精品解析：辽宁大连经济技术开发区第一中学2025-2026学年度第二学期期中考试高二数学试题

经开区一中2025－2026学年度第二学期期中考试 高二数学 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．本试题共3页，如缺页，考生须声明，否则后果自负． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等比数列，则（ ） A. 14 B. 32 C. 16 D. 54 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的下标和性质即可得出答案. 【详解】由题意可知. 故选：B 2. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，故，故. 3. 某公司近几年投入A款产品的年研发费用与年利润的统计数据如下表： 年研发费用 5 4 6 3 4 2 年利润 12 10 13 9 11 5 若与的回归直线方程为，则（ ） A. 2.1 B. 2.2 C. 2.3 D. 2.4 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归直线方程的性质求解样本中心点，代入方程即可得的值. 【详解】由表可知，， 则样本中心点为，代入回归直线方程得： ，解得． 故选：D. 4. 数列满足，，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， 所以，，，，，… 所以数列是周期数列，周期为3， 所以. 5. 已知随机变量的分布如下：若，则（ ） 0 1 2 A. B. 7 C. D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】先根据分布列的性质与确定，的值，计算，再根据求值. 【详解】由题意得，，即， 因为，所以，即， 联立解得，，，则， 所以. 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，分析函数的单调性，再结合时，即可求解. 【详解】因为，则函数的定义域为， 所以， 由，得或， 由，得且， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，， 又时，，分析图象可知，C选项正确. 7. 若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化问题为存在，使成立，进而求解即可. 【详解】因为函数在上存在单调递减区间， 所以存在，使成立， 即存在，使成立， 令，因为，所以， 所以当，即时，，所以， 8. 设函数，若关于的方程 恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解，将问题转化为或共有4个解，利用导数求的单调性，进而可作出的图象，即可求解. 【详解】解：因为恰好有4个不相等的实数解， 所以恰好有4个不相等的实数解， 所以或共有4个解， 设，，则， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 且，， 当时，，所以； 设，， 则，为单调减函数， 且时，，， 作出函数的图象如图所示： 由图可知只有一解， 要恰好有4个不相等的实数解， 即要恰有3解， 所以， 即， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若为等差数列，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是数列中的项 C. 数列单调递减 D. 数列前7项和最大 【答案】ACD 【解析】 【分析】由为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可. 【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确， 由，得，故B错误， 因为，所以数列单调递减，故C正确， 由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确. 故选：ACD 10. 随机变量服从参数为的二项分布，即，其概率分布可用下图直观地表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据二项分布的定义，概率及方差公式计算判断各个选项. 【详解】由概率分布直观图可知可以取0，1，2，3，4，所以，故A项错误； 又，所以，故B项正确； 又，所以，故C项错误； ，故D项正确． 11. 已知是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为等比数列 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据题设易得，再验证得到即可判断；对于B，根据题设易得，再验证得到即可判断；对于D，结合AB得到，，进而求解判断即可；对于C，利用分组求和求解判断即可.. 【详解】对于A，由， 则， 因为，所以，则， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确； 对于B，由， 则， 又，，满足， 所以是首项为，公比为的等比数列，故B正确； 对于D，由A知，，由B知，， 联立，则，故D错误； 对于C， ，故C正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的导函数为，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】对函数表达式同时求导并令，解方程即可求得结果. 【详解】已知函数， 求导可得， 代入，可得，即. 13. 一个家庭有两个孩子，生肖均为十二生肖之一（等可能）．已知其中一个孩子属马，则另一个孩子也属马的概率为________． 【答案】 【解析】 【详解】两个孩子的生肖组合有种， 记事件A“其中一个孩子属马”，事件B“两个孩子都属马”， 则，， 所以. 14. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人，则经过6次传球后，球在甲手中的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，依题意利用条件概率的概率公式得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出，再将代入计算可得； 【详解】解：设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，，则有，，所以 ，即，所以， 又，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 当时； 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知函数在时取得极值13. （1）求，的值； （2）求在上的最大值和最小值. 【答案】（1）， （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用，可求解； （2）求导，令，可得，，结合单调性，可求最值. 【小问1详解】 由题可得， ，， 解得，. 【小问2详解】 由（1）知，令， 解得，， 当时，， 所以的单调递增区间为，， 当时，，所以的单调递减区间为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又因为，， 所以在上的最大值为，最小值为. 16. 已知数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用累加法即可求得数列通项； （2）将数列的通项公式裂项后相加即得答案. 【小问1详解】 ，且， 当时， ， 当时，，满足上式， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，， 则. 17. 为研究高中生自主刷题与数学成绩提升的关联性，某教研机构随机抽取200名高三学生开展调查，统计数据如下表（单位：人）： 成绩显著提升 成绩未显著提升 合计 坚持自主刷题 90 30 120 未坚持自主刷题 20 60 80 合计 110 90 200 根据上述数据，解答下列问题： （1）依据小概率值的独立性检验，判断能否认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关？ （2）已知在坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.6；在未坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.3.现从这200名学生中随机抽取1人，发现其数学成绩为优秀，求该学生坚持自主刷题的概率. 附：，其中. 【答案】（1）有关 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，根据独立性检验知识即可得结论； （2）定义事件：设“该学生坚持自主刷题”，则“该学生未坚持自主刷题”，“该学生数学成绩优秀”，根据题意求出的值，结合，求出的值，再由条件概率公式，求解即可. 【小问1详解】 假设 ：高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升无关联； 经计算因为， 故依据小概率值的独立性检验，我们推断假设不成立， 即认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关联，该推断犯错误概率不超过0.001； 【小问2详解】 定义事件：设“该学生坚持自主刷题”， 则“该学生未坚持自主刷题”，“该学生数学成绩优秀”， 则， 所以， 所以 故该学生坚持自主刷题的概率为. 18. 已知数列的前项和为，，数列满足点在直线上. （1）求数列，的通项和； （2）令，求数列的前项和； （3）已知，求对所有的正整数都有成立的的范围. 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，结合等比数列的定义求的通项公式，结合等差数列的定义求的通项公式； （2）由（1）可得，再利用错位相减法求解即可； （3）由（1）可得，根据数列的单调性可得最大值为，结合题意可得恒成立，进而利用基本不等式运算求解即可. 【小问1详解】 ， 当时，，即， 当时，，， ，， 数列是首项为，公比为2的等比数列. ，， 又点在直线上， ，即，又， 数列是首项为，公差为2的等差数列. . 【小问2详解】 ， ，① ，② 因此①②得：. 即 . 【小问3详解】 由（1）知当，， ， 数列为单调递减数列， 当时，，即最大值为， 由可得， 而，当且仅当时取等号， . 19. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （I）用表示出； （II）若在上恒成立，求的取值范围； （III）证明： 【答案】（I），；（II）；（III）证明见解析. 【解析】 【分析】（I）根据导数的几何意义，结合切线方程即可得到结果； （II）令，可求得的两根；分别在和两种情况下，根据单调性可得结果； （III）根据（II）的结论可知当时，在上恒成立，令依次取，，，…，，各式相加整理即可证得结论. 【详解】（I），，； 又，； （II）由（I）得：； 令，则在上恒成立； ， 令，解得：，； （1）当，即时，在上恒成立， 在上单调递增，，满足题意； （2）当，即时， 若，则，则在上单调递减， 此时，不合题意； 综上所述：的取值范围为； （III）由（II）知：当时，在上恒成立， 那么当时，在上恒成立； 令依次取，，，…，可得： ，，，…，， ， ， ， . 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义、利用导数解决恒成立问题和证明不等式的问题；证明不等式的关键是能够结合恒成立的结论，通过赋值法得到基本不等关系，通过累加的方式整理化简得到结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 经开区一中2025－2026学年度第二学期期中考试 高二数学 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．本试题共3页，如缺页，考生须声明，否则后果自负． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等比数列，则（ ） A. 14 B. 32 C. 16 D. 54 2. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 某公司近几年投入A款产品的年研发费用与年利润的统计数据如下表： 年研发费用 5 4 6 3 4 2 年利润 12 10 13 9 11 5 若与的回归直线方程为，则（ ） A. 2.1 B. 2.2 C. 2.3 D. 2.4 4. 数列满足，，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 5. 已知随机变量的分布如下：若，则（ ） 0 1 2 A. B. 7 C. D. 22 6. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若关于的方程 恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若为等差数列，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是数列中的项 C. 数列单调递减 D. 数列前7项和最大 10. 随机变量服从参数为的二项分布，即，其概率分布可用下图直观地表示，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为等比数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的导函数为，且，则________． 13. 一个家庭有两个孩子，生肖均为十二生肖之一（等可能）．已知其中一个孩子属马，则另一个孩子也属马的概率为________． 14. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人，则经过6次传球后，球在甲手中的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知函数在时取得极值13. （1）求，的值； （2）求在上的最大值和最小值. 16. 已知数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求． 17. 为研究高中生自主刷题与数学成绩提升的关联性，某教研机构随机抽取200名高三学生开展调查，统计数据如下表（单位：人）： 成绩显著提升 成绩未显著提升 合计 坚持自主刷题 90 30 120 未坚持自主刷题 20 60 80 合计 110 90 200 根据上述数据，解答下列问题： （1）依据小概率值的独立性检验，判断能否认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关？ （2）已知在坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.6；在未坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为0.3.现从这200名学生中随机抽取1人，发现其数学成绩为优秀，求该学生坚持自主刷题的概率. 附：，其中. 18. 已知数列的前项和为，，数列满足点在直线上. （1）求数列，的通项和； （2）令，求数列的前项和； （3）已知，求对所有的正整数都有成立的的范围. 19. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （I）用表示出； （II）若在上恒成立，求的取值范围； （III）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $