精品解析：福建泉州市晋江市侨声中学等校2025-2026学年高一下学期第二次教学质量监测数学试卷

2026年春季高一年第二次教学质量监测 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题人：詹木凤 陈婉玲 审核人：潘玉琴 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数z满足，则z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵，∴，∴. 2. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，则或是异面直线 【答案】D 【解析】 【详解】A：当时，可以平行、相交、也可以异面，所以本选项结论不正确； B：当，时，直线可以在平面内，所以本选项结论不正确； C：当，，时，可以相交，所以本选项结论不正确； D：因为， 所以直线没有公共点，因此或是异面直线，所以本选项结论正确. 3. 正方体中，则与底面ABCD所成角的正弦值为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面角的定义，确定直线与平面的夹角，利用求其大小． 【详解】因为为正方体，所以平面， 所以为直线与平面的夹角， 设，在中，， 所以， 故选：D． 4. 在中，分别为角的对边长，，则三角形的形状为（       ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】将化简可得，然后结合余弦定理可得，即可得到答案 【详解】解：∵，∴， 所以由余弦定理可得，去分母得：，即， 则为直角三角形， 故选：A. 5. 已知圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由扇形弧长公式求圆锥的母线长，再由表面积公式圆锥的表面积. 【详解】圆锥的底面半径为，侧面展开图的弧长为， 又侧面展开图的圆心角为，得圆锥母线长， 则圆锥的表面积. 故选：D. 6. 已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量模，求出，然后利用向量数量积和运算律计算，最后根据投影向量求解的方法求解即可. 【详解】因为，， 所以，即， 也即， 解得：， 所以， 由向量在向量上的投影向量为： ， 故选：A. 7. 在中，内角的对边分别为，已知，边上一点使得，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先根据建立等式，再结合基本等式计算即可求解. 【详解】因为，所以， 因为， 即，即， 所以， 故，当且仅当时，等号成立. 故选：C. 8. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. －1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果. 【详解】∵分别表示与方向的单位向量， ∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线， ∵，∴的平分线与垂直，故. 取的中点，连接，则， 由题意得，， ∴. 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，故. 设，则，∴， ∴，， ∴， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数，则 B. 若复数，，则复数在复平面内对应的点在第一象限 C. 是复数（a，）为虚数的充分不必要条件 D. 若复数是关于x的实系数方程的一个根，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出复数的模判断A；求出复数对应的点判断B；利用充分不必要条件的定义，结合虚数的意义判断C；利用韦达定理求解判断D. 【详解】对于A，，则，A正确； 对于B，在平面内对应的点在第一象限，B正确； 对于C，是复数（a，）为虚数的充要条件，C正确； 对于D，复数是关于x的实系数方程的一个根，则该方程另一根为， 则，解得，因此，D正确. 故选：ABD 10. 在中，D是BC的中点，E是线段AD上的点，过E作一直线分别与AB，AC交于点M，N，设，，，其中，则下列结论正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用余弦定理、向量中点公式、三点共线的向量系数关系及均值不等式，对各选项逐一验证. 【详解】A，由余弦定理，， 代入，，， 得，故，A错误. B，由D是BC中点，得，则， ，故，B正确. C，由，又，，故. 由M、E、N共线，得，代入，，得，解得，C正确. D，当时，由，得，即. 则. 由均值不等式，当且仅当时取等号， 即，即时等号成立. 故，D错误. 11. 正方体的棱长为2，点为线段上一动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线与直线所成的角为 C. 在点运动过程中，有 D. 当为的一个三等分点时，平面截正方体所得的截面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据面面平行结合等体积计算判定A；直线与直线所成的角转化为直线与直线所成的角，再计算的余弦值可判断B；通过证明平面，即可判断C；不妨设为上靠近的一个三等分点，设平面与，的交点分别为，，根据面面平行的性质得到四边形为平行四边形，再利用余弦定理及面积公式计算即可判断D， 【详解】对于A，如图，因为在正方体中，平面平面， 且平面与平面的距离为正方体棱长，而， 所以三棱锥的体积，为定值，因此A正确； 对于B，，所以直线与直线所成的角等于直线与直线所成的角， 由勾股定理得，， 在三角形中，由余弦定理，， 所以，B错误. 对于C，如图，连接，，，， 因为在正方体中，易知，，，平面，， ∴平面，平面，∴，同理， ，、平面，∴平面， 而点为线段上一动点，所以平面，因此，所以C正确； 对于D，不妨设为上靠近的一个三等分点，即，如图所示， 设平面与，的交点分别为，，∵平面平面， ∴，同理， ∴平面截正方体所得的截面为平行四边形， ∵，∴，∴，∴, 由余弦定理的推论可求得， ∴，∴， 当为上靠近的一个三等分点，同理可求得截面面积为，因此D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知两点 ，若，则点P的坐标为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算求得的坐标. 【详解】设是坐标原点， 则 . 13. 在中，角所对的边分别为.已知的面积为，则__________. 【答案】5 【解析】 【详解】， ，解得， ， 可得. 14. 若一个正四棱台的上下底面分别是边长和正方形，且体积为，则该台体的外接球的表面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件作图，利用求得，即可求出外接球半径，求出外接球表面积. 【详解】根据条件，作出正四棱台如图所示，    则其外接球球心在直线上， 设，，设， 因为该棱台的体积为， 所以， 所以，， 当球心在线段延长线时，由，设， 可得，即， 解得， 所以外接球半径即， 当球心在线段上时， 同理可得，即， 解得舍去， 所以其外接球表面积为. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求向量的坐标； （2）若是单位向量，且，求与的夹角. 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）先设向量坐标，再根据模长及共线列式计算求解参数即可； （2）应用向量垂直的数量积为0结合向量夹角余弦公式计算求解. 【小问1详解】 设，由，且， 得， 所以或， 故或； 【小问2详解】 因为，且， 所以，即. 所以， 即. 因为夹角，所以与的夹角. 16. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 选择条件①：不存在； 选择条件②③， 【解析】 【分析】（1）利用三角形中三角函数的关系和正弦定理进行求解； （2）条件①：利用正弦定理求得的值，判断三角形是不存在的； 条件②：利用正弦定理和三角形的面积公式进行求解； 条件③：利用余弦定理和三角形的面积公式进行求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得：， 因为， 所以， 因为，所以，可得：， 所以， 因为，所以. 【小问2详解】 选择条件①：，且，又， 由弦定理，可得， 因为，所以这样的不存在； 选择条件②，因为，且， 所以，则，由，可得， 因为，所以，解得，所以， 由正弦定理，可得， 因为，可得， 设边上的高为，可得面积为，所以， 所以. 选择条件③：由， 根据向量的数量积的公式，可得，所以， 因为且，所以，解得， 由余弦定理， 可得，所以， 设边上的高为，可得面积为，所以， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，是边长为的等边三角形，底面是等腰梯形，是的中点. （1）求证：平面； （2）画出平面与平面的交线（保留作图痕迹）； （3）若，求证：平面平面. 【答案】（1）在四棱锥中，取中点，连接， 由是的中点，得， 又因为，所以，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面平面，所以平面. （2）延长交于，连接，则是平面与平面的交线. （3）在等腰梯形中，，过点作交于点， 由，所以， 在直角三角形中，，得. 在中，由余弦定理， 得，所以，所以， 又因为，平面，因此平面， 而平面，所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）取中点，构造平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； （2）根据平面的性质先找到两个平面的一个公共点，再结合也是两个平面的公共点，从而可得是两个平面的交线； （3）先在底面等腰梯形中证明，再线面垂直的判定定理可得平面，进而再由面面垂直的判定定理可得面面垂直. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 理由如下：因为，所以平面， 同理平面，所以平面平面， 又因为平面平面，所以平面平面， 因此是平面与平面的交线. 【小问3详解】 略 18. 如图所示，某区有一块空地，其中，，．当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在人工湖的周围安装防护网． （1）当时，求防护网的总长度； （2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小； （3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，当取何值时，可使的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】（1） （2） （3）时，面积取最小值为 【解析】 【分析】（1）先由余弦定理可得，进而可得，从而可得正三角形并求得其周长，即为防护网的长度； （2）先设，由面积关系可得，又在中由正弦定理得，两式联立可得并结合角的范围可得所求角； （3）先在中由正弦定理得，进而可得，由角的范围及正弦函数性质可得面积的最小值. 【小问1详解】 在中，，，， 则， 在中，由余弦定理得： ， 即，所以，因此， 所以，即， 因此中，，，且 所以为正三角形，其周长为，即防护网的总长度为. 【小问2详解】 设， 因为，即，可得①. 在中，,, 由正弦定理，得：②， 联立①②得，即，又因为，所以， 因此，解得，所以. 【小问3详解】 设，由（2）知：， 在中，由得：， ， 因为，所以，，， 所以当且仅当，有最小值， 因此，即时，面积取最小值为. 19. 如图所示，在直角梯形中，，，分别是上的点，且，，，，将四边形沿向上翻折，连接，在翻折的过程中，记二面角的大小为，． （1）当时，求三棱锥的体积； （2）若平面⊥平面． ①求证：； ②求的最小值. 【答案】（1） （2）①过点作交于点， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，则； 根据题意平面图形翻折后，， 且，是平面内两条相交直线， 所以平面，又，得平面， 又平面，则， 因为是平面内两条相交直线，所以平面； 又平面，则. ② 【解析】 【分析】（1）利用等体积法转换棱锥的底和高进行求解； （2）①利用线面垂直的判定定理得到线面垂直，进而得到线线垂直；②利用余弦定理和均值不等式进行求解. 【小问1详解】 根据题意可知，，且， 所以，且为二面角的平面角，即， . 【小问2详解】 ①略， ②取的中点S，连接，， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，由①得，所以， 在中，， 在中，， 在中，，因此， 化简得到， 因为，，所以， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季高一年第二次教学质量监测 数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 命题人：詹木凤 陈婉玲 审核人：潘玉琴 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知复数z满足，则z的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，则或是异面直线 3. 正方体中，则与底面ABCD所成角的正弦值为（） A. B. C. D. 4. 在中，分别为角的对边长，，则三角形的形状为（       ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 正三角形 D. 等腰直角三角形 5. 已知圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角的对边分别为，已知，边上一点使得，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8 8. 已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A. －1 B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数，则 B. 若复数，，则复数在复平面内对应的点在第一象限 C. 是复数（a，）为虚数的充分不必要条件 D. 若复数是关于x的实系数方程的一个根，则 10. 在中，D是BC的中点，E是线段AD上的点，过E作一直线分别与AB，AC交于点M，N，设，，，其中，则下列结论正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则的最小值为 11. 正方体的棱长为2，点为线段上一动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线与直线所成的角为 C. 在点运动过程中，有 D. 当为的一个三等分点时，平面截正方体所得的截面面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知两点 ，若，则点P的坐标为_______. 13. 在中，角所对的边分别为.已知的面积为，则__________. 14. 若一个正四棱台的上下底面分别是边长和正方形，且体积为，则该台体的外接球的表面积为_________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求向量的坐标； （2）若是单位向量，且，求与的夹角. 16. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 如图，在四棱锥中，是边长为的等边三角形，底面是等腰梯形，是的中点. （1）求证：平面； （2）画出平面与平面的交线（保留作图痕迹）； （3）若，求证：平面平面. 18. 如图所示，某区有一块空地，其中，，．当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在人工湖的周围安装防护网． （1）当时，求防护网的总长度； （2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小； （3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，当取何值时，可使的面积最小？最小面积是多少？ 19. 如图所示，在直角梯形中，，，分别是上的点，且，，，，将四边形沿向上翻折，连接，在翻折的过程中，记二面角的大小为，． （1）当时，求三棱锥的体积； （2）若平面⊥平面． ①求证：； ②求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $