第六章 平面向量的概念与坐标运算能力提升练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本卷为高中数学平面向量概念与坐标运算单元能力提升卷，通过基础判断、几何应用及综合问题，考查向量核心知识，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|6|向量坐标运算（第1题）、几何应用（平行四边形，第3题）|正八边形跨图形综合（第4题），体现几何直观| |多选|2|三角形向量关系（第8题）、动态问题（正方形动点，第7题）|结合动点范围分析（第7题），发展推理能力| |填空|2|网格向量运算（第9题）、线段分点表示（第10题）|正方形网格情境（第9题），强化数学眼光| |解答|2|坐标运算应用（第11题）、面积最值综合（第12题）|赵爽弦图文化情境（第5题）、面积最值模型（第12题），培养数学语言表达|

第六章 平面向量的概念与坐标运算·能力提升 1. 已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据平面向量运算的坐标表示和向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】因为向量， 所以. 因为，所以，解得. 故选：D. 2. 下列命题中正确的是（   ）。 A．若，则与的方向相同或相反 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点 D．若，则 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【详解】若，则与的模长相等，但未说明方向，故A错误； 若，则，成立，但不一定成立，故B错误； 若，则四点可能共线，故C错误； 由相等向量的定义可知，D正确. 3. 在平行四边形中，，若交于点M，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】由得为线段上的四等分点，根据三角形相似得，然后根据向量的线性运算化简求解即可. 【详解】，为线段上靠近点C的四等分点． 由平行四边形性质知， 即，． 故选：B． 4. 如图，在正八边形中，，则（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、用坐标表示平面向量 【分析】分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求出向量的坐标运算得解. 【详解】分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图.设正八边形的边长为1， 可得，，，， 所以，，. 因为，所以， 所以，解得，则. 故选：D. 5. 若向量是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中分别是的中点.已知向量分别是与向量同向的单位向量，且向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量 【分析】根据已知条件，由向量的线性运算及图形关系得，再由向量在基底下的坐标为得，，最后通过线性运算得即可求解. 【详解】由题意可得. 因为是平行四边形， 所以， 所以， 所以. 因为向量在基底下的坐标为， 所以，. 因为， 所以在基底下的坐标是. 故选：B. 6. 如图，在平行四边形中，，和相交于点，且为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】平面向量基本定理的应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先确定的位置，接着由进行转化，利用共线定理得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】由题意，设， 则, 因为三点共线， 所以，即， 所以， 所以， 又三点共线， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 7. （多选）如图，在正方形中，E为中点，M为线段上的动点，，则下列结论正确的是（    ） A．当M为线段的中点时， B．的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】由向量线性运算结果求参数、用基底表示向量、由向量线性运算解决最值和范围问题、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，不妨设，则可以写出各个点的坐标，再设，则，由题干条件和向量的坐标运算把用表示，由此可分析各个选项正误. 【详解】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示，设，则， 设，则，由于，所以， 整理得，则． 对于A，当M为的中点时，，故，故A正确； 对于B，， 由于，当时，取最大值为，故B错误； 对于C，由于，所以，故的取值范围为，故C正确； 对于D，，故的取值范围为，故D错误． 故选：AC. 8. （多选）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M是△ABC所在平面上一点，且 则下列说法正确的是（   ） A．若，则M在内部 B．若，则M为的重心 C．若，则的面积是面积的 D．若，M为外接圆圆心，则 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】向量的线性运算的几何应用、数量积的运算律、根据向量关系判断三角形的心 【分析】根据向量的线性运算对选项逐一判断即可. 【详解】 对于选项A，当时，三点共线，由向量的线性运算可知， 当时，M在内部，故A 正确； 对于选项B，设BC中点N，G为△ABC的重心，，故B正确； 对于选项C，已知， 则 这说明M在线段BC上，且，那么， 因为和 高相同，根据三角形面积公式可知的面积与 面积之比等于它们底边MC 与BC之比， 即的面积是面积的故C错误； 对于选项D₁ M为外心， 故 ， 所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 9. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则__________. 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】由向量线性运算结果求参数 【分析】根据题意，建立直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】 建立如图所示的平面直角坐标系，，，， 由，可得， ， 故答案为：2 10. 如图所示，是线段外一点，若中，相邻两点间的距离相等，，则 _________用表示 【答案】 【难度】0.65 【知识点】向量加法法则的几何应用、用基底表示向量 【分析】取线段的中点，再利用中点向量公式求解. 【详解】设为线段的中点，则也为线段的中点， 则， 所以. 11. 已知. (1)若，且，求的值； (2)若，且，求的坐标. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.85 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】（1）根据向量坐标运算可得，再结合题意建立关于的方程并求解； （2）根据向量共线设，再结合向量的模的坐标运算求解即可. 【详解】（1）已知，解得，. 由，代入坐标得：， 则，解得：； （2）设（为实数）， 由，可得： 解得，即或， 所以或. 12. 如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点． (1)延长交于点Q（图1），求的值； (2)过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，． （i）求证为定值； （ii）设的面积为，的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【难度】0.4 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、平面向量基本定理的应用、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）根据题意，将作为基底表示，由三点共线可知，的系数之和为1，即可求出的值； （2）（i）根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1，即可求出为一定值；（ii）根据题意，，，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可. 【详解】（1）依题意，因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 设，则有， 因为三点共线，所以，解得， 即，所以，所以； （2）（i）根据题意, 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线，所以， 化简得， 即为定值，且定值为3； （ii）根据题意，， ， 所以， 由（i）可知，则， 所以， 易知，当时，有最小值，此时. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 平面向量的概念与坐标运算·能力提升 1. 已知向量．若为实数，且，则（   ） A．1 B．2 C． D． 2. 下列命题中正确的是（   ）。 A．若，则与的方向相同或相反 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点 D．若，则 3. 在平行四边形中，，若交于点M，则（   ） A． B． C． D． 4. 如图，在正八边形中，，则（　　） A．1 B． C． D． 5. 若向量是一组基底，向量，则称为向量在基底下的坐标.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中分别是的中点.已知向量分别是与向量同向的单位向量，且向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 6. 如图，在平行四边形中，，和相交于点，且为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7. （多选）如图，在正方形中，E为中点，M为线段上的动点，，则下列结论正确的是（    ） A．当M为线段的中点时， B．的最大值为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 8. （多选）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M是△ABC所在平面上一点，且 则下列说法正确的是（   ） A．若，则M在内部 B．若，则M为的重心 C．若，则的面积是面积的 D．若，M为外接圆圆心，则 9. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则__________. 10. 如图所示，是线段外一点，若中，相邻两点间的距离相等，，则 _________用表示 11. 已知. (1)若，且，求的值； (2)若，且，求的坐标. 12. 如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点． (1)延长交于点Q（图1），求的值； (2)过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，． （i）求证为定值； （ii）设的面积为，的面积为，求的最小值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $