+月+∑目 答案第2页共5页 ∑e k=0 右边是首项为1、公比为的等比数列前n项和，计算得： ∑日-厚--1 因此∑>-日门 得证 19.(1)当a=1时，f(x)=xex-x2-2x,所以f(0)=0,切点为(0,0)， 则f'(x)=(x+1)ex-2x-2,所以f'(0)=-1, 则曲线f(x)在点(0，f(O)处的切线方程为y=-x,即x+y=0 (2)因为f(x)=xex-ax2-2ax,则f'(x)=(x+1)et-2ax-2a=(x+1)(ex-2a), ①当a≤0时，由f(x)=0,得x=-1, 由f(x)<0得x<-1;f'x)>0得x>-1, 则f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，+o)上单调递增， 函数f)在x=-1处取得极小值f(-1)=-+a=0,解得a=不符合题意： 当a>0时，由f'(x)=0,得x=-1或x=ln(2a), ②当0<2a<时，即n(2a)<-1时， 由f'(x)>0得x<ln(2a)或x>-1;由f(x)<0,得ln(2a)<x<-1, 则f(x)在(-o,ln(2a)上单调递增，在n(2a),-1)上单调递减，在(-1，+o)上单调递增， 函数f)在x=-1处取得极小值f(-1)=-+a<0,不符合题意： ③当2a=时，即ln(2a)=-1时，f(x)≥0恒成立，函数f(x)无极值，不符合题意； ④当2a>,即ln(2a)>-1时，由f'()>0,得x<-1或x>ln(2a):由f)<0,得-1<x<ln(2a, 则f(x)在(-∞，-1)上单调递增，在(-1，ln(2a)上单调递减，在n(2a),+o)上单调递增， 则函数f)在x=ln(2a)处取得极小值f(血(2a)=-m(2a]2=0,解得a=2符合题意， 综上所述，a=是 (3)因为g(x)=sinx·f(x)-x2=xe'sinx-x2,令g(x)=0,即xe'sinx-x2=0, 因为x>0,所以等价于e*sinx-x=0,令G(x)=esinx-x,其中x>0, 当x∈(2k-1)π2km),k∈Z时，G(x)=e*sinx-x<0恒成立，此时G(x)无零点， 答案第3页共5页 当x∈(0，mU[2kπ(2k+1)m,k∈N时，G'(x)=e*(sinx+cosx)-1, p(x)=e*(sinx+cosx)-1,p (x)=e*(sinx +cosx)+e*(cosx-sinx)=2e*cosx, i)若k=0,则x∈(0，可，由p()>0可得0<x<2由p(<0可得5<x≤π， 所以G(x)在(0，习上单调递增，在5上单调递减。 而c(0)=0,G'(月>G'(o)=0,G(m=-e-1<0, 故存在to∈(（低，使G(to)=0, 当x∈(0，to)时，G'(x)>0,当x∈(to,D时，G'(x)<0, 故G(x)在(0，to)上单调递增，在(to,D上单调递减， 而G(o)=0,G(月>0，G(m<0,存在x1∈（侵，使得c)=0, 故G()=e*sinx-x的零点x1∈(（侵，m): (i)当x∈[2kπ，(2k+1)m,n∈N*, 当k≥1时，因为p'(x)=2 e*cosx, 由p)>0可得2km≤x<2km+由p'()<0可得2km+<x≤(2k+1)m, 所以Gc)在[2k2km+月引上单调递增，在[2km+,2km+可上单调递减。 所以G'(2km=e2m-1>0,所以G(2kπ+)>G(2km>0, G'(2km+D=-e2kr+m-1<0, 故存在tke（(2km+2,2km+m,使G(t)=0, 当x∈(2kπt)时，G'(x)>0,当x∈(tk,2km+m)时，G'(x)<0, 故G(x)在(2kπt)上单调递增，在(tk,2kπ+D上单调递减， 所以c(2km)=-2km<0,所以c(2km+习=e2+号-(2kr+): 由v()=e-x,当x∈(0，+o)时，v'()=e*-1>0, 所以v(x)在(0，+o)上单调递增，v(x)=ex-x>v(0)=1>0 所以c(2m+月)=e2号-(2km+)>0, 又因为c(t)>G(2km+)>0,c(2km+m=-(2k+0<0, 故G(x)=e*sinx-x的零点x2k∈(2km,2km+),x2k+1∈(2km+,2km+T: 答案第4页共5页 由(i)(i)有x2k-1e(2km-,2km-m,x2k∈(2k2km+) 因为xn是G()=e*sinr-x的零点，即G(x,)=esinx-xn=0,所以sinxn=品 令u()=三，因为u()=,当x∈(1，+o),u()<0, 所以u(x)在(1，+o)上单调递减， 又因为x2>x2a-1>至所以u(x2)>ux2,即sinx21=>=si2: 因为sinx2m-1=sin[(4n-1)π-x2m-1]>sinx2m, 而(4n-1)r-xa1∈(2r(2n+),xe(2m(2m+), 所以(4n-1)m-x2m-1>x2,故x2m-1+x2m<(4n-1)π 答案第5页共5页