精品解析：江苏南通市如东县2025-2026学年度第二学期期中考试高二数学试题

2025~2026学年度第二学期高二年级期中考试 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置. 2．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若5名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A. 5种 B. 60种 C. 120种 D. 243种 2. 已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，且，，则线性相关程度最强的是（ ） A. 甲组 B. 乙组 C. 丙组 D. 丁组 3. 某足球联赛共有13支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，则共要进行比赛的场次数量为（ ） A. B. C. D. 4. 某厂用甲、乙两台机器生产同样的零件，它们的产量各占45%，55%．而各自的产品中废品率分别为3%，2%．则该厂这种零件的废品率是（ ） A. 1% B. 1.45% C. 2.45% D. 5% 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量分布，则其方差的最大值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 将一个各面都涂了油漆的正方体切割为27个同样大小的小正方体，经过充分搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的油漆面数为，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知x，y的取值如下表所示，由散点图分析可知y与x线性相关，且回归直线方程为 ，则（ ） x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 m A. B. 该经验回归直线必过 C. 变量x，y呈正相关 D. 可预测当时，y约为 10. 已知随机事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 11. “算两次”是指将一个量用两种方法分别算一次，由结果相等得到等式，这是一种非常有用的思想方法．如由等式知左右两侧含项的系数相等．则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中含项的系数是______. 13. 已知，，则___________． 14. 某公司团建活动中，5人围成一圈进行击鼓传花游戏，规定先由甲将花传出，每次传花时传花者等可能地传给左右相邻的人，则经过10次传花后花在甲手中的概率是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了鉴定新疫苗的效力，将60只豚鼠随机地分为两组，其中在一组接种疫苗后，两组都注射了病原菌，其结果列于下表． 发病 没发病 合计 接种 a 27 30 没接种 17 b 30 合计 20 40 60 （1）求； （2）问：能否有90%的把握认为疫苗有效？ 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16. 在的展开式中，前3项的系数成等差数列． （1）求展开式中的所有项的二项式系数和； （2）在展开式中所有项中任取2项，求这2项均为有理项（的指数为整数的项）的概率． 17. 假设某射手每次射击命中目标的概率为．现有5发子弹，该射手射中目标2次就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为． （1）求； （2）在的条件下，求该射手第2次射击射中目标的概率； （3）求的概率分布和期望． 18. 为了估计某自然保护区中一种珍稀鸟类的种群数量，生态学家采用了标记重捕法．具体操作如下：假设该鸟类的种群数量为，首先，从保护区中随机捕捉20只该种鸟类，对它们进行标记后放回保护区．经过足够长的时间，使得标记鸟与未标记鸟在种群中充分混合．然后，再次从保护区中随机捕捉50只该种鸟类，记其中被标记的鸟的数量为． （1）若，求被捕捉的50只中至少1只被标记的概率（用组合数表示）和； （2）求使得最大的的值． 19. 为了研究一种新型电子元件的稳定性，工程师对其进行压力测试．已知该元件在单次测试中正常工作的概率是，且每次测试的结果相互独立． （1）若，现对该元件进行3次测试，记正常工作的次数为，求的分布列； （2）一个测试序列由连续测试组成，直到元件首次出现故障为止．设为该序列中元件正常工作的次数，定义“稳定指数”为且，求的期望； （3）现对两个相同的元件同时进行测试，每轮对各进行一次测试．记为首次出现“恰好一个元件正常工作”总共进行的测试轮数，若，求． 参考公式：若，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期高二年级期中考试 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置. 2．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若5名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A. 5种 B. 60种 C. 120种 D. 243种 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得. 【详解】5名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项， 则每人有三种选择，则不同的报名方式有种. 2. 已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，且，，则线性相关程度最强的是（ ） A. 甲组 B. 乙组 C. 丙组 D. 丁组 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知， 所以， 因为，所以，则， 所以最大，根据相关系数概念可知，线性相关程度最强的是甲. 3. 某足球联赛共有13支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，则共要进行比赛的场次数量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由于任何两队间进行次主场比赛与次客场比赛， 所以一场比赛相当于从个不同元素中任取个元素的一个排列． 因此总共进行的比赛场次是 ． 4. 某厂用甲、乙两台机器生产同样的零件，它们的产量各占45%，55%．而各自的产品中废品率分别为3%，2%．则该厂这种零件的废品率是（ ） A. 1% B. 1.45% C. 2.45% D. 5% 【答案】C 【解析】 【详解】记事件为零件为废品，事件为甲机器生产的产品，事件为乙机器生产的产品． 则． 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，得， 令，得， 所以 ． 6. 已知随机变量分布，则其方差的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由随机变量分布，设，， 则此分布列的期望 ， 再由方差公式可得：  ， 根据二次函数的性质可知：当时​，取到最大值， 即. 7. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布的对称性即可求解. 【详解】由，可知其对称轴为：， 又，由对称性可知： 8. 将一个各面都涂了油漆的正方体切割为27个同样大小的小正方体，经过充分搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的油漆面数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出的所有可能取值为，根据涂3面油漆，2面油漆，1面油漆，0面油漆的小正方体的个数，计算取每个值时的概率，从而求出的值． 【详解】的所有可能取值为， 涂3面油漆的小正方体有8个；涂2面油漆的小正方体有12个； 涂1面油漆的小正方体有6个；涂0面油漆的小正方体有1个； 则，，，， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知x，y的取值如下表所示，由散点图分析可知y与x线性相关，且回归直线方程为，则（ ） x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 m A. B. 该经验回归直线必过 C. 变量x，y呈正相关 D. 可预测当时，y约为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据回归直线必过样本中心点求解的值，结合回归直线方程的性质依次判断选项即可. 【详解】由题可得：， ，所以 , 解得： ,故A正确； 回归直线必过样本中心点为，故B错误； 由于 ,所以变量x，y呈正相关，故C正确； 当时， ，故D正确 10. 已知随机事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用条件概率公式先求出，再结合概率加法公式、对立事件概率公式逐一计算各选项的概率，判断正误. 【详解】对于A ：根据条件概率公式 ，得​，A正确； 对于B：根据概率加法公式 ，得：​，B正确； 对于C：​，C错误； 对于D： 根据对立事件概率，​， 因此 ​，D正确. 11. “算两次”是指将一个量用两种方法分别算一次，由结果相等得到等式，这是一种非常有用的思想方法．如由等式知左右两侧含项的系数相等．则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据排列数的阶乘定义展开化简左边，整理后与右边对比，即可验证；对B，利用题目给出的算两次思想，对等式，比较两边的系数，即可验证；对C，对，比较两边的系数即可验证；对D，先利用组合数性质化简右侧求和式，再结合选项C结论对系数算两次，即可推导验证. 【详解】对于A： 左边​， 右边，显然不相等，A错误； 对于B： 对等式，比较两边的系数： 右边的系数为​；左边的系数为，由组合性质， 因此系数可化为， 等式成立，B正确； 对于C：对，比较两边的系数： 右边系数为；左边系数为， 等式成立，C正确； 对于D：利用组合恒等式​化简右侧求和：  (令 j=i−1,得)由选项C公式，，代入得： 等式成立，故D 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 展开式中含项的系数是______. 【答案】240 【解析】 【分析】先对二项式因式分解，分别写出展开式的通项，令的指数为 1 ，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】因为  ，  的展开式通项为  ，   的展开式通项为  ，其中  ， 所以  的展开式通项为  ， 由 ，可得  或  ， 因此，展开式中含 x 项的系数为 . 故答案为： 13. 已知，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查线性回归方程，代入公式即可求解. 【详解】由于， 所以 所以， 又 所以 ,故. 14. 某公司团建活动中，5人围成一圈进行击鼓传花游戏，规定先由甲将花传出，每次传花时传花者等可能地传给左右相邻的人，则经过10次传花后花在甲手中的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】设经过次传花后花在甲手中的概率是，则由题意可得，结合，，逐项计算即可得；也可求出通项公式，结合因式分解等计算技巧计算即可得. 【详解】假设与甲左右相邻的人分别为乙、丙，不相邻的两人分别为丁、戊， 设经过次传花后花在甲手中的概率是， 经过次传花后花在乙或丙手中的概率是， 则经过次传花后花在丁或戊手中的概率是， 则有，， 由，则， 故，整理得， 法一：由题意可得，，则， ，， ，， ，， ，， 故经过10次传花后花在甲手中的概率是. 法二：由，则 ， 令，解得，， 则可设， 又，，则， 解得，故， 即， 则， 由，，则，， 则， ， ， 则 ， 故，故经过10次传花后花在甲手中的概率是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了鉴定新疫苗的效力，将60只豚鼠随机地分为两组，其中在一组接种疫苗后，两组都注射了病原菌，其结果列于下表． 发病 没发病 合计 接种 a 27 30 没接种 17 b 30 合计 20 40 60 （1）求； （2）问：能否有90%的把握认为疫苗有效？ 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1），； （2）有90%的把握． 【解析】 【分析】（1）根据列联表已知数据分析可得； （2）根据题设列联表求卡方值，将其与小概率对应的临界值比较，即可判断是否有的把握认为疫苗有效. 【小问1详解】 ，． 【小问2详解】 零假设：接种疫苗与发病相互独立，即接种疫苗对预防发病无效， 由列联表知：， 根据小概率的独立性检验，有充分证据推断出不成立，故有90%的把握认为疫苗有效． 16. 在的展开式中，前3项的系数成等差数列． （1）求展开式中的所有项的二项式系数和； （2）在展开式中所有项中任取2项，求这2项均为有理项（的指数为整数的项）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二项式通项写出前三项系数，根据等差数列中项性质列方程求出的值，再由二项式系数和公式直接算出结果，完成第一问求解. （2）先根据写出通项,由有理项要求的指数为整数筛选出偶数得到有理项个数，再用组合数分别求出总取法数和有理项取两项的方法数，作比值即可得到概率. 【小问1详解】 展开式通项为：，其中. 展开式前3项系数分别为： 时，系数为； 时，系数为； 时，系数为. 由前3项系数成等差数列，得，整理得. 解得或（舍去），二项式系数和为. 【小问2详解】 时，通项为，. 有理项要求为整数，即为偶数，故，共5项有理项； 展开式总项数为项. 从9项中任取2项的总组合数：； 从5项有理项中任取2项的组合数：； 所求概率. 17. 假设某射手每次射击命中目标的概率为．现有5发子弹，该射手射中目标2次就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为． （1）求； （2）在的条件下，求该射手第2次射击射中目标的概率； （3）求的概率分布和期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用独立事件乘法公式求概率即可； （2）利用条件概率公式求解即可； （3）利用分布列来求解期望. 【小问1详解】 前2次命中目标1次，第3次命中目标，则 【小问2详解】 前3次命中目标1次，第4次命中目标，则． 记该射手第2次射击射中目标为事件，耗用子弹数为4为事件， 则． 所以． 【小问3详解】 ，，， ． 所以． 18. 为了估计某自然保护区中一种珍稀鸟类的种群数量，生态学家采用了标记重捕法．具体操作如下：假设该鸟类的种群数量为，首先，从保护区中随机捕捉20只该种鸟类，对它们进行标记后放回保护区．经过足够长的时间，使得标记鸟与未标记鸟在种群中充分混合．然后，再次从保护区中随机捕捉50只该种鸟类，记其中被标记的鸟的数量为． （1）若，求被捕捉的50只中至少1只被标记的概率（用组合数表示）和； （2）求使得最大的的值． 【答案】（1）， （2）在时取得最大值． 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布进行直接求解即可； （2）易知，再根据函数单调性解不等式可得当时，，当时，，所以在时取得最大值. 【小问1详解】 因为，所以服从超几何分布， 其中，，． ，． 【小问2详解】 当时， ． 当时，． 设，则． 由，解得， 即时，， 即时，， 所以在时取得最大值． 19. 为了研究一种新型电子元件的稳定性，工程师对其进行压力测试．已知该元件在单次测试中正常工作的概率是，且每次测试的结果相互独立． （1）若，现对该元件进行3次测试，记正常工作的次数为，求的分布列； （2）一个测试序列由连续测试组成，直到元件首次出现故障为止．设为该序列中元件正常工作的次数，定义“稳定指数”为且，求的期望； （3）现对两个相同的元件同时进行测试，每轮对各进行一次测试．记为首次出现“恰好一个元件正常工作”总共进行的测试轮数，若，求． 参考公式：若，则． 【答案】（1） 0 1 2 3 ​ ​ ​ ​ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依据二项分布概率公式，代入组合数与对应概率，依次算出随机变量取不同值时的概率，列出分布列. （2）先依据题意列出随机变量期望的无穷项表达式，提取公因式转化为无穷等比数列，利用题干给出的参考公式化简求出期望. （3）先求出单次试验对应事件的概率，将随机变量判定为几何分布，分别用错位相减、拆项变形两种方法推导期望公式，再结合已知期望数值列方程，求解并根据题意舍去不合理的解. 【小问1详解】 由题意得服从二项分布，所以 ， ， ， ． 0 1 2 3 ​ ​ ​ ​ 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 所以 【小问3详解】 记“恰好一个元件正常工作”为事件，则． 设，则， 所以． 方法一： 因为， 所以， 所以，所以． 方法二： 所以 ， 所以． 因为，所以或（舍去） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $