精品解析：河南郑州市登封市实验高级中学2025-2026学年高一下学期五月份月考数学试题

2025-2026学年登封实验高中高一年级五月份月考试题 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 某中学高三学生有1000人，按照男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取一个容量为50的样本，若抽到的女生有20人，则该校高三男生人数为（ ） A. 400 B. 500 C. 600 D. 800 3. 设向量，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 4. 下面是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据. 每场比赛得分 3 6 7 10 11 13 30 频数 2 1 2 2 1 1 1 则下列说法不正确的是（ ） A. 该队员得分的平均数是10 B. 该队员得分的极差是27 C. 该队员得分的第四十百分位数是7 D. 该队员得分的方差是48.4 5. 乐乐同学在学校的3D打印社为全班50位同学每人打印了一个盘子，盘子的形状为一个倒置的正六棱台，盘子的底面正六边形边长为，盘口正六边形边长为，侧棱长为.如果乐乐要在每个盘子的内外表面涂一层防水涂料，每平方厘米需要涂料，则共需要涂料约为（ ）（不考虑盘子厚度，结果保留整数，参考数据：） A. B. C. D. 6. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四面体中，，为棱的中点，且，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 我国载人航天技术飞速发展，神舟十四号于年月日发射成功．某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有名学生参加学校决赛，把他们的成绩均为整数分成六组得到如下频率分布直方图．则下面结论正确的是（ ） A. 直方图中的值为 B. 在参加学校决赛的名学生中，成绩落在区间内的有人 C. 如果规定分以上学生为一等奖，估计有的学生获得一等奖 D. 根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的上四分位数为分 10. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点M为内一动点，且，则（ ） A. B. C. a的最大值为2 D. 的最小值为 11. 已知正方体的棱长为2，M为的中点，平面过点且与垂直，则（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 平面截正方体所得的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据5，11，6，8，14，6，10，5，9，8的分位数________. 13. 已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为____. 14. 如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，是虚数单位． （1）若复数z是纯虚数，求m的值： （2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 16. 已知向量，，，． （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 17. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值与样本成绩的平均数； （2）在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ （3）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 18. 在中，角所对的边分别为，已知且． （1）求角的大小． （2）若的面积为，求的周长． （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 19. 如图，在三棱锥中，，，，且平面平面． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年登封实验高中高一年级五月份月考试题 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算得，进而得在复平面对应的点为，即可求解. 【详解】因为， 所以在复平面对应的点为，位于第二象限， 故选：B. 2. 某中学高三学生有1000人，按照男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取一个容量为50的样本，若抽到的女生有20人，则该校高三男生人数为（ ） A. 400 B. 500 C. 600 D. 800 【答案】C 【解析】 【分析】由分层抽样的定义求解． 【详解】容量为50的样本，若抽到的女生有20人，则抽到的男生有30人， 则该校高三男生人数为． 故选：C． 3. 设向量，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】因为向量， 由，可得，解得. 故选：C. 4. 下面是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据. 每场比赛得分 3 6 7 10 11 13 30 频数 2 1 2 2 1 1 1 则下列说法不正确的是（ ） A. 该队员得分的平均数是10 B. 该队员得分的极差是27 C. 该队员得分的第四十百分位数是7 D. 该队员得分的方差是48.4 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据平均数，极差，百分位数，方差的定义即可判断. 【详解】该队员得分的平均数是，故A正确； 极差是，故B正确； ，所以第百分位数是，故C正确； 方差是，故D错误. 故选：D 5. 乐乐同学在学校的3D打印社为全班50位同学每人打印了一个盘子，盘子的形状为一个倒置的正六棱台，盘子的底面正六边形边长为，盘口正六边形边长为，侧棱长为.如果乐乐要在每个盘子的内外表面涂一层防水涂料，每平方厘米需要涂料，则共需要涂料约为（ ）（不考虑盘子厚度，结果保留整数，参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据台体的几何性质求出台体的表面积结合每平方厘米需要涂料计算求解. 【详解】如图，盘子侧面等腰梯形的高为，底面面积为， 侧面六个等腰梯形的面积之和为， 所以每个盘子需要刷涂料的面积， 所以给50个这样的盘子涂防水涂料约需涂料. 故选:B. 6. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律将展开，再结合向量数量积公式求出的值，最后根据夹角的取值范围确定夹角. 【详解】由，可得 又 所以解得： 所以 又所以 所以与的夹角为． 故选：C. 7. 如图，在四面体中，，为棱的中点，且，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，证得，和，得到为二面角的平面角，在中，利用余弦定理，即可求得二面角的余弦值. 【详解】因为点为的中点，且，所以， 又因为，可得， 取的中点，连接，如图所示，则，且， 因为，所以，所以为二面角的平面角，, 在中，， 由余弦定理得， 所以二面角的余弦值为. 故选：D. 8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理将角化边得到，再由余弦定理得到，从而表示出，最后由面积公式及二次函数的性质计算可得. 【详解】因为， 由余弦定理可得， 所以，所以， 又，所以， 又， 所以， 所以 ， 所以当，即时，取得最大值，且. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 我国载人航天技术飞速发展，神舟十四号于年月日发射成功．某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有名学生参加学校决赛，把他们的成绩均为整数分成六组得到如下频率分布直方图．则下面结论正确的是（ ） A. 直方图中的值为 B. 在参加学校决赛的名学生中，成绩落在区间内的有人 C. 如果规定分以上学生为一等奖，估计有的学生获得一等奖 D. 根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的上四分位数为分 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由诸频率和为1可求，故可判断正误，对于B，由频率求出人数后可判断正误，对于C，由直方图可得90分以上的频率，故可估计相应人数后判断正误，对于D，求出前四组的频率之和后可得上四分位数. 【详解】对于A，由频率分布直方图可得， 解得，故A正确； 对于B，成绩在内的人数为人，B正确； 对于C，90分以上的频率为，故估计有的学生获一等奖，故C错误； 对于D，上四分位数即为第百分位数， 而前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 故名学生成绩的上四分位数为分， 故选：ABD. 10. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点M为内一动点，且，则（ ） A. B. C. a的最大值为2 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由数量积的定义即可判断A，由三角形的面积公式即可判断B，由余弦定理以及基本不等式即可判断C，由基本不等式的常数代换，即可判断D. 【详解】对于A，由可得，则，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由余弦定理可得， 即，则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，因为，且， 则，即， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知正方体的棱长为2，M为的中点，平面过点且与垂直，则（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 平面截正方体所得的截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】分析出面，可判断选项A；取AD的中点，由平面几何知识可知，，从而判断出面，即平面截正方体所得的截面为梯形，从而可判断剩余的三个选项. 【详解】连接，则，又因为，, 所以面，又因为面，所以，故选项A正确； 取AD的中点，的中点，连接，，，，, 在正方形中，由平面几何知识可知，， 又因为，，所以面，所以, 又因为，所以， 又因为, 所以面，即平面截正方体所得的截面为梯形， 所以显然平面，选项B正确； 平面与平面不平行，选项C错误； 在梯形中，，，,所以梯形的高为， 所以梯形的面积为，即平面截正方体所得的截面面积为，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据5，11，6，8，14，6，10，5，9，8的分位数________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据百分位数的概念求解． 【详解】样本数据由小到大排序为：5，5，6，6，8，8，9，10，11，14，共10个， 又，则样本数据的分位数为． 故答案为：7． 13. 已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为____. 【答案】 【解析】 【分析】由复数的乘法、除法运算求得，再结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】由， 得， 故， 则复数的虚部为， 故答案为： 14. 如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先，根据正四棱台的体积公式求出棱台的高；然后，通过建立关于外接球半径的方程来求解外接球半径；最后，利用球的表面积公式计算出外接球的表面积. 【详解】已知，，则上底面积，下底面积，体积， 由棱台体积公式得， 设外接球球心到下底面中心的距离为，则到上底面中心的距离为， 由正四棱台的上下底面都是正方形可得，， 设外接球半径为，则. 展开并化简：（负值舍去）， 则， 最终外接球表面积：， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，，是虚数单位． （1）若复数z是纯虚数，求m的值： （2）当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）若复数是纯虚数，则其实部为0，且虚部不为0，据此列出方程组即可求出m的值； （2）根据实系数一元二次方程虚根互为共轭求出另外一个根，再利用韦达定理即可求出p，q的值. 【小问1详解】 因为复数是纯虚数，所以. 由，解得或. 当时， ，符合要求； 当时，，不符合要求，舍去， 所以m的值为1； 【小问2详解】 当时，复数， 由题意知复数是关于x的方程的一个根. 因为方程的系数为实数， 所以方程的另外一个根是的共轭复数. 所以由韦达定理可得， 解得. 16. 已知向量，，，． （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直关系的向量坐标表示可解； （2）由向量平行的坐标表示求出，再代入向量夹角公式可得. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，所以. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 所以， 所以， 即向量与的夹角的余弦值为. 17. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值与样本成绩的平均数； （2）在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ （3）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】（1），平均数约为74 （2）6人 （3），36 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出，根据平均数的计算公式计算平均数即可； （2）利用频率分布直方图求出成绩为，，的市民人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （3）先利用频率分布直方图求出和的市民人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【小问1详解】 由频率之和为结合频率分布直方图可得， 解得， 样本成绩的平均数约为． 【小问2详解】 由频率分布直方图知，样本答卷成绩在，，的三组市民有（人）， 其中样本答卷成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从答卷成绩在的市民中抽取（人）． 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 18. 在中，角所对的边分别为，已知且． （1）求角的大小． （2）若的面积为，求的周长． （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由正弦边角关系及和角正弦公式得，再由三角形内角的性质及辅助角公式得，即可得； （2）由三角形面积公式得，再应用余弦定理求边长，即可得； （3）由题设得、，再应用三角恒等变换有，最后由正弦型函数的性质求范围. 【小问1详解】 由题设及正弦边角关系，知， 又， 所以，又， 则，即， 因为，所以，所以，即； 【小问2详解】 由题设，则， 所以， 所以三角形周长为； 【小问3详解】 由（1）知，则，而，得， 所以， 而，故，则的范围为. 19. 如图，在三棱锥中，，，，且平面平面． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：取PB的中点D，连接CD； 因为，D为PB的中点， 故； 因为平面平面，且交于PB， 故平面； 因为平面，故； 又因为，且，平面， 故平面； （2）； （3）存在一点，使得二面角的正切值为；． 【解析】 【分析】(1)根据面面垂直的性质得到线面垂直，进而得到线线垂直，结合已有的线线垂直，根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直； (2)根据第一问的结论，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，写出法向量，代入点到平面的距离公式计算距离； (3)假设存在，根据向量的共线定理设出点的坐标，根据已知条件计算参数，能求出满足题意的值说明存在，否则不存在． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取BC的中点O，AC的中点F，连接OF，PO； 因为O，F为BC，AC的中点，故； 由(1)可知，平面，故平面； 故，； 又因为为等边三角形，故； 故以O为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系； 因为，， 故，，； 故，，，， ，，； 设为平面的法向量，则 ，故，令，则； 则点到平面的距离为； 【小问3详解】 设存在点E，使得，； 则； 设为平面的法向量； 为平面的法向量； 则，故， 令，则； 设二面角为， 则，故； 因为， 整理化简可得： 即，化简得：，解得：； 故，则； 综上，存在一点，使得二面角的正切值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $