27.2 反比例函数的图象和性质（讲义，4大知识20大题型）数学新教材人教版九年级上册

第二十七章 反比例函数 27.2 反比例函数的图象和性质 知识点一 反比例函数的图象与性质 反比例函数的图像是双曲线，其图像和性质如下表： k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像位置 图像分别位于第一、第三象限（x、y同号） 图像分别位于第二、第四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 图像特征 1）图像是关于直线y=x和y= -x对称的双曲线； 2）图像是关于原点对称的双曲线； 3）图像无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交. 【补充】 1）反比例函数的图像不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2）双曲线的位置和函数的增减性，都是由比例系数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号. 即学即练 1．（2026·云南昆明·模拟预测）反比例函数的图象分别位于（     ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 2．（2026·安徽阜阳·二模）已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河南·阶段检测）点在反比例函数 的图象上，则该函数图象所在象限为（     ） A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限 4．（2026·河北唐山·二模）在反比例函数中，当时，函数的最大值和最小值之差为，则（     ） A． B． C． D． 知识点二 反比例函数的对称性 反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为原点. 【解题技巧】 1）反比例函数图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上； 2）若（a，b）在反比例函数图像上，则（b，a）也在该图像上. 即学即练 1．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）双曲线与直线相交于A、B两点，点坐标为，则点坐标为_____． 2．（2025·安徽阜阳·三模）若双曲线与直线相交于点A，B，且点A的坐标为，则点B的坐标为______． 3．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为_____． 知识点三 反比例函数的几何意义 常见 图形 结论 即学即练 1．（2026·广西梧州·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（     ） A． B． C．2 D．4 2．（2026·山西忻州·模拟预测）如图，已知反比例函数的图像经过点，连接.将线段绕点逆时针旋转，当点的对应点落在轴上时，的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．（2026·安徽亳州·二模）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（2026·河南三门峡·二模）如图，在中，点A，B分别在反比例函数和的图象上，轴，点C在y轴上，，则_______． 知识点四 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出，在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方，所以的解集为或 ；在②，④部分，反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 即学即练 1．（2026·湖南长沙·一模）如图，反比例函数与直线交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·安徽亳州·期中）在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A．B． C． D． 3．（25-26八年级下·海南海口·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数图象相交于点与点，在第二象限内，观察函数图像，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 4．（2024·河北邯郸·模拟预测）一次函数与反比例函数 的交点个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．0 题型01 根据反比例函数解析式判断其性质 典｜例｜精｜析 例1．（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）对于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．图像分布在第二、四象限内 B．当时，随的增大而增大 C．图像经过点 D．若点都在函数的图像上，且时，则 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河南开封·期末）点在函数图像上，下列说法中正确的是（   ） A．它的图像分布在一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而增大 C．当时，y的值随x的增大而减小 D．它的图像过点 2．（25-26九年级上·四川成都·期末）对于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．函数图象位于第二、四象限 B．若，，是图象上三个点，则 C．P为图象上任意一点，过P作轴于Q，则的面积是定值 D．函数值y随x的增大而减小 3．（25-26九年级上·云南昆明·期末）关于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．点在该函数的图象上 B．图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，函数值 题型02 比较反比例函数值/自变量的大小 1) 当k＞0时，同象限：，整体：. 2) 当k＜0时，同象限：，整体： 典｜例｜精｜析 例2．（2026·天津河北·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）若点都在反比例函数为常数，且）的图像上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（2025九年级下·天津·专题练习）点都在反比例函数（为常数）的图象上，且，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）已知点在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型03 已知反比例函数增减性求参数 典｜例｜精｜析 例3．（25-26九年级上·安徽六安·期末）在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江西抚州·阶段检测）若是反比例函数，在每一个象限内，y随着x的增大而减小，则a的值为______． 2．（25-26九年级上·广西来宾·阶段检测）若反比例函数的图像上有两点和点，其中则的取值范围是______． 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若点均在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是_______． 题型04 已知双曲线分布象限求参数 典｜例｜精｜析 例4．（25-26九年级上·广东珠海·阶段检测）已知反比例函数（是常数）的图象位于第二、四象限，则的取值范围是__． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）已知反比例函数的图象在第一、三象限内，那么k的取值范围是___________． 2．（25-26九年级上·山东潍坊·阶段检测）函数是反比例函数，且图像在第二、四象限内，则的值是______． 3．（25-26九年级上·山东威海·期中）已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则函数的图像经过第________象限 题型05 反比例函数代数最值问题 典｜例｜精｜析 例5．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知反比例函数（m为常数），当时，函数y的最大值为a（a为常数），则当时，函数y有（　　） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则______． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数，其中，且． (1)若在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是________； (2)若该函数的最大值与最小值的差是1，则k的值为________． 题型06 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 典｜例｜精｜析 例6．（25-26九年级上·河南·期末）若双曲线（）的图象经过点和，若，则的值是______． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点，延长，与反比例函数的图象交于点，则点的坐标为______． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是______． 3．（24-25九年级下·福建泉州·期中）将向右平移两个单位，向下平移个单位，与有两个交点，分别为，，则_____． 题型07 比较反比例系数大小 典｜例｜精｜析 例7．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）反比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级下·广东广州·开学考试）如图为反比例函数，，在同一坐标系的图象，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是三个反比例函数在轴上方的图象，则的大小关系是__________ 题型08 根据反比例函数图象确定比例系数k的范围 典｜例｜精｜析 例8．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）反比例函数的部分图像如图所示，则________（写出一个符合题意即可）． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图为反比例函数的图象，则k的值可以为______．（写出符合图象特征的一个值即可） 2．（2024·河北邯郸·二模）如图，已知两点分布在曲线的两侧，写出一个符合条件的k的整数值：_______________． 题型09 与反比例函数性质图象与性质有关的开放性问题 典｜例｜精｜析 例9．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知一个函数具有以下条件：它的图像经过第四象限；当时，随的增大而增大；函数的图像关于原点成中心对称．请写出一个符合上述条件的函数表达式：_______． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．若，则的值可以为___________（写出一个即可）． 2．（2025·海南省直辖县级单位·一模）已知反比例函数的图象经过第一、三象限，则的值可以是________．（写出一个即可） 3．（2023·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数和的图象如图所示，k的值可以是___________．（写出一个即可）．      4．（2023·河北·中考真题）如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值：_________．    题型10 判断反比例函数图象 典｜例｜精｜析 例10．（24-25九年级上·福建福州·期末）函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知，则的图象大致为（    ） A．B． C． D． 2．（21-22九年级上·全国·课后作业）表示关系式①，②，③，④的图象依次是_____，_____，_____，_____． A． B． C． D． 3．（2023·广东佛山·一模）如图，某同学画的反比例函数的图象如图所示，请写出图象中的错误______． 题型11 根据已知反比例函数图象推断新函数图象性质 典｜例｜精｜析 例11．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）项目主题：探究反比例型绝对值函数的图象与性质 任务背景：某学校在操场直线跑道旁安装广播喇叭，用于运动会通知．为简化分析，将跑道视为一条数轴，喇叭的安装点定为原点．声音在跑道上不同位置的响度与听众到喇叭的距离有关．在简化模型中，某一位置的声音响度与到声源距离的绝对值成反比．因此，我们建立函数模型，本次项目将以函数为例，通过描点作图、数据分析、性质归纳等方式，深入理解这类函数的图象特征与实际意义． 任务一：自变量分析与数据采集 （1）函数中自变量的取值范围是_____； （2）补全数据表： ．．． 1 1．5 2 4 6 ．．． ．．． 1 3 _____ 6 6 4 _____ 1 ．．． 任务二：图象绘制与对称性探究 （3）绘制图象 在平面直角坐标系中，描出上表中所有点，并用光滑曲线连接，画出函数图象． （4）图象分析 该函数图象_____轴对称图形（填“是”或“不是”），与坐标轴交点个数为_____． 任务三：函数性质归纳与应用（综合拓展） （5）数值估算 当时，对应的自变量的值约为_____（保留一位小数）． （6）性质总结 请根据画出函数图象，归纳出函数的性质：_____（写出一条即可）． （7）变式探究 我们将函数一般化，对于函数，当时，试写出其一条性质． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·北京平谷·期中）有这样一个问题：探究函数的图象与性质并解决问题． 小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是 ； (2)取几组与的对应值，填写在下表中． … 0 1 1.2 1.25 2.75 2.8 3 4 5 6 8 … … 1 1.5 2 3 6 7.5 8 8 7.5 6 3 1.5 1 … 的值为_____________； (3)如下图，在平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； (4)获得性质，解决问题： ①通过观察、分析、证明，可知函数的图象是轴对称图形，它的对称轴是____________； ②过点作直线轴，与函数的图象交于点(点在点的左侧)，则的值为____________． 2．（25-26九年级上·河南郑州·期中）【问题情境】我们在学习分式的时候，课本上有这样的一个习题：在一杯糖水中再加入糖之后，生活经验告诉我们：这杯糖水的含糖量会比原来要高．用2千克的水配制糖水溶液，如果往里面不断地加糖，那么其浓度会越来越_____（填“大”或“小”）、设加入的糖为千克，糖水溶液的浓度为，则有，下面研究函数的图象与性质． 【性质探究】参照学习函数的过程，因为，即，所以我们对比函数来探究．列表： … 1 2 3 4 … … 1 2 4 … 0 1 2 … 1 2 3 4 … … … （备注：下表中的取值比上表中的取值对应的小2．） 描点：如图所示． （1）请把直线左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来； （2）观察图象并分析表格，函数的图象是由的图象向_____平移2个单位而得到，再向_____平移1个单位而得到； （3）观察图象发现，当时，随的增大而增大，这也验证了【问题情境】中的“生活经验”．设，是函数的图象上的两点，请你用代数的方法证明：对任意的，，当时，总有成立． 题型12 已知比例系数求特殊图形的面积 典｜例｜精｜析 例12．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，点M，N在反比例函数的图象上，分别过点M，N向x轴、y轴作垂线，则_____（填“>”、“<”或“＝”）． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·四川达州·期末）如图，矩形与反比例函数的图象交于点，与反比例函数的图象交于点，连接，则四边形的面积为_________． 2．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图所示，由反比例函数的对称性可知，点P关于原点的对称点Q也在图象上．作轴于点A，交延长线于点C，则的面积为 ________ ．（用含k的式子表示） 3．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，在x轴的正半轴上依次截取，分别过点，，，，作x轴的垂线与反比例的图象相交于点，，，，，连接，，，…，，得直角三角形，直角三角形，直角三角形，…，直角三角形，并设其面积分别为，，，，，则的值为____________________． 4．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）如图，矩形与反比例函数图象交于，，与反比例函数的图象交于点，连接，，则四边形的面积为______． 题型13 根据图形面积求比例系数 典｜例｜精｜析 例13．（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点在轴上，且，若，则的值为_____． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图，点A是y轴上一点，点B，C分别在反比例函数和的图象上，且轴，若的面积为，则k的值为_______ ． 2．（2025·陕西商洛·一模）如图，在反比例函数（为常数，且，）的图象上，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接．若，，则的值为___________． 3．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，点为反比例函数图象上两点，过点P向坐标轴作垂线，垂足分别为A，B，过点Q向坐标轴作垂线，垂足分别为C，D，且与交于点M，连接，若的面积等于矩形面积的，则点P的坐标为__________． 4．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与原点O重合．点E为x轴上一点连接，F为中点，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过A，F两点．若平分，的面积为9，则k的值为_____． 题型14 函数图象的综合 典｜例｜精｜析 例14．（24-25九年级下·辽宁阜新·阶段检测）一次函数与反比例函数的图象如图，则二次函数的大致图象是（   ） A．B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）抛物线和双曲线（）在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C．D． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）已知二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（   ） A．B．C．D． 题型15 一次函数与反比例函数交点问题 将反比例函数与一次函数两个方程联立，构造一元二次方程，无需求解方程，只需求出一元二次方程根的判别式的值，由判别式判断交点个数.即： . 典｜例｜精｜析 例15．（2025九年级下·河北·专题练习）已知反比例函数与一次函数有两个交点坐标，，若，则________． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级下·甘肃武威·阶段检测）若反比例函数与正比例函数的图象没有交点，则的取值范围是______． 2．（2024·广东广州·模拟预测）一次函数与反比例函数有且仅有一个交点，则的值为______． 3．（2025·河南郑州·二模）数学兴趣小组对面积为的矩形，其周长的范围进行了探索，兴趣小组的同学们已经能用“代数”的方法来解决： (1)建立函数模型． 设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为，得，即，由周长为，得，即满足要求的应是两个函数图象在第______象限内交点的坐标． (2)画出函数图象． 函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到，请在同一平面直角坐标系中画出直线． (3)观察函数图象． 平移直线， ①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长的值为______； ②在直线平移过程中，直线与函数的图象交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围． (4)得出结论． 面积为的矩形，它的周长的取值范围为______． 题型16 反比例函数与一次函数 图像比高低，谁高谁大. 典｜例｜精｜析 例16．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2025九年级·辽宁·专题练习）函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A．或或 B．或 C．或 D．或或 2．（25-26九年级上·湖南娄底·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集． 题型17 反比例函数与几何综合（面积问题） 典｜例｜精｜析 例17．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A，B，轴于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，已知在反比例函数的图象上存在一点D，使得的面积与的面积相等，求点D的坐标． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·江苏镇江·二模）如图，一次函数图像与反比例函数图像交于点，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求与一次函数的函数表达式； (2)连接、，点在双曲线上，若的面积是面积的一半，求点的坐标． 2．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点、在y轴的正半轴上，边与分别与反比例函数的图像相交于、两点，且点的坐标为，点的坐标为．点在反比例函数的图像上（点不与点、重合），其横坐标为． (1)求的值； (2)连接、，当的面积是该矩形面积的一半时，求点的坐标． 题型18 反比例函数与几何综合（将军饮马问题） 典｜例｜精｜析 例18．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图像经过点与， 过点A作轴， 垂足为C，连接、． (1)求k的值； (2)D为y轴上一点，的周长是否有最小值；若存在，请求出此时点D的坐标，若不存在，请说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C． (1)求一次函数y与反比例函数y的表达式； (2)点Q为y轴上一动点，求当取得最小值时点Q的坐标； (3)点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 2．（2025·四川雅安·二模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出中的取值范围； (3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 3．（2022·四川乐山·二模）如图，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线相交于点P，轴于点，且，． (1)求直线的解析式； (2)若点为双曲线上的一点，点Q为y轴上的一动点，当的值达到最大值时，求点Q的坐标． 题型19 反比例函数与几何综合（几何图形存在性问题） 典｜例｜精｜析 例19．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求此反比例函数的表达式： (2)在轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． (3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点；使是以为底的等腰直角三角形?若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·贵州铜仁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象过点，点的纵坐标为4，直线与轴，轴分别交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)若点P在x轴上，当PD+PC最小时，求点P的坐标． (3)已知点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为为轴上的动点．问直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·四川眉山·一模）如图，点A在反比例函数图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，连接，，． (1)求反比例函数解析式； (2)在y轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接． (1)求直线的表达式． (2)当的面积为时，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 题型20 反比例函数与几何综合（特殊角度存在性问题） 典｜例｜精｜析 例20．（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点是第四象限反比例函数图象上一点，当的面积为15时，求点的坐标； (3)反比例函数的图象上是否存在一点．使得，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·四川成都·期中）平面直角坐标系中，点，点是反比例函数图象上两点，直线分别交轴，轴于点、点 (1)求直线的函数表达式； (2)点是反比例函数图象上的一点且位于直线下方，的面积为5，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如图2，为第一象限的点，轴上是否存在一点使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过A，B两点，连接，，，过点B作轴，垂足为点D，交于点，且C为线段中点． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)在反比例函数（，）的图象是否存在一点E，使得？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 反比例函数 27.2 反比例函数的图象和性质 知识点一 反比例函数的图象与性质 反比例函数的图像是双曲线，其图像和性质如下表： k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像位置 图像分别位于第一、第三象限（x、y同号） 图像分别位于第二、第四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 图像特征 1）图像是关于直线y=x和y= -x对称的双曲线； 2）图像是关于原点对称的双曲线； 3）图像无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交. 【补充】 1）反比例函数的图像不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大． 2）双曲线的位置和函数的增减性，都是由比例系数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号. 即学即练 1．（2026·云南昆明·模拟预测）反比例函数的图象分别位于（     ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】D 【分析】根据反比例函数比例系数的符号即可判断图象所在象限． 【详解】解：中，， ∴ 反比例函数的图象位于第二、第四象限． 2．（2026·安徽阜阳·二模）已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据判断函数图象所在象限，再根据点的横坐标判断点所在象限，结合象限内y的增减性比较大小即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别在第二、第四象限，且每个象限内随的增大而增大． ∵点A的横坐标， ∴点A在第二象限，可得． ∵点B横坐标为1，点C横坐标为3，都大于0， ∴点B、C都在第四象限，可得，． ∵， ∴ ∴． 3．（25-26八年级下·河南·阶段检测）点在反比例函数 的图象上，则该函数图象所在象限为（     ） A．一、三象限 B．二、四象限 C．一、二象限 D．三、四象限 【答案】B 【详解】解：将点代入反比例函数，得， ∵， ∴反比例函数的图象在第二、四象限． 4．（2026·河北唐山·二模）在反比例函数中，当时，函数的最大值和最小值之差为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据判断随的变化规律，结合确定的最大值和最小值，再根据差值为列方程求解即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， ∵， ∴当时，取最小值，当时，取最大值， ∵的最大值和最小值之差为， ∴， 解得：． 知识点二 反比例函数的对称性 反比例函数的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴为直线y=x或y= -x，对称中心为原点. 【解题技巧】 1）反比例函数图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上； 2）若（a，b）在反比例函数图像上，则（b，a）也在该图像上. 即学即练 1．（25-26九年级上·山西太原·阶段检测）双曲线与直线相交于A、B两点，点坐标为，则点坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与正比例函数的性质，根据双曲线与正比例函数相交时，交点关于原点对称，利用关于原点对称性质直接求解即可． 【详解】解：双曲线与直线 相交于两点，由于正比例函数图像过原点，且双曲线关于原点中心对称，因此交点A和B关于原点对称， 已知B点坐标为，根据关于原点对称的点的坐标特征，横纵坐标均互为相反数，故A点坐标为． 故答案为：． 2．（2025·安徽阜阳·三模）若双曲线与直线相交于点A，B，且点A的坐标为，则点B的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象与正比例函数的图象中心对称性，根据反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：解：将代入得，则点A的坐标为， ∵点A和点B关于原点对称， ∴点B坐标为． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，，以为对角线作矩形，则矩形的面积为_____． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数的对称性，反比例函数k的几何意义，矩形的性质等，熟知反比例函数的对称性是解题的关键．设，则，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：8． 知识点三 反比例函数的几何意义 常见 图形 结论 即学即练 1．（2026·广西梧州·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上，则k的值是（     ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，解答即可． 【详解】解：矩形的面积为2，其中A、B两点在坐标轴上，点C在反比例函数上， ∴， ∵反比例函数的图象位于第二象限， ∴， ∴． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）如图，已知反比例函数的图像经过点，连接.将线段绕点逆时针旋转，当点的对应点落在轴上时，的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】由旋转的性质可得，作轴于点，利用等腰三角形三线合一的性质得出，再结合反比例函数的几何意义求出，进而得出结果． 【详解】解：由旋转的性质可得， 如图，过点作轴于点， ，， ， 反比例函数的图象经过点， ， ． 3．（2026·安徽亳州·二模）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】延长交y轴于D，则四边形为矩形．根据反比例函数系数k的几何意义，得出，，则四边形的面积． 【详解】解：如图，延长交y轴于D，则四边形为矩形． ∵点在双曲线上，点在双曲线上， ∴，， ∴四边形的面积． 4．（2026·河南三门峡·二模）如图，在中，点A，B分别在反比例函数和的图象上，轴，点C在y轴上，，则_______． 【答案】 【分析】根据，得出；再分别过点，作轴的垂线，垂足分别为E，F，则，继而可求得的值．解题时要注意：反比例函数的图象在第二象限，这是易错点． 【详解】解：， ． 如图，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为E，F， 则， ， ， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ． 知识点四 反比例函数与一次函数关系 从图像可以看出，在①，③部分，反比例函数图像在一次函数图像上方，所以的解集为或 ；在②，④部分，反比例函数图像在一次函数图像下方，所以的解集为或. 即学即练 1．（2026·湖南长沙·一模）如图，反比例函数与直线交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在直线上，先求出，再代入反比例解析式求即可. 【详解】解：∵反比例函数与直线交于点， ∴，即： ∴． 2．（25-26九年级下·安徽亳州·期中）在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一次函数的图象排除B、C，再根据一次函数与反比例函数图象分析A、D即可． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，B、C错误； A．由一次函数的图象可知，即，反比例函数图象应经过一、三象限，符合选项图象； D．由一次函数的图象可知，即，反比例函数图象应经过二、四象限，不符合选项图象． 3．（25-26八年级下·海南海口·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数图象相交于点与点，在第二象限内，观察函数图像，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，不等式的解集是． 4．（2024·河北邯郸·模拟预测）一次函数与反比例函数 的交点个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点个数，以及一元二次方程根的判别式，联立一次函数与反比例函数解析式建立关于的方程，再结合一元二次方程根的判别式进行判断，即可解题． 【详解】解：联立一次函数与反比例函数有： ， ， 一次函数与反比例函数 的交点个数为2个， 故选：B． 题型01 根据反比例函数解析式判断其性质 典｜例｜精｜析 例1．（25-26九年级上·广东江门·阶段检测）对于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．图像分布在第二、四象限内 B．当时，随的增大而增大 C．图像经过点 D．若点都在函数的图像上，且时，则 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，根据反比例函数的图像与性质逐项分析判断即可得出答案. 【详解】∵反比例函数中； ∴A选项，图像分布在第二、四象限内，说法正确，不符合题意； B选项，当时，随的增大而增大，说法正确，不符合题意； C选项，将代入函数得，故图像经过点，说法正确，不符合题意； D选项，取，，则，代入得，，此时，故该说法不正确，符合题意. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河南开封·期末）点在函数图像上，下列说法中正确的是（   ） A．它的图像分布在一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而增大 C．当时，y的值随x的增大而减小 D．它的图像过点 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，先根据已知点求出的值，再结合反比例函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵点在函数的图像上 ∴， 解得， 即函数解析式为， ∵， ∴它的图象分布在二、四象限，故A错误； 当时，的值随的增大而增大，故B正确； 当时，的值随的增大而增大，故C错误； 当时，，故它的图象不过点，故D错误． 故选：B． 2．（25-26九年级上·四川成都·期末）对于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．函数图象位于第二、四象限 B．若，，是图象上三个点，则 C．P为图象上任意一点，过P作轴于Q，则的面积是定值 D．函数值y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．根据可判断该函数所在象限，由此可判断A选项；根据反比例函数的增减性可判断BD选项，设出点P坐标，由三角形面积公式即可求解面积为定值． 【详解】解：A、∵，∴， ∴函数图象位于第二、四象限，故该选项正确，不符合题意； D、∵该函数图象位于第二、四象限， ∴在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，故该选项错误，符合题意； B、∵该函数在每个象限内，函数值y随x的增大而增大， 又∵，则， 又∵，则， ∴，故该选项正确，不符合题意； C、设点P的坐标为， ∴，是定值，故该选项正确，不符合题意． 故选：D． 3．（25-26九年级上·云南昆明·期末）关于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．点在该函数的图象上 B．图象位于第二、四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，函数值 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 当时，函数图象在第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，且与同号． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象在第一、三象限，故B错误； ∵将代入，得， ∴点不在该函数图象上，故A错误； ∵当时，函数图象在第一象限，在该象限内随的增大而减小，故C正确； ∵当时，，故D错误． 故选：C． 题型02 比较反比例函数值/自变量的大小 1) 当k＞0时，同象限：，整体：. 2) 当k＜0时，同象限：，整体： 典｜例｜精｜析 例2．（2026·天津河北·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可将三个点的横坐标分别代入反比例函数解析式，求出对应y值后，直接比较y的大小即可得到结果． 【详解】解：∵ 点，， 都在反比例函数的图象上 ∴将各点横坐标分别代入解析式计算： 把代入得 把代入得 把代入得 ∵ ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·云南昆明·期末）若点都在反比例函数为常数，且）的图像上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征．将点代入反比例函数解析式求出m、n与k的关系，再根据比较大小即可． 【详解】解：∵点,,都在反比例函数的图像上， ∴将点代入解析式得：， ∴， ∵将点代入解析式得：， ∴， ∵， ∴，即． 故选：B． 2．（2025九年级下·天津·专题练习）点都在反比例函数（为常数）的图象上，且，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及非负数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性与象限分布，并结合点的坐标范围比较函数值大小是解题的关键．先确定反比例函数比例系数的符号，明确函数图象所在象限及增减性，再根据各点横坐标的范围，结合函数性质比较纵坐标大小． 【详解】解：∵ ∴ ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． ∵ ∴点在第二象限， ∴． ∵， ∴点、在第四象限，结合第四象限内函数的增减性， ∴． ∴， 故选：D． 3．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）已知点在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键． 先根据确定反比例函数图象上点的横、纵坐标符号关系，再逐一分析选项判断正误． 【详解】解：∵点在反比例函数 （）的图象上 ∴，即图象上任意点的横、纵坐标异号 分析A选项：若，当时， ， 则， 故A错误 分析B选项：若，当，且时， ， 则，故B错误 分析C选项：∵ ∴与异号 又∵图象上点的横、纵坐标异号 ∴与异号， 即， 故C正确 分析D选项：∵ ∴与同号 又∵图象上点的横、纵坐标异号 ∴与同号， 即， 故D错误． 故选：C． 题型03 已知反比例函数增减性求参数 典｜例｜精｜析 例3．（25-26九年级上·安徽六安·期末）在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的增减性，正确理解反比例函数的增减性是关键．根据反比例函数的性质，当比例系数小于零时，函数在每一象限内随的增大而增大，由此列出不等式求解即可． 【详解】解：在反比例函数图象的每一支曲线上，都随的增大而增大， 比例系数， 解得：． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江西抚州·阶段检测）若是反比例函数，在每一个象限内，y随着x的增大而减小，则a的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质；根据反比例函数的定义，指数部分需为，且系数大于0以保证函数值随自变量增大而减小． 【详解】解：∵是反比例函数 ∴，解得     ∵在每一个象限内，随的增大而减小 ∴ ∴ 故答案为：1． 2．（25-26九年级上·广西来宾·阶段检测）若反比例函数的图像上有两点和点，其中则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 由反比例函数的性质，结合点A和点B的横坐标大小关系及纵坐标大小关系，确定比例系数的正负，从而求解 【详解】解：∵点和点在反比例函数图像上，且，， ∴该反比例函数在时，y随x的增大而减小， 根据反比例函数的性质，比例系数， 解得， 故答案为 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）若点均在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， 若点在同一支图象上，且， ∴， 解得， 若点均在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 综上分析，a的取值范围是：． 故答案为：． 题型04 已知双曲线分布象限求参数 典｜例｜精｜析 例4．（25-26九年级上·广东珠海·阶段检测）已知反比例函数（是常数）的图象位于第二、四象限，则的取值范围是__． 【答案】 【详解】解：由题意可知，反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期中）已知反比例函数的图象在第一、三象限内，那么k的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限；当时，图象在二、四象限． 根据反比例函数的图象在第一、三象限内，得到，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内， ∴， 解得， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·山东潍坊·阶段检测）函数是反比例函数，且图像在第二、四象限内，则的值是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．直接利用反比例函数的定义结合反比例函数图像分布得出且，进而得出答案． 【详解】解：∵是反比例函数，且图像在第二、四象限内， ∴且， ∴． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·山东威海·期中）已知反比例函数的图像位于第一、三象限，则函数的图像经过第________象限 【答案】一、二 【分析】本题考查了反比例函数于二次函数的图象和性质．由反比例函数图像位于第一、三象限得出，再分析二次函数的图像特征，由于，抛物线开口向上且顶点在轴正半轴，值恒为正，从而判断图像经过的象限． 【详解】解：反比例函数（）的图像位于第一、三象限， ． 对于函数， ， 二次项系数为正，抛物线开口向上， 且常数项，当时，，顶点在， ，即值恒为正． 当时，，图像经过第一象限； 当时，，图像经过第二象限； 当时，，图像在轴正半轴． 综上，图像经过第一、二象限． 故答案为：一、二． 题型05 反比例函数代数最值问题 典｜例｜精｜析 例5．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）反比例函数，当时，函数的最大值和最小值之差为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据，进而根据当时，函数的最大值和最小值之差为4，列出方程，即可求解． 【详解】解： ∴反比例函数的图象在每个象限内随的增大而增大， 当时，函数的最大值和最小值之差为4， ， 解得：． 故选：D 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知反比例函数（m为常数），当时，函数y的最大值为a（a为常数），则当时，函数y有（　　） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，由，故该反比例函数图象位于第二、四象限，当时，函数的最大值为，可得出，再分析函数在上的极值即可得出答案． 【详解】解：∵，故该反比例函数图象位于第二、四象限． 当时，函数在第四象限，且，故随增大而递增． 因此，当时，取得最大值，即：， ∴， 当时，函数在第二象限，随增大而递增， ∴当时，有最小值，最小值为：， 当时，有最大值，最大值为：， 故选：A． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质求出m，n的值是解题的关键，根据反比例函数的性质，可得函数的最值，根据有理数的乘法，可得答案． 【详解】解：由反比例函数，，且可得的最大值是，的最大值是2， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数，其中，且． (1)若在每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是________； (2)若该函数的最大值与最小值的差是1，则k的值为________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的单调性结合反比例函数的性质即可得出，再由的取值范围即可得出结论； （2）分反比例函数单调递减和单调递增两种情况考虑，根据最大值与最小值的差是，可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）∵随的增大而增大， ∴， ∵，且， ∴． 故答案为：． （2）当时，在的范围内，y随x的增大而增大， ，解得，不符合题意，舍去； 当时，在的范围内，y随x的增大而减小， ，解得． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据反比例函数的性质找出的取值范围；（2）分情况考虑，找出关于的方程． 题型06 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 典｜例｜精｜析 例6．（25-26九年级上·河南·期末）若双曲线（）的图象经过点和，若，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，反比例函数的性质，首先由得到和互为相反数，然后判断出点和关于原点对称，进而得到和3互为相反数，进而求解即可． 【详解】解：∵双曲线（）的图象经过点和， ∵， ∴和互为相反数， ∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴点和关于原点对称， ∴和3互为相反数， ∴． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点，延长，与反比例函数的图象交于点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数图象的对称性是解答的关键． 先求得点B坐标，再根据反比例函数图象关于原点对称求解点P坐标即可． 【详解】解：∵的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点， ∴点B的横坐标为， 将代入中，得， ∴点B坐标为， ∵延长，与反比例函数的图象交于点， ∴点P与点B关于原点对称， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握以上知识点是关键． 根据关于x轴、y轴对称的点的坐标设点A坐标为，则，代入解析式解出a值即可． 【详解】解：设点A坐标为，则， 将点B坐标代入得：， 解得 故答案为： 3．（24-25九年级下·福建泉州·期中）将向右平移两个单位，向下平移个单位，与有两个交点，分别为，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的平移，反比例函数图象的性质，由平移可得平移后所得函数解析式为，进而反比例函数的图象关于点中心对 称，恒过点，可得点，关于中心对称，即得，得到，即可得，再代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵将向右平移两个单位，向下平移个单位， ∴平移后所得函数解析式为， ∵反比例函数的图象关于点中心对称，恒过点， ∴点，关于中心对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型07 比较反比例系数大小 典｜例｜精｜析 例7．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）反比例函数，在同一坐标系中的图象如图所示，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像与性质，熟记反比例函数图像与性质，利用数形结合的思想是解决问题的关键． 由图象推出，再取时，推出的大小，即可解题． 【详解】解：由图知，在第四象限，在第三象限， ， 如图，当时，， ； 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级下·广东广州·开学考试）如图为反比例函数，，在同一坐标系的图象，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据函数所在象限判断出，，，再利用取特殊值的方法得出，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，，，， 结合图象可得，当时，有， 故， 故选：D． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是三个反比例函数在轴上方的图象，则的大小关系是__________ 【答案】 【分析】本题考查了多个反比例函数中系数的大小比较，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 根据反比例函数图象所在象限，可确定，，，再借助直线与函数和的图象的交点的纵坐标的大小关系，可确定，综合可得结论． 【详解】函数的图象位于第一象限，函数和的图象位于第二象限， ，，， 作直线，与函数和的图象分别交于A，B两点，如下图所示： 易得，， 由图知，，即，解得， 综上可知，． 故答案为：． 题型08 根据反比例函数图象确定比例系数k的范围 典｜例｜精｜析 例8．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）反比例函数的部分图像如图所示，则________（写出一个符合题意即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反比例函数图像、求反比例函数解析式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由函数图像可得：当时，y的值在之间，可取，进而求得k的值即可． 【详解】解：由函数图像可得：当时，y的值在之间，可取， 则． 故答案为：（答案不唯一）． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图为反比例函数的图象，则k的值可以为______．（写出符合图象特征的一个值即可） 【答案】9（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据当时，k值越大，图象越远离坐标轴求解即可． 【详解】解：根据图象，， 故k的值可以为9， 故答案为：9（答案不唯一）． 2．（2024·河北邯郸·二模）如图，已知两点分布在曲线的两侧，写出一个符合条件的k的整数值：_______________． 【答案】-4（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，先求出经过点的反比例函数的解析式分别为，结合已知两点分布在曲线的两侧，即可作答． 【详解】解：设经过点的反比例函数的解析式分别为 把两点分别代入，得出 ∴ 即经过点的反比例函数的解析式分别为 ∵已知两点分布在曲线的两侧，、 ∴ 则（答案不唯一） 故答案为： 题型09 与反比例函数性质图象与性质有关的开放性问题 典｜例｜精｜析 例9．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知一个函数具有以下条件：它的图像经过第四象限；当时，随的增大而增大；函数的图像关于原点成中心对称．请写出一个符合上述条件的函数表达式：_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了利用已知条件写解析式，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据已知条件可以确定此函数的解析式一般形式，再分析得出符合要求的解析式，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得符合上述条件的函数表达式为， 故答案为：（答案不唯一）． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．若，则的值可以为___________（写出一个即可）． 【答案】1，2（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，写出一个大于0的值即可． 【详解】解：∵两点的横坐标一正一负， ∴两点在两个象限内， ∵， ∴， ∴k的值可以为1，2， 故答案为：1，2（答案不唯一）． 2．（2025·海南省直辖县级单位·一模）已知反比例函数的图象经过第一、三象限，则的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，由反比例函数的图象位于第一、三象限，比例系数，根据k的取值范围即可得到结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴， 故的值可以是3， 故答案为：3． 3．（2023·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数和的图象如图所示，k的值可以是___________．（写出一个即可）．    【答案】2（答案不唯一） 【分析】先确定的取值范围，然后在范围内去一个值即可． 【详解】如图，在上任取一点，作轴，交与点，作轴，过点作轴，    设，则， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴k的值可以是2． 故答案为：2．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 4．（2023·河北·中考真题）如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值：_________．    【答案】4（答案不唯一，满足均可） 【分析】先分别求得反比例函数图像过A、B时k的值，从而确定k的取值范围，然后确定符合条件k的值即可． 【详解】解：当反比例函数图像过时，； 当反比例函数图像过时，； ∴k的取值范围为 ∴k可以取4． 故答案为4（答案不唯一，满足均可）． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键． 题型10 判断反比例函数图象 典｜例｜精｜析 例10．（24-25九年级上·福建福州·期末）函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，函数图象平移规律，熟练掌握反比例函数的图象是解题关键． 根据反比例函数的判断函数的图象经过的象限和增减性，再根据图象平移规律判断即可求解． 【详解】解：， 函数图象经过第二、四象限，且随的增大而增大， 函数的图象为函数的图象向上平移个单位长度． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知，则的图象大致为（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图像的识别． 先根据k的值求出反比例函数经过的象限，再根据作答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数经过第二、四象限， ∵， ∴反比例函数经过第二象限， 只有C符合题意， 故选：C． 2．（21-22九年级上·全国·课后作业）表示关系式①，②，③，④的图象依次是_____，_____，_____，_____． A． B． C． D． 【答案】 C B D A 【分析】注意对比函数的图象和解析式，利用函数的性质解答． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∴，故的图象为C； ②∵，即， ∴， ∴的图象为B； ③∵，即， ∴，即， ∴的图象为D； ④的图象为A； 故答案为：C；B；D；A． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与反比例函数的性质，明确函数的性质是解题的关键 3．（2023·广东佛山·一模）如图，某同学画的反比例函数的图象如图所示，请写出图象中的错误______． 【答案】图象形状错误；不满足函数定义；与y轴有交点；对应点的位置不正确等 【分析】根据反比例函数的图象与性质进行观察判断． 【详解】解：观察图象，主要错误有： ①图象形状错误：反比例函数的图象是两支双曲线，不是射线组成； ②不满足函数定义：有一个x值，对应两个y值； ③与y轴有交点：∵中，，，∴图象不可能与坐标轴相交； ④对应点的位置不正确：比如，当时，，即图象需经过点， 故答案为：图象形状错误；不满足函数定义；与y轴有交点；图象上对应点的位置不正确等． 【点睛】本题考查反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象特征以及与坐标轴的关系是解答的关键． 题型11 根据已知反比例函数图象推断新函数图象性质 典｜例｜精｜析 例11．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）项目主题：探究反比例型绝对值函数的图象与性质 任务背景：某学校在操场直线跑道旁安装广播喇叭，用于运动会通知．为简化分析，将跑道视为一条数轴，喇叭的安装点定为原点．声音在跑道上不同位置的响度与听众到喇叭的距离有关．在简化模型中，某一位置的声音响度与到声源距离的绝对值成反比．因此，我们建立函数模型，本次项目将以函数为例，通过描点作图、数据分析、性质归纳等方式，深入理解这类函数的图象特征与实际意义． 任务一：自变量分析与数据采集 （1）函数中自变量的取值范围是_____； （2）补全数据表： ．．． 1 1．5 2 4 6 ．．． ．．． 1 3 _____ 6 6 4 _____ 1 ．．． 任务二：图象绘制与对称性探究 （3）绘制图象 在平面直角坐标系中，描出上表中所有点，并用光滑曲线连接，画出函数图象． （4）图象分析 该函数图象_____轴对称图形（填“是”或“不是”），与坐标轴交点个数为_____． 任务三：函数性质归纳与应用（综合拓展） （5）数值估算 当时，对应的自变量的值约为_____（保留一位小数）． （6）性质总结 请根据画出函数图象，归纳出函数的性质：_____（写出一条即可）． （7）变式探究 我们将函数一般化，对于函数，当时，试写出其一条性质． 【答案】（1）；（2）4，3；（3）见解析；（4）是，0；（5）1．2或；（6）函数图像关于轴对称（不唯一）．（7）图象分别位于三、四象限（不唯一）． 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质、绝对值、画反比例函数图像等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义即可解答； （2）将，代入函数解析式求解即可； （3）按照描点、连线的步骤解答即可； （4）根据（3）所得的函数图像解答即可； （5）根据（3）所得的函数图像解答即可； （6）根据（3）所得的函数图像解答即可； （7）类比的图像进行解答即可； 【详解】解：（1）由反比例函数的定义可知：； 故答案为：； （2）当时，；当时，； 故答案为：4，3； （3）根据题意：画出函数图像如下： （4）由（3）函数图像可得：该函数图象是轴对称图形（填“是”或“不是”），与坐标轴交点个数为0． 故答案为：是，0； （5）由（3）函数图像可得：该当时，对应的自变量的值约为1．2或． 故答案为：1．2或； （6）由（3）函数图像可得：该函数图像关于轴对称（不唯一）． 故答案为：函数图像关于轴对称； （7）对于函数，当时，该函数图像分别位于三、四象限（不唯一）． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·北京平谷·期中）有这样一个问题：探究函数的图象与性质并解决问题． 小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是 ； (2)取几组与的对应值，填写在下表中． … 0 1 1.2 1.25 2.75 2.8 3 4 5 6 8 … … 1 1.5 2 3 6 7.5 8 8 7.5 6 3 1.5 1 … 的值为_____________； (3)如下图，在平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； (4)获得性质，解决问题： ①通过观察、分析、证明，可知函数的图象是轴对称图形，它的对称轴是____________； ②过点作直线轴，与函数的图象交于点(点在点的左侧)，则的值为____________． 【答案】(1) (2) (3)见解析； (4)①直线；②6 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是学会用描点法画出函数图象． （1）根据分式有意义的条件即可得到结论； （2）把代入函数解析式求出函数值即可． （3）利用描点法画出函数图象即可． （4）①根据轴对称图形的定义即可判断是轴对称图形．②求出，的长（用n表示）即可解决问题． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：由题意时，， ∴， 故答案为：2． （3）解：函数图象如图所示： （4）解：①观察图象可知函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线； 故答案为：直线． ②由题意，，， ∴，， ∴， 故答案为：6． 2．（25-26九年级上·河南郑州·期中）【问题情境】我们在学习分式的时候，课本上有这样的一个习题：在一杯糖水中再加入糖之后，生活经验告诉我们：这杯糖水的含糖量会比原来要高．用2千克的水配制糖水溶液，如果往里面不断地加糖，那么其浓度会越来越_____（填“大”或“小”）、设加入的糖为千克，糖水溶液的浓度为，则有，下面研究函数的图象与性质． 【性质探究】参照学习函数的过程，因为，即，所以我们对比函数来探究．列表： … 1 2 3 4 … … 1 2 4 … 0 1 2 … 1 2 3 4 … … … （备注：下表中的取值比上表中的取值对应的小2．） 描点：如图所示． （1）请把直线左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来； （2）观察图象并分析表格，函数的图象是由的图象向_____平移2个单位而得到，再向_____平移1个单位而得到； （3）观察图象发现，当时，随的增大而增大，这也验证了【问题情境】中的“生活经验”．设，是函数的图象上的两点，请你用代数的方法证明：对任意的，，当时，总有成立． 【答案】问题情境：大；（1）见解析；（2）左，上；（3）见解析． 【分析】本题主要考查了画反比例函数图象，反比例函数图象的平移问题，分式的减法计算，正确理解题意是解题的关键． 问题情境：根据生活常识即可得到答案； （1）根据表格中的数据，描点，连线画出函数图象即可； （2）根据表格中的数据即可得到答案； （3）利用作差法可得，据此可证明结论． 【详解】解：问题情境：往里面不断地加糖，那么其浓度会越来越大， 故答案为：大； （1）如图所示，即为所求： （2）由题意得，函数的图象是由的图象向左平移2个单位而得到，再向上平移1个单位而得到； 故答案为：左，上； （3） ， ， ，，， ， ， ． 题型12 已知比例系数求特殊图形的面积 典｜例｜精｜析 例12．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，点M，N在反比例函数的图象上，分别过点M，N向x轴、y轴作垂线，则_____（填“>”、“<”或“＝”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：设阴影部分的面积为m，根据反比例函数k值的几何意义可得： ， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·四川达州·期末）如图，矩形与反比例函数的图象交于点，与反比例函数的图象交于点，连接，则四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】根据已知点在反比例函数的图象上，且四边形是矩形，可利用反比例函数中的几何意义，得出矩形的面积；再根据点在反比例函数的图象上，且是直角三角形，所以可利用反比例函数中的几何意义，得出的面积；因为四边形的面积等于矩形的面积减去的面积，所以通过上述两个面积的计算结果，可推导四边形的面积． 【详解】解：如图所示，连接OB， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形与反比例函数的图象交于点， ∴ ∵与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图所示，由反比例函数的对称性可知，点P关于原点的对称点Q也在图象上．作轴于点A，交延长线于点C，则的面积为 ________ ．（用含k的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，设点P的坐标为，可得出，由点P和点Q关于原点对称可得出，再结合已知条件可得出，再得出，，再根据三角形面积公式得出，最后根据反比例函数的图象得出即可得出答案． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P在反比例函数上， ∴， ∵点P和点Q关于原点对称， ∴， ∵轴，， ∴， ∴，， ∴， ∵反比例函数在第二和第四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）如图，在x轴的正半轴上依次截取，分别过点，，，，作x轴的垂线与反比例的图象相交于点，，，，，连接，，，…，，得直角三角形，直角三角形，直角三角形，…，直角三角形，并设其面积分别为，，，，，则的值为____________________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即．根据反比例函数中的几何意义再结合图象即可解答． 【详解】解：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，． ，， ， ， 同理可得，，，． 以此类推，． ， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）如图，矩形与反比例函数图象交于，，与反比例函数的图象交于点，连接，，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查矩形性质、反比例函数()中的几何意义，解题的关键是用的几何意义求相关三角形面积，再通过矩形与三角形面积关系算四边形面积．根据的几何意义得、面积均为；矩形的面积为，根据矩形面积减两三角形面积和即得四边形面积． 【详解】解：∵矩形与反比例函数图象交于，，与反比例函数的图象交于点， ∴和面积各为，矩形的面积为， ∴四边形面积． 故答案为：． 题型13 根据图形面积求比例系数 典｜例｜精｜析 例13．（25-26九年级下·福建泉州·期中）如图，过原点的直线与双曲线交于两点，点在轴上，且，若，则的值为_____． 【答案】4 【分析】作于，根据反比例函数系数的几何意义得到，利用正比例函数和反比例函数的性质得到点与点关于原点对称，，即可得到，由得到，根据等腰三角形三线合一，得出，即可得出，从而求得． 【详解】作于， 过原点的直线交双曲线于、两点， 点与点关于原点对称，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图，点A是y轴上一点，点B，C分别在反比例函数和的图象上，且轴，若的面积为，则k的值为_______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由轴，可知、的横坐标相同，设，，则，根据的面积为，得出，求得答案即可． 【详解】解：∵轴， 、的横坐标相同， 设，，，则， ， ∵的面积为， ∴， ． 故答案为：． 2．（2025·陕西商洛·一模）如图，在反比例函数（为常数，且，）的图象上，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接．若，，则的值为___________． 【答案】4 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，的几何意义，正确掌握的几何意义是解题的关键． 过点作轴于点，根据的几何意义和等腰三角形的性质，易求，，再根据，列出方程，求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 在反比例函数（）的图象上，轴， ， ，轴， ， 点在反比例函数的图象上，轴， ， ， ，即， 解得． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·四川成都·期末）如图，点为反比例函数图象上两点，过点P向坐标轴作垂线，垂足分别为A，B，过点Q向坐标轴作垂线，垂足分别为C，D，且与交于点M，连接，若的面积等于矩形面积的，则点P的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，由题意，矩形面积，由的面积等于矩形面积的，得出的面积，利用三角形面积公式求得，则，解方程求得，即可求得P的坐标． 【详解】解：∵点，为反比例函数图象上两点， ∴， ∵过点P向坐标轴作垂线，垂足分别为A，B，过点Q向坐标轴作垂线，垂足分别为C，D， ∴矩形面积， ∵的面积等于矩形面积的， ∴的面积， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴，， ∴． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与原点O重合．点E为x轴上一点连接，F为中点，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过A，F两点．若平分，的面积为9，则k的值为_____． 【答案】6 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的性质，反比例函数中三角形的面积关系，熟练掌握反比例函数中三角形的面积关系是解题的关键． 首先构造辅助线根据反比例函数中三角形的面积关系得到，，再根据矩形的性质结合平行线的性质得到，即，再根据求得，即可求解k的值． 【详解】解：如图，连接，，过点A作于点N，过点F作于点M， ∵，， ∴， ∴， ∵A，F两点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 题型14 函数图象的综合 典｜例｜精｜析 例14．（24-25九年级下·辽宁阜新·阶段检测）一次函数与反比例函数的图象如图，则二次函数的大致图象是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为直线，找出二次函数对称轴在y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：一次函数图象过第一、二、四象限， ， ， 二次函数开口向下，二次函数对称轴在y轴右侧； 反比例函数的图象在第二、四象限， ， 二次函数的图象与y轴交点在x轴下方． 满足上述条件的函数图象只有选项A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）抛物线和双曲线（）在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据函数图象判断的取值，利用数形结合即可求解． 【详解】解：A、由反比例函数图象得，，由抛物线得，可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项A不符合题意； B、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项B不符合题意； C、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项C不符合题意； D、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象可能在同一坐标系中，故选项D符合题意． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）已知二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象的综合，熟练掌握二次函数，一次函数和反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象可得，，的符号，则可判断出一次函数和反比例函数的大致图象． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴左侧， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∵二次函数的图象与y轴交于负半轴， ∴， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限． 故选：C． 题型15 一次函数与反比例函数交点问题 将反比例函数与一次函数两个方程联立，构造一元二次方程，无需求解方程，只需求出一元二次方程根的判别式的值，由判别式判断交点个数.即： . 典｜例｜精｜析 例15．（2025九年级下·河北·专题练习）已知反比例函数与一次函数有两个交点坐标，，若，则________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根与系数的关系，通过联立反比例函数与一次函数方程，得到关于x的二次方程，利用根与系数的关系求解n的值即可． 【详解】解：联立方程得：， 整理得：， 由根与系数的关系，得：， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：8． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级下·甘肃武威·阶段检测）若反比例函数与正比例函数的图象没有交点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与正比例函数的交点问题，解题的关键是联立方程，根据方程无实数解的条件确定的取值范围． 联立反比例函数与正比例函数的方程，得到关于的二次方程，根据方程无实数解的条件来确定的取值范围． 【详解】解：联立反比例函数和正比例函数，可得， 进一步变形为， 反比例函数与正比例函数的图象没有交点， 方程无实数解，且， ， 解得：． ∵，则， 综上所述：. 故答案为：． 2．（2024·广东广州·模拟预测）一次函数与反比例函数有且仅有一个交点，则的值为______． 【答案】12 【分析】该题主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一元二次方程根判别式等知识点，解题的关键是理解题意． 联立一次函数与反比例函数解析式，根据题意得出，即可求解； 【详解】解：将代入得， 整理得， ∵反比例函数与一次函数的图象有且只有一个交点， ， 或0（舍去）， 故答案是：12． 3．（2025·河南郑州·二模）数学兴趣小组对面积为的矩形，其周长的范围进行了探索，兴趣小组的同学们已经能用“代数”的方法来解决： (1)建立函数模型． 设矩形相邻两边的长分别为，，由矩形的面积为，得，即，由周长为，得，即满足要求的应是两个函数图象在第______象限内交点的坐标． (2)画出函数图象． 函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到，请在同一平面直角坐标系中画出直线． (3)观察函数图象． 平移直线， ①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长的值为______； ②在直线平移过程中，直线与函数的图象交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围． (4)得出结论． 面积为的矩形，它的周长的取值范围为______． 【答案】(1)一 (2)见解析 (3)当时，有0个交点；当时，有1个交点；当时，有2个交点 (4) 【分析】（1），分别为矩形相邻两边的长，取值应为正数； （2）直线为过原点和点的一条直线； （3）①将代入求解即可；②联立和整理得关于的一元二次方程，通过根的判别式讨论解的情况即可； （4）由（3）②可知当直线与函数的图象在第一象限有交点时的取值范围即为所求． 【详解】（1）解：因为，分别为矩形相邻两边的长，所以， ，则满足要求的交点应在第一象限； 故答案为：一． （2）如图所示： （3）①将代入，解得， 故周长的值为12． ②联立和整理得， 当时，该方程无解，有0个交点，即，解得； 当时，该方程有2个解，有2个交点，即，解得； 综上，当时，有0个交点；当时，有1个交点；当时，有2个交点． （4）由（3）知，当直线与函数的图象在第一象限有交点时，满足矩形的面积为，此时； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象平移、一次函数与反比例函数的交点和一元二次方程根的情况，熟练掌握联立一次函数与反比例函数的解析式求交点和根的判别式是解题的关键． 题型16 反比例函数与一次函数 图像比高低，谁高谁大. 典｜例｜精｜析 例16．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．根据一次函数图象在反比例函数图象下方的的取值范围便是不等式的解集． 【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象下方时，的取值范围是：或， ∴不等式的解集是或 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（2025九年级·辽宁·专题练习）函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（   ） A．或或 B．或 C．或 D．或或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数、二次函数与不等式的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据函数图象和函数与不等式的关系即可得出答案． 【详解】解：从图象可知，当时，的取值范围是或． 故选：C． 2．（25-26九年级上·湖南娄底·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的结合，根据函数图象求不等式的解集，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据函数图象的交点坐标，求不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， 故反比例函数的表达式为； 把点代入反比例函数得，， 解得， ∴点A的坐标为， ∵一次函数的图象经过、两点， ∴ 解得 故一次函数的表达式为； （2）解：由函数图象可得，关于x的不等式的解集为． 题型17 反比例函数与几何综合（面积问题） 典｜例｜精｜析 例17．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A，B，轴于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)连接，已知在反比例函数的图象上存在一点D，使得的面积与的面积相等，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图象与性质，正比例函数的图象与性质，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识． （1）由轴于点，得到A的横坐标为3，将其代入正比例函数中，求出，再将代入反比例函数中，求出k即可； （2）联立正比例函数与反比例函数，求出，结合，，得到，，进而得出，再根据“的面积与的面积相等”得，解方程取合适的值即可得解． 【详解】（1）解：∵轴于点， ∴点A的横坐标为， 在正比例函数中，令，则， ∴， 将代入反比例函数中，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：联立， 解得或， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， 解得：或（不符合，舍去）， ∴点D的坐标为． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·江苏镇江·二模）如图，一次函数图像与反比例函数图像交于点，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求与一次函数的函数表达式； (2)连接、，点在双曲线上，若的面积是面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，涉及反比例函数解析式的求解、一次函数解析式的确定、三角形面积的计算等知识点．熟练掌握反比例函数和一次函数的性质，以及利用坐标求三角形面积的方法是解题的关键． （1）先利用反比例函数性质，将点坐标代入设好的反比例函数表达式，求出反比例函数的，得到反比例函数解析式．再把点坐标代入反比例函数解析式，求出的值．最后设一次函数表达式，将、两点坐标代入，通过解方程组求出一次函数的和，确定一次函数表达式． （2）先求出一次函数与轴交点的坐标，再通过算出的面积．由面积是面积的一半，结合长度，利用三角形面积公式求出点纵坐标的绝对值，进而得到纵坐标的值．最后把点纵坐标代入反比例函数解析式，求出横坐标，确定点坐标． 【详解】（1）解：设反比例函数表达式为，将代入，得， 将代入，得 ， ∴； 设一次函数表达式为，将代入得 ， ∴， 一次函数表达式为； （2）解：在中，令，则， ∴． ∵，，， ∴． ∵的面积是面积的一半， ∴． 在中，令，则，解得， ∴，． 由，即， 解得， ∴． 当时，代入，得，解得； 当时，代入，得，解得． ∴点的坐标为或 ． 2．（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形，，点、在y轴的正半轴上，边与分别与反比例函数的图像相交于、两点，且点的坐标为，点的坐标为．点在反比例函数的图像上（点不与点、重合），其横坐标为． (1)求的值； (2)连接、，当的面积是该矩形面积的一半时，求点的坐标． 【答案】(1)6 (2)或 【分析】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质以及三角形面积的计算，解题的关键是利用反比例函数上点的坐标特征求出值，再结合图形的性质和面积公式进行求解． （1）根据反比例函数上点的横纵坐标之积等于，列出关于的方程，进而求出值． （2）根据的面积是该矩形面积的一半，设边上高的为，求出高，分别讨论点在下方或上方时，求解得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵， 在反比例函数的图像上， ∴ 解得， ∴， ， ∴； （2）∵， ， ∴， ∵， ∴矩形面积，， ∴， 设中，边上高为， ∴， 解得， 点在下方时， ，则， ∴当时，， ∴点的坐标为， 点在上方时， ，， ∴当时，， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为或． 题型18 反比例函数与几何综合（将军饮马问题） 典｜例｜精｜析 例18．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图像经过点与， 过点A作轴， 垂足为C，连接、． (1)求k的值； (2)D为y轴上一点，的周长是否有最小值；若存在，请求出此时点D的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题主要考查了反比例函数、一次函数与三角形综合和轴对称的知识．掌握以上知识是解答本题的关键； （1）把点与代入反比例函数，然后即可求解； （2）过点A作轴，得到，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小，设所在直线的表达式为，把，代入，求得，然后即可求解点的坐标； 【详解】（1）解：∵反比例函数 的图像经过点与， ∴把点与代入反比例函数 ， 即， 解得：， 故的值为； （2）解：存在，理由如下： 由（1）得， ∴和， ∵过点A作轴， ∴， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小，如图： ， 设所在直线的表达式为， 把，代入， 即， 解得：， ∴， 当时，， 故点的坐标为； 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C． (1)求一次函数y与反比例函数y的表达式； (2)点Q为y轴上一动点，求当取得最小值时点Q的坐标； (3)点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 【答案】(1)一次函数为，反比例函数的解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、三角形的面积的计算、轴对称的性质、最短路径问题等知识点，灵活运用待定系数法求函数的解析式及数形结合是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）如图：作点关于y轴的对称点，则，连接与y轴的交点即为点Q，然后运用待定系数法求得直线的解析式，再令，即可求得点Q的坐标； （3）先求得D的坐标，然后根据求得的面积，即可求得，根据中心对称的性质得出，即可得到，从而得到可求得，即可求得P的坐标． 【详解】（1）解：将代入可得：，解得：， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴， 将，代入得： ，解得：， ∴一次函数为． （2）解：如图：作点关于y轴的对称点，则，连接与y轴的交点即为点Q， 设直线的解析式为：， ，解得：， ∴， 当时，，即． （3）解：如图：由题意可知：， ∴， 把代入得，，解得， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ∴，解得：， ∴或． 2．（2025·四川雅安·二模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出中的取值范围； (3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】本题考查反比例函数解析式中的几何意义，利用图像解不等式，对称求最值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值； （2）利用函数图像即可求出不等式的解集； （3）因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵的面积为4， ∴， 解得，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，． 答：，； （2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知， 不等式的解集为： 或； （3）解：∵点关于轴的对称点， 又，则直线与轴的交点即为所求的点， 设直线的关系式为，代入和得， ， 解得，， ∴直线的关系式为， 令，， ∴直线与轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 3．（2022·四川乐山·二模）如图，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线相交于点P，轴于点，且，． (1)求直线的解析式； (2)若点为双曲线上的一点，点Q为y轴上的一动点，当的值达到最大值时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、正切、反比例函数等知识，熟练掌握待定系数法和正切的定义是解题关键． （1）先求出点的坐标，再根据正切的定义可得的长，从而可得点的坐标，然后利用待定系数法求解即可得； （2）先求出点的坐标为，再判断出当点共线时，的值达到最大，然后利用待定系数法求出直线的解析式，求出直线与轴的交点坐标即可得． 【详解】（1）解：∵点位于第一象限，轴于点，且， ∴点的纵坐标为2， 把代入得：， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为． （2）解：由题意，画出图形如下，连接， 将点代入得：， ∴， 由三角形的三边关系可知，，当且仅当点共线时，等号成立， 即当点共线时，的值达到最大， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 当时，， 所以当的值达到最大值时，点的坐标为． 题型19 反比例函数与几何综合（几何图形存在性问题） 典｜例｜精｜析 例19．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求此反比例函数的表达式： (2)在轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． (3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点；使是以为底的等腰直角三角形?若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点使是以为底的等腰直角三角形，点坐标为或，理由见详解 【分析】（1）把，两点代入一次函数，运用求自变量，函数值的方法即可得到的坐标，再运用待定系数法即可求解反比例函数解析式； （2）如图所示，作点关于轴的对称点，可得，此时的值最小，运用两点之间的距离公式即可求解； （3）根据等腰直角三角形的判定和性质，图形结合分析，分类讨论：当点在点的右侧时；当点在点的左侧时；运用三角形全等的判定和性质列式求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴把，两点代入一次函数得，，， ∴，即，， 把代入反比例函数得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：如图所示，作点关于轴的对称点， ∴， ∴，此时的值最小， ∴，且， ∴， ∴的最小值为； （3）解：存在，理由如下， 设点，，且， 当点在点的右侧时，如图所示，过点作轴于点，过点作轴交的延长线于点， ∵是以为底的等腰直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， 解得，， ∴； 当点在点的左侧时，如图所示， 同理可得，，则，且，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，存在点使是以为底的等腰直角三角形，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，轴对称最短路径的计算方法，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点之间的距离公式等知识的综合是解题的关键． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·贵州铜仁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象过点，点的纵坐标为4，直线与轴，轴分别交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)若点P在x轴上，当PD+PC最小时，求点P的坐标． (3)已知点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为为轴上的动点．问直线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的函数表达式为 (2)点的坐标为 (3)点的坐标为、、 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及反比例函数解析式求解、一次函数解析式求解、最短路径问题、平行四边形的判定等知识． （1）用反比例函数图象上点的坐标特征求反比例函数解析式后求的坐标，然后设一次函数解析式，代入坐标解方程组，得到直线的表达式； （2）作关于轴的对称点，求直线与轴的交点，即为点； （3）求的坐标，设的坐标，分“为对角线、为对角线、为对角线”三种情况，利用平行四边形“对角线中点重合”的性质列方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数过点， ∴代入得，即反比例函数为． ∵点在上且纵坐标为4， ∴把代入，得，即． 设直线的表达式为， ∵直线过、， ∴代入得， 解得，， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵点在轴上，要使最小， ∴如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，点即为所求． 设直线的表达式为， ∵直线过、， ∴代入得， 解得，，即直线为． ∵点在轴上， ∴把代入，得， ∴点的坐标为； （3）解：∵关于轴的对称点为， ∴； ∵关于轴的对称点为， ∴． 设，，分三种情况： ①以为对角线 ∵平行四边形对角线中点重合，中点为，中点为， ∴，，解得，此时； ②为对角线 ∵中点为，中点为， ∴，解得，此时； ③为对角线 ∵中点为，中点为， ∴，解得，此时． 综上所述，点的坐标为、、． 2．（2025·四川眉山·一模）如图，点A在反比例函数图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，连接，，． (1)求反比例函数解析式； (2)在y轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点M的坐标为或或或 【分析】题目主要考查反比例函数、解三角形，等腰三角形的性质，理解题意，作出辅助线进行分情况分析是解题关键． （1）根据题意得出，然后利用待定系数法即可求解； （2）根据题意得出，然后分三种情况分析：当时，当时，当时，分别作出图象，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∵点A在第二象限， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）得，， ∴， ∵在y轴上存在点M，使得为等腰三角形， ∴设， ∴当时， ， ∴， ∴点M的坐标为或； 当时，过点A作轴，如图所示： ∴四边形ABOG为矩形， ∴， ∴， ∴点M的坐标为； 当时，过点A作轴，如图所示： ∴四边形ABOG为矩形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴点M的坐标为； 综上可得：点M的坐标为或或或 ． 3．（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接． (1)求直线的表达式． (2)当的面积为时，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出点A坐标，再设出直线解析式，并利用待定系数法求解即可； （2）过点A作轴于T，连接，则，可得，进而得到；设，则，解方程即可得到答案； （3）连接交于H，可证明，得到；由对称性可得，且点H为的中点，由等面积法可得，设，则，解方程可得，根据中点坐标公式可得，求出的中点坐标为，则的中点坐标为，即可得到点D的坐标为． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于，B两点， ∴， ∴， 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：如图所示，过点A作轴于T，连接， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴； 设， ∴， 解得（已检验符合题意）或（舍去）， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接交于H， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴； ∵点B和点C关于对称， ∴，且点H为的中点， ∴， ∴， 设，则， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴的中点坐标为， ∵四边形是矩形， ∴的中点坐标为， ∴点D的坐标为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理及其逆定理，矩形的性质，轴对称的性质，中点坐标公式，正确作出辅助线是解题的关键． 题型20 反比例函数与几何综合（特殊角度存在性问题） 典｜例｜精｜析 例20．（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴、轴分别交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点是第四象限反比例函数图象上一点，当的面积为15时，求点的坐标； (3)反比例函数的图象上是否存在一点．使得，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数解析式为； (2)点的坐标为或； (3)或． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题、待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由点坐标求出反比例函数解析式，再求出点坐标，进而求出直线解析式； （2）过作轴交于点，设，则，则，然后分，，求出的值即可； （3）分当点在第四象限时，    当点在第二象限时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴反比例函数的解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵一次函数（）的图象过，， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：如图，过作轴交于点， 设，则， ∴， ∴， ∴， ，整理得：， 解得：， ∵， ∴； ，整理得：， 解得：， ∵， ∴， 综上可得：点的坐标为或； （3）解：当点在第四象限时，如图，构造等腰直角三角形，且， 过作轴，再分别过作的垂线段，垂足分别为， 则， ∴ ， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由点和点坐标同上可得直线解析式为， 联立 ， 解得或 （与点重合，舍去）， ∴； 当点在第二象限时，如图，构造等腰直角三角形且， 同理可得直线解析式为， 联立得 ， 解得或 （与点重合，舍去）， ∴， 综上，或． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·四川成都·期中）平面直角坐标系中，点，点是反比例函数图象上两点，直线分别交轴，轴于点、点 (1)求直线的函数表达式； (2)点是反比例函数图象上的一点且位于直线下方，的面积为5，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如图2，为第一象限的点，轴上是否存在一点使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】先求出值，再求出值，进而利用待定系数法求出直线的函数表达式即可； 过作交轴于点，则，求出点坐标，进而可得直线表达式，再联立反比例函数表达式即可求解； 由题可得，则，再构造为等腰直角三角形，易求点，则可得，所以，再证，即可求解． 【详解】（1）解：由题可知， ∴反比例函数的表达式为， ∴将代入中得，， 解得，即， 设直线的函数表达式为， 将，代入得，， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：如图，过作交轴于点，连接， 则， ∴， 解得， 令，得， ∴，则， ∴点， ∵， 直线的函数表达式为， 联立， 解得或， ∴点的坐标或； （3）解：存在，理由： 由知直线的函数表达式为， ∴，， 在中，， 点在第一象限， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，过作，且，连接，过E作轴交轴于点，过点作于点， ∴为等腰直角三角形， 则， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合问题，涉及反比例函数表达式、一次函数表达式、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过A，B两点，连接，，，过点B作轴，垂足为点D，交于点，且C为线段中点． (1)求k的值； (2)求的面积； (3)在反比例函数（，）的图象是否存在一点E，使得？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2)3 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形综合，勾股定理求两点距离，解一元二次方程等知识，解题的关键是： （1）根据中点坐标公式先求出点坐标，再代入反比例函数求； （2）由（1）已得：，求出点坐标，最后用面积公式得出，根据为中点，即可求解； （3）假设存在点，使，设，，根据勾股定理得出关于x的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵点为中点， ∴ 将点代入得：； （2）解：由（1）已得： ∵轴，垂足为点， ∴，点的纵坐标为2，， 将代入得： ∴ ∴ ∴ 又∵点为中点， ∴； （3）解：假设存在点，使， 设，， ∵， ∴， 即， 化简得， 解得（不符合题意，舍去），， 当时，， ∴ 综上，存在点，使． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $