精品解析：河南郑州市第七十四中学等校2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题

河南郑州市第七十四中学等校2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用虚数单位的幂次性质化简，再计算得到复数，最后根据共轭复数的定义求出。 【详解】由虚数单位的运算性质，，因此 ， 所以  ，将代入计算可得：  又因为 ，所以其共轭复数为： . 2. 某科技研发公司芯片研发、软件开发、人工智能这三个部门的员工人数分别为180，240，360．现采用分层随机抽样的方法从这780名员工中抽取65人，调研员工对工作的满意度，则人工智能部门被抽取的人数与软件开发部门被抽取的人数之差是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】先计算分层随机抽样的抽样比，再分别求出人工智能部门和软件开发部门的抽取人数，作差得到结果. 【详解】总员工数为780，抽取样本量为65，因此抽样比， 人工智能部门共360人，被抽取人数为， 软件开发部门共240人，被抽取人数为， 则人工智能部门被抽取的人数与软件开发部门被抽取的人数之差为. 3. 在正四棱锥中，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造异面直线所成的角，利用三角形的边角关系求所成角的余弦. 【详解】如图： 取中点，连接，，则，则或其补角为异面直线与所成的角. 不妨设，则中，，，， 所以. 所以异面直线与所成角的余弦为. 4. 某餐馆老板为了了解顾客对餐馆的满意情况，随机抽取了12名顾客进行调查，得到他们的满意度指数分别为7，8，6，9，5，8，7，9，6，8，9，8，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 6.5 B. 7 C. 8.5 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再根据百分位数的计算规则求解第75百分位数. 【详解】将12个满意度指数从小到大排序为：5，6，6，7，7，8，8，8，8，9，9，9. 因为， 所以， 因为为整数， 所以第75百分位数为排序第9项和第10项数据的算术平均值， 即，故选项C正确. 5. 已知复数，满足，，且，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数模的平方等于复数与其共轭复数的乘积，先由已知模长条件求出交叉项的值，再代入计算目标式的模长. 【详解】由，得，代入， 得，解得， 则，代入已知值和交叉项结果， 得  因此. 6. 为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【详解】设塔高为，已知平面，则均为直角三角形， 已知，则，故， 已知，则， 由余弦定理得，即 ，解得． 7. 已知某圆台的上底面圆的半径，下底面圆的半径，且该圆台的上、下底面圆周上的所有点都在球O的球面上．若该圆台的体积是，则球O的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆台的体积公式及球的表面积公式求解即可. 【详解】设圆台的高为，圆台外接球的半径为，如图， 则， 由 ， 解得， 设，则， 因为, 所以，解得， 所以, 所以. 8. 已知向量，，满足 ，且向量与的夹角为60°，则的最大值是（ ） A. B. 8 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】由 ， 可得， 即，解得， 所以的夹角为， 如图所示，设， 所以，所以， 所以点在的外接圆上的优弧上运动，的最大值为外接圆直径， 可知 ， 所以， 外接圆直径为 ，即的最大值为8. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，（），且和均为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】 为纯虚数，则，解得； . ， 由为纯虚数得：，解得． 10. 已知O是所在平面内的一点，且，直线AO与直线BC交于点E，则（ ） A. 与反向 B. C. 与的面积的比值为4 D. 与的面积的比值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据所给向量关系化简，确定点位置，结合平行四边形的性质逐项分析即可. 【详解】设分别是的中点，延长到点，使得，连接， 如图， 因为， 所以，即， 所以，又，， 所以是的中点，且， 即与重合，四边形为平行四边形， 所以与反向，故A正确； 所以由平行四边形加法法则知，故B错误； 因为，所以∽，且， 所以，故C正确； 由，与的高相同， 所以与的面积的比值为，故D正确. 11. 如图，三棱锥的所有棱长都相等，是内部一点，过点的直线与线段分别交于点，且是线段上的动点，延长，交棱的延长线于点，延长，交棱的延长线于点，连接，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则 B. 若平面，且，则 C. 存在点G，使得 D. 存在点G，使得平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】由线面平行性质及共面条件求解选项A.根据向量运算以及向量共线求出.根据向量运算表示出，再利用棱长相等以及数量积求解即可.可取 ，再验证存在性，根据线面垂直定理求解即可. 【详解】设正四面体棱长为，记，，，则，且. 选项A.若平面，由线面平行性质平面，平面平面， 所以. 又 共面，平面平面，且平面，所以，A正确. 选项B.由及，设，则， ，所以，故. 又，所以，所以，. 设，即. 因为，故. 设，由共线，所以，即， 解得.故，即，B正确. 选项C.设为向量起点，在线段上，故； 在延长线，在延长线，故，. 则 ，C错误. 选项D.在平面中，对线段上任意，可作交延长线于. 为正三角形，，直角 中，只要取， 就有 ，满足在延长线； 同理可得在延长线，满足. 此时， ， ， 故平面，存在这样的点，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，是用斜二测画法画水平放置的的直观图，轴，轴，且，，则边所对应的边_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则还原原图形，确定原三角形为直角三角形并求出两直角边长，利用勾股定理求解. 【详解】根据斜二测画法的规则，可知原平面中， ，且，， 所以. 13. 为迎接校园文化节，某校举办了经典诵读比赛，五位评委对某位参赛选手的评分分别为，，，，．已知这组数据的平均数为，方差为，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平均数公式求得的值，再结合方差公式得到的值，最后通过完全平方公式的变形求出. 【详解】由题意， ，整理得 ，解得 ， 又因为 ，化简为 ，即 ， 设 ， ，则 ，且， 由完全平方公式，代入得 ，解得 ， 再由，代入得：  ，故 ， 因此 . 14. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，．若，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理对题目条件进行化简，求出边长的关系，进而根据余弦值的范围列出不等式，再构造函数，根据函数单调性，判定自变量的范围，求出结果. 【详解】由题意可知，化简得 ， 即， 因为，即， 将代入得，化简得， 设函数， 根据对勾函数可知，当时，单调递减，当时，单调递增， 可知 ，所以当时， ， 即，解得，即. 所以a的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某环保小组对某市连续40天的PM2.5日均浓度（单位：）数据进行统计分析，将数据分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）求该市这40天中PM2.5日均浓度低于的天数； （3）估计该市PM2.5日均浓度的平均数（各组数据以该组中间值作代表）． 【答案】（1） （2）天 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中，长方形的面积和为1，计算a的值； （2）根据频数等于频率和总数的乘积计算即可； （3）利用每组中间值和频率的乘积之和计算平均数． 【小问1详解】 由可得：， 故； 【小问2详解】 低于的组为，，， 对应的频率和为：， 天数为：（天）； 【小问3详解】 各组中间值分别为：25，35，45，55，65， ． 16. 如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点． （1）证明：平面． （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 取的中点，连接; 因为分别为的中点，故，且， 故为平行四边形，则； 因为平面，平面， 故平面； 又因为分别为的中点，故，； 故； 因为平面，平面， 故平面； 因为，且平面， 则平面平面； 又因为平面，则平面． （2） 【解析】 【分析】(1)通过找已知平面的平行平面，利用面面平行的性质，得到线面平行； (2)利用等体积法计算体积，通过换底的方法将未知高变为已知进行计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)知，平面； 故到平面的距离与到平面的距离相等； 则； 因为，到平面的距离为， 故． 17. 设向量，满足，． （1）已知向量与的夹角为． ①求； ②求的最小值． （2）若对任意的x，不等式恒成立，求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①利用向量数量积的运算律结合其定义表达式计算即得；②先将所求的模转化为为关于的二次函数，利用其性质即可求得； （2）设向量与的夹角为，将不等式两边同时平方，整理为关于参数的一元二次不等式恒成立问题，再利用判别式小于等于0即可求出夹角的余弦值. 【小问1详解】 ，，向量与的夹角为，则 ， 则 ， 故； ②因， ， 当时，取得最小值3，即的最小值为. 【小问2详解】 设向量与的夹角为，则 ， ， ，即； 也即 ， 可得 ， 整理得 . 即对任意的，不等式恒成立. 则 ， 因为对于任意的，都有 ， 解得，即向量与夹角的余弦值为. 18. 如图，在三棱柱中，，，，，D是棱的中点． （1）证明：平面． （2）在答题卡中作出二面角的平面角，并写出作法与理由． （3）在棱上是否存在一点E，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）取中点，连接，，，. ，，由三棱柱， 得，, ，是等腰直角三角形. . 是棱的中点，. ，，是的中点，, ，，, 由余弦定理得，得, ，，得，即. 由，，，得平面, 平面，, ，，平面，平面，， 平面. （2）过点作，垂足为，连接. 由（1）得平面. 平面，, ，，平面, 平面，, 为二面角的平面角. （3）存在， ，理由如下： 连接，，过点作平面，过点作平面. ，平面，平面，平面. 点到平面的距离等于点到平面的距离，即. ，，，， 由余弦定理得，得 ， , 为等腰直角三角形，为等边三角形. 由（1）得平面， 是等腰直角三角形，，是的中点，得. 由，得， 即，解得. . 平面， 为与平面所成的角. 由与平面所成角的正切值为，得, . 平面， 为直角三角形, ，即. 由三棱柱，，， 得四边形为菱形, . 在中，，， 由余弦定理得 ， 即 , 解得 或（舍）, , 即当 时，与平面所成角的正切值为. 【解析】 【分析】（1）根据已知边长和角度关系，得到是等腰直角三角形，是等边三角形；由是棱的中点，可得；取中点，求得，从而得平面，即证明 ，从而证明线面垂直； （2）利用（1）中平面的结论，过点作，垂足为，连接，可证得平面，从而得，即可得 为二面角的平面角； （3）由体积相等求出点到平面的距离，由在上，得到到平面的距离，根据线面夹角的正切值，以及勾股定理求得，再根据余弦定理求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，P是内部一点，点P到AB，BC，AC的距离分别为，记． （1）求A； （2）已知对任意的正数，，，，，，恒有，当且仅当时，等号成立，证明，并求当T取得最小值时的面积． 【答案】（1） （2） 的面积为，由分为三个小三角形得. 因为，所以 .又​，所以， 因此.已知，根据题意，， 即. 因为，所以. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及三角恒等变换求解即可. （2）利用面积关系建立等式，再根据题目中不等式证明即可.根据，以及余弦定理、基本不等式得到时取最小值，进而得到三角形面积. 【小问1详解】 ， 化简得 . 根据正弦定理， . 在中，化简得 . 又，故 ，得. 因为，解得. 【小问2详解】 证明略，. 根据余弦定理以及基本不等式， ， 即，当且仅当时等号成立. 因为 ， ， 所以. 令，因为 ，所以，令. 当，即时，取得最小值. 即时，取最小值，对应取最小值. 此时为边长为的等边三角形，面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南郑州市第七十四中学等校2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 某科技研发公司芯片研发、软件开发、人工智能这三个部门的员工人数分别为180，240，360．现采用分层随机抽样的方法从这780名员工中抽取65人，调研员工对工作的满意度，则人工智能部门被抽取的人数与软件开发部门被抽取的人数之差是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 3. 在正四棱锥中，，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 4. 某餐馆老板为了了解顾客对餐馆的满意情况，随机抽取了12名顾客进行调查，得到他们的满意度指数分别为7，8，6，9，5，8，7，9，6，8，9，8，则这组数据的第75百分位数是（ ） A. 6.5 B. 7 C. 8.5 D. 9 5. 已知复数，满足，，且，则 （ ） A. B. C. D. 6. 为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 已知某圆台的上底面圆的半径，下底面圆的半径，且该圆台的上、下底面圆周上的所有点都在球O的球面上．若该圆台的体积是，则球O的表面积是（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，，满足 ，且向量与的夹角为60°，则的最大值是（ ） A. B. 8 C. D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，（），且和均为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知O是所在平面内的一点，且，直线AO与直线BC交于点E，则（ ） A. 与反向 B. C. 与的面积的比值为4 D. 与的面积的比值为 11. 如图，三棱锥的所有棱长都相等，是内部一点，过点的直线与线段分别交于点，且是线段上的动点，延长，交棱的延长线于点，延长，交棱的延长线于点，连接，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则 B. 若平面，且，则 C. 存在点G，使得 D. 存在点G，使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，是用斜二测画法画水平放置的的直观图，轴，轴，且，，则边所对应的边_________． 13. 为迎接校园文化节，某校举办了经典诵读比赛，五位评委对某位参赛选手的评分分别为，，，，．已知这组数据的平均数为，方差为，则 __________． 14. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，．若，则a的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某环保小组对某市连续40天的PM2.5日均浓度（单位：）数据进行统计分析，将数据分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）求该市这40天中PM2.5日均浓度低于的天数； （3）估计该市PM2.5日均浓度的平均数（各组数据以该组中间值作代表）． 16. 如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点． （1）证明：平面． （2）求三棱锥的体积． 17. 设向量，满足，． （1）已知向量与的夹角为． ①求； ②求的最小值． （2）若对任意的x，不等式恒成立，求向量与夹角的余弦值． 18. 如图，在三棱柱中，，，，，D是棱的中点． （1）证明：平面． （2）在答题卡中作出二面角的平面角，并写出作法与理由． （3）在棱上是否存在一点E，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，P是内部一点，点P到AB，BC，AC的距离分别为，记． （1）求A； （2）已知对任意的正数，，，，，，恒有，当且仅当时，等号成立，证明，并求当T取得最小值时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $