23.1 一次函数的概念（课件）2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦一次函数概念及与正比例函数的关系，从登山队气温问题切入，通过铁块质量、练习本厚度等实例归纳解析式共同特征，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解概念形成过程。 其亮点是以实际问题培养数学眼光，通过对比表格和辨析练习发展数学思维，用函数建模解决捐书包、矩形运动等问题强化数学语言。采用实例归纳与分层练习结合的教学方法，学生能提升应用意识，教师可直接使用丰富例题与练习提升教学效果。

一次函数的概念 R·八年级数学下册 一次函数 23 学习目标 1. 结合具体情境理解一次函数的意义,能结合实际问题中的 数量关系写出一次函数的解析式． 2. 能辨别一次函数与正比例函数的区别与联系，感悟一般 与特殊之间的关系． 3. 会从实际问题中建立一次函数模型解决简单的问题． 问题：某登山队大本营所在地的气温为 5 ℃，海拔每升高 1 km 气温下降 6 ℃. 登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所在位置的气温是 y ℃. (1) 用函数解析式表示 y 与x 的关系； 分析：原大本营所在地气温为_____， 因为当海拔增加 1 km 时，气温减少______. 所以当海拔增加 x km 时，气温减少______. 因此 y 与 x 的函数解析式为____________. 5 ℃ 6 ℃ 6x ℃ y = 5 - 6x 新知探究 问题：某登山队大本营所在地的气温为 5 ℃，海拔每升高 1 km 气温下降 6 ℃. 登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所在位置的气温是 y ℃. (2) 并求当登山队员向上登高 2 km 时，他们所在位置的气温. 新知探究 解：当登山队员由大本营向上登高2km时， 即y=-6×2+5=-7（ ℃ ）. 他们所在位置的气温就是当x=2时函数y=-6x+5的值， 探索新知 在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式. （1）铁的密度约为 7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积 V（单位：cm3）的变化而变化. （2）每个练习本的厚度为 0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化. m=7.9V h=0.5n （暂不考虑自变量取值范围） （3）一种计算成年人标准体重m（单位：kg）的方法是：以厘米为单位量出身高h，再减去常数105，所得差是m的值，m随h的变化而变化. （4）把一个长10 cm、宽5 cm 的矩形的长减少x cm，宽不变，矩形的面积 y（单位：cm2）随x 的变化而变化. m=h−105 y=−5x+50 m=7.9V h=0.5n m=h−105 y=−5x+50 这些函数解析式有哪些共同特征？ 这些函数解析式都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式. 知识要点▶ 一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数. 一次函数解析式的特点： 1.结构上看：函数=常数×自变量+一个常数. 2.自变量x，函数y的指数：都是“1”. 3.比例系数k≠0. 4.常数项b通常不为0，但也可以等于0. 函数是一次函数 关系式为：y=kx+b (k，b为常数，k≠0) 函数是正比例函数 关系式为：y=kx (k为常数，k≠0) 一次函数与正比例函数的关系： 正比例函数是一种特殊的一次函数. (即当常数b=0时) 一次函数 正比例函数 一次函数与正比例函数的对比： 一次函数 y = kx + b 正比例函数 y = kx 相同点 不同点 ① y 关于 x 的式子是整式； ② 两个变量的次数都是 1； ③ 比例系数 k ≠ 0 常数 b 为任意实数 常数 b = 0 练 习 1. 下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ （1）y =－8x； （3）C = 2πr； （4）y = 5x2 + 6； （5）y = 2(x－4). 一次函数 y = kx + b 正比例函数 y = kx （1）（3）（5） 【选自教材第115页 练习 第1题】 一次函数 正比例函数 （1）（3） 2.已知关于x的函数y=(m－3)x｜m｜－2+n－2. （1）当m，n取何值时，它是一次函数？ （2）当m，n取何值时，它是正比例函数？ 解：（1）由题意，得｜m｜－2=1，m－3≠0，n－2为任意实数，所以当m=－3，n为任意实数时，它是一次函数. （2）由题意，得｜m｜－2=1，m－3≠0，n－2=0，所以当m=－3，n=2时，它是正比例函数. 例 一个弹簧不挂物体时长12 cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1 kg的物体，弹簧伸长2cm. （1）求弹簧的长度 y（单位：cm）关于所挂物体质量 x （单位：kg）的函数解析式； （2）当挂 5 kg 的物体时，弹簧的长度是多少？ 解：（1）y 关于 x 的函数解析式为 y=2x+12. （2）把x=5代入 y=2x+12，得y=2×5+12=22. 因此，当挂5 kg的物体时，弹簧的长度是22 cm. 2. 用函数解析式表示下列问题中 y 与 x 的关系： （1）某人一年内的月平均收入为 x 元，他这一年 （12 个月）的总收入为 y 元； （2）某水池有水 20 m3，现在打开进水管开始进水， 进水速度为 3 m3/h，则 x h 后水池有水 y m3 . y = 12x； y = 3x + 20. 【选自教材第115页 练习 第2题】 课堂小结 形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数. 特别地， 当b=0时，y=kx+b → y=kx， 形如y=kx（k是常数，k≠ 0）的函数，叫作正比例函数. 所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数 正比例函数 复习巩固 1. 下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？ （1）y = －0.2x； （2）y = －3(x + 1)； （3）S = πr2； (1)(2)(4)是一次函数，其中(1)(4)又是正比例函数. k = －0.2，b = 0 = －3x－3 k = －3，b = －3 自变量 r 的次数是 2，不是一次函数 2. 用函数解析式表示下列问题中 y 与 x 的关系： （1）一个长方体的长为 2 cm，宽为 1.5 cm，高为 x cm，体积为 y cm3； y = 2×1.5×x，即 y = 3x； （2）某水箱有水 10 L，以 0.5 L/min 的速度开始往外放水，放水时间为 x min，剩余水量为 y L. y = 10－0.5x. 3. 若 y 与 x 成正比例关系，且 x = 2 时，y = 8，写出 y 关于 x 的函数解析式，并求 x 为何值时 y = －4. 解：设 y 关于 x 的函数解析式为 y = kx. 因为 x = 2 时，y = 8，所以 2k = 8，解得 k = 4. 所以 y 关于 x 的函数解析式为 y = 4x . 当 y = －4 时，4x = －4，解得 x = －1. 所以 x 的值为 －1 时，y = －4. 4. 某银行一年期存款利率为 1.5%，记存入的本金为 x 元， 一年到期时的本息和为 y 元. 综合运用 （1）写出 y 关于 x 的函数解析式； （2）存入 10 000 元，一年到期时的本息和是多少元？ 解：（1）y 关于 x 的函数解析式为 y = (1+1.5%) x， 即 y = 1.015x. （2）当 x = 10 000 时，y = 1.015× 10 000 = 10150. 所以存入 10 000元，一年到期时的本息和是 10 150 元. 拓广探索 5. 学校发起为福利院儿童捐书包的活动，每个书包 60 元. 张华现有积攒的零花钱 480 元，记她用零花钱捐献的书包数为 x 个，剩余的钱数为 y 元. （1）求 y 关于 x 的函数解析式，以及自变量 x 的取值范围； 解：由题意知，60x ≤ 480，且 x 为非负整数， 所以 0 ≤ x ≤ 8，且 x 为整数. 所以 y 关于 x 的函数解析式为 y = 480－60x， 自变量 x 的取值范围为 0 ≤ x ≤ 8，且 x 为整数. （2）若她至少要留下 180 元购买课外书，则她最多能捐献几个书包？ 由题意，得 480－60x ≥ 180，解得 x ≤ 5. 所以她最多能捐献 5 个书包. 4. 如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，AD=4cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点D运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止运动.设四边形APQD的面积为y cm2，运动时间为x s，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． $