福建南安市华侨中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题

**基本信息** 高一数学月考卷聚焦向量、解三角形、复数等核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与运算能力，适配高一春季学期学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|向量运算（第2题）、解三角形（第3题）、复数几何意义（第5题）|多选题（9-11题）考查概念辨析，如重心性质（第9题C选项）| |填空题|3题15分|复数象限（第12题）、投影向量（第13题）、相交弦定理应用（第14题）|第14题结合平面几何定理，体现数学文化| |解答题|5题77分|复数运算（15题）、向量表示与求值（18题）、斜坐标系创新情境（19题）|第19题创设斜坐标系，考查数学抽象与创新意识，符合新高考探究题型趋势|

南安华侨中学2026学春季第一次月考试卷 高一数学试题 (本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分) 一、选择题： 1、B 2、A3、A4、A5、D6、D7、A8、B 二、选择题： 9、BC10、AD 11、ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12、第一象限 13、(2,1) 14、12 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解：(1)z=-2i+3+3i2-i=3+i2-i=3+i2+i5=1+i. (2)把z=1+i代入z2+az+b=1-i, 得(1+i)2+a(1+i)+b=1-i, 整理得a十b+(2+a)i=1-i, 所以a+b=1,2+a=-1,)解得a=-3,b=4.) 16、 解：(1).(a+b)(a-2b)=4 a-a.6-26=4… 即-a-i-2=4 即42-a.b-2×(5)2=4……………… 第1页/共8页 ab=6… 2)~a+=v@+ 而(a+62=a+2a.6+6=a+2a.6+6=42+2x6+(N5)2=31… a+=Va+=31 17、解析：(1)：2 ccosA=2b-a .由正弦意理得2 sin C cos A=2sinB-sinA...… .2sin C cos A=2sin(A+C)-sin A .2sin C cos A=2sin AcosC+2cos Asin C-sin A ∴.2 sin Acos C=sinA ……………………………………………………… :sinA≠0 ……。… ∴.cosC= 2 .C∈(0，π) C= 3 (2)在△ACD中，由余弦定理得 D=4C+CD-2.4CCDlcosC .21=25+lCD-5lCD CD-5CD+4=0. 第2页/共8页 CD=1或CD=4… 当CD=1时，BC=2 △ABC中，由余弦定理得 4B=4C+BCP-2.4C.BC]cosC =25+4-2×5×2×2 =19 AB=119 当CD=4时，BC=8 4B=4C+BC-2.4CBC]cosC =25+64-2x5x8x1=49 AB=7. AB=V19或AB=7.… 18、解析： 第3页/共8页 x- 3 :1BD-}a店+aC(2 y=4 (3)3 平面向量的基本定理+平面向量的数量积 解：(1)在△ABC中，D是边BC的中点， 则市=号BC-2A心-A)=)A+)A .(3分) (2)BO=xAB+yAC=xAB+(BC-BA)=-xBA- yBA+yBC-(-z-y)BA+yBC. 因为D是边BC的中点，B驼=2EA, 所以励=成，成=号耐， 所以B心=多(（--y)硫+B成， 所以-3x 2x- 2y+y=1,① 又BO=-(x+y)BA+2Bi, 7 所以一(x十y)士2y三1，②（题眼）（提示：两次运用平面向量 基本定理、三点共线定理，构造方程组) 由①②组成方程组，解得 (9分) (3)设Aò=mAd-号m(A店+AC),0<m<1,i=nE式， 0<n<1, 则Aò=A立+Ed=A正+nE元=A龙+m(AC-A)= gha+d-3”a+c, 11-n 2m= 1 3 m= 21 所以 解得 1 2m=n, n=4 所以Ad=号A市-子A蓝+AC, 又武-AC-A=-子A+AC 所以6Aò.武=6X(A成+AC)·(仁子A+AC) -合A+A应.A衣+号A, 又AB·AC=6Aò.E武， 所以0=-2A+A衣， 所以A店 =3, 故A店/ IaCI 的值为3！ (15分) 解：(1)因为向量OP=(3,2),所以OP=3e1 +2e2, →2 又因为e1·e2三，ei=e2=1, 〉2 .2 所以0P=(3e+2e2)2=9e7+12e1. e2+4e3=13+6=19, 〉 72 所以|OP|=√19； 19、 (2证明：因为向量d=(x1,1）,石=(c2,2) 所以a=x1e+y1e2，b=c2e1+y2e2, 所以ad.b=(x1e+1e2)·(x2ei+y2e2) →2 =c1c2e1+(c1y2+c2y1)e1·e2+y1y2 2 e2 =x1x2+y1y2+ 号（红12+x2): 第5页/共8页 (3)①由(2)得f(x)=a·b=sin2x-V3cos2x 号(V3cos2z-sin2al】 2s2n2c、V③ 1 2c082a-sin(2a) 所以f(g+否)=sin(2(gx+石)-3)=si 4 则方程h(如)+f(x+石)=0的根等价于h() =-sinT的根， 4 如图所示， y=h(x) -sin(x) 8 在y=-sin4 ,心的一个周期内，方程根的个数为3 因为2026÷8=253.··2， 则当x∈(0,2026)时，根的个数n=253×3+1 =760, 第6页/共8页 g(oin< 理由如下： 令m(x)=lmx+sin ，x∈(0,2)，则m(号） =-ln2+sin π 81 又因为sn爱<sn晋-分，m2=号n4> ne 所以m()<0,又因为m()=9>0, 2 所以m(号)m(1)<0,由零点存在定理可得1∈ (分. 由阿知g(sin)=g(-ln)=e1+ e1=女+在1∈（兮，1）上单调递减， 所以+1∈(2，多).即g(m军，)∈2， 所以g(sin军x)< 2 第7页/共8页 第8页/共8页 南安华侨中学2026学春季第一次月考试卷 高一数学试题 （本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若,则( ) A. B. C. D. 2. 梯形中，，点在对角线上，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知非零向量，满足，则，角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6. 如图，设，线段与交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（    ） A. 5 B. 9 C. D. 7. 已知圆的半径为4.内接于此圆，且，则的取值范围是（ ）. A. B. C D. 8. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 给出下列命题，其中正确的选项有（    ） A. 已知，，则 B. 若非零向量满足，则 C. 若G是的重心，则点G满足条件 D. 若是等边三角形，则 10.如图，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，D是外一点，，，则下列说法正确的是（    ） A．是等边三角形 B．若，则A，B，C，D四点共圆 C．四边形ABCD面积最小值为 D．四边形ABCD面积最大值为 11. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，，D是AC的中点，则（ ） A. B. 的面积为 C D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数，则复数z在复平面内对应的点在第 _________ 象限. 13.向量 在 上的投影向量是 (用坐标表示). 14. 平面几何中的“相交弦定理”是指：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知是圆内的定点，为经过点的直径，且，若，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.已知复数. (1)求复数； (2)若，求实数a，b的值． 16.已知，，. （1）求 （2）求. 17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为，b，c，已知 （1）求角C （2）若D是边BC的中点，求的长 18. 如图所示，在中，是边的中点，在边上，与交于点． （1）以为基底表示； （2）若，求的值； （3）若，求的值． 19. 如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设，分别为Ox，Oy正方向同向的单位向量，若向量，记向量．在的斜坐标系中． （1）若向量，求． （2）已知向量，，证明：． （3）若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，． ①证明：有且只有一个零点． ②比较与的大小，并说明理由．（参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $