第四章 三角形 期末压轴题专项· 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 以三角形全等为核心，整合动点分类、辅助线构造等方法，形成"概念-技巧-综合"三阶逻辑体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|18题（含格点全等、动点问题）|分类讨论（等腰边长/动点位置）、构造辅助线（角平分线截取）|从全等判定（SSS/SAS）到性质应用（面积/角度计算），结合动态问题深化空间观念| |解答题|5题（含倍长中线专题）|倍长中线法（问题解决-应用-拓展）、对称性质转化|以中线构造全等为线索，串联图形变换与最值问题，培养数学思维与创新意识|

七年级数学（北师大版）下册期末压轴题专项 第四章 三角形 一、选择题 1. 如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2. 如图，，，连接，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． （第2题图） （第3题图） （第4题图） 4. 三所学校分别记作A、B、C，体育场记作O，它是的三条角平分线的交点，O，A，B，C每两地之间有直线道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校后返回O点，则所跑路线距离最短的是（已知）（   ） A． B． C． D． 5. 下列说法：①周长相等的两个三角形全等；②面积相等的两个三角形全等；③两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）分别对应相等的两个三角形全等；④两角和其中一角的平分线（或第三角的平分线）分别对应相等的两个三角形全等；⑤两边和其中一边上的高（或第三边上的高）分别对应相等的两个三角形全等．其中正确的说法有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6. 如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 7. 如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点在线段上由点B向点运动，则点的运动速度为（   ），使得A、、三点构成的三角形与B、、三点构成的三角形全等． A． B． C．或 D．或 8. 如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，使与全等，则x的值为（    ） A．5 B．5或10 C．10 D．6或10 9. 一个等腰三角形，其中两条边长度的比是，其中一条边长度是，这个等腰三角形的周长最大可以是（   ）． A．18 B．24 C．45 D．60 10. 如图，是正方形的边上任意一点，且，则的面积是正方形面积的（    ）． A． B． C． D． 11. 等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（　　） A． B． C．或 D．或 12. 如图，在△ABC中，，．为上一点，满足，为△ABC三条角平分线的交点，则的度数为(   ) A．30° B． C．50° D．60° 二、填空题 13. 如图，△ABC的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则________秒． 14. 如图，于点，射线于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，若点E经过t秒与全等，则t的值为___________秒． 15. 如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积______． 16. 如图，在中，，P、Q分别为边AB、AC上两个动点，在运动过程中始终保持，连结和，当值达到最小时，的值为______． 17. 如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，同时停止运动．过分别作直线的垂线段，垂足分别为．设运动时间为，当与全等时，___________s． 18. 如图所示，一个大长方形被两条线段、分成四个小长方形．如果其中图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为7、4、6，那么阴影部分的面积和为________． 三、解答题 19．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为： ． 【问题应用】 （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （3） 如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量关系和位置关系，并加以说明． 20. 如图，在中，，点M是边上一个动点（不与点A、B重合），点A和点Q关于直线对称，点B和点P关于直线对称，直线与线段交于点E，连接，设． (1)若，直接写出的度数； (2)试判断点P、M、Q是否在同一条直线上？并说明理由； (3)若，，，求与的面积之和的最大值． 21. 如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 22. 如图，在中，，，，点是边的中点，，点从点出发，沿折线向终点运动，速度为每秒2个单位长度．连结．设点运动的时间为（）． (1)直接写出的面积为_______． (2)用含的代数式表示的长． (3)当时，求的值． (4)当时，求的值． 23. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起其中，，；： (1)若，则的度数为______．若，则的度数为________． (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)当，且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行 若存在，请直接写出角度所有可能的值并写明此时哪两条边平行，但不必说明理由；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．C 【详解】如图：共7个点符合. 2．A 【详解】解：， ，， 的面积， 的面积的面积， 阴影的面积的面积 3．C 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 4．A 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∴， A. OABCO的线段表示为：,     B. OACBO的线段表示为：,     C. OBACO的线段表示为：,     D. OBCAO的线段表示为：, ∴ ， ∵， ∴， 故B不符合题意； 在上截取， ∵， ∴， ∴， 又 ， ∵， ∴， 故C不符合题意； ． ， ∵， ∴， 故D不符合题意. 5．C 【详解】解；说法①：周长相等的两个三角形不一定全等，如三边分别为3、4、5和4、4、4的三角形，周长均为12但不全等，故①错误； 说法②：面积相等的两个三角形不一定全等，如底和高相同但形状不同的三角形，故②错误； 说法③：两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等，可通过构造辅助线证明全等，如延长中线倍长后利用或证明，故③正确； 说法④：两角和其中一角的平分线（或第三角的平分线）对应相等，由两角相等得三角对应相等，再结合角平分线相等，利用或可证明全等，故 ④正确； 说法⑤：两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等，但高可能落在三角形外部导致夹角不同，如两边及一边的高相等时可能形成锐角或钝角三角形而不全等，故⑤错误； 综上所述，正确的说法有③和④，共2个. 6．D 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． 综上，或. 7．D 【详解】解：设运动的时间为，点F的运动速度为， ， A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等，有两种情况： ①，， 则，， 解得：， ； ②，， 则，， 解得：，. 8．A 【详解】解：由题意得，设米，则米，米， （1）当时， 则， 即， 解得：； （2）当时， 则米， 此时所用时间x为10秒， 而米，不合题意，舍去； 综上，出发5秒后，与全等． 9．D 【详解】解：∵等腰三角形两边之比为， ∴设等腰三角形两边长为，（）， 若腰为，底边为， 此时三边为、、， ∵， ∴无法构成三角形，三角形不存在． 若腰为，底边为， 此时三边为、、， ∵， ∴可以构成三角形． 当底边时，． 腰长为． ∴此时三角形周长为． 当腰时，， 底边长为， ∴此时周长为． ