20.1勾股定理及其应用检测卷2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦勾股定理单元复习，通过基础变式、迁移运用、拓展创新三层次设计，融入荡秋千、放风筝等真实情境，考查几何直观与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题24分|勾股定理计算（木桩钢丝距离）、网格线段长度|结合生活情境（荡秋千高度）| |填空题|6题18分|折叠问题、规律探究（正方形面积递推）|阶梯地毯面积计算| |解答题|6题70分|分类讨论（三角形面积）、综合证明（等腰直角三角形全等）|融入放风筝实践问题、构图法拓展|

20.1勾股定理及其应用 基础测·教材变式 一、选择题(每小题3分，共15分) 1.如图，为了固定垂直于地面的木桩AB，工人们在木桩离地面4m 的点A 处拉了一根长为5m 的钢丝，另一头固定在地面上的点C处(接头处长度不计)，则点C 与木桩底部点B 的距离为 ( ) A.3m B.4m C.5m D.6m 2.由两个直角三角形和三个正方形组成的图形如图所示，其中阴影部分的面积为 ( ) A.50 B.16 C.25 D.41 3.如图，网格中每个正方形的边长都为1，则长为 的线段是 ( ) A. OA B. OB C. OC D. OD 4.如图,数轴上点A 表示的数为-2,点B 表示的数为1,过点 B 作BC⊥AB,且BC=2,以点A 为圆心，AC 的长为半径作弧，弧与数轴的交点 D 表示的数为 ( ) A. B. C. D. 5.如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A 处摆绳 OA 与地面垂直，摆绳长2m，向前荡起到最高点 B 处时距地面1.3m，摆动的水平距离 BD 为1.6m，然后向后摆动到最高点C处.若前后摆动过程中摆绳始终拉直，且OB 与OC 成90°角，则小丽在C 处时距离地面的高度是( ) A.0.9 m B.1.3m C.1.6m D.2m 二、填空题(每小题3分，共12分) 6.如图，圆锥的高OA 长为 AB 的长为6 cm,则OB 的长为 cm. 7.如图，为庆祝艺术节，学校准备组建合唱团进行表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺满红色地毯，已知这种地毯每平方米的售价为40元，站台宽为10m，则购买这种地毯至少需要 元. 8.如图，把长方形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C落在点C'的位置上，已知.AB=3,BC=6,则AE= . 9.如图,点A,D 在BC 同侧, 则 三、解答题(共25分) 10.(8分)在 Rt△ABC中,∠C=90°,若a:b=3:4,c=15,求a,b的值. 11.(8分)在△ABC中,AB=20,AC=13,高AD=12,求△ABC 的面积. 12.(9分)某周末，小明去公园放风筝.如图，测得放飞点与风筝的水平距离 BD 为15 m；根据手中的余线长度，计算出AC 的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离 AB 为1.5m.已知点A，B，C，D在同一平面内. (1)求风筝离地面的垂直高度CD. (2)在余线仅有7 m的情况下，若想要风筝沿射线 DC 方向再上升12 m，能否成功?请说明理由.(不考虑其他因素) 能力测·迁移运用 一、选择题(每小题3分，共9分) 13.如图，有一个圆柱形油罐，油罐的底面周长是12m，高是5m .若要从点A 环绕油罐建梯子，且正好到达点 A 正上方的点 B 处，则梯子最短需要 ( ) A.12 m B.13 m C.17 m D.20 m 14.如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个月牙形图案，已知 且AC+BC=10,则AB 的长为 ( ) A. B. C. D. 15.某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，正方形 ABCD、正方形 EFGH、正方形 MNKJ 的面积分别记为S₁，S₂，S₃.若 则 EF 的长为 ( ) A. B.4 C.5 D. 二、填空题(每小题3分，共6分) 16.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AB=25,BC=14,AD 平分∠BAC,交 BC 于点D,DE⊥AC 于点E,则 DE 的长为 . 17.如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S₁，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S₂……按照此规律继续下去，则 S2026的值为 . 三、解答题(共33分) 18.(9分)如图,在四边形ABCD 中,AB=AD,∠A=90°,∠CBD=30°,∠C=45°.若 求四边形 ABCD 的面积. 19.(12分)如图,△ACB 和 都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,∠ACB=∠ECD= 的顶点 A 在 的斜边 DE 上. (1)线段 AB 与线段AC 的数量关系为 ; (2)求证: (3)若 F是AD 的中点,则CF 的长为 . 思维测·拓展创新 20.(12 分)【问题背景】 在 中,AB,BC,AC的长分别为 求这个三角形的面积.小明同学在解答这道题时，根据 。画出格点 (即 的三个顶点都在小正方形的顶点处，且网格图中的每个小正方形的边长都为1)，如图1所示.这种求 面积的方法叫作构图法. 【问题解决】(1)借用网格计算出如图1所示的△ABC 的面积为 . 【思维拓展】(2)猜想 与 的大小关系，并运用构图法证明你的结论，请在如图2所示的正方形网格(每个小正方形的边长都为1)中画出相应的△DEF. 【探索创新】(3)如果在平面内有任意两点. 和B(x₂,y₂),那么A,B 两点之间的距离为 这是平面直角坐标系中两点之间的距离公式. ①已知平面内有点P(x,0),N(6,1),则|PN|= ; ②请运用构图法和两点之间的距离公式，求出 的最小值.(请在图3中画出相应的图形) 1. A ∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°.在 Rt△ABC 中,AB=4m,AC=5m ,∴ 2. A如图.由勾股定理，得 ∴阴影部分的面积为25+25=50. 3. B 4. C ∵AB=1-(-2)=3,BC=2,∠ABC=90°, ∴点 D 到原点的距离为 ∴点 D 表示的数为 5. A 如图,过点 C 作CE⊥OA 于点 E,延长 OA 与地面交于点 F. 由题意可知,OB=OC=2m,BD=1.6m,DF=1.3m, ∴OF=OD+DF=1.2+1.3=2.5(m). ∵∠ODB=∠OEC=90°, ∴∠OBD+∠BOD=90°. ∵∠BOC=90°,∴∠BOD+∠COE=90°, ∴∠OBD=∠COE. 在△BOD 和△OCE 中, ∴△BOD≌△OCE(AAS), ∴OE=BD=1.6m, ∴EF=OF-OE=2.5-1.6=0.9(m),即小丽在 C 处时距离地面的高度是0.9m. 6.2 ∵圆锥的高 OA 长为4cm,AB 的长为6 cm, 7.2800 水平的直角边的长度为(3+4)×10×40=7×10×40=2800(元),即购买这种地毯至少需要2 800元. 8. 由题意可知,AD=BC=6,∠A=90°,AD∥BC, ∴∠DBC=∠BDE.由折叠的性质,得∠DBC=∠DBE, ∴∠DBE=∠BDE,∴BE=DE. 设AE=x,则BE=DE=AD-AE=6-x. 在 Rt△ABE 中,由勾股定理,得 即 解得 9. -1 如图,过点 D 作DH⊥BC 于点 H. ∵BD=CD,∴H为BC的中点, ∵AB=AC,BD=CD, ∴点 A,D,H 在 BC 的垂直平分线上, ∴点A,D,H 共线, 10.解:∵a:b=3:4,∴设a=3x,b=4x. 又 4分 即 (舍去负值)， ∴a=9,b=12. 8分 11.解:如图1,∵AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC=90°. ∵AB=20,AD=12, 1分 又∵∠ADC=90°,AC=13,AD=12, ⋯分 ∴BC=BD+CD=21, ∴△ABC 的面积为 4分 如图2，同理可得，.BD=16,CD=5, ∴BC=BD-CD=11, ∴△ABC的面积为 7 分 综上所述,△ABC的面积为126或66. 8分 12.解:(1)如图,过点A作AE⊥CD 于点E,则AE=BD=15 m,ED=AB=1.5 m,∠AEC=90°. 在 Rt△AEC 中,8(m), ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分 ∴CD=CE+ED=8+1.5=9.5(m). 4分 (2)不能成功.理由如下： 5分 假设能上升 12 m,如图,延长 DC 至点 F,连接 AF,则CF=12 m, ∴EF=CE+CF=8+12=20(m). 6分 在 Rt△AEF 中, 25(m). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7分 ∵AC=17 m,余线仅剩7m,17+7=24<25, 8分 ∴不能上升 12 m，即不能成功. 9分 13. B将油罐的侧面展开成长方形，如图所示. ∵AC=12m,BC=5 m, 14. A 由勾股定理,得 ∴AC·BC=24, 15. C 设 Rt△EBF 的长直角边为a,短直角边为b,斜边长为c，则 由题意，得 即 EF²=25,∴EF=5. 16.6.72 如图,过点 D 作DF⊥AB 于点 F. ∵∠B=∠C,∴AB=AC. ∵AD 平分∠BAC,DE⊥AC,DF⊥AB, ∴AD⊥BC,DE=DF,D为BC的中点, ∴∠ADB=90°. ∵AB=25,BC=14,∴BD=7, 即 解得DE=DF=6.72. 如图. ∵△CDE是等腰直角三角形， ∴DE=CE,∠CED=90°, 即等腰直角三角形的直角边为斜边的 ∵正方形ABCD 的边长为2, ∴面积标记为 S₂ 的正方形的边长为 则 面积标记为 S₃的正方形的边长为 则 面积标记为 S₄的正方形的边长为 则 的值为 18.解:如图,过点 D 作DE⊥BC 于点 E. ∵AB=AD,∠A=90°,∴AD=AB=2 ⋯⋯⋯⋯⋯ 2分 4分 ∵∠C=45°,∴CE=DE=2, 6分 9分 19.解:(1)∵△ACB 是等腰直角三角形,CA=CB, 故答案为 3分 (2)证明:∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD, ∴∠ECA+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°,∠E=∠D=45°,∠CAB=∠B=45°, ∴∠ECA=∠DCB. 4分 如图，连接 BD. 在△ECA 和△DCB 中, ∴△ECA≌△DCB(SAS), 5分 ∴AE=BD,∠CDB=∠E=45°, ∴∠ADB=∠CDB+∠EDC=90°, ∴△ADB 是直角三角形, 6分 7分 8分 (3)如图,过点 C 作CH⊥DE 于点 H. ∵AE²+AD²=2AC²,AE=2,AC=2,∴AD=6, ∴DE=AE+AD=8. ∵F是AD 的中点,∴AF=DF=3. ∵△ECD 是等腰直角三角形,CH⊥DE,DE=8, ∴CH=DH=EH=4, ∴HF=DH-DF=1, 故答案为 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分 20.解:(1)由题图可知,△ABC 的面积为 故答案为 3分 4分 证明：如图1，由图可得， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5分 由三角形的三边关系可知，EF+DF>DE， 分 9分 ②求 的最小值可转化为求平面直角坐标系中x轴的正半轴上一点 P(x，0)到 M(0，3)，N(6，1)两点的距离的和的最小值.⋯⋯⋯⋯10分 如图2，作点 M 关于x轴的对称点M'，连接 PM'，则M'(0,-3),PM+PN=PM'+PN≥M'N, ∴当M'，P，N三点共线时，PM+PN 的值最小，最小值为M'N 的长度. ∵M'(0,-3),N(6,1), 的最小值为 ⋯ 12分 学科网（北京）股份有限公司 $