2.4 一元二次方程的实际应用课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，通过杨辉古代矩形面积问题及梯子滑动情境导入，关联已学勾股定理，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生掌握实际问题的解决方法。 其亮点是以情境探究为主线，借助古代问题和海军基地等案例培养数学眼光中的几何直观与抽象能力，解题过程强化推理与运算发展数学思维，小结提炼“审设列解验答”六步法深化模型意识。实例丰富，助力学生提升应用能力，为教师提供清晰教学流程。

第二章 一元二次方程 4 一元二次方程的应用 第1课时 用一元二次方程解决实际应用问题（一） 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 提起代数,人们自然就和方程联系起来,事实上,过去代数的中心问题就是对方程的研究.我国古代对代数的研究,特别是对方程解法的研究,有着优良的传统,并取得了重要成果.我国古代数学家研究过二次方程的解法,当时的解法虽然与现代的解法不同,但已与近代的解法相似. 下面是我国南宋数学家杨辉1275年提出的一个问题:“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步).只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步),问阔及长各几步.答:阔二十四步,长三十六步.”这里,我们不谈杨辉的解法,你能用已学过的知识解决上面的问题吗? 知识关联 韵 (authorId_273335559) - 设计意图：在古代文献中有很多的方程应用问题,题的内容来自生活,新颖有趣,有很高的数学价值和欣赏价值,通过本问题的引入,激起学生的学习兴趣. 【探究】用一元二次方程解决实际应用问题 探究与应用 【情境问题】　 还记得本章开始时的梯子滑动的问题吗? (1)在这个问题中(如图，单位：m),梯子顶端下滑1 m时,梯子底端滑动的距离大于1 m,那么梯子顶端下滑几米时,梯子底端滑动相等的距离呢? (2)如果梯子的长度是13 m,梯子顶端到地面的垂直距离为12 m,那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗? 韵 (authorId_273335559) - 分组讨论: (1)怎么设未知数?在这个问题中存在怎样的等量关系?如何利用勾股定理来列方程? (2)涉及解的取舍问题,应引导学生根据实际问题进行检验,决定解到底是多少. 【探究】用一元二次方程解决实际应用问题 解:(1)如图，由题意可知,AB=10 m,AC=8 m, 设AD=x m,则BE=x m. 在Rt△ABC中,由勾股定理得 BC===6(m). 当B滑到E时,DE=AB=10 m,CD=AC-AD=(8-x)m. 在Rt△CDE中,CE2+CD2=DE2, 即(6+x)2+(8-x)2=102, 解得x1=2,x2=0(不合题意，舍去）， 故梯子顶端下滑2 m时,梯子底端滑动的距离和它相等. 探究与应用 画出图形，根据图形进行证明 【探究】用一元二次方程解决实际应用问题 探究与应用 (2)假设能相等. 由题意可知,AB=13 m,AC=12 m. 设AD=x m,则BE=x m. 在Rt△ABC中,由勾股定理得BC= 当B滑到E,DE=AB=13 m, CD=AC-AD=(12-x)m. 在Rt△CDE中,CE2+CD2=DE2, 即(5+x)2+(12-x)2=132, 整理,得2x(x-7)=0, 解得x=0(舍去)或x=7. 故梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离能相等.这个距离是7 m. (2)如果梯子的长度是13 m,梯子顶端到地面的垂直距离为12 m,那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗? 【理解应用】 探究与应用 例 　如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200 n mile处有一重要目标B,在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰. 已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1 n mile)? 思考： (1)要求DE的长,需要如何设未知数? (2)怎样建立含未知数的等量关系?从已知条件中能找到吗? (3)利用勾股定理建立等量关系,如何构造直角三角形? (4)选定直角三角形后,三条边长都是已知的吗? 速度等量:v军舰=2×v补给船; 时间等量:t军舰=t补给船. 韵 (authorId_273335559) - 说明:该部分是学习中的难点,在教学中要给学生充分的时间去审清题意,分析各量之间的关系,不能粗略解决.在讲解过程中可逐步分解难点:①审清题意;②找准各条有关线段的长度关系;③建立方程模型,之后求解.另外，在学生读题过程中要边读边在图形上做标记，把关键数据标到图中，便于直观找等量关系. 【理解应用】 探究与应用 解:连接DF. ∵AD=CD,BF=CF, ∴DF是△ABC的中位线. ∴DF∥AB,且DF=AB. ∵AB⊥BC,AB=BC=200 n mile, ∴DF⊥BC,DF=100 n mile,BF=100 n mile. 设相遇时补给船航行了x n mile,那么 DE=x n mile,AB+BE=2x n mile, EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x) n mile. 在Rt△DEF中,根据勾股定理可得方程x2=1002+(300-2x)2, 整理,得3x2-1200x+100000=0. 解这个方程,得x1=200-≈118.4,x2=200+(不合题意,舍去). 所以相遇时补给船大约航行了118.4 n mile. 探究与应用 【拓展提升】 如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC向点C以2 cm/s的速度移动,如果点P,Q分别从点A,B同时出发,那么几秒后五边形APQCD的面积为64 cm2? 解：由题意得：矩形ABCD的面积为6×12=72(cm²). 设x秒后，S五边形APQCD=64(cm²)， 则BP=(6-x)cm，BQ=2x cm， 根据题意得72-×2x(6-x)=64 整理得x2-6x+8=0， 解得x1=2，x₂=4. 答：2s或4s时五边形APQCD的面积为64cm². 小城故事 (authorId_548926071) - 此题问的是五边形的面积，借助图形可将其转化为三角形的面积，且是直角三角形，可便于表示出面积表达式，从而列出相关的方程求解 【小结】 课堂小结与检测 用一元二次方程解答实际问题的解题思路： 1.审:审清题意:已知什么,求什么? 2.设:设未知数,语句完整,有单位(同一)的要注明单位; 3.列:列代数式,找出相等关系列方程; 4.解:解所列的方程; 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; 6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活. 列方程解应用题的关键是: 找出相等关系. 【达标检测】 今有二人同所立.甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲、乙行各几何?(选自《九章算术》) 题目大意:已知甲、乙二人同时从同一地点出发,甲单位时间内走7步,乙单位时间内走3步.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.相遇时,甲、乙各走了多远? 课堂小结与检测 解：如图设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行AB=3x 步， 甲共行AC+BC=7x 步， ∵AC=10，∴BC=7x-10. 又∵∠A=90°，∴BC2=AC2+AB2， ∴（7x-10）2=102+（3x）2， 整理得2x2-7x=0， 解得x1=0（舍去），x2=3.5， ∴AB=3x=10.5（步），AC+BC=7x=24.5（步）. 答：甲走了24.5步，乙走了10.5步． $第二章 一元二次方程 4 一元二次方程的应用 第2课时 用一元二次方程解决实际应用问题（二） 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 王美丽卖玫瑰花,如果每束玫瑰花盈利10元,平均每天可售出40束.经调查发现,若每束降价1元,则平均每天可多售出8束.王美丽的丈夫李贪心认为卖得越多,挣的钱就越多,因此决定让王美丽大幅度降价.王美丽不愿意,王美丽认为应该提升价格,因为提升的越多,盈利就越多.同学们认为他们谁的说法靠谱呢? 如果你是卖玫瑰花的老板,你会应用什么方法计算每天的销售利润呢? 知识关联 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:这两个问题都可采用教师提问,学生口答的方式进行.重在引导学生参与,一起交流对这两个问题的理解. 【探究】用一元二次方程解决实际应用问题 探究与应用 例 新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元.调查发现,当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;销售价每降低50元,平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱平均每天的销售利润达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元? 分析：这个情境涉及哪些量?它们之间有怎样的等量关系? 涉及到的量有销售价、进货价、销量、利润等; 平均每天的销售利润=(每台冰箱的销售定价-进货价)×平均每天销售冰箱的数量. 可以怎样设未知数呢？ 韵 (authorId_273335559) - 通过对实际问题的分步拆解让学生掌握分析实际应用问题的方法,感受思考带给自己的快感,从而培养学生积极的情感态度,提高学生自主学习和思考的能力 【探究】用一元二次方程解决实际应用问题 探究与应用 例 新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元.调查发现,当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;销售价每降低50元,平均每天就能多售出4台.商场要想使这种冰箱平均每天的销售利润达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元? 解:设每台冰箱的销售价降价x元,根据题意,得 (2900-x-2500)（8+4×）=5000. 解这个方程,得x1=x2=150. 2900-150=2750. 所以,每台冰箱的定价应为2750元. 每台的定价为（2900-x）元 【探究】用一元二次方程解决实际应用问题 探究与应用 【思考·交流】 在例题中,如果设每台冰箱的定价应为x元,那么你能列出怎样的方程?它与例题中列出的方程有什么区别和联系?与同伴进行交流. 设每台冰箱的定价应为x元, 则每台冰箱降价(2900-x)元. 降价后,每台冰箱的利润为(x-2500)元, 每天售出冰箱[8+×(2900-x)]台, 根据等量关系列方程为(x-2500)×[8+×(2900-x)]=5000. 本方程与例题中所列方程本质相同,都基于相同的利润模型: 总利润=每台利润×销售数量,核心关系一致. 韵 (authorId_273335559) - 设计意图：通过不同的设未知数的方法,让学生真正体会间接设“每台降价x元”能简化计算,同时提高学生分析问题解决问题的能力. 【理解应用】 探究与应用 例 　某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个.调查发现,当这种台灯的售价在40元至60元范围内时,售价每上涨1元,平均每月少售出10个.为了实现平均每月10000元的销售利润,这种台灯的售价应定位多少?这时应购进台灯多少个? 思考: 问题1:涨价前,平均每月获得的利润是多少?你是如何计算的? 问题2:涨价后,哪些量发生了变化?如何计算调价后每天的销售利润呢? 问题1:涨价前,平均每月获得的利润是(40-30)×600=6000(元); 问题2:涨价后,每个台灯的售价和利润,台灯的销售量都发生了变化.调价后每天的销售利润=每个台灯的利润×每天台灯的销售量. 【理解应用】 探究与应用 例 　某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月能售出600个.调查发现,当这种台灯的售价在40元至60元范围内时,售价每上涨1元,平均每月少售出10个.为了实现平均每月10000元的销售利润,这种台灯的售价应定位多少?这时应购进台灯多少个? 思考： 1.认真阅读题目信息,你能说出哪些等量关系?你是设“售价上涨x个1元”还是设“售价上涨x元”呢?为什么? 2.“售价在40元到60元范围内,售价每上涨1元,平均每月少售出10个”是什么意思? 解:设台灯的售价上涨x元,根据题意, 得(40+x-30)(600-10x)=10000, 整理得:x2-50x+400=0,解得x1=10,x2=40(舍去), ∴这种台灯的售价为40+x=40+10=50(元/个), 销售数量为600-10x=600-10×10=500(个). 故这种台灯的售价应定为50元/个,这时应购进台灯500个. 小城故事 (authorId_548926071) - 引导学生分析设未知数的方法,并利用“售价在40元到60元范围内”对方程的解进行检验. 【理解应用】 探究与应用 【回顾·反思】 回顾利用方程解决实际问题的过程,你对其中的关键环节有什么感悟?积累了哪些经验？ 小城故事 (authorId_548926071) - 让学生先在小组内进行交流,然后指名回答,互相补充,教师进行适当的点评. 探究与应用 【拓展提升】 公安交警部门提醒市民,骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商若以每个30元的价格购进此种头盔,销售大数据分析表明:当每个头盔售价为40元时,平均每月售出600个;若售价每个每下降5元,其月销售量就增加1000个. (1)若售价每个下降1元,每月能售出　　　　个头盔,若售价每个下降x元(x>0),每月能售出　　　 　个头盔;  (2)为迎接“双十一”,该经销商决定降价促销,在库存为1210个头盔的情况下,若预计月获利恰好为8400元,求每个头盔的售价; (3)月获利能否达到9600元?请说明理由. 800 （600+200x） 解：（2）设每个头盔降价x元， 由题意得：（40-30-x）（600+200x）=8400， 整理得：x2-7x+12=0，解得x1=3，x2=4. 当x=4时，600+200x=1400＞1210，不符合题意，舍去； 当x=3时，600+200x=1200＜1210，符合题意； ∴40-x=37， 答：每个头盔的售价为37元； 探究与应用 （3）月获利不能达到9600元，理由如下： 设每个头盔降价y元，则每月能售出（600+200y）个头盔， 由题意得（40-30-y）（600+200y）=9600， 整理得：y2-7y+18=0， ∵Δ=49-72=-23＜0， ∴方程无实数根， ∴月获利不能达到9600元． (3)月获利能否达到9600元?请说明理由. 【拓展提升】 【小结】 课堂小结与检测 利润问题常见关系式 基本关系：(1)利润＝售价－______； （2）利润率=； (3)总利润＝ ×销量. 进价 单个利润 【达标检测】 1.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?设每盆多植x株,则可以列出的方程是 (　　) A.(3+x)(4-0.5x)=15 　B.(x+3)(4+0.5x)=15 C.(x+4)(3-0.5x)=15 　D.(x+1)(4-0.5x)=15 2.端午节前,小鲁购进了一批粽子进行销售,第一天销售了256个,第二、三天的销售量持续走高,第三天的销售量达到400个,则第二、三天销售量的平均增长率为　　　　%.  课堂小结与检测 A 25 3.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件,每件利润6元.每提高一个档次,每件利润增加2元,但一天产量减少5件.若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元,求该产品的质量档次. 课堂小结与检测 解：第x档次，提高的档次是（x-1）档，根据题意， 得[6+2（x-1）][95-5（x-1）]=1120， 即-10x2+180x+400=1120， 整理得：x2-18x+72=0， 解得：x1=6，x2=12（不合题意，舍去）， 答：该产品的质量档次为第6档． 【达标检测】 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:学生独立完成,教师巡视.对做得快的学生可以边巡视边批改,绝大多数完成后,根据批改情况找学生错的比较多的问题讲解,由做错的学生进行纠错,留半分钟的时间纠错反思. $