专题2.1二元一次方程（组）及解法复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年浙教版数学七年级下学期.

专题2.1二元一次方程（组）及解法复习讲义 （浙教版新教材） 高效复习◆重点 精准掌握二元一次方程（组）的定义、判定条件、方程与方程组解的概念，熟练区分方程组唯一解、无解、无数组解的三种情况，理清概念易错点。 熟练掌握代入消元法、加减消元法两种核心解法，能根据方程组形式灵活选择最优解法，规范解题步骤，精准完成计算，规避常见计算失误。 熟练解决定义求参、已知解求参数、同解方程组、含条件求值等高频进阶题型，掌握各类题型固定解题模板。 理解解方程组的核心消元思想，掌握“化二元为一元”的转化数学思维，为后续一次函数、不等式组及方程应用题学习筑牢基础。 核心题型◆归纳 题型1二元一次方程的定义 题型2二元一次方程的解 题型3判断是否是二元一次方程组 题型4已知二元一次组的解求参数 题型5代入、加减消元法 题型6二元一次方程组的特殊解法 题型7构造二元一次方程组求解 题型8二元一次方程二元一次方程组的错解复原问题 题型9方程组相同解问题 题型10提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、二元一次方程 1.定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。 2.标准形式：ax+by=c（a、b不同时为0，a、b、c为常数） 3.三大判定条件（缺一不可） 整式方程：分母中不含未知数、根号内不含未知数； 含有且仅有两个未知数； 未知数的最高次数为1，不含未知数的平方、乘积、倒数等形式。 4. 二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。 特点：一个二元一次方程有无数组实数解，单独的方程无法求出唯一解。 知识点二、二元一次方程组 1.定义：由两个（或多个）二元一次方程组成，且一共含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。 2.二元一次方程组的解 同时满足方程组中所有方程的一对未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 特点：一般情况下，二元一次方程组有唯一一组解，特殊情况有无穷多解或无解。 知识点三、二元一次方程组两大解法（核心考点） 1.代入消元法 解题步骤: 变：选取系数简单的方程，变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式（x=my+n或y=mx+n）； 代：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程； 解：解一元一次方程，求出一个未知数的值； 回代：将求出的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值，最后写解。 2.加减消元法 解题步骤: 化系数：利用等式性质，将某一个未知数的系数化为相等或互为相反数； 加减消元：系数相同用减法，系数相反用加法，消去一个未知数； 求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值； 回代求参：代入原方程求出另一个未知数，写出方程组的解。 题型解析◆精准备考 题型1二元一次方程的定义 1．是关于x，y的二元一次方程，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义求解，二元一次方程需满足：含有两个未知数，所含未知数的项的次数都是1，且未知数的系数不为0，据此列出条件求解即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程 ∴ 解得或 又， 即 ∴． 2．已知方程，是关于，的二元一次方程，则_____． 【答案】0 【分析】根据二元一次方程的定义，即方程是含有两个未知数，且含有未知数的项的次数均为的整式方程，据此列出关于，的方程，求解得到，的值后代入计算即可． 【详解】解： 是关于，的二元一次方程． ，． 解得，． ． 3．若将关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则这对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：将二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为______； (2)已知一个关于、的二元一次方程的解为，且该方程的“相伴系数对”为，写出这个二元一次方程为______． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是理解已知条件中的“相伴系数对”和二元一次方程解的定义． （1）将关于、的二元一次方程变形为的形式，根据已知条件中的“相伴系数对”的定义求出答案即可； （2）根据已知条件中的“相伴系数对”的定义和已知条件写出这个二元一次方程，然后把代入，得到关于的方程，解方程求出，再把代入这个方程即可． 【详解】（1）解：， 整理得：， 方程的“相伴系数对”为， 故答案为：； （2）解：由题意知，这个二元一次方程可写成：， 把代入， 可得：， 整理得：， 解得：， 这个二元一次方程为：， 即， 故答案为：． 题型2二元一次方程的解 1．若，是关于x、y的二元一次方程的一个解，则a的值为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将代入二元一次方程中求出a的值即可． 【详解】解：将代入，得 ， 解得． 2．若是关于x和y的二元一次方程的解，则的值为______． 【答案】5 【分析】根据二元一次方程的解得到，再整体代入即可得到答案． 【详解】解：将代入方程，得， ． 3．