第2章 二元一次方程组（单元复习）培优讲义 2025-2026学年浙教版七年级数学下册

二元一次方程组 知识点01 二元一次方程及它的解 1.概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 知识点02 二元一次方程组及它的解 1.方程组：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ，就组成了一个方程组 2.概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 3.二元一次方程的解：二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解． 知识点03 解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 题型1 二元一次方程的定义 1.下面方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2.若方程是关于的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 3.方程 是二元一次方程，则m、n的值（     ） A． B． C． D． 4.下列方程组，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 5.下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 6.已知方程组是关于，的二元一次方程组，则________． 题型2 二元一次方程的解 1.李老师到文具店买A、B两种笔（两种都买），A种笔元/支，B种笔1元/支，共花了元钱，则可供李老师选择的购买方案共有（   ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 2.是下面哪个二元一次方程的解（　　） A． B． C． D． 3.把一根长的钢管截成和两种规格的钢管（两种都有）．如果没有剩余，那么截法有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 4.若是关于的二元一次方程的一组解，则的值是（　　） A．2 B． C．1 D． 5.若二元一次方程组的解为，则表示的方程可以是（    ） A． B． C． D． 6.如果方程x﹣y＝3与下列方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程可以是（　　） A．3x﹣4y＝16 B．x﹣y＝3y C． D． 题型3 已知二元一次方程组的解求参数 1.已知方程组的解为，则■，▲分别为（    ） A．1，2 B．1，5 C．5，1 D．2，4 2.若关于x、y的二元一次方程组的解为，则m，n分别为（   ） A．7， B．9，1 C．5，1 D．9， 3.已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则__________． 4.如果二元一次方程组的解为，则___________． 题型4 代入消元法解二元一次方程组 1.用代入法解下列方程组： (1) (2) 2.用代入消元法解方程组： 3.用代入法解下列方程组： (1) (2) 4.用代入法解下列方程组： (1) (2) 题型5 加减消元法解二元一次方程组 1.用加减法解下列方程组： (1)； (2)． 2.用加减法解下列方程组： (1) (2) 3.用加减法解下列方程组． (1) (2) 4.用加减法解下列方程组 (1) (2) 题型6 二元一次方程组的特殊解法 1.对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法． 例如，解方程组．小华的解法是，把②代入①，得 (1)把小华的解法补充完整： 解：把②代入①，得： (2)请仿照小华的方法解方程组： 2.先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”． 请用这样的方法解方程组： 3.在数学课上，老师教给了同学们一种新的解方程组的方法，例如：解方程组 时，可由①得③，然后再将③代入②，得，解得，从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”． (1)用上述方法解方程组 (2)若方程组的解是，求方程组的解． 4.阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． 根据材料，回答下列问题 (1)已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是_______． (2)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． 题型7 构造二元一次方程组求解 1.已知二元一次方程，当，互为相反数时，则的值为（    ） A． B． C． D． 2.定义运算“”，规定，其中a、b为常数，且，，则__________． 3.在代数式中，当，时，它的值是，当，时，它的值是17，求a，b的值． 4.，求的值． 题型8 已知二元一次方程组的解的情况求参数 1.若方程组的解满足，求的值． 2.已知方程组，那么 ． 3.若关于x、y的二元一次方程组的解，求k的值． 4.已知关于x，y的方程组的解满足，求k． 题型9 二元一次方程组的错解复原问题 1.甲、乙两人解关于x、y的方程组时，甲因看错a得到方程组的解为，乙将方程②中的b写成了它的相反数得到方程组的解为． (1)求a、b的值； (2)求原方程组的解． 2.一一和九九同解一个关于，的二元一次方程组一一把方程①抄错，求得方程组的解为，九九把方程②抄错，求得方程组的解为，求，的值． 3.甲、乙两人同时解方程组；甲看错了b，求得的解为；乙看错了a，求得的解为；你能求原题中的正确答案吗？ 4.在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答： (1)求出正确的，的值； (2)求出原方程组的正确解，并代入代数式求值． 题型10 方程组相同解问题 1.已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 2.已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求a，b的值． 3.已知关于的方程组的解和的解相同．求的值． 4.已知关于，的方程组与有相同的解． (1)请求出这个相同的解； (2)求，的值. 题型11 二元一次方程（组）的整数解 1.二元一次方程的负整数解是 ． 2.如果将二元一次方程：的一组正整数解写成的形式，并称为方程的一个正整数点，请写出方程剩下的正整数点 ． 3.整数为 时，方程组有正整数解． 4.已知，是整数，且满足，，则整数的所有可能值有（）个 A．4 B．5 C．6 D．8 题型12 二元一次方程组的公共解 1.若，且关于x，y的二元一次方程，当a取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为（    ） A． B． C． D． 2.关于，的二元一次方程（为常数），当取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（    ） A． B． C． D． 3.已知关于x、y的二元一次方程，当m每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解是（    ） A． B． C． D． 4.定义一种新的运算：，例如：．若，且关于x，y的二元一次方程，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为 ． 5.已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为 ． 题型12 换元法解方程 1.若关于m，n的二元一次方程组的解是那么关于x，y的二元一次方程组的解 ． 2.对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b是常数．已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组 的解也满足方程，求m的值； (3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 3.对下列问题，有三位同学提出了各自的想法： 若方程组的解是，求方程组的解． 甲说：“这个题目的好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以4，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你探索：若能求解，请求出它的解；若不能，请说明理由．答： ． 4.综合与实践 问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 观察发现： （1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 设，，则原方程组可化为 ，解关于m，n的方程组，得， 所以，解方程组，得 ． 探索猜想： （2）运用上述方法解下列方程组：． 题型13 新定义 1.定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程和为“关联方程”． (1)若关于x的方程与方程是“关联方程”，求a的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值； (3)若关于x的方程和是“关联方程”，求b的值． 2.定义：若一个两位数十位、个位上的数字分别为m、n，我们可将这个两位数记为，即． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 温故知新 1.下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2.若关于的二元一次方程组的解为，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 3.用代入法解方程组时，将方程①代入②中消去，所得方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4.二元一次方程组的解中，x与y的值相等，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5.方程在正整数范围内的解有（    ） A．1个 B．3个 C．4个 D．无数个 6.已知关于x，y的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数； ④x，y都为自然数的解有5对． 以上说法中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7.在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图所示的方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行各列以及对角线上的三个数之和都相等，则（    ） 6 0 A．5 B．4 C．6 D．8 8．方程是关于的二元一次方程，则的值为______． 9.已知关于，的二元一次方程组的解是，则代数式________． 10．甲、乙两人解关于的方程组时，甲看错的值解得乙看错b的值解得则该方程组正确的解为______． 11.如果关于x、y的二元一次方程组的解满足，那么k的值是 ． 12．求解二元一次方程组： (1)； (2) 13．已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求a，b的值． (2)求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 二元一次方程组 知识点01 二元一次方程及它的解 1.概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 知识点02 二元一次方程组及它的解 1.方程组：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ，就组成了一个方程组 2.概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 3.二元一次方程的解：二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解． 知识点03 解二元一次方程组 （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 题型1 二元一次方程的定义 1.下面方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数均为1的整式方程，根据二元一次方程的定义逐一分析选项进行判断． 【详解】解：A、只含一个未知数，不是二元一次方程； B、只含一个未知数，且未知数的最高次数为2，不是二元一次方程； C、含有两个未知数、，含未知数的项的次数均为1，是整式方程，符合二元一次方程的定义； D、中的次数为2，不是二元一次方程． 故选：C． 2.若方程是关于的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．根据二元一次方程的定义，整理方程后让含项的系数不为即可求解． 【详解】解：将方程整理得． 又该方程是关于，的二元一次方程． 含项的系数不能为，即． ． 故选：C． 3.方程 是二元一次方程，则m、n的值（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件： ①首先是整式方程；②方程中共含有两个未知数；③所有未知项的次数都是一次； 根据二元一次方程的概念列出方程，求解字母的值即可． 【详解】方程 是二元一次方程， ，， 解得，， 故选：C． 4.下列方程组，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程，根据二元一次方程组的定义，需满足：①共含两个未知数；②每个方程均为一次整式方程，据此对各选项逐一分析即可． 【详解】解：A. 方程组含三个未知数x、y、z，不符合“二元”条件，选项错误； B. 第一个方程含二次项，且含三个未知数x、y、z，不符合“二元一次”条件，选项错误； C. 第一个方程为分式方程，非整式方程，不符合条件，选项错误； D. 方程组含两个未知数x、y，且两个方程均为一次整式方程，符合二元一次方程组的定义，选项正确； 故选：D． 5.下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握“方程组中共含有两个未知数，含未知数的项的最高次数是1，两个方程都是整式方程，具备这几个条件的方程组是二元一次方程组”是解题的关键．根据二元一次方程组的定义，需满足：①两个未知数；②每个方程均为一次整式方程． 【详解】解：A、含三个未知数，不符合“二元”条件，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意． B、第一个方程为分式方程，非整式方程，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意． C一个方程为二次方程，非一次方程，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意． D、两个方程均为一次整式方程，且仅含两个未知数．第二个方程可视为，符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组，故此选项符合题意． 故选：D． 6.已知方程组是关于，的二元一次方程组，则________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键：1、定义：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．其一般形式是，其中，不同时为，，不同时为；2、注意：①组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组；②在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立；③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程． 由可得，解得；由二元一次方程组的定义可得，解得；综合以上，即可求出的值． 【详解】解：由可得：， 解得：； 由二元一次方程组的定义可得： ， 解得：； ， 故答案为：． 题型2 二元一次方程的解 1.李老师到文具店买A、B两种笔（两种都买），A种笔元/支，B种笔1元/支，共花了元钱，则可供李老师选择的购买方案共有（   ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】B 【分析】本题考查求二元一次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．设A种笔买了支，B种笔买了支，由题意可得方程，因为两种笔都买，则求都为正整数的解即可． 【详解】解∶ 设A种笔买了支，B种笔买了支，由题意可得方程∶ ， ∵两种笔都买， ∴都为正整数， 则， ， ， ， ， ， 共6种方案． 故选：B． 2.是下面哪个二元一次方程的解（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解，使二元一次方程成立的未知数的值就是方程的解，据此把代入各个选项的方程，验证即可． 【详解】解：A、把代入方程，得左边右边， ∴是方程的解； B、把代入方程，得左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解； C、把代入方程，得左边，右边，左边≠右边， ∴不是方程的解； D、把代入方程，得左边右边， ∴不是方程的解． 故选：A． 3.把一根长的钢管截成和两种规格的钢管（两种都有）．如果没有剩余，那么截法有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设的钢管a根，的钢管b根，由题意可列二元一次方程，根据a、b均为整数，求解即可． 【详解】解：设的钢管a根，的钢管b根， 根据题意得：， ∵a、b均为整数， ∴，． 即截法有两种， 故选：A． 4.若是关于的二元一次方程的一组解，则的值是（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 把代入二元一次方程，即可求出的值． 【详解】解：把代入二元一次方程得 ， ， 故选：A． 5.若二元一次方程组的解为，则表示的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程组的解代入每个选项分别计算即可判断． 【详解】解：A、将代入，左边右边，故不符合题意； B、将代入，左边＝右边，但不是整式方程，故不符合题意； C、将代入，左边＝右边，但不是二元一次方程，故不符合题意； D、将代入，故符合题意； 故选：D． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，正确理解二元一次方程组的定义及正确代入计算是解题的关键． 6.如果方程x﹣y＝3与下列方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程可以是（　　） A．3x﹣4y＝16 B．x﹣y＝3y C． D． 【答案】B 【分析】把代入各选项的方程，看左边是否等于右边即可． 【详解】解：A、把代入方程得：左边＝12﹣4＝8，右边＝16，左边≠右边，所以该选项不符合题意； B、把代入方程得：左边＝4﹣1＝3，右边＝3，左边＝右边，所以该选项符合题意； C、把代入方程得：左边＝2+3＝5，右边＝8，左边≠右边，所以该选项不符合题意； D、把代入方程得：左边＝1+2＝3，右边＝5，左边≠右边，所以该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即：将解代入原方程组，这是解题的关键． 题型3 已知二元一次方程组的解求参数 1.已知方程组的解为，则■，▲分别为（    ） A．1，2 B．1，5 C．5，1 D．2，4 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的含义．把代入②可得▲，把代入①得：■，从而可得答案． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴，解得：， ∴▲， 把代入①得：■， 故选：C． 2.若关于x、y的二元一次方程组的解为，则m，n分别为（   ） A．7， B．9，1 C．5，1 D．9， 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组的解代入原方程组里的每个方程，解关于m、n的方程即可． 【详解】解：∵方程组的解为， 将，代入方程中，得：， 解得； 将，代入方程中，得， 解得； 因此，，， 故选：A． 3.已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解， 方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．把x与y的值代入方程组计算求出a与b的值，即可求出的值． 【详解】解∶∵是关于x，y的二元一次方程组的解， ∴， 解得， ∴， 故答案为∶0． 4.如果二元一次方程组的解为，则___________． 【答案】5 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的解适合每个方程． 把代入求出y，然后把x，y的值代入求解． 【详解】解：把代入得， 解得，即 再把代入得：， ∴， 故答案为：5． 题型4 代入消元法解二元一次方程组 1.用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）把①变形为③，把③代入②即可求出的值，再把的值代入③即可求出的值，从而求出方程组的解； （2）把①代入②即可求出的值，再把的值代入①即可求出的值，从而求出方程组的解． 【详解】（1）解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． 故原方程组的解是 （2）解：把①代入②，得，解得． 把代入①，得． 故原方程组的解是 2.用代入消元法解方程组： 【答案】 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 将①化为：③，把③代入②，解方程可得，再进行求解． 【详解】解：由①，得．③ 将③代入②，得， 解得． 将代入③，得， 所以方程组的解为 3.用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用代入法解二元一次方程组，掌握代入法的步骤，即从一个方程中用一个未知数表示另一个未知数，再代入另一个方程消元求解是解题的关键． （1）先化简第二个方程，再从第一个方程中用表示，代入化简后的方程，消元求解． （2）从第一个方程中用表示，代入第二个方程，消去，解出后再求． 【详解】（1）解： 化简方程②： 由方程①得：， 代入方程③： 将代入，得： 方程组的解为 ． （2）解： 由方程①得：， 代入方程②： 通分计算： 将代入，得： 方程组的解为 ． 4.用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用代入消元法即可解方程求解即可； （2）利用代入消元法即可解方程求解即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①，得，解得∶． 把代入②，得， 所以原方程组的解为． （2）解：， 由①，得③． 把③代入②，得，解得∶． 把代入③，得， 所以原方程组的解为． 题型5 加减消元法解二元一次方程组 1.用加减法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组 （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 得， 解得 将代入①得， 解得 ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得， 得， 解得 将代入①得， 解得 ∴原方程组的解为． 2.用加减法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) ． (2) 【分析】（1）本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组的解题步骤是解题关键．本题利用加减消元法求解即可 ． （2）本题解法与（1）类似，只要注意对先去分母，再利用加减消元法求解即可 ． 【详解】（1）解：， 由得：，解得， 将代入，得：，解得， 原方程组的解为 ． （2）解：， 由得：， 由得：，解得， 将代入，得：，解得， 原方程组的解为． 3.用加减法解下列方程组． (1) (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程方程组，掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题关键． （1）直接运用加减消元法解答即可； （2）将原方程组整理为，再利用加减消元法解该方程组即可． 【详解】（1）解：， 由①②可得，，解得， 将代入①，可得，解得， 所以，该方程组的解为． （2）解：，整理可得， 由，可得 ，解得， 将代入①，可得，解得， 所以，该方程组的解为． 4.用加减法解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用加减消元法求解二元一次方程组，掌握求用加减法解下列方程组的方法是解决问题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 由得：，解得：， 把代入②中得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解： 由得：，解得：， 把代入②中得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 题型6 二元一次方程组的特殊解法 1.对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法． 例如，解方程组．小华的解法是，把②代入①，得 (1)把小华的解法补充完整： 解：把②代入①，得： (2)请仿照小华的方法解方程组： 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）整体代入消去未知数，再求解即可； （2）先整理方程，观察两个方程特征，整体代入消去未知数，再求解即可； 【详解】（1）解：， 把②代入①，得：， 解得， 把代入②，得：， 解得， ∴原二元一次方程组的解为； （2）解：原方程组整理为， 把①代入②，得：， 解得， 把代入①，得：， 解得， ∴原二元一次方程组的解为． 【点睛】重点观察两个方程的特征，整体代入后能消去一个未知数． 2.先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”． 请用这样的方法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的求解，解题的关键是根据题意掌握“整体代入法”； 由题意可知先对①移项得，再将其整体代入②中，即可得到答案． 【详解】解：由①，得③， 把③代入②，得，解得， 把代入③，得，解得， 故原方程组的解为． 3.在数学课上，老师教给了同学们一种新的解方程组的方法，例如：解方程组 时，可由①得③，然后再将③代入②，得，解得，从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”． (1)用上述方法解方程组 (2)若方程组的解是，求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程组的解，解一元二次方程组，根据题中给出的整体代入的方法求解方程组是解题关键． （1）根据题中给出的方法，利用整体代入法求解方程组即可； （2）根据题意可得出，再利用加减消元法求解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由①，得③， 把③代入②，得， 解得， 将代入③，得， 解得， 所以方程组的解为； （2）方程组的解是， 由题意可得， 解得． 4.阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得． 根据材料，回答下列问题 (1)已知关于的方程组的解为，请直接写出关于的方程组的解是_______． (2)学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用“整体换元”法解二元一次方程组，读懂材料是解题的关键． （1）令，，根据方程组的解为，可得，进而可解； （2）令，，仿照材料中的作法，通过“整体换元”求解． 【详解】（1）解：令，， 关于的方程组的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：令，， 则原方程组可化为， 解得，即， 解得． 题型7 构造二元一次方程组求解 1.已知二元一次方程，当，互为相反数时，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，求解即可得到，的值． 【详解】根据题意，得： ， 解得： ， 所以． 故选：D． 【点睛】本题主要考查列二元一次方程组解决问题，根据等量关系得到二元一次方程组是解题的关键． 2.定义运算“”，规定，其中a、b为常数，且，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算和解二元一次方程组，先根据题意列出二元一次方程组，解方程组得出a、b的值，然后再计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 3.在代数式中，当，时，它的值是，当，时，它的值是17，求a，b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据题意构造二元一次方程组，再利用加减法解二元一次方程，解方程即可求出a，b的值． 【详解】解：， ①②，可得：， 解得， 把代入①式得： ， 解得：， ∴原方程组的解是 4.，求的值． 【答案】14 【分析】根据非负数的性质得到关于x与y的二元一次方程组，解方程组求得x与y的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 把代入得， ＝2－3×（﹣4）＝14． 【点睛】此题主要考查了非负数的性质、二元一次方程组的解法等知识，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 题型8 已知二元一次方程组的解的情况求参数 1.若方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】将方程组中的两个方程相加，得到，即，再结合已知条件，建立关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值． 【详解】解：， ①+②得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 2.已知方程组，那么 ． 【答案】3 【分析】把k看做常数解二元一次方程组，求得，，再代入计算即可． 【详解】解： 由，得， 解得：， 把代入②，得， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用加减法求解二元一次方程是解题的关键． 3.若关于x、y的二元一次方程组的解，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解方程组的方法是关键．两个方程相减可得，与联立组成方程组，求出方程组的解即可求出答案． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴解方程组得：， ∴． 4.已知关于x，y的方程组的解满足，求k． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程．熟练掌握解二元一次方程组，解一元一次方程是解题的关键． 设由①﹣②得，代入②，可求得，x，y代入方程，计算求解即可． 【详解】解：， ①﹣②得， 代入②，得， 解得， 代入方程， 得， 解得． 题型9 二元一次方程组的错解复原问题 1.甲、乙两人解关于x、y的方程组时，甲因看错a得到方程组的解为，乙将方程②中的b写成了它的相反数得到方程组的解为． (1)求a、b的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，熟知方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，掌握二元一次方程组的解是解题的关键． （1）将代入①算出，将代入算出即可； （2）将 的值代入二元一次方程组中，解出即可． 【详解】（1）解：甲看错方程组中的a，得到方程组的解为． 将代入①得：， 乙把方程②中的b看成了它的相反数，得到方程组的解， 将代入中 得：； （2）解：将代入中得：， 得，， 解得， 将代入①得：， 解得， 由方程组的解为 ． 2.一一和九九同解一个关于，的二元一次方程组一一把方程①抄错，求得方程组的解为，九九把方程②抄错，求得方程组的解为，求，的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，先把代入方程②，把代入方程①得出关于m、n的方程组，解关于m、n的方程组即可，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，是解题的关键． 【详解】解：把代入方程②，得③， 把代入方程①，得④， 联立③④，得， 解得． 3.甲、乙两人同时解方程组；甲看错了b，求得的解为；乙看错了a，求得的解为；你能求原题中的正确答案吗？ 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解．根据题意，把甲求得的解代入①，求出，把乙求得的解代入②，求出，即可得到答案． 【详解】解：能． 甲看错了b，把甲求得的解代入①得，, 得， 乙看错了a，把乙求得的解代入②得，, 得， ∴， ①②得：， 把代入②得：， ∴． 4.在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答： (1)求出正确的，的值； (2)求出原方程组的正确解，并代入代数式求值． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解求参数、解二元一次方程组、求代数式的值． 根据甲、乙二人求出的方程组的解，把甲求出的解代入方程中求出，把乙求出的方程组的解代入方程中，求出的值即可； 由（1）可得原方程组为，解方程组求出正确的、的值，再把求出的正确的解代入代数式中求值即可． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， 解得：； 把代入， 可得：， 解得：； （2）解：由（1）可得原方程组为， 得：， 得：， 把代入得：， 解得：， 解得原方程组的正确解为， ． 题型10 方程组相同解问题 1.已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二元一次方程组，解二元一次方程组，代数式求值，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． （1）根据题意，联立新的方程组，，解方程组即可； （2）把（1）中的解代入联立的方程组，求出、的值，再代入即可求解． 【详解】（1）解：二元一次方程组与方程组有相同的解， 联立方程组得，， 得，，解得， 把代入得，，解得， 这两个方程组相同的解为：； （2）根据题意，把代入方程组， 得， 得，，解得， 把代入得，，解得， 方程组的解为， ． 2.已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求a，b的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组的解之间的关系． 首先联立两个方程组中不含、的两个方程求得方程组的解，然后代入两个方程组中含、的两个方程从而得到一个关于、的方程组求解即可 【详解】解：联立 解得 将分别代入和， 得 解得 3.已知关于的方程组的解和的解相同．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组的知识，解答此题的关键是熟知方程组有公共解的含义，考查了学生对题意的理解能力． 根据题意可得方程组的解和的解相同，求出方程组的解，再代入得到关于a，b的方程组，即可求解． 【详解】解：∵方程组的解和的解相同， ∴方程组的解和的解相同， 解方程组得：， 把代入得： ， 解得：， ∴． 4.已知关于，的方程组与有相同的解． (1)请求出这个相同的解； (2)求，的值. 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． （1）联立两方程组中不含a，b的方程求出相同的解即可； （2）把求出的解代入剩下的方程中，再联立方程组求出a与b的值即可． 【详解】（1）根据题意，得：， 解得：； （2）将代入方程组，得：， 解得：． 题型11 二元一次方程（组）的整数解 1.二元一次方程的负整数解是 ． 【答案】或 【分析】要求的负整数解，就要先将方程做适当的变形，根据解为负整数，求解即可． 【详解】解：由可得， 因为二元一次方程的负整数解， 则当时，；当时；当时，（不符合题意，舍去） 则二元一次方程的负整数解是或 故答案为：或 【点睛】此题考查了二元一次方程的求解，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数． 2.如果将二元一次方程：的一组正整数解写成的形式，并称为方程的一个正整数点，请写出方程剩下的正整数点 ． 【答案】(2，3)， (3，1) 【分析】根据题意得出x，y的取值范围，以及x， y为整数，找到符合条件的x的值，代入方程，即可求解． 【详解】由题意可得：，即，且x，y为整数， 解得：0< x < 3.5且x， y为整数， 则x = 1或2或3， 当x= 1时，y=-2×1+7=5， 当x=2时，y=-2×2+7=3， 当x = 3时，y=-2×3+7= 1， 那么方程y= - 2x + 7的正整数点为(1， 5)，(2，3)，(3，1)． 则方程y = -2x十7的剩余的正整数点为(2，3)， (3，1)． 故答案为： (2，3)， (3，1)． 【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解，以及一元一次不等式，解题的关键是弄清题意，掌握正整数点的求解方法，找出符合条件的正整数点． 3.整数为 时，方程组有正整数解． 【答案】 【分析】先求出方程组的解，再根据方程组有正整数解，求出的值． 【详解】解： ， ①②2，得 ， ， 将代入②式，得： ， 又方程组是正整数解， 12时满足x、y均为正整数， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 4.已知，是整数，且满足，，则整数的所有可能值有（    ）个 A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先联立两个方程组成方程组，再消去y可得再根据整数解的条件进行讨论，并检验即可得到答案． 【详解】解：由题意得： ②-①得： 当时， 都为整数， ∴或或或或或 此时也为整数， 所以a的所有的可能的值有6个， 故选C 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的整数解问题，掌握“二元一次方程组的解法及整数解的含义”是解本题的关键． 题型12 二元一次方程组的公共解 1.若，且关于x，y的二元一次方程，当a取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得：，把代入得，整理得：，根据当a取不同值时，方程都有一个公共解，得出，解关于x、y的方程组即可． 【详解】解：由得：， ∴关于x，y的二元一次方程可变为： ， 整理得：， ∵当a取不同值时，方程都有一个公共解， ∴， 解得：，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是根据当a取不同值时，方程都有一个公共解，得出． 2.关于，的二元一次方程（为常数），当取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可令时，代入进行求解即可． 【详解】解：由可变形为， ∵当取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解， ∴当时，则， ∴这个公共解为； 故选B． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键． 3.已知关于x、y的二元一次方程，当m每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把原方程整理得：m（x+y+2）-（2x+3y+3）=0，根据“当m每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解”，可知这个公共解与m无关，得到关于x和y的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：原方程可整理得： m（x+y+2）-（2x+3y+3）=0， 根据题意得： 解得． 故选D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组是解题的关键． 4.定义一种新的运算：，例如：．若，且关于x，y的二元一次方程，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为 ． 【答案】 【分析】根据公式求得，将方程转化得到，由当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，得到，解方程组即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则方程可转化为， ∴， ∵当a，b取不同值时，方程都有一个公共解， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查解二元一次方程组，正确理解由当a，b取不同值时，方程都有一个公共解是解题的关键． 5.已知关于x，y的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为 ． 【答案】 【分析】根据题意①+②得x-y-9+m（x+y-1）=0，然后根据题意列出方程组即可求得公共解． 【详解】解：，①+②得， x+my+mx-y=9+m， 则x-y-9+mx+my-m=0， 则x-y-9+m（x+y-1）=0， 根据题意，这些方程有一个公共解，与m的取值无关， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的问题和解二元一次方程组，解集本题的关键是理解题意，明确这些方程的解与m的取值无关．同时应掌握二元一次方程组的基本解法——代入消元法和加减消元法． 题型12 换元法解方程 1.若关于m，n的二元一次方程组的解是那么关于x，y的二元一次方程组的解 ． 【答案】 【分析】把关于 的二元一次方程 看作关于 和 的二元一次方程组，利用关于 的二元一次方程组 的解为 得到 ，，从而求出、即可； 【详解】解：∵关于 的二元一次方程组 的解为 ， 把关于 的二元一次方程 看作关于 和   的二元一次方程组， ∴, ∴关于 的二元一次方程 的解为 ； 故答案为： ； 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，也考查了解二元一次方程组． 2.对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b是常数．已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组 的解也满足方程，求m的值； (3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2)m (3) 【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （3）解：由题意得： 方程组的解为， ∴由方程组得方程组， ∴方程组的解满足， 解得． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键． 3.对下列问题，有三位同学提出了各自的想法： 若方程组的解是，求方程组的解． 甲说：“这个题目的好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以4，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你探索：若能求解，请求出它的解；若不能，请说明理由．答： ． 【答案】 【详解】试题分析：把第二个方程组的两个方程的两边都除以4可得，再根据方程组的解是可得，从而求得结果. 把第二个方程组的两个方程的两边都除以4可得 由题意得，解得. 考点：解二元一次方程组 点评：解题的关键是读懂题意，找到规律，正确利用题中所提供换元法解题. 4.综合与实践 问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 观察发现： （1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 设，，则原方程组可化为 ，解关于m，n的方程组，得， 所以，解方程组，得 ． 探索猜想： （2）运用上述方法解下列方程组：． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； 【详解】解：（1）设，， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解方程组，得， 故答案为：，； （2）设，， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解方程组，得； 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键． 题型13 新定义 1.定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程和为“关联方程”． (1)若关于x的方程与方程是“关联方程”，求a的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值； (3)若关于x的方程和是“关联方程”，求b的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据“关联方程”的定义求解即可； （2）根据“关联方程”的定义和已知条件得到或，再结合，解方程组即可； （3）分别求出方程的解，再由“关联方程”的定义解答． 【详解】（1）解：解方程得：， 将代入方程得：， 解得：； （2）解：由题意得：或， 解两个二元一次方程组得：或， ∴m、n的值为：或； （3）解：解方程得：， 解：方程得：， ∵方程和是关于x的“关联方程”， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的应用，和解二元一次方程组的应用，正确掌握解一元一次方程的解法和解二元一次方程组的方法，是解题的关键． 2.定义：若一个两位数十位、个位上的数字分别为m、n，我们可将这个两位数记为，即． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先按定义列出方程化成一元一次方程求解即可； （2）先按定义列出二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：． （2）解：∵， ∴，即，解得：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、解二元一次方程组等知识点，理解新定义是解答本题的关键． 温故知新 1.下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程的特点：一个方程组中含有两个未知数，且含未知数项的次数都是1，这样的方程组叫做二元一次方程组，逐一判断即可． 【详解】解：A．有三个未知数，不是二元一次方程组；故错误； B．不是整式方程，故错误； C． 是二元一次方程组，故正确； D． ，是二元二次方程，故错误； 故选：C． 2.若关于的二元一次方程组的解为，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解及其解法、代数式求值，先将方程组的解代入方程组中得到，进而求得a、b值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵关于的二元一次方程组的解为， ∴，解得， ∴， 故选：C． 3.用代入法解方程组时，将方程①代入②中消去，所得方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．根据解二元一次方程组的方法，把①代入②，得，然后去括号，即可得出答案． 【详解】解：， 把①代入②，得， 去括号，得． 故选：C． 4.二元一次方程组的解中，x与y的值相等，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，根据x与y的值相等可得方程，解方程可得方程组的解，再把方程组的解代入方程中求出a的值即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解中，x与y的值相等， ∴， 解得， ∴， 把代入方程中得， 解得， 故选：B． 5.方程在正整数范围内的解有（    ） A．1个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【分析】二元一次方程有无数组解，但它的正整数解是有数的，首先用其中一个未知数表示另一个未知数，然后可给定y一个正整数的值，计算x的值即可． 【详解】解：∵方程可变形为x=7−2y， ∴当y=1时，x=5；当y=2时，x=3；当y=3时，x=1， ∴方程x+2y=7的正整数解有：，，， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程，二元一次方程有无数组解，确定二元一次方程的特殊解，解题的关键是用其中一个未知数表示另一个未知数． 6.已知关于x，y的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数； ④x，y都为自然数的解有5对． 以上说法中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】将代入原方程组得，解得，经检验得是的解，故①正确；方程组两方程相加得，根据，得到，解得，故②正确；根据，，得到，得到，从而得到无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确；根据，得到x，y都为自然数的解有共5对，故④正确． 【详解】解：将代入原方程组得， 解得， 将代入方程左右两边， 左边，右边， ∴当时，方程组的解也是的解，故①正确； 方程组 得， 若，则，解得，故②正确； ∵，， ∴两方程相加得， ∴， ∴ 无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，故③正确； ∵， ∴x，y都为自然数的解有共5对， 故④正确． 故选：D 【点睛】本题考查了消元法解二元一次方程组，二元一次方程解的定义，二元一次方程的自然数解等知识，理解消元法解二元一次方程组的根据是等式的性质和等量代换是解题关键． 7.在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图所示的方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行各列以及对角线上的三个数之和都相等，则（    ） 6 0 A．5 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程．根据题意，列出方程即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 故选：C 8．方程是关于的二元一次方程，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴， 解得，，即或， 又∵， ∴， ∴． 9.已知关于，的二元一次方程组的解是，则代数式________． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，需熟悉相关的运算法则是解此题的关键． 将解代入方程组，得到关于a和b的方程，通过方程相加直接求出． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解是， ∴， 由得：， ∴． 故答案为：3 10．甲、乙两人解关于的方程组时，甲看错的值解得乙看错b的值解得则该方程组正确的解为______． 【答案】 【分析】先根据甲、乙看错的条件，分别求出正确的、的值，再代入原方程组求解． 【详解】解:甲看错的值，解得，将其代入，可得：， 解得：． 乙看错的值解得，将其代入，可得：， 解得：． ∴原方程为：． 对两边同时乘以，可得：①； 由可得：②； 将②代入①，得：， 解得：． 把代入②，解得：． ∴该方程组正确的解为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是利用甲、乙看错的条件分别求出正确的值，再代入原方程组求解． 11.如果关于x、y的二元一次方程组的解满足，那么k的值是 ． 【答案】 【分析】两个方程相减可得，与联立组成方程组，求出方程组的解即可求出答案． 【详解】解：， ②-①，得， 解方程组，得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解方程组的方法是关键． 12．求解二元一次方程组： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的求解，核心方法为代入消元法和加减消元法． （1）第一个方程的系数为1，适合用代入消元法：先通过第一个方程用含的式子表示，再代入第二个方程求出的值，最后反代求； （2）两个方程的未知数系数均不为1，适合用加减消元法：通过给方程两边同乘适当的数，使的系数相同，再通过方程相减消去，先求出的值，再代入求． 【详解】（1）解：， 由①得，③ 将③代入②得：，解得， 将代入③得， ∴方程组的解为； （2）解：， 得，解得， 将代入①得，解得， ∴方程组的解为． 13．已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求a，b的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查同解方程组．解题的关键是将不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出未知数的值，再进行求解． （1）根据同解方程组，得到方程组 的解即是它们的公共解，求解后，再代入原方程组，得到 ，解方程组即可； （2）将（1）中的结果代入计算即可． 【详解】（1）解：由于两个方程组的解相同，则有方程组 解得 把代入方程与中， 得 解得 （2）解：由（1）得 学科网（北京）股份有限公司 $