专题05 平行线中的5拐点模型（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

**基本信息** 聚焦平行线拐点问题，通过五大模型系统构建"作辅助线-角转化-规律归纳"的解题体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |M模型与锯齿模型|10小题|过拐点作平行线，拆分角转化为内错角/同旁内角|从基础平行线性质到单拐点角关系推导| |铅笔模型|6小题|多拐点引平行，归纳"角和=180°×(n-1)"规律|从双拐点到n拐点，体现从特殊到一般| |牛角与羊角模型|7小题|外部拐点作平行，利用外角性质转化角关系|结合三角形外角，拓展平行线性质应用| |蛇形模型|5小题|连续拐点分段作平行，建立角的和差关系|复杂路径角关系转化，培养空间观念| |多几何模型综合|14小题|模型识别+辅助线组合+动态分类讨论|融合角平分线、旋转等，提升综合推理能力|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05平行线中的5拐点模型 题型归纳·内容导航 题型1M模型与锯齿模型 题型4蛇形模型 题型2铅笔模型 题型5多几何模型综合 题型3牛角与羊角模型 题型通关·靶向提分 题型一M模型与锯齿模型（共10小题） 1,如图，AB//CD, 4-F0E,2-48,则∠B:∠p等于() B A.2:1 B.3:1 C.3:2 D.4:3 【答案】B 【详解】解：过点F作FG∥CD, C D F----- A AB∥CD, ÷.FG∥CD∥AB, 、.∠DFG=∠L,∠BFG=∠2， ∴∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠I+∠2， 同法可得：∠E=∠CDE+∠ABE, 1/73 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、.∠FDE=2L1,∠ABE=3∠2， ·.∠CDE=∠FDE+∠I=3∠I, ∠E=∠CDE+∠ABE=3(∠1+∠2) ∠E:∠DFB=3:1 故选B 2.(24-25七年级下·上海崇明阶段检测)如图，已知AB∥CD,∠A=25°，∠C=36°，那么∠AFC= 【答案】61° 【详解】解：过点F作FE∥AB,如下图： A -B E -D 则AB∥CD∥EF, :.∠AFE=∠A=25°，∠EFC=∠C=36°， ∴.∠AFC=∠AFE+∠EFC=6I°， 故答案为：61° 3.(24-25七年级下·上海崇明期末)如图， ABI∥CD 点”位于两平行线之间且在点4、C的右侧，分 ∠BAE∠DCP ∠BAP.∠DCP P…∠APC 别作 和 的平分线交于点，再分别作 和 的平分线交于点 设 的度数 是”，则< 的度数用“表示为 2/73 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -B P >P3… 1 【答案】2a P,MNI∥AB 【详解】解：如图，过点作 一B M C>P3… D MN∥AB, ∠1=∠BAP :MN∥AB,AB∥CD, ,MN∥CD, ∠2=∠DCP ∠APC=∠I+∠2=∠BAP+∠DCP ∠BAP.∠DCP 和 的平分线交于点， :同理可得∠AC=∠BR+∠DCR=(∠BR+∠DCR)=∠APC, 1 ·∠ARC=5∠ARC 2 ,∠APC=a 1 .∠AC=a 2， 同理，∠AC= 2Rc-1x11 2 2*2a= c, 3/73 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 依此类推，∠AP,C= ·∠APC的度数用a表示为2可a 故答案为：2阿0 4.如图1，点E,点G分别是AB、CD上的点，AB∥CD,过直线AB与CD之间的点F作FP∥AB,可得 ABI∥PFI∥CD 之李空 1 图2 图3 (1)请你在下面的两个结论中任选一个，完成你的证明.你选择结论 (只填序号) ①LEFG=∠BEF+∠DGF；②LEFG+∠AEF+∠CGF=360 (2)你可以直接使用(1)中的结论解决下列问题： ①如图2，AB∥CD,点M是∠AEF和∠FGC平分线的交点，∠EFG=126°，求∠EMG的度数. ②如图3，AB∥CD,GM平分LCGF，,EM⊥GM,EF平分LBEM,若LEFG比∠CGF大8°，则 ∠CGF的度数为 【详解】(1)解：选择结论①： ,AB∥CD,FP∥AB, .AB∥PF∥CD ·.∠BEF=LPFE,LDGF=∠PFG. :.∠EFG=∠EFP+∠PFG=∠BEF+∠DGF: 选择结论②： ,AB∥CD,FP∥AB, .AB∥PF∥CD, :.∠AEF+∠EFP=180°，∠CGF+∠PFG=180°， ∴.∠EFG+∠AEF+∠CGF=∠EFG+∠AEF+∠EFP+∠PFG=36O°； 4/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：①由(1)得：∠EFG+∠AEF+∠CGF=360°，∠EMG=∠AEM+∠CGM, .∠EFG=126°， .∠AEF+∠CGF=360°-126°=234°， ,点M是∠AEF和∠FGC平分线的交点， :∠AEM=)∠AER,∠CGM=)∠CGF. &∠4M+∠CGM=AEF+∠CGf)=I1. .∠EMG=117°： ②设∠CGF=x,则∠DGF=180°-x, ,LEFG比∠CGF大8°，GM平分∠CGF, 2BG-48,∠CGM=CGF=, 由(1)得：∠EMG=∠AEM+∠CGM,∠EFG=∠BEF+∠DGF, ,EM⊥GM. .∠EMG=∠AEM+∠CGM=90°， ：∠AEM=90°- 2, :∠BEM=180°-∠AEM=90°+x 1 2 :EF平分∠BEM, ∠BEF 2∠BEM=45°+ , :45°+x+180°-x=x+80 1 4 解得：x=124°， 即∠CGF=124° 故答案为：124° 5.如图，AB∥CD,定点E,F分别在直线AB,CD上，在平行线AB、CD之间有一动点P,满足 0°<∠EPF<180° 5/73 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B P 图1 图2 E B 22025 D 图3 图4 (1)试问∠AEP,∠EPF,∠PFC满足怎样的数量关系？ 解：由于点P是平行线AB、CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论；如图1，当P点在 EF的左侧时，∠AEP,∠EPF,∠PFC满足数量关系为」 一，如图2，当P点在EF的右侧时， ∠AEP,∠EPF,∠PFC满足数量关系为一—一· (2)如图3，QE,QF分别平分∠PEB和∠PFD,且点P在EF左侧. ①若LEPF=60,则∠E0F=_. ②猜想LEPF与∠EQF的数量关系，并说明理由. ③如图4，若 BEO与2DrO 的角平分线交于点， 点9.∠BE0与Dr0 Q,∠BE0:与 的角平分线交于点， ∠DFO 的角平分线交于点总，此次类推，则∠BPF与∠B0.eF 满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【详解】(1)如图1，过点P作PH∥AB, :AB∥CD,PH∥AB, .AB PHI CD. ∴.∠AEP=∠EPH,∠CFP=∠FPH, ∠EPF=∠EPH+∠FPH, .∠EPF=∠AEP+∠CFP, 6/73 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E B -----H D 图1 如图2，过点P作PH∥AB, ,AB∥CD,PH∥AB, .AB PH CD, .∠AEP+∠EPH=180°，∠CFP+∠FPH=180°， :∠EPF=∠EPH+∠FPH, .∠AEP+∠PFC+∠EPF=360°， A E B H P D 图2 故答案为：∠AEP+∠PFC=∠EPF,∠AEP+∠PFC+LEPF=360°： (2)①如图3，过点P作PH∥AB,过点O作QG∥AB, A E B G D 图3 :AB∥CD,PH∥AB, .AB PH CD, ∠AEP=∠EPH,∠CFP=∠FPH, ,∠EPF=∠EPH+∠FPH, .∠EPF=∠AEP+∠CFP, 同理：∠EOF=∠BE0+∠DFO, :∠EPF=60°， 7/73 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AEP+∠CFP=60°， ∴∠BEP+∠DFP=300°， :QE,QF分别平分LPEB和∠PFD, ∠BEQ+∠DFQ=150° ：∠E0F=150°： ②由(1)可知∠EPF+∠BEP+∠DFP=360°，∠EQF=∠BEQ+∠DF0. :QE,QF分别平分∠PEB和∠PFD, .∠BEP=2∠BE0,∠DFP=2∠DFO, ∠BEP+∠DFP=2(∠BEQ+∠DFQ)=2∠EOF ∠EPF+2∠E0F=360°： ③由(2)②知∠EPF+2∠EQF=360° ∠EPF+2∠EQF=360° 同理可证： ∠EPF+23∠EQ,F=360° ∠EPF+2226∠E020msF=360° ∠EPF+2226∠E02sF=360° 故答案为： 6.(25-26七年级下·上海阶段检测)问题探究： 如图，已知AB∥CD,我们发现∠E=∠B+∠D.我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作EF∥AB,把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF=∠B, ∠DEF=∠D 李思同学：如图③，过点B作BF∥DE,则∠E=∠EBF,再证明∠ABF=∠D, 8/73 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B.- F-->E D 图① 图② 图③ 图④ 问题解答： (1)填空：请按张山同学的思路，写出证明过程. 证明：过点E作EF∥AB .∠B=∠ .EF∥AB,AB∥CD. .EF∥CD(), .∠ =∠DEF(_), ∴.∠BEF+∠DEF=∠B+∠D, 即LBED=∠B+∠D, (2)请按李思同学的思路，写出证明过程： 证明：过点B作BF∥DE交CD的延长线于点G… 问题迁移： (3)如图@，己知AB∥CD,EF平分∠AEC,FD平分∠EDC.若LCED=3∠F,请直接写出LF的度数 【详解】(1)证明：如图②，过点E作EF∥AB, B D 图② ∴.LB=∠BEF, :EF∥AB,AB∥CD, .EF∥CD(平行于同一直线的两直线平行)， ∴.∠D=∠DEF(两直线平行，内错角相等)， ∴.∠BEF+∠DEF=∠B+∠D 9/73 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即∠BED=∠B+∠D. (2)证明：如图③，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G. F B A G D C 图③ ∴∠EDC=∠BGD,∠DEB=∠EBF, :AB∥CG, ∠BGD=∠ABF, .∠EDC=∠ABF, .∠DEB=∠EBF=∠ABE+∠ABF=∠ABE+∠EDC. (3)解：如图④中， A E ⊙ D 图④ ,EF平分∠AEC,DF平分∠EDC, .∠AEF=∠CEF,∠CDF=∠EDF, 设∠AEF=LCEF=x,∠CDF=LEDF=y, 结合(1)可得：∠F=x+y, ,∠CED=3∠F, .∠CED=3x+3y, :AB∥CD, .∠BED=∠CDE=2y, .:∠AEC+∠CED+∠DEB=180°， 10/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .5x+5y=180° 、x+y=36°， ∴.∠F=360 7.(25-26七年级下，上海期中)在综合探究课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化” 的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”· B A M-- -D 图1 图2 图3 (1)阅读理解：如图1，AB∥CD,点E、F分别为直线AB、CD上的点，点P为平行线间一点，猜想 ∠AEP、∠CFP与∠EPF之间的关系，并说明理由.阅读并补充下面推理过程： 解：∠EPF=∠AEP+∠CFP,理由如下： 过点P作MN∥AB, .∠AEP=∠EPN, AB∥CD .MN∥CD() ..LCFP=_ :.∠EPF=∠EPN+∠FPN=∠AEP+∠CFP(等量代换) ∴.∠EPF=∠AEP+∠CFP】 (2)方法运用：如图2，AB∥CD,猜想LAEP、∠CFP与∠EPF之间的关系，并说明理由： 3)深化拓展：如图3，AB∥CD,∠AEP、∠CFP的角平分线相交于点， ①过点R、P作射线EG、G交于点G,若∠AG-写A0,∠CFG=写∠CP0,∠EPF=108,求∠G的度 数： ②若AEG-∠AB0,∠CFG=∠CFg,∠EPF=P,请直接写出∠G的度数 m m (用含m、n的代数式表示) 11/73 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：∠EPF=∠AEP+∠CFP,理由如下： 如图， A E -B M---P ----…N C 过点P作MN∥AB :.∠AEP=∠EPN(两直线平行，内错角相等)， ,AB∥CD .MN∥CD(平行于同一直线的两直线平行)， .∠CFP=∠FPN, :.∠EPF=∠EPN+∠FPN=∠AEP+∠CFP(等量代换) ∴.∠EPF=∠AEP+∠CFP. (2)解：猜想∠AEP+∠CFP+∠EPF=360°，理由如下： 同理可得∠EPF=∠BEP+∠DFP, :∠AEP+∠BEP=180°，∠CFP+∠DFP=180°， ∴.∠AEP+∠BEP+∠CFP+∠DFP=360°， :.∠AEP+∠CFP+∠EPF=360°， (3)解：①同理可得∠AEP+∠CFP+∠EPF=360°. :∠EPF=108°， ∴.∠AEP+∠CFP=252° ,∠AEP与∠CFP的角平分线相交于点Q, LAEO=)∠AEP∠CFQ=∠CFP. 2 ∠ABG=∠ABQ,∠CFG=∠CFO, 3 :∠AEG=∠AEP,∠CFG=∠CFP, 6 6 2G=4o+∠crG-名4Bp+cP名Ar+∠cm)-4e, 12/73 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②如图 F A B :∠EPF=n°，∠AEP+∠CFP+∠EPF=360°， ∴∠AEP+∠CFP=360°-n°， :∠AEP与∠CFP的角平分线相交于点O, &∠AB0-Br∠CrQ-cP, 1 :∠AEG=∠ABQ,∠CFG=L∠CPQ, m m &∠ABG=∠ABP,∠CFG=L∠CFP 2m 2m ÷∠G=∠AEG+∠CFG=∠ABP+1∠CFP=360°-m9 2m 2m 2m 8.已知，MG∥NH,A,D为MG,NH上的点，E是MG,NH之间的点. M G M G M G D H 图1 图2 图3 (1)如图1，连AE,DE,探究∠GAE,∠AED,∠EDH(均指小于平角的角)间的数量关系，并说明理由. B,C AG DH (2)为射线， B,C作DEAE ∠GBF,∠HCF 上的点，分别过点作，的平行线交于F点，分别作 的 角平分线，交点为P,如图2. ①若∠AED=120°，则求∠BPC的大小. ②将射线BG沿BF所在直线翻折交线段CP于O点，如图3，若2∠CQB-∠BFC=135°，则判断BQ与NH 的位置关系，并说明理由 【详解】(1)解：∠AED+∠GAE+∠EDH=360°，理由如下： 13/73 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过点E作EK∥MG, M A G ----------K 0 H.MG∥NH ∴.EK∥MG∥NH ∴∠AEK+∠EAG=180°，∠KED+∠EDH=180° ∴.∠AEK+∠EAG+∠KED+∠EDH=360° 即∠AED+∠GAE+∠EDH=360° (2)解：①延长DE交MG于点R,延长AE交NH于点S, DE∥BF,AE∥CF ∴.∠MRE=∠ABF,∠ESN=∠FCD 有(1)知∠MRE+∠ESN+∠RES=360°， :∠RES=∠AED=120° ∴.∠MRE+∠ESN=240° .∠ABF+∠FCD=240° MR A B G E N S D H:∠ABF=180°-∠GBF,∠FCD=180°-∠FCH ∴.∠ABF+∠FCD=180°-∠GBF+180°-∠FCH=240° ∴.∠GBF+∠FCH=120 ~BP,CP分别平分∠GBF,∠FCH 4<PBF_1∠GBF,ZFi<CH 2 14/73 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠BPC=360°-（∠ABP+∠DCP) =360°-（∠ABF+∠PBF+∠FCD+∠FCP) 1 =360° 240°+∠GBF+∠FCH 2 2 =360° 240°+（∠GBF+∠FCH) =360°- 240+】1200 =360°-300°=60° ②由折叠性质得：∠GBF=∠FBQ 由题意得，∠CQB+∠AB0+∠QCD=360°，∠BFC+∠ABF+∠FCD=360° 设∠ABQ=a,∠FCD=B ∠0cD=∠rcD+80-∠rcD)=90+5PcD=0+B ∠ABF=∠AB0+080P-∠A80)=0p+4BQ=90+5a ∴2c0B=360-(480+∠0cD)=360-a+90+P ∠BFC=360°-（∠ABF+∠FCD)=360°- v2/co-cwc---w ∴.720°-2a-180°-B-360°+90°+ 0+B=1350 3 a=1350 .a=90° 即∠ABQ=90° ∴.BQ⊥MG .MG∥NH .BQ⊥NH 9.在平面内，对于<P和∠0，给出如下定义：若存在一个箭数>0)，使得P+k<0=180 则称 ∠0是∠P的“k系数平衡角”.例如，∠P=60°，∠0=20°，有∠P+6∠0=180°，则∠Q是∠P的“6 15/73 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 系数平衡角”， A- —B >G 图1 备用图 备用图 (1)【概念理解】 若∠P=110°，则∠P的“2系数平衡角”是_一； (2)【初步认识】 在平面内，AB∥CD,点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点.如图1，点G为平面内一点，连接 GE,GF,∠DFG=42°，若∠BEG是∠EGF的“5系数平衡角”，求∠EGF的度数. (3)【问题解决】 连接EF,点从、N为直线AB与直线CD间的动点（点M、N不在直线EF上），∠ABN=AEM, CFN-CFM ∠EMF是∠ENF的“3系数平衡角”，此时∠ENF的度数为— 【答案】(1)35°： (2)65°： (3)112.5°或18 【详解】(1)设∠P的“2系数平衡角”为∠Q, ∴根据题意，∠P+2∠Q=180°， :∠P=110°， .:<Q=180-∠ =35°： (2)如图，过点G作直线GT∥CD, A B T------G C D AB∥CD, .AB II CDIGT 16/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.LBEG=∠EGT,∠DFG=∠FGT. .∠EGF=∠EGT+LFGT=∠BEG+∠DFG. :∠BEG是∠EGF的“5系数平衡角”， 根据题意，∠BGr+5∠BEG=180,即<BEG=180-∠EGF 5 :∠DFG=42°， AZEG180-∠EGF+42解得GF:652 3):∠aBv-SABM,∠CFN=写∠CFM, ∴.设∠AEN=x,∠CFN=y,∠AEM=3x,∠CFM=3y. ,∠EMF是∠ENF的“3系数平衡角”， .∠ENF+3∠EMF=180°， 分类讨论：①如图，当点M、N在直线EF异侧时，过点M作直线MICD,过点N作直线NH∥CD, E A B M D ,AB∥CD .AB‖CDI MII NH, ÷∠AEN=LENH=x,∠HNF=∠CFN=y, ∠AEM+∠EMI=180°，∠CFM+∠IMF=180°， :.∠EM=180°-∠AEM=180°-3x,∠IMF=180°-∠CFM-=180°-3y, .∠ENF=∠ENH+∠HNF=x+y, ∠EMF=∠EM+∠IMF=(180°-3x)+(180°-3y)=360°-3(x+y) :∠ENF+3∠EMF=180°， :(x++3[360-3(+刃]=180°，解得：+y=125°， .∠ENF=112.5°： ②如图，当点M、N在直线EF同侧时，过点M作直线MICD,过点N作直线NH∥CD, 17/73 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D ,AB∥CD」 .ABII CDII MII NH. '∠AEN=∠ENH=x,∠HNF=∠CFN=y, ∠AEM=∠EM=3x,∠CFM=∠IMF=3y, 、.∠ENF=∠ENH+∠HNF=x+y, ∠EMF=∠EM+∠IMF=3x+3y=3(x+y) :∠ENF+3∠EMF=180°， :(x+月+3x30x+)=180 解得：术+y=18 .∠ENF=18°： ∴.综上，∠ENF为112.5°或18 10.(24-25七年级下·上海闵行·阶段检测)【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一 个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的 数量关系 M -B (2) M A -B N (3) 备用图 (1)如图(1)，AB∥CD，,E为AB,CD之间一点，连接ME,NE,得到∠MEN,试探究∠MEN与 ∠AME,∠CNE之间的数量关系，并说明理由. (2)如图(2)，若F在AB,CD之间，∠EMF=3∠BMF,NF平分∠END,∠F=2LE,求∠AME与 18/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CNE的数量关系； (3)如图(3)，射线ME从MA开始，绕M点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线NF从ND开始， 绕V点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线ME与直线NF交于P,若直线ME与直线NF相交所夹的锐角 为30 ,直接写出运动时间秒 0≤t≤14) 的值. 【详解】解：(1)过点E作EF∥AB, M A E -D (1) AB∥CD .AB∥EF∥CD, ·∠AEM=∠MEF,∠CNE=∠NEF ∴.∠AEF+∠CNE=∠MEF+∠NEF=∠MEN, 即∠MEN=∠AEF+∠CNE: (2)如图， M B E 3v 一D 设∠BMF=y,则∠EMF=3y,设LENF=x,则∠DNF=x, ∠E=∠AME+∠CNE=(180°-4y)+(180°-2x)=360°-4y-2x 由(1)知， 同理可得∠F=x+y, :∠F=2LE, .x+y=2(360°-4y-2x) .9y+5x=720° 由∠AME=1s0-4y,得y=号080-∠4ME), 19/73 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由∠CNE=180r-2x得r=080-∠CNE). 将x-号080-2CNE),y-80-∠4ME)代入9p+5x=720. 可得9∠AME+10∠CNE=540°： (3)将直线EM的点M平移与直线NF的N点重合，如图， M B E C N(M) N 根据题意得， ∠DME,=10t∠DNF=25t ∠FNE=10t 则 '直线EM与直线NF相交所夹的锐角为30°， .∠FNE,=30° ∴.∠FNE,=30° .25t-10°t=30° t=2: M B F D NM 20/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DWM,=10°t∠CNE,=25t-180° 根据题意得， :直线EM与直线NF相交所夹的锐角为30°， ∴.∠MNE=30° .∠CNE+∠MNE=∠DNM1 即25t-180°+30°=10t, .t=10; M A B D N(M) E N ∠DNM=10t∠CNE,=360°-25t 根据题意得， :直线ME与直线NF相交所夹的锐角为30°， .∠NNE,=30° ∴.∠NNE=∠DNWN-∠DWE 0°=180°-10°t-(360°-25t) 即 .t=14: 综上所述，t=2或10或14。 题型二铅笔模型（共6小题） 11.(25-26七年级下上海虹口期中)阅读并填空：如图①，己知∠B+∠E+∠D=360°，求证： AB∥CD 21/73 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A A D ① 证明：如图②， EF∥AB（己作)， .∠B+∠BEF=180° :∠B+∠BED+∠D=360°（已知）， 即∠B+∠+∠+∠D=360° ∠FED+∠D=—°. .FE∥CD .AB∥CD 【详解】证明：如图，过点E作EF∥AB, :EFAB(已作)， :.∠B+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）· :∠B+∠BED+∠D=360°（己知）， 即∠B+∠BEF+∠FED+∠D=360°. ∴.∠FED+∠D=180° “.FE∥CD(同旁内角互补，两直线平行)· ∴.AB∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行)· 12.(1)如图1,1，求∠A+∠A+∠A3= (直接写出结果) (2)如图2,1l,求∠A+∠A+∠A+∠A4= (直接写出结果) (3)如图3,1l,求∠A+∠A+∠A+∠A+∠A5= (直接写出结果) (4)如图4，ll,求∠A+∠A++∠An= (直接写出结果) A A AA A 13 Ar2 A As A (1) (2) (3) (4) 22/73 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)360°；(2)540°；(3)720°：(4)(1m-1)180° 【详解】解：(1)过点A作ABl, 1 A1 A A: (1) 2, ..A:Bll, .∠A+∠AAB=180°，∠A+∠AAB=180°， ∴.∠A+∠AAA+∠A3=∠A+LAAB+∠A3+∠AAB=180°+180°=360°， 故答案是：360°； (2)过点A作AB,过点A:作AC, 11 A B------. A A (2) 6, ..A:ClABllb, ∠A+∠AAB=180°，∠A+∠AAB=180°，∠BAA3+∠CAA2=180° .∠A+∠A1AA3+∠AA3A4+∠A4=∠A+LAAB+∠A+∠AA3B+∠BAA3+∠CA3A2 =180°+180°+180°=540°， 故答案是：540°： (3)同理可得：∠A+∠A+∠A+∠A+∠A5=180°+180°+180°+180°=720°， 故答案是：720°： (4)同理可得：∠A+∠A++∠An=(11)180°， 故答案是：(1)180 13.【问题情境】如图O,AB∥CD,∠BAP=130°，∠DCP=120°，求∠APC的度数. 小明的解题思路：过P作PE∥AB,通过平行线的性质来求∠APC的度数. 23/73 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B D -E B 0 ① ② (1)按小明的思路，求∠APC的度数. (2)【问题迁移】如图②，AB∥CD,点P在直线OM上运动，记∠PAB=a,∠PCD=B,当点P在线段BD 上（不与B、D重合）时，∠APC与，B之间有何数量关系？请说明理由. (3)【问题应用】在(2)的条件下，如果点P不在线段BD上，请直接写出∠APC与a,B之间的数量关 系 【详解】(1)解：PE∥AB .∠APE=180°-∠A=50° ABI CD. PF∥CD, .∠CPE=180°-∠C=60°， .∠APC=∠APE+∠CPE=110°： (2)解：如图②，当P在线段BD上时，∠APC=a+P,理由如下： 过点P作PF∥AB D A B 0 ② .∠FPA=∠PAB=a, AB‖CD, 24/73 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PF∥CD A∠CPF=LPCD=B, ∠APC=∠CPF+∠FPA=a+B: (3)解：当P在射线DM上时，PA交CD于G,如图③∠APC=a-P,理由如下： 过点P作PI∥AB, M G D B o ③ ∴.∠IPA=∠PAB=a AB I CD, PI∥CD, ∠IPC=∠PCD=B ∠APC=LPA-∠IPC=a-B: 当P在射线BO上时，PC交AB于H,如图④，∠APC=B-Q,理由如下： 过点P作PN∥AB, M D V-- ④ .∠NPA=∠PAB=a AB‖CD, .PN∥CD, 25/73 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠NPC=∠PCD=B ·.∠APC=∠NPC-∠NPA=B-a: 综上所述，当点P不在线段BD上（不与B、D重合）时，∠APC=a-B或∠APC=B-a 14.【感知】 (1)如图1，AB/CD,∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数.小明的思路是：过点P作 PE∥AB,通过平行线性质来求∠APC的度数.按小明的思路，易求得∠APC的度数为度： 【探究】 (2)如图2，点B,D在射线OM上，点A,C在射线ON上，AB∥CD,点P在射线OM上运动，记 ∠PAB=∠a∠PCD=∠B 当点P在B,D两点之间运动时，向/APC与”，B之间有何数量关系？诗 说明理由： 【迁移】 (3)在(2)的条件下，如果点P在线段BD外运动时（点P与点O,B,D不重合），试探究∠APC与Q, B之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选一种情形，画出图形，写出结论，并说明理由. ①点P在射线DM上： ②点P在线段OB上. A N ----------E A B PD M B D M 图1 图2 备用图 【答案】(1)110；(2)∠APC=a+P:(3)①∠APC=a-P:②∠APC=B-a 【详解】(1)解：过点P作PE∥AB, :AB∥CD, 、AB∥CD∥PE, ∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°， :∠PAB=130°，∠PCD=120°， .∠APE=180°-∠PAB=50°，∠CPE=180°-∠PCD=60°， 26/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠APC=∠APE+∠CPE=110° (2)∠APC=+B,理由如下： 如图，过点P作PE∥AB, N A O B P D M .∠1=a, :AB∥CD PE∥CD. .∠2=B ∠APC=∠1+∠2， .∠APC=a+B. (3)①如图，∠APC=a-P,理由如下： A a O B D PM 过点P作PE∥AB, .∠APE=a :AB∥CD, PE∥CD, .∠CPE=B :∠APC=∠APE-∠CPE. .∠APC=a-B ②如图，∠APC=B-a,理由如下： 27/73 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N X>a OPB D M 过点P作PE∥AB. ∠APE=a :AB∥CD, .PE∥CD, ∠CPE=B :∠APC=∠CPE-∠APE, .∠APC=B-a 15.如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度.图① 是这盏台灯的示意图.已知台灯水平放置，当灯头AB与支架CD平行时可达到最佳照明角度，此时支架 BC与水平线BE的夹角∠CBE=135°，BE川MN,两支架BC和CD的夹角LBCD=108°. 如何求此时支架CD与底座MN的夹角∠CDM的度数及灯头AB与水平线BE的夹角∠ABE的度数呢？小 明解决此问题的思路如下： 2 M M M- D D D 图① 图② 图③ (1)小明在解决问题时，过点C作CF‖川BE,则可以得到CF‖MN,其理由是 (2)如图②，根据小明的思路求∠CDM和∠ABE的度数： (3)小明在解题中发现∠CDM和∠ABE的度数永远是相等的，与∠CBE和∠BCD的度数无关.小明的说法 对吗？请结合图③说明理由 【详解】(1)解：平行于同一条直线的两直线平行： 28/73 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)； 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行： (2)解：如图，过点C作CF‖BE, B -…E .∠BCF+∠CBE=1809 ∠CBE=135°， .∠BCF=45°， .∠BCD=108° ∴∠DCF=∠BCD-∠BCF=63°， BF‖MN .CF MIN, .∠CDM=∠DCF=63°： ABI CD. .∠ABC+∠BCD=180°， ∠BCD=108°， .∠ABC=72°， ∠CBE=135° .∠ABE=∠CBE-∠ABC=63°： (3)解：对，理由如下： .CFBE ∴.∠BCF+∠CBE=I80° .∠BCF+∠CBA+∠ABE=180°， AB‖CD ∴.∠ABC+∠BCD=180° 29/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABC+∠BCF+∠FCD=18O°， ∴.∠ABE=∠FCD, .CF I MIN .∠CDM=∠DCF, .∠CDM=∠ABE, 16.(25-26七年级下·上海杨浦期中)如图1，A是直线EF上一点，C是直线GH上一点，B是直线EF、 GH之间的-点，且∠EAB+∠ABC+∠GCB=360° 图1 图2 (1)求证：EF∥GH: (2)如图2，过点C作直线CD,使∠BCD=∠BCH,且直线CD与∠FAB的平分线交于点D,若 2∠B-∠D=75°，求∠BAF的度数 【详解】(I)证明：过点B作BM∥EF,如图所示： E F M 则∠EAB+∠ABM=180° ,:∠EAB+∠ABC+∠GCB=360°，∠ABM+∠CBM=∠ABC, :∠CBM+∠GCB=360°-180°=180°， .BM∥GH, BM∥EF, .EF∥GH, (2)解：过点B作BM∥EF,过点D作DN∥EF,如图所示： 30/73 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E W----- EF∥GH, .EF∥DN∥BM∥GH. ∠DAF=∠ADN,∠CDN=∠DCH, ∴.∠ADC=∠ADN+∠CDN=∠DAF+∠DCH, 同理得：∠ABC=∠BAF+∠BCH, ,AD平分∠BAF, ·∠DAF=∠BAD= 2 ∠BAF ,∠BCD=∠BCH, :∠BCD=∠BCH=)∠DCH, :2∠ABC-∠ADC=75°， 2(∠BAF+∠BCH)-（∠DAF+∠DCH)）=75° 即2∠BAF+2∠BCH-∠DAF-∠DCH=75°， :2∠BAF+∠DCH-)∠BAF-∠DCH=75°， 3 .2 BAF=75° ,∠BAF=50° 题型三生角与羊角模型（共7小题） 17.某学校将国家非物质文化遗产一一“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如 图所示，若将图①抽象成图②的数学问题：在平面内，AB∥CD,DC的延长线交AE于点F,若 ∠BAE=75°，∠E=35°，∠DCE的度数为() 31/73 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② A.100° B.40° c.110° D.105° 【答案】C 【详解】解：：AB∥CD, ∴∠DFE=∠BAE=75°， .∠DCE=∠DFE+∠E=75°+35°=110°， 故选：C 18.“抖空竹”，这是一项极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀 璨闪耀的明珠。图1是小颖抖空竹的瞬间，小明将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，AB∥CD, E为平行线外一点，连接AE,CE.若∠A=65°，∠E=20°，则∠C的度数为() 图1 图2 A.25° B.35 C.45° D.30° 【答案】C 【详解】解：如图，过点E作EFCD,则∠C=∠CEF. D AB I CD .AB EF 32/73 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AEF=∠A=65° ∠AEC=20°， .∠CEF=∠AEF-∠AEC=45°， ∴∠C=∠CEF=45° 19.(25-26七年级下·上海虹口·期中)为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化 遗产“抖空竹”引入午间锻炼时间，小丽把它抽象成下图的数学问题.已知AB∥CD,∠EAB=80°， ∠ECD=I05°，那么∠E的度数为_ 【答案】25 【详解】解：如图，过点E作EF∥AB, B ∠EAB=80°， ∠AEF=180°-∠EAB=100° ABI CD. :CDIEF, .∠CEF+∠ECD=180°， :∠ECD=105° :∠CEF=180°-∠ECD=75°， ∴.∠AEC=∠AEF-∠CEF=100°-75°=25° 20.(2526七年级下·上海期中)抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一，明代《帝 京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上.如 图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：AB∥CD,∠BAE=95°，∠E=29°， 则∠DCE的度数为一 33/73 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 【答案】124° 【详解】解：过点E作EF∥CD, ,AB∥CD .EF∥AB∥CD ÷.∠AEF+∠BAE=180°，∠FEC+∠ECD=180°， ∠BAE=95° :∠AEF=180°-∠BAE=85°， ∴.∠CEF=∠AEF-∠CEA=56° .∠DCE=180°-∠FEC=124° 21.“抖空竹”是一项历史悠久的民俗体育活动，它凭借其独特魅力，成为我国传统文化宝库中一颗璀璨 的明珠，图1表示欢欢同学抖空竹的某一瞬间，欢欢同学将其抽象成如图2所示的数学问题：在同一平面 内，AB∥CD,若∠D=75,∠E=28°，则∠B= 图1 图2 【答案】103 【详解】解：设CD与BE相交于点F,如图， 34/73 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图2 ∠D=75°，∠E=28°， .∠CFE=∠D+∠E=75°+28°=103°， :AB∥CD, ∴.∠B=∠CFE=103° 22.己知AB∥CD,点E为AB,CD之外任意一点. B B D D C 图1 图2 (1)如图1，探究∠BED与∠B,∠D之间的数量关系，并说明理由： (2)如图2，探究∠CDE与∠B,∠BED之间的数量关系，并说明理由. 【拓展变式】如图，“抖空竹”是国家级非物质文化遗产.在“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1 抽象成一个数学问题：如图2，若AB/CD,∠EAB=70°，∠ECD=110°，则∠E= B 图1 图2 【详解】解：(1)∠B=∠BED+∠D,理由如下： 过点E作EF∥AB,则AB∥CD∥EF. 35/73 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 图1 .∠BEF=∠B,∠D=∠DEF ∠BEF=∠BED+∠DEF, .∠B=∠BED+∠D (2)∠CDE=∠B+∠BED 理由如下：过点E作EF∥AB,则AB∥CD∥EF C E 图2 ∴.∠B=∠BEF∠CDE=∠DEF :∠DEF=∠BEF+∠BED. .∠CDE=∠B+∠BED 【拓展变式】过点E作EF∥AB,则AB∥CD∥EF, E B ∠EAB=70°，∠ECD=110° ∠AEF=180°-∠EAB=110°，∠CEF=180°-∠ECD=70° ∴.∠AEC=∠AEF-∠CEF=110°-70°=40°， 故答案为：40° 23.“抖空竹”是国家级非物质文化遗产.“抖空竹”的一个瞬间如图1所示， 将图1抽象成一个数学问题： 36/73 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 D 图3 图4 AB‖CD,∠EAB=75°，∠ECD=110° (1)如图2，若 °，求<E的度数 (2)【拓展延伸】已知AB∥CD,点E为AB,CD之外任意一点. ①如图3，探究∠BED与∠B,∠D之间的数量关系，并说明理由： ②如图4，探究LCDE与∠B,∠BED之间的数量关系，请直接写出结果 【答案】(1)35° (2)①∠BED=∠D-∠B:②∠B=∠BED+∠CDE 【详解】(1)解：过点E作EFCD, B AB∥CD EFI‖CDI AB 37/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EAB+∠FEA=180°，∠ECD+∠FEC=180° ∠EAB=75,∠ECD=110 .∠FEA=180°-75°=105°，∠FEC=180°-110°=70°， :∠FEC+∠AEC=∠FEA .∠AEC=105°-70°=35°， 即∠E=35°， 故答案为：35°」 (2)①∠BED=∠D-∠B, 理由如下：过点E作EF ICD,则EF CD‖AB, B D .∠B+∠FEB=180°，∠D+∠FED=180°， ∴.∠B+∠FEB=∠D+∠FED, ,∠FEB=∠BED+∠FED, ∴.∠B+∠BED+∠FED=∠D+∠FED, .∠BED=∠D-∠B: ②∠B=∠BED+∠CDE. 理由如下：过点E作EF‖CD,则EF ICD‖AB, A D F ∴.∠B=∠FEB,∠CDE=∠FED ·.·∠FEB=∠BED+∠FED ∴.∠B=∠BED+∠FED ∴.∠B=∠BED+∠CDE 38/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四蛇形模型（共5小题） 24.(24-25七年级下·上海浦东新期中)一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯∠A的度数 为95°，第二次拐弯∠B的度数为135°，到了点C后需要继续拐弯，此次拐弯后与第一次拐弯之前的道路 平行，则∠C的度数为() B A.145° B.140° C.120° D.115 【答案】B 【详解】解：过点B作BD∥AE, E 由题意，得：AE‖CF, BD∥AE∥CF, ,∠ABD=∠A=95°，∠BCF+∠DBC=180°， ∠BCF=180°-∠CBD=180°-（∠ABC-∠ABD)=140° 故选B 25.如图，若AB∥CD,则角a,B,的关系为() A B 39/73 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.a+B+y=360° B.a-B+y=180° C.a+B+y=180° D.a+B-y=180° 【答案】D 【详解】解：过点E作EF∥AB, A B E C D:ABCD EF∥AB :.EF CD, .∠DEF=Y, .AB CD. ∴.a+∠AEF=180°， :∠AEF+∠DEF=B, a+B-∠DEF=180°， ∴.a+B-y=180° 故选：D 26.如图，AB∥DC,点E在直线AB,DC之间，连接DE,BE. D E B (1)写出∠ABE,∠BED,∠EDC之间的数量关系，并说明理由： (2)若∠EDC=21°，∠BED=2∠B,求∠B的度数： 【详解】(1)解：∠BED+∠ABE-∠EDC=180° 理由如下：过点E作EF ICD,如图， 40/73 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B ∴.∠EDC=∠DEF, AB∥CD, ∴AB∥EF, :.∠ABE+∠BEF=180°， ∴.∠BEF=180°-∠ABE. ∠BED=∠BEF+∠DEF=∠EDC+18O°-∠ABE, .∠BED+∠ABE-∠EDC=180°： (2)解：由(1)得∠BED+∠ABE-∠EDC=180°， .2∠B+∠B-∠EDC=180°， 3∠B-21°=180°， 解得∠B=67° 27如图，己知：点A、C、B不在同一条直线，AD∥BE D B E B 图① 图② 图③ (1)求证：∠B+∠C-∠A=180°： (2)如图②，AQBO分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系； 3)如图③，在(2)的前提下，且有AC∥QB,直线4犯、BC交于点P,QP1PB,直接写出 ∠DAC:∠ACB:∠CBE= 【详解】(1)在图①中，过点C作CF∥AD,则CF∥BE 41/73 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D E B 图① CF∥AD∥BE, .∠ACF=∠A,∠BCF+∠B=180°， ∴.∠ACB+∠B-∠A=∠ACF+∠BCF+∠B-∠A=∠A+180°-∠A=180°. (2)在图2中，过点O作QM∥AD,则OM∥BE --.-M D E B 图② :OM∥AD,OM∥BE :.∠AQM=∠NAD,∠BQM=∠EBQ :A0平分LCAD,B0平分∠CBE, .∠NAD-=)∠CAD,∠EB0=∠CBE &∠AQB=∠BQM-∠AQM=)ECBE-∠CAD) ∠C=180°-（∠CBE-∠CAD)=180°-2∠AQB .2∠AQB+∠C=180° (3)AC∥QB ∠A08=∠CP5C10,∠ACP=∠PB0=)∠CE 42/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ACB-ACPCBE :2LAQB+∠ACB=180°， :∠CMD=)∠CBE 2 又QP⊥PB ·.∠CAP+∠ACP=90°，即∠CAD+∠CBE=180°， .∠CAD=60°，∠CBE=120° .∠ACB=180°-（∠CBE-∠CAD)=120°， ∠DAC:∠ACB:∠CBE=60:120:120°-1：2：2， 故答案为：12：2 28.己知直线AB∥CD,P为平面内一点，连接PA、PD D B A B D D 图1 图2 图3 (1)如图1，已知∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度数： (2)如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 图3，在(2)的条件下，4PLPD,DN平分∠PDC,若ZPHN+2∠PAB=∠APD,求∠N 数 【答案】(1)80° (2)∠PAB+∠CDP-∠APD=180° (3)45° 【详解】(1)解：∠A=50°，∠D=150°， 过点P作PQ∥AB 43/73 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B O------ P D .∠A=∠AP0=50°. AB∥CD, PQ∥CD .∠D+∠DPQ=180° ÷∠DP9=180°-150°=30° .∠APD=∠APe+LDPg=50°+30°=80°， (2)解：∠PAB+∠CDP-∠APD=180°， 如图，作PQ∥AB, B D 、∠PAB=∠APg, AB∥CD, .PQ∥CD :∠CDP+∠DPe=180°，即∠DP9=180°-∠CDP, ∠APD=∠APQ-∠DPQ, ∠APD=∠PAB-(I80°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180° .∠PAB+∠CDP-∠APD=180° (3)解：设PD交AN于O,如图， B AP⊥PD, 44/73 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AP0=90°， :∠PAN+)∠PAB=∠APD, &∠PAN+5∠PAB=90e 又，∠POA+∠PAN=180°-∠AP0=90°， :∠P0A=∠PAB 2 ,∠POA=∠NOD. :∠NOD=)∠PAB 2 ,DN平分∠PDC, :∠ODN=}∠PDC ∠AND=180-2AOD-∠0DN=180-(PHB+∠PDC), 由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°， .∠PAB+∠PDC=180°+∠APD, .:∠AWD=180°- P1B+P0c)-180r-0snr+iPD)=180r-5s0+90r=45r 题型五多几何模型综合（共14小题） 29.下列结论：①如图1，AB∥CD,则∠A+∠E+∠C=180°：②如图2，AB∥CD,则∠P=∠A-∠C: ③如图3，AB∥CD,则∠E=∠A+∠I;④如图4，直线AB∥CD∥EF,点O在直线EF上，则 ∠a-LB+∠y=180°.正确的个数有（） B D 图1 图2 图3 图4 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 45/73 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解： y B 图1 图2 图3 图4 ①如图1，过点E作直线EF∥AB, :AB∥CD ∴.AB∥CD∥EF .∠A+∠1=180°，∠2+∠C=180°， .∠A+∠1+∠2+∠C=360°. ∴∠A+∠AEC+∠C=360° 故①错误； ②如图2， ∠I是△CEP的外角， ∴∠1=∠C+∠P, AB∥CD. .∠A=∠1， 即∠P=∠A-∠C, 故②正确： ③如图3，过点E作直线EF∥AB, .·AB∥CD ∴AB∥CD∥EF .∠A+∠3=180°，∠1=∠2， ∴∠A+∠AEC-∠1=180°， 即∠AEC=180°+∠1-∠A, 故③错误： ④如图4， :AB∥EF, 46/73 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠a=LBOF, CD∥EF, ∠y+∠C0F=180°， ∠BOF=LCOF+∠p, .∠COF=La-∠p, ∴.∠y+∠a-∠β=180° 故④正确： 综上结论正确的个数为2， 故选：B 30.已知AB∥CD 图1 图3 (1)如图1，当PA⊥PC时，则∠A+∠C的度数为 (2)如图2，判断∠APC,∠A,∠C之间的数量关系为： (3)如图3，设∠ABM=a,∠DNM=P,∠CDN=Y.请直接写出∠BMN的大小 (用含a、B、 ?的式子表示). 【答案】 2709 ∠APC=∠A+∠C 180°-a+B-y 【详解】解：(1)如图，过点P作P№∥AB, B DPQ∥AB ∴.∠A+∠APQ=180° PQ∥ABAB∥CD ∴PQ∥CD 47/73 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠C+∠CPQ=180° ∴.∠A+∠C+∠APQ+∠CPQ=360° PA⊥PC. ∴.∠APQ+∠CPQ=∠APC=90° .∠A+∠C=360°-90°=270°： 故答案为：270° (2)如图，过点P作PE∥AB, E--->P D:PE∥AB .∠APE=∠A, :PE‖AB,AB∥CD, .PECD, ∠CPE=LC, ∴.∠APE+∠CPE=∠A+∠C, .∠APC=∠A+∠C: 故答案为：∠APC=∠A+∠C (3)如图，过点M作G∥AB,过点N作NH∥AB, B G-52M N< 4 ---…H D :MG∥ABNH∥ABAB∥CD ∴.AB∥MG∥NH∥CD ∠ABM+∠1=180°，∠2=∠4，∠3=∠CDN, :∠ABM=a,∠DNM=B,∠CDN=y. 1=180°-a,∠3=7，∠2=∠4=∠DNM-∠3=B-y, .∠BMN=∠1+∠2=180°-a+B-Y: ”。 48/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：180°-a+B-y. 31.(1)已知：如图(a),直线DE∥AB.求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD: (2)如图(b),如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么 新的猜想？ A B B D (a) (b)C4 【详解】解：(1)证明：过点C作CFAB, y B E .AB ED, ∴ABIEDCF, ∴.∠BCF=∠ABC,∠DCF=LEDC, ∴.∠ABC+LCDE=∠BCD (2)结论：∠ABC-ZCDE=LBCD, 证明：如图： 8 D C .AB ED, 49/73 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠ABC=LBFD, 在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE, ∴.∠ABC=∠BCD+LCDE, ∴.∠ABC∠CDE=LBCD. 若点C在直线AB与DE之间，猜想∠ABC+∠BCD+∠CDE=360, A B C E D .ABlED CF, ∠ABC+∠BCF=180,∠CDE+∠DCF=180°， ∠ABC+∠BCD+∠CDE=∠ABC+∠BCF+∠DCF+∠CDE=36O 32.【感知探究】如图①，己知，AB∥CD,点M在AB上，点N在CD上.求证： ∠MEN=∠BME+∠DNE 【类比迁移】如图②，∠F、∠BMF、∠DNF的数量关系为，（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知AB∥DE,∠BAC=120°，∠D=80°，则∠ACD=· M -B A B M D CN 一DB 4 图① 图② 图③ 【详解】(1)证明：如图①，过点E作EF∥AB, 50/73 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M F----->E C D 图① 则∠MEF=∠BME, 又，AB∥CD, EF∥CD, ·.∠NEF=∠DNE ∴.∠MEN=∠MEF+∠NEF 即∠MEN=∠BME+∠DNE: (2)解：∠BMF=∠MFN+∠FND 证明：如图②，过F作FK∥AB, K--- A M D 图② .∴∠BMF=∠MFK :AB∥CD, ∴FK∥CD. ∠FND=∠KFN, ∴.∠MFN=∠MFK-∠KFN=∠BMF-∠FND, 即：∠BMF=∠MFN+∠FND 故答案为：∠BMF=∠MFN+∠FND; (3)如图③，过C作CG∥AB, ∠GCA=180°-∠BAC=60°， AB∥DE, ..CG//DE .∠GCD=∠CDE=80°. 51/73 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ACD=20°， ---- B 图③ 故答案为：20 33.(24-25七年级下·上海阶段检测)(1)问题发现： 如图1，直线AB∥CD,E是AB与CD之间的一点，连接BE、CE,可以发现∠B+∠C=∠BEC.说明理 由： (2)解决问题： 如图2，AB∥DC,∠C=120°，∠AEC=80°，请求出∠A的度数. A B 图1 图2 【详解】(1)证明：过点E作EF∥AB, D :AB∥CD,EF∥AB, ·EFICD ∴∠C=LCEF, EF∥AB, ∴.∠B=∠BEF, .LB+∠C=∠CEF+∠BEF, 即∠B+∠C=∠BEC. 52/73 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：作EF∥AB B ,AB∥CD, .EF II CD ∴.∠C+∠CEF=180°，∠BAE=∠AEF, :∠C=120°，∠AEC=80° ÷.∠CEF=180°-120°=60°，∠AEF=∠AEC-∠CEF=80°-60°=20°， .∠A=20° 34.(25-26七年级下·上海阶段检测)综合与实践 图1 图2 图3 问题背景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支 架的两边AB∥CD (1)猜想与证明：如图2，当点E在AB,CD之间时，请写出∠B,∠BED与∠D之间的数量关系，并说明 理由。 (2问题解决：如图3，点E在AB的上方，且∠BED=9O°，过点B作直线FG交直线CD于点G,使 ∠ABE=∠EBF,过点G作DE的平行线GH交EB的延长线于点H,①找出图3中的弹弓模型，直接写出 由(1)可以得到的结论.②求证：GH平分∠BGJ.(可直接使用①的结论) 【详解】(1)答：∠BED=∠B+∠D,理由如下： 过点E作EF W AB, ,∠BEF=∠B, .AB II CD. .EF I CD 53/73 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠FED=∠D, ∴，∠BEF+∠FED=∠B+∠D, ∴.∠BED=∠B+∠D: E<----F (2)①解：∠ABG=∠BOE+∠BGH,理由如下： 过点B作BM I DE, .∠BOE=∠MBO, .DE GH. .BMII GH ∴.∠BGH=∠MBG, ,∠NBO+∠MBG=∠BOE+LBGH, 即：∠ABG=∠BOE+∠BGH: B H M CD G\J ②证明：：∠BED=90°，DE‖GH, ÷.∠GHHB=180-∠BED=90°，∠HGJ=∠EDG :∠ABE=∠EBF,∠EBF=LGBH(对顶角相等)， .∠ABE=∠GBH, 90°-∠ABE=90°-∠GBH, .∠BOE=∠BGH, .AB CD. ∴∠BOE=∠EDG, ∴∠BGH=∠EDG, .∠HGJ=∠EDG, .∠BGH=∠HGW, 54/73 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即：GH平分∠BGJ 35.抖空竹是我国的传统民间游艺活动，也是国家级非物质文化遗产之一 (® D D 图1 图2 图3 通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题： (1)如图1，已知AB∥CD,∠A=150°，∠C=120°，求∠AEC的度数： (2)如图2，已知∠A=120°，∠C=140°，∠AEC=20°，求证：AB∥CD: 3)如图3，AB∥CD,点E是平面内任一点（点E不在直线AB,CD上）∠EAB=a,∠ECD=B,请直接写 出∠AEC与，B之间的数量关系.' 【详解】(1)解：如图，过点E作EF∥AB, B :AB∥CD, 、.AB∥EF∥CD,.∠AEF=180°-∠A=180°-150°=30°，∠CEF=180°-∠C=180°-120°=60°， ·∠AEC=∠AEF+∠CEF=30°+60°=90°； (2)解：如图2，过点E作EF∥AB, 55/73 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ·∠AEF=180°-∠A=180°-120°=60°， :∠AEC=20°， ∠CEF=∠AEF-∠E=60-20°=40°， ,∠C=140°， ∴.∠C+∠CEF=140°+40°=180°， .EF∥CD, 又，EF∥AB, AB∥CD: ∠AEC=a+B∠AEC=a-B∠AEC=B-a∠AEC=360°-a-B (3)解： 或 或 或 ①如图，作EF∥AB,则EF∥AB∥CD, B D .∠AEF=∠EAB=aL∠CEF=∠ECD=B ∠AEC=∠AEF+∠CEF=a+P: ②如图，作EF∥AB,则EF∥AB∥CD, B D .∠AEF=∠EAB=U∠CEF=∠ECD=B 、∠AEC=∠AEF-∠CEF=a-B: ③如图，作EF∥AB,则EF∥AB∥CD, 56/73 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B ∴.∠AEF=∠EAB=a∠CEF=∠ECD=B :∠AEC=LCEF-∠AEF=B-a&: ④如图，作EF∥AB,则EF∥AB∥CD, E B .∠AEF=180°-∠EAB=180°-a∠CEF=180°-∠ECD=180°-B ∠AEC=∠CEF-∠AEF=180°-B+180°-a=360°-a-B: ∠AEC=a+B∠AEC=a-Bn∠AEC=B-a∠AEC=360°-a-B 综上可知， 或 或 或 36.(1)如图(1)AB∥CD,猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由. (2)观察图(2)，已知AB/CD,猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由. (3)观察图(3)和(4)，己知4B∥CD,猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由. A B (1) 2 3 (4) 【详解】(1)解：猜想∠B+∠BPD+∠D=360° 理由：过点P作EF∥AB, ∴.∠B+∠BPE=180°， :AB∥CD,EF∥AB, .EF I CD ∴.∠EPD+∠D=180°， 57/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°， .∠B+∠BPD+∠D=360°： (2)∠BPD=∠B+∠D. 理由：如图，过点P作PE∥AB A B D (2) ,AB∥CD PE∥AB∥CD, .∠1=∠B,∠2=∠D ∴.∠BPD=∠I+∠2=∠B+∠D: (3)如图(3)：∠BPD=∠D-∠B. 理由：AB∥CD, C D (3) .∠I=∠D, ∠1=∠B+∠P, ∴.∠D=∠B+∠P, 即∠BPD=∠D-∠B; 如图(4)：∠BPD=∠B-∠D 理由：，AB∥CD, 58/73 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 (4) ∴.∠1=∠B, ,∠1=∠D+∠P, ∴.∠B=∠D+∠P, 即∠BPD=∠B-∠D 37已知点M是直线AB,CD所确定的平面内的一点. M B B D C 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠A=110°，∠C=120°，∠AMC=130°，AB与CD平行吗？为什么？ (2)如图2，己知AB∥CD,求出∠BMD,∠B,∠D之间的数量关系： (3)在图2的基础上，延长AB至点E,延长CD至点G,过点E作EF∥DM,连接EM,EG,且 ∠FEM=∠MEG,过点E作EN平分∠AEG交DM于点N,如图3所示.若∠BMD=30°，∠ABM=140°， 求∠MEN的度数. 【详解】(1)解：结论：AB∥CD, 理由：如图1所示，过点M作MN∥AB, 4 B M --W D 图1 :.∠A+∠AMN=180°， :∠A=110°，∠AMC=130°， 59/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AMN=70°，∠CMN=∠AMC-∠AMN=130°-70°=60°， .∠C=120°， ∴.∠C+∠CMN=120°+60°=180°， .MW∥CD. .AB∥CD: (2)结论：∠BMD=∠B-∠D, 如图2，作MN∥AB M N B A D 图2 .∠B=∠BMN, :AB∥CD, ∴.MN∥CD, ∴∠D=∠DMW, .'∠BMD=∠BMN-∠CMN. ∴.∠BMD=∠B-∠D: (3)由(2)知，∠BMD=∠ABM-∠CDM, :∠BMD=30°，∠ABM=140°，， ∴.∠CDM=110°， AB∥CD, ∠BHM=∠CDM=I10°， :EF∥DM, ∴∠BEF=∠BHM=I10°， ,'∠FEM=∠MEG, &∠MBG=)∠FEG. :EN平分∠AEG, 60/73 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠GEN=)∠AEG】 21 .∠MEN=∠MEG-∠GEW =∠FEG-∠AEG 2 2 2∠BEF ×110 1 =55° 38.【课题学习】平行线的“等角转化”. 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB,AC.求∠BAC+∠B+∠C的度数. 图1 图3 解：过点A作ED∥BC, .∠B=-,∠C= 又：∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°.· ∴.∠B+LBAC+∠C=- 【问题解决】(1)阅读并补全上述推理过程. 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC,∠B,∠C “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决。 【方法运用】(2)如图2，己知AB∥CD,BE、CE交于点E,∠BEC=80°，求∠B-∠C的度数， (3)如图3，若AB/CD,点P在AB,CD外部，请直接写出∠B,∠D,∠BPD之间的关系. 【详解】解：(1)过点A作ED∥BC ∴.∠B=∠EAB,∠C=∠DAC, 又：∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°. .∠B+∠BAC+∠C=180°， 61/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：∠EAB;∠DAC;180°： (2)过点E作EF∥AB, A R C∠ D .∠B+∠BEF=180°， ∴.∠BEF=180°-∠B, AB∥CD. ..EF I CD. .LFEC=∠C, ∠BEC=80°， ∴.∠BEF+∠FEC=80°， ,180°-∠B+∠C=80°， .∠B-∠C=100°： (3)∠BPD=∠B-∠D, 理由：过点P作PE∥CD A B D ,∠D=∠DPE, AB∥CD, ∴.AB∥PE, ∴.∠B=∠BPE, ,∠BPD=∠BPE-∠DPE, .∠BPD=∠B-∠D」 39.(2425七年级下·上海闵行阶段检测)(1)问题：如图(1)，若AB∥CD,∠AEP=40°， ∠PFD=130°，求∠EPF的度数. 62/73 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D 图(1) (2)问题迁移：如图(2)，AB∥CD,点P在AB的上方，问：∠PEA、∠PFC、∠EPF之间有何数量 关系？请说明理由. B D 图(2) (3)联想拓展：如图(3)，在(2)的条件下，己知∠EPF=a,∠PEA的平分线和∠PFC的平分线相交 于点G,用含有的式子表示∠BGF的度数.（直接写答案） F 图(3) 【答案】(1)∠EPF=90:(2)∠PrC=∠PEA+∠EPF,理由见解析：(3)∠G=2a 【详解】解：如图，过点P作PM∥AB, ∴.∠1=∠AEP=40° ,AB∥CD, ·PM∥CD ∴.∠2+∠PFD=180° .·∠PFD=130° .∠2=180°-130°=50° ∴∠1+∠2=40°+50°=90°，即∠EPF=90° 63/73 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M (2)LPFC=∠PEA+∠EPF,理由如下： 如图，过点P作PN∥AB, N B E .∠PEA=∠NPE AB∥CD, .PN∥CD .∠FPN=∠PFC. :∠FPN=∠NPE+∠FPE, .∠FPN=∠PEA+∠FPE, ∴.∠PFC=∠PEA+∠FPE, (3)如图，过点G作AB的平行线GH. G H F ·GH∥AB.AB∥CD .GHI ABII CD. ∴.∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG」 又：∠PEA的平分线EG和∠PFC的平分线FG交于点G, ∴∠HGE=∠AEG=;∠AEP,∠HGF=∠CFG=)∠CFP 2 2 由(2)得：∠CFP=∠EPF+∠AEP, 64/73 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠nGF-P+∠AEP)-e+∠aEP). ∠EoF=∠HcF-HoE-a+4E-∠HoE-=a+iEP-∠HcE-a 即∠G=2“ 40.(25-26七年级下·上海期中)己知AB∥CD,∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F,BM、DM相 交于点M 图① 图② (1)如图①，若∠BED=100°，求∠BFD的度数： 2物图g,者∠AM-<1BF,∠nM-写<cDF,∠BEDa:求∠M的度数： 3 B房乙ABM-∠ABF,∠CDM=片∠CDF,诗直接写出∠M与∠BD之间的数量关系。 【答案】(1)130° .360°-a (2)6 (3)2n∠M+∠BED=360° 【详解】(1)解：过点E向左侧作EG∥AB,过点F向右侧作FH∥AB, .∠ABE+∠BEG=180° .ABI CD, ∴.EG∥CD .∠DEG+∠CDE=180° ∴.∠ABE+∠BEG+∠DEG+∠CDE=360°， 即∠ABE+∠BED+∠CDE=360°， ∴.∠ABE+∠CDE=360°-∠BED=360°-100°=260° :∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F, 65/73 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A0F-E ZCDF-CDE BFCDFECDEBECDF)13 FH∥AB, .∠ABF=∠BFH, .AB CD. .FH∥CD, .∠CDF=LDFH, ∴.∠BFH+∠DFH=∠ABF+∠CDF=13O°， 即∠BFD=130°： B A M<G- F 图① (2)解：当∠BED=a时， 由(1)知，∠ABE+∠CDE=360°-∠BED=360°-a ∠ABF+∠CDF-(∠ABE+∠CDE)-（360-a) ∠ABM=写ABF,∠CDM-=<CDF, 4w+c0w-4r+c0-48r+c0r)-}cw-a)-3w, 3 6 由(1)可知，∠M=∠ABM+∠CDM=360°-a 6 (3)解：由(2)知，当∠BED=a时， ∠ABF+∠CDF=AB6+2CDE)-660-a). :∠ABM=∠ABF,∠CDM=∠CDF, n 66/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CFCDFFCDF)-) 2n 360°-a ∴.∠M=∠ABM+∠CDM= 2n ∴∠M=360°-∠BED 2n 即2n∠M+∠BED=360° 41.一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来构成了初中几何熟悉的拐点模型. 通用解法就是见拐点作平行线，利用和差拆分与等角转化来解决此类题. 例：如图1，己知：AM∥BN,探究∠MAP,∠NBP,∠APB三者数量关系，并说明理由. 过点P做PD∥AM,利用两直线平行内错角相等将∠APB拆分成的两个角转换成∠MAP,∠NBP,然后 通过和差得到∠MAP+∠NBP=∠APB 工作篮 M D 3 2>E 支撑平台A 图1 图2 图3 图4 【初步感知】 ()如图2，AM∥BN,则∠MAP,∠NBP,∠APB三者数量关系为一： 【学以致用】 (2)如图3，路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若∠1=30°，∠2=55°，请求出∠3的 度数： 【深入探究】 (3)如图4，一足够长的直尺与三角板斜边AB交于M,N两点(N点在M点下方)，其中直尺的边DE所在 直线与直角边AC所在的直线交于P点，FG所在直线与直角边BC所在的直线交于Q点（不与点C,B重 合)，将直尺绕着点M逆时针旋转，试探究旋转过程中∠MPC与∠NQC的数量关系，请直接写出答案. 【答案】(1)∠MAP+∠NBP+∠APB=360° 67/73 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)∠3=155° ∠MPC-90°=∠NQC∠MPC+∠NQC=270°∠MPC+∠NQC=90°∠NQC-∠MPC=90° (3) 【详解】(1)解：过点P作PC∥BN, M B :AM∥BN,PC∥BN, .∠MAP+∠APC=180°，∠NBP+∠BPC=180°， 即∠MAP+∠APC+∠NBP+∠BPC=360° ,∠APB=∠APC+∠BPC, ∴.∠MAP+∠NBP+∠APB=360° (2)解：过点E作EF∥AB, 工作篮 R3 支撑平台A :CD∥AB, ∴.CD∥AB∥EF, 、.∠3+∠DEF=180°，∠FEA=∠1=30°，∠2=∠DEF+∠FEA=55°， ∠2=∠DEF+30°=55°，解得∠DEF=25°， 则∠3=180°-∠DEF=155° (3)解：如图1所示， ,四边形DFGE是矩形， DE∥FG, .∠MPC=∠NHC, 由题意知∠ACB=90°， .∠NIHC=90°+∠NgC,即∠MPC-90°=∠NOC: 68/73 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P D 图1 如图2所示： E G M P 图2 ,四边形DFGE是矩形， .DE∥FG. ∴.∠N№C+∠PHC=180°， 由题意知∠ACB=90°， .∠MPC=∠PHC+90°， ∴.∠PHC=∠MPC-90°. .∠NQC+∠PHC=∠NQC+∠MPC-90°=180°， 解得∠N0C+∠MPC=270°： 如图3所示： D A M H E B G 图3 :四边形DFGE是矩形， 69/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DE∥FG,∠MPC=∠QHC, 由题意知∠ACB=90°， 、.∠QHC+∠N0C=90°，即∠MPC+∠N0C=90°： 如图4所示： ,四边形DFGE是矩形， ∴.DE∥FG,∠MPC=∠QHC 图4 由题意知∠ACB=90°， ∠HQC+∠QHC=90°，∠HQC+∠NQC=180° 即∠MPC+∠QHC=90°，∠QHC=90°-∠MPC, ∠HQC+∠NOC=90°-∠MPC+∠NQC=180°， 解得：∠NOC-∠MPC=90°： 综上所述：∠MPC-90°=∠NOC；∠MPC+∠N0C=270°：∠MPC+∠N0C=90°，∠NOC-∠MPC=90° 42.已知直线AB∥CD,E为平面内一点，点P,Q分别在直线AB,CD上，连接PE,EO, H A B A B A E D D Q 0 图1 图2 图3 (1)如图1，若点E在直线AB,CD之间，试探究∠BPE,∠DQE,∠PE0之间的数量关系，并说明理由. 70/73 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，若点E在直线AB,CD之间，PF平分∠APE,QF平分∠COE,当∠PE0=100°时，求 ∠PFQ的度数. (3)如图3，若点E在直线AB的上方，QF平分∠CQE,PH平分∠APE,PH的反向延长线交QF于点 F,当∠PE0=50°时，求∠PFO的度数. 【详解】(1)解：∠PE0=∠BPE+∠DQE,理由如下： 如图1，过点E作EF∥AB, B F-------E Q 图1 ∠BPE=∠PEF, ,AB∥CD,EF∥AB, ∴.CD//EF, ∴∠DQE=∠QEF, :∠PEQ=∠PEF+∠QEF. :.∠PEQ=∠BPE+∠DQE (2)解：如图2，过点F作FG∥AB, P B --G D 图2 由(1)可知，∠PEQ=∠BPE+∠DQE】 ,∠PEQ=100° 71/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BPE+∠DQE=100° :∠APE+∠BPE=180°，∠CQE+∠DQE=180° ∠APE+∠CQE+(∠BPE+∠DOE)=360° :.∠APE+∠CQE=360°-100°=260°， :PF平分∠APE,OF平分∠CQE, :∠APF=APE,∠coF-c0E, :∠APF+∠cor=3APE+3cQE=(APE+∠cQE)=IB0, ,FG∥AB, .∠PFG=∠APF, AB∥CD,FG∥AB, .CD∥FG, ∴∠QFG=LCQF, .∠PFQ=∠PFG+∠QFG=∠APF+∠CQF=130° (3)解：如图3，过点E作EG∥AB, HG P G D 9 图3 ∠PEG=LBPE, :AB∥CD,EG∥AB, ∴.EG∥CD .∠QEG=∠DQE .∠QEG-∠PEG=∠PEQ=50°， .∠DQE-∠BPE=50° :OF平分∠CQE,PH平分∠APE, 72/73 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠cor=coE.∠pE=aPE, :∠APE+∠BPE=180°，∠CQE+∠D0E=180°， A<c0r-080-∠D0E)=90-3D0E, ∠PE-080-∠BPE)=0-)∠BPE, ∠HPB=∠HPE+∠BPE=90°+ 由对顶角相等得：∠APF=∠PB=90+号BPE, 由(2)可知，∠PFQ=∠APF+∠CQF =90°+1∠BPE+900-1∠DQE 2 =180-(<DOE-∠BPE) -180°-1x509 =155°， 所以∠PF2的度数为155°. 73/73专题05 平行线中的5拐点模型 题型1 M模型与锯齿模型 题型4 蛇形模型 题型2 铅笔模型 题型5 多几何模型综合 题型3 牛角与羊角模型 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 M模型与锯齿模型 （共10小题） 1．如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海崇明·阶段检测）如图，已知，，，那么_______． 3．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为___________．    4．如图1，点，点分别是上的点，，过直线与之间的点作，可得． (1)请你在下面的两个结论中任选一个，完成你的证明．你选择结论__________（只填序号） ①；② (2)你可以直接使用（1）中的结论解决下列问题： ①如图2，，点M是和平分线的交点，，求的度数． ②如图3，，平分，，平分，若比大，则的度数为__________． 5．如图，，定点，分别在直线，上，在平行线、之间有一动点，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线、之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论；如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为________． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则________°． ②猜想与的数量关系，并说明理由． ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 6．（25-26七年级下·上海·阶段检测）问题探究： 如图，已知，我们发现．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作，把分成与的和，然后分别证明，． 李思同学：如图③，过点B作，则，再证明． 问题解答： (1)填空：请按张山同学的思路，写出证明过程． 证明：过点E作 ∴______， ∵，， ∴（______）， ∴______（______）， ∴， 即， (2)请按李思同学的思路，写出证明过程； 证明：过点B作交CD的延长线于点G…… 问题迁移： (3)如图④，已知，平分，FD平分．若，请直接写出的度数． 7．（25-26七年级下·上海·期中）在综合探究课堂上我们学习了平行线的性质，平行线具有“等角转化”的功能，“三线八角”图是研究平行线性质的“基本图形”． (1)阅读理解：如图1，，点、分别为直线、上的点，点为平行线间一点，猜想、与之间的关系，并说明理由．阅读并补充下面推理过程： 解：，理由如下： 过点作， ∴， ∵ ∴（ ） ∴ ∴（等量代换） ∴． (2)方法运用：如图2，，猜想、与之间的关系，并说明理由： (3)深化拓展：如图3，，、的角平分线相交于点， ①过点E、F作射线、交于点G，若，求的度数； ②若，请直接写出的度数 ． （用含、的代数式表示） 8．已知，，为，上的点，是，之间的点． (1)如图1，连，，探究（均指小于平角的角）间的数量关系，并说明理由． (2)为射线，上的点，分别过点作，的平行线交于F点，分别作的角平分线，交点为，如图2． ①若，则求的大小． ②将射线沿所在直线翻折交线段于点，如图3，若，则判断与的位置关系，并说明理由． 9．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数平衡角”．例如，，，有，则是的“系数平衡角”． (1)【概念理解】 若，则的“系数平衡角”是____； (2)【初步认识】 在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数平衡角”，求的度数． (3)【问题解决】 连接，点为直线与直线间的动点（点不在直线上），，．是的“系数平衡角”，此时的度数为____． 10．（24-25七年级下·上海闵行·阶段检测）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 题型二 铅笔模型（共6小题） 11．（25-26七年级下·上海虹口·期中）阅读并填空：如图①，已知，求证：． 证明：如图②，__________________， ∵（已作）， ∴（__________________）． ∵（已知）， 即． ∴． ∴（__________________）． ∴（__________________）． 12.（1）如图1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接写出结果） （2）如图2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接写出结果） （3）如图3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接写出结果） （4）如图4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接写出结果） 　　　 　　　 　　　 13.【问题情境】如图①，，，，求的度数． 小明的解题思路：过作，通过平行线的性质来求的度数． (1)按小明的思路，求的度数． (2)【问题迁移】如图②，，点在直线上运动，记，，当点在线段上（不与、重合）时，与，之间有何数量关系？请说明理由． (3)【问题应用】在（2）的条件下，如果点不在线段上，请直接写出与，之间的数量关系． 14．【感知】 （1）如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求的度数．按小明的思路，易求得的度数为 度； 【探究】 （2）如图2，点B，D在射线上，点A，C在射线上，，点P在射线上运动，记，，当点P在B，D两点之间运动时，问∠APC与，之间有何数量关系？请说明理由； 【迁移】 （3）在（2）的条件下，如果点P在线段外运动时（点P与点O，B，D不重合），试探究与，之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选一种情形，画出图形，写出结论，并说明理由． ①点P在射线上； ②点P在线段上． 15．如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 16．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图1，是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点，且． (1)求证：； (2)如图2，过点作直线，使，且直线与的平分线交于点，若，求的度数． 题型三 牛角与羊角模型 （共7小题） 17．某学校将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间，某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将图抽象成图的数学问题：在平面内，，的延长线交于点，若，，的度数为（ ） A． B． C． D． 18．“抖空竹”，这是一项极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图1是小颖抖空竹的瞬间，小明将其抽象成图2所示的数学问题：在平面内，，E为平行线外一点，连接．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26七年级下·上海虹口·期中）为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入午间锻炼时间，小丽把它抽象成下图的数学问题．已知，，，那么的度数为______°． 20．（25-26七年级下·上海·期中）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为______． 21．“抖空竹”是一项历史悠久的民俗体育活动，它凭借其独特魅力，成为我国传统文化宝库中一颗璀璨的明珠，图1表示欢欢同学抖空竹的某一瞬间，欢欢同学将其抽象成如图2所示的数学问题：在同一平面内，，若，则__________°． 22．已知，点为之外任意一点．    （1）如图1，探究与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，探究与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展变式】如图，“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．在“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，则_______________．    23.“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．“抖空竹”的一个瞬间如图1所示， 将图1抽象成一个数学问题： (1)如图2，若，求的度数． (2)【拓展延伸】已知，点为之外任意一点． ①如图3，探究与之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，探究与之间的数量关系，请直接写出结果． 题型四 蛇形模型（共5小题） 24．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为，第二次拐弯的度数为，到了点后需要继续拐弯，此次拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则的度数为（   ） A． B． C． D． 25.如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 26.如图，，点在直线，之间，连接，．    (1)写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数； 27.如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 28.已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 题型五 多几何模型综合（共14小题） 29.下列结论：①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线，点在直线上，则．正确的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．已知． （1）如图1，当时，则的度数为________； （2）如图2，判断，，之间的数量关系为________； （3）如图3，设，，．请直接写出的大小________（用含α、β、γ的式子表示）． 31.（1）已知：如图（a），直线．求证：； （2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？ 32.【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 33．（24-25七年级下·上海·阶段检测）（1）问题发现： 如图1，直线，是与之间的一点，连接、，可以发现．说明理由； （2）解决问题： 如图2，，，，请求出的度数． 34．（25-26七年级下·上海·阶段检测）综合与实践 问题背景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边． (1)猜想与证明：如图2，当点在，之间时，请写出，与之间的数量关系，并说明理由． (2)问题解决：如图3，点在的上方，且，过点作直线交直线于点，使，过点作的平行线交的延长线于点，①找出图3中的弹弓模型，直接写出由（1）可以得到的结论．②求证：平分．（可直接使用①的结论） 35．抖空竹是我国的传统民间游艺活动，也是国家级非物质文化遗产之一． 通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题： (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，已知，求证：； (3)如图3，，点是平面内任一点（点不在直线AB,CD上），请直接写出与之间的数量关系． 36.（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    37.已知点是直线，所确定的平面内的一点． (1)如图1，若，，，与平行吗？为什么？ (2)如图2，已知，求出，，之间的数量关系； (3)在图2的基础上，延长至点，延长至点，过点作，连接，，且，过点作平分交于点，如图3所示．若，，求的度数． 38.【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作， ∴_____，______， 又∵． ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 39．（24-25七年级下·上海闵行·阶段检测）（1）问题：如图（1），若，，，求的度数． （2）问题迁移：如图（2），，点在的上方，问：、、之间有何数量关系?请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线相交于点，用含有的式子表示的度数．（直接写答案） 40．（25-26七年级下·上海·期中）已知，与的角平分线相交于点F，、相交于点M． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，，，求的度数； (3)若，，请直接写出与之间的数量关系． 41．一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来构成了初中几何熟悉的拐点模型． 通用解法就是见拐点作平行线，利用和差拆分与等角转化来解决此类题． 例：如图1，已知：，探究三者数量关系，并说明理由． 过点P做，利用两直线平行内错角相等将拆分成的两个角转换成，然后通过和差得到． 【初步感知】 (1)如图2，，则三者数量关系为______； 【学以致用】 (2)如图3，路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，，请求出的度数； 【深入探究】 (3)如图4，一足够长的直尺与三角板斜边交于两点（N点在M点下方），其中直尺的边所在直线与直角边所在的直线交于P点，所在直线与直角边所在的直线交于Q点（不与点重合）．将直尺绕着点M逆时针旋转，试探究旋转过程中与的数量关系，请直接写出答案． 42．已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． $