若关于，的二元一次方程可变形为的形式（，是常数，），则其中一对常数，被称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：二元一次方程可变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为_____________． (2)已知是关于，的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求这个二元一次方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程的变形，方程的解的概念，掌握将方程变形为指定形式，利用方程的解求参数是解题的关键． （1）将方程变形为的形式，通过系数化得到和的值，从而确定相伴系数对； （2）根据相伴系数对写出方程形式，再将已知解代入方程，解出的值，最后代入得到具体的二元一次方程． 【详解】（1）解：∵方程可变形为 ∴其“相伴系数对”为 （2）方程的“相伴系数对”为， 该方程为． 是该方程的一个解， ， 解得， 这个二元一次方程是． 题型3判断是否是二元一次方程组 1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二元一次方程组满足：共含有两个未知数，所有未知数的项的次数都是1，且均为整式方程． A、选项中两个方程均为一次方程，共含有两个未知数，是二元一次方程组，不符合题意； B、选项中方程中，项的次数是2，不满足次数为1的要求，不是二元一次方程组，符合题意； C、选项中两个方程均为一次方程，共含有两个未知数，是二元一次方程组，不符合题意； D、选项中两个方程均为一次方程，共含有两个未知数，是二元一次方程组，不符合题意． 2．观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是______（写出所有正确的序号）． 【答案】①②④ 【分析】含有两个未知数，且未知数的最高次数是1，这样的整式方程组是二元一次方程组，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：① ，符合二元一次方程组定义； ② ，符合二元一次方程组定义； ③ ，未知数x的最高次数是2，不符合二元一次方程组定义； ④ ，符合二元一次方程组定义； 所以符合二元一次方程组定义的是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，熟记定义是解本题的关键． 3．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【答案】见解析 【分析】根据二元一次方程组的定义可以判断． 【详解】解：（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组； （2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组； （3）该方程组中一个方程的含有未知数的项的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组； （4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组； （5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案． 题型4已知二元一次组的解求参数 1．已知是关于的方程的一个解，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．7 【答案】A 【分析】将解代入原方程得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】∵是方程的一个解， ∴将，代入，得：， 解得：． 2．若关于、的二元一次方程组的解为，则代数式的值是_____________． 【答案】 【分析】将代入二元一次方程组中，得到，①+②得，，可求得，即可求解． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解为， ∴， ∴①+②得，， ∴， ∴． 3．甲、乙两人同时解关于x，y的二元一次方程组时，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为试计算的值． 【答案】9 【分析】根据甲看错方程①的，但方程②的不受影响，所以用甲的解代入方程②可求；乙看错方程②的，但方程①的不受影响，用乙的解代入方程①可求，最后计算 ．本题主要考查二元一次方程组的解的概念，熟练掌握方程组的解能使方程左右两边相等，利用错解求正确的未知参数是解题的关键． 【详解】解：把代入方程②，得， 解得． 把代入方程①，得，解得． 所以． 题型5代入、加减消元法 1．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（    ） A．由①得 B．由②得 C．由②得 D．由①得 【答案】D 【分析】利用等式的基本性质，对方程组中的两个方程分别移项变形，对比选项即可得到正确结果． 【详解】解：对① 移项， ， 移项得 ， ，故A错误，D正确； 对② 移项， ， 移项得 ，故B，C错误． 2．如果对于非零的两个有理数和，规定☆．若，，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，需理解规定的意义和运算顺序，解决本题根据新定义的意义，求出是关键； 根据已知规定及两式，确定出的值，再利用新规定化简原式即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：，． ，解得： ． 3．解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 解：把①代入②，得 解这个方程，得 把代入①，得 所以这个方程组的解为 （2） 解：①×2，得 ③－②，得 把代入①，得 所以这个方程组的解为 题型6二元一次方程组的特殊解法 1．已知关于的方程组的解是．则关于的方程组的解是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将变形为，观察两个方程组可得：由第一个方程组就是换成换成，代入数据即可求解． 【详解】解：变形为， 由题意得：， 解得：． 2．（1）已知关于，的二元一次方程组，则的值为________； （2）若关于，的二元一次方程组的解为，那么方程组的解为________． 【答案】 【分析】（1）把方程组的两个方程相加得到，进而即可求得； （2）将方程组变形为，则，解方程组即可求解． 【详解】解：（1）， ①+②得：， ． （2）将方程组变形为， ∵将方程组与方程组系数相同， 利用整体换元思想可得，解得． 3．方程组知识运用 (1)关于，的二元一次方程组中，与方程组的解中的或相等，则的值为 ； (2)试说明在关于的方程组中，不论取什么实数，的值始终不变； (3)请直接写出第（）题中的方程组的正整数解为： ． 【答案】(1)或； (2)见解析； (3)和． 【分析】（）先将看作常数，解二元一次方程组得到的表达式，再根据与或相等，分两种情况计算的值，用到分类讨论思想和二元一次方程组消元法； （）通过消去参数，整理得到为固定常数，即可证明结论； （）根据的结论，结合正整数的要求，列举得到所有正整数解． 【详解】（1）解：， 得， 解得， 将代入得， 根据题意分两种情况计算：当时，得， 当时，得，解得， 因此的值为或， 故答案为：或； （2）解： 得， 得， 等式两边同时除以得， ∴不论取什么实数，的值始终为，即始终不变； （3）解：由（）得，为正整数，即 ∴当时，；当时，， ∴方程组的正整数解为和， 验证：把代入原方程组得，解得：，符合题意； 把代入原方程组得，解得：，符合题意． 题型7构造二元一次方程组求解 1．我们定义：若整式M与N满足：（k为整数），我们称M与N为关于k的平衡整式，例如，若，我们称M与N为关于1的平衡整式．若与y为关于2的平衡整式，与为关于5的平衡整式，求的值为（   ） A．2 B． C．12 D．26 【答案】A 【分析】根据题中的新定义列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可求出的值． 【详解】解∶根据题意，得， 整理得， ，得， ∴． 2．关于、的方程是二元一次方程，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义和解二元一次方程组，两边都是整式，含有两个未知数，并且含有未知数的项都是一次的方程，叫做二元一次方程，根据题意可得，，求解可得和的值． 【详解】根据题意可得 解得 所以． 故答案为： 3．已知关于x，y的二元一次方程，当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解． (1)求出这个公共解； (2)请说明，无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程的解． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】（1）先把原方程去括号整理得出，再由题意得出，解方程即可； （2）先整理原方程，再把公共解代入方程，可得出方程的解与a的值无关，即可说明无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程的解． 【详解】（1）解： 整理得：， 由题意得：， 解得． （2）解：把化为下面的形式：， ∵， ∴，即， ∴当时，二元一次方程的解与a的值无关， ∴无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程的解． 题型8二元一次方程二元一次方程组的错解复原问题 1．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得则a，b，c正确的值应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得 把代入得： ， 联立得解得： ， 由，得到， 故选：． 2．解方程组时，一学生把看错而得到，而正确的解是，那么______． 【答案】 【分析】学生仅看错系数，因此错解和正确解都满足未改动的方程，代入列方程组求出、，将正确解代入，求出，把、、代入即可得出． 【详解】解：错解和正确的解都满足不含的方程，分别代入得 ， 解得， 正确的解满足原方程，代入得， 解得， ∴． 3．已知关于x、y的二元一次方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为． (1)求a、b的值； (2)求原方程组的解（加减消元法）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，分别将代入，代入求解即可； （2）由（1）知，根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得． 将代入，得， 解得． ∴，； （2）解：由（1）知， ，得， 解得． 把代入②，得， 解得． ∴原方程组的解为． 题型9方程组相同解问题 1．已知方程组和有相同的解．则的值是（   ） A．-1 B．1 C．5 D．13 【答案】C 【分析】联立不含与的方程组成方程组，求出方程组的解得到与的值，进而求出与的值，即可求出的值． 【详解】解：根据题意联立得：， 得：， 解得：， 把代入②得， 解得：， 把代入和得：， 解得：， ． 2．若方程组与的解相同，则__________，__________． 【答案】 【分析】本题考查同解方程组的求解，核心是利用“同解方程组的解相同”这一关键条件．解题思路：先解不含参数的方程组得到公共解、，再将、代入含参数的方程组，转化为关于、的二元一次方程组，最后求解该方程组得到、的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵两个方程组的解相同， ∴将，代入，得， 解得， 故答案为：，． 3．已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立和，组成方程组即可解答； （2）利用方程组的解求出和，计算代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵方程组与的解相同， ∴， 由得：， ， 将代入①中得：， 解得：， ∴． （2）解：∵由（1）得， ∴将代入，得， 由得：， ， 将代入①中得：，解得：， ∴． 过关检测◆提升 一、单选题 1．若是关于x、y的二元一次方程的解，则a的值为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【详解】解：将代入方程， 得， 解得 2．下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A中的次数为2，不符合定义，A错误； B中的最高次数为2，不符合定义，B错误； C中方程组共含有，两个未知数，所有未知数次数都是1，均为整式方程，符合定义，C正确； D中方程组共含有，，三个未知数，不符合定义，D错误． 3．下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程的定义，即含有两个未知数，且所含未知数的项的次数均为1的整式方程，逐一判断各选项即可． 【详解】解∶选项A：是代数式，不是方程，不符合题意； 选项B： 中，项的次数为2，不符合二元一次方程定义，不符合题意； 选项C： 中含有三个未知数，不符合二元一次方程定义，不符合题意； 选项D：，是含有两个未知数的整式方程，且含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程定义； 故D选项正确． 4．若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将待解方程组变形为和已知原方程组结构相同的形式，再对应已知解得到新的方程，即可求出结果． 【详解】解：将方程组整理变形：， 方程组的解是， ，解得． 5．二元一次方程组的解的值相等，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组的每一个方程是解题的关键． 把代入第一个方程可求得、的值，再把、的值代入第二个方程可求得的值． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， 故选：A. 二、填空题 6．已知关于的方程组和的解相同，则_____． 【答案】 【分析】因为方程组有相同的解，所以只需求出一组解代入另一组，即可求出未知数的值． 【详解】∵关于的方程组和的解相同， 方程和的解相同， 联立方程组可得：， 得：， 解得：， ， 解得：， 方程组的解为， 根据题意可得，方程和方程的解也是， ， 化简得：， 解得：， ． 7．小明在解方程组时由于看错，解得，而正确解为，则________． 【答案】24 【分析】看错系数得到的解满足第一个方程，正确解满足方程组的两个方程，将对应解分别代入得到关于，，的方程，求解得到三个未知数的值，再计算即可． 【详解】解：由题意可知，满足方程， 代入得，； 将正确解代入，得； 联立得方程组， 解得 将正确解代入，得， 解得， ∴． 8．已知有理数a，b，c满足，则________． 【答案】1 【分析】令，，则，整体代入第一个方程化简求出，进而求出，，然后整体代入第二个方程化简求出，即可求解. 【详解】解：令，，则， 代入第一个方程化简为， ∴， ∴，， 代入第二个方程化简为， ∴， ∴. 9．已知是关于的二元一次方程组的解，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：∵是关于的二元一次方程组的解， ∴， 解得：，， ∴． 10．若实数，同时满足，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据题意，可得，再分、两种情况，再解二元一次方程组即可． 【详解】解：，， ， ①当时， ，方程组无解； ②当时， ，解得，此时； 综上，． 三、解答题 11．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) 【答案】(1)是，理由见解析 (2)是，理由见解析 【分析】根据二元一次方程组的定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组，即可进行解答． 【详解】（1）解：中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程， ∴该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组； （2）解：中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程， ∴该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，解题的关键是掌握：二元一次方程定义∶一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程．二元一次方程组定义∶两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组． 12．已知关于x，y的方程组 和关于x，y的方程组 的解相同，求 的值． 【答案】0 【分析】先求出，再将代入，解得，即可得到答案． 【详解】解：两个方程组的解相同，故是两个方程组的公共解， 解得， 将代入，得， 解得， ． 13．已知关于x，y的二元一次方程为常数，且，． (1)当时，求c的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a，b，c的值和方程的正整数解． 【答案】(1) (2)，，，方程的正整数解是 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解二元一次方程的解是求解的关键． （1）将已知代入中，得到关于a的方程，求出a值，再代入中求解即可； （2）由题意得到，求得，进而可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， ，， ， ， ， ； （2）解：关于x，y的二元一次方程，，， ， ， ，y均为正整数， 是正整数， 是正整数， 是正整数， ，将代入得， ，， ，， 方程的正整数解是． 14．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可通过代入消元法或加减消元法消去一个未知数，转化为一元一次方程求解，再回代求另一个未知数． （2）先将方程组中的分数系数化为整数系数，再用加减消元法消元，转化为一元一次方程求解，最后回代求另一个未知数． 【详解】（1）解： 由①得 把③代入②得， 解得， 把代入③得， ∴方程组的解为． （2）解： 将①两边同乘6得 将②两边同乘12得 得 得 得， 把代入③得， 解得， ∴方程组的解为． 15．阅读下列解方程组的方法，然后解决问题． 解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法比较简便． 解：由①②，得，所以．③ 将③，得．④ ②，得，将代入③，得，所以原方程组的解是 (1)请采用上面的方法解方程组 (2)已知关于的方程组，该方程组的解为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题例进行解题即可； （2）根据题例进行解题即可． 【详解】（1）解：， ，得． ∴③． 将，得， ，得． 把代入③，得， ∴原方程组的解为； （2）解：， ，得， ， 将，得， ，得． 解得， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 16．定义：关于x，y的二元一次方程中的常数项与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为__________； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1)或 (2)2026 【分析】（1）根据“交换系数方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：方程的“交换系数方程”为， ， 得，， 将代入①得，， 解得： 方程组的解为：； 方程的“交换系数方程”为， ， 得，， 解得：， 将代入①得，， 解得：， 方程组的解为：； 综上，方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为：或； （2）解：∵， ∴， 方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为， 解得， ∴把代入可得，即，， ∴ ． ∵， ∴， 方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为， 解得：， ∴把代入可得，即，， ∴ ． 综上，代数式的值为2026． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1二元一次方程（组）及解法复习讲义 （浙教版新教材） 高效复习◆重点 精准掌握二元一次方程（组）的定义、判定条件、方程与方程组解的概念，熟练区分方程组唯一解、无解、无数组解的三种情况，理清概念易错点。 熟练掌握代入消元法、加减消元法两种核心解法，能根据方程组形式灵活选择最优解法，规范解题步骤，精准完成计算，规避常见计算失误。 熟练解决定义求参、已知解求参数、同解方程组、含条件求值等高频进阶题型，掌握各类题型固定解题模板。 理解解方程组的核心消元思想，掌握“化二元为一元”的转化数学思维，为后续一次函数、不等式组及方程应用题学习筑牢基础。 核心题型◆归纳 题型1二元一次方程的定义 题型2二元一次方程的解 题型3判断是否是二元一次方程组 题型4已知二元一次组的解求参数 题型5代入、加减消元法 题型6二元一次方程组的特殊解法 题型7构造二元一次方程组求解 题型8二元一次方程二元一次方程组的错解复原问题 题型9方程组相同解问题 题型10提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、二元一次方程 1.定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。 2.标准形式：ax+by=c（a、b不同时为0，a、b、c为常数） 3.三大判定条件（缺一不可） 整式方程：分母中不含未知数、根号内不含未知数； 含有且仅有两个未知数； 未知数的最高次数为1，不含未知数的平方、乘积、倒数等形式。 4. 二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。 特点：一个二元一次方程有无数组实数解，单独的方程无法求出唯一解。 知识点二、二元一次方程组 1.定义：由两个（或多个）二元一次方程组成，且一共含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。 2.二元一次方程组的解 同时满足方程组中所有方程的一对未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 特点：一般情况下，二元一次方程组有唯一一组解，特殊情况有无穷多解或无解。 知识点三、二元一次方程组两大解法（核心考点） 1.代入消元法 解题步骤： 变：选取系数简单的方程，变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式（x=my+n或y=mx+n）； 代：将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程； 解：解一元一次方程，求出一个未知数的值； 回代：将求出的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值，最后写解。 2.加减消元法 解题步骤： 化系数：利用等式性质，将某一个未知数的系数化为相等或互为相反数； 加减消元：系数相同用减法，系数相反用加法，消去一个未知数； 求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值； 回代求参：代入原方程求出另一个未知数，写出方程组的解。 题型解析◆精准备考 题型1二元一次方程的定义 1．是关于x，y的二元一次方程，则（    ） A． B．0 C．1 D． 2．已知方程，是关于，的二元一次方程，则_____． 3．若将关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则这对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：将二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为______； (2)已知一个关于、的二元一次方程的解为，且该方程的“相伴系数对”为，写出这个二元一次方程为______． 题型2二元一次方程的解 1．若，是关于x、y的二元一次方程的一个解，则a的值为（    ） A．4 B． C．6 D． 2．若是关于x和y的二元一次方程的解，则的值为______． 3．若关于，的二元一次方程可变形为的形式（，是常数，），则其中一对常数，被称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：二元一次方程可变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为_____________． (2)已知是关于，的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求这个二元一次方程． 题型3判断是否是二元一次方程组 1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．观察所给的4个方程组：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程组定义的是______（写出所有正确的序号）． 3．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 题型4已知二元一次组的解求参数 1．已知是关于的方程的一个解，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．7 2．若关于、的二元一次方程组的解为，则代数式的值是_____________． 3．甲、乙两人同时解关于x，y的二元一次方程组时，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为试计算的值． 题型5代入、加减消元法 1．用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（    ） A．由①得 B．由②得 C．由②得 D．由①得 2．如果对于非零的两个有理数和，规定☆．若，，则的值为__________． 3．解二元一次方程组： (1) (2) 题型6二元一次方程组的特殊解法 1．已知关于的方程组的解是．则关于的方程组的解是（） A． B． C． D． 2．（1）已知关于，的二元一次方程组，则的值为________； （2）若关于，的二元一次方程组的解为，那么方程组的解为________． 3．方程组知识运用 (1)关于，的二元一次方程组中，与方程组的解中的或相等，则的值为 ； (2)试说明在关于的方程组中，不论取什么实数，的值始终不变； (3)请直接写出第（）题中的方程组的正整数解为： ． 题型7构造二元一次方程组求解 1．我们定义：若整式M与N满足：（k为整数），我们称M与N为关于k的平衡整式，例如，若，我们称M与N为关于1的平衡整式．若与y为关于2的平衡整式，与为关于5的平衡整式，求的值为（   ） A．2 B． C．12 D．26 2．关于、的方程是二元一次方程，则_____． 3．已知关于x，y的二元一次方程，当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解． (1)求出这个公共解； (2)请说明，无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程的解． 题型8二元一次方程二元一次方程组的错解复原问题 1．两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得则a，b，c正确的值应为（   ） A． B． C． D． 2．解方程组时，一学生把看错而得到，而正确的解是，那么______． 3．已知关于x、y的二元一次方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为． (1)求a、b的值； (2)求原方程组的解（加减消元法）． 题型9方程组相同解问题 1．已知方程组和有相同的解．则的值是（   ） A．-1 B．1 C．5 D．13 2．若方程组与的解相同，则__________，__________． 3．已知关于x，y的方程组与的解相同． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 过关检测◆提升 一、单选题 1．若是关于x、y的二元一次方程的解，则a的值为（   ） A． B． C．3 D．5 2．下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 3．下列方程中，属于二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．若关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 5．二元一次方程组的解的值相等，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 二、填空题 6．已知关于的方程组和的解相同，则_____． 7．小明在解方程组时由于看错，解得，而正确解为，则________． 8．已知有理数a，b，c满足，则________． 9．已知是关于的二元一次方程组的解，则的值为__________． 10．若实数，同时满足，，则的值为______． 三、解答题 11．判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) 12．已知关于x，y的方程组 和关于x，y的方程组 的解相同，求 的值． 13．已知关于x，y的二元一次方程为常数，且，． (1)当时，求c的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a，b，c的值和方程的正整数解． 14．解下列方程组： (1) (2) 15．阅读下列解方程组的方法，然后解决问题． 解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法比较简便． 解：由①②，得，所以．③ 将③，得．④ ②，得，将代入③，得，所以原方程组的解是 (1)请采用上面的方法解方程组 (2)已知关于的方程组，该方程组的解为___________． 16．定义：关于x，y的二元一次方程中的常数项与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为__________； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $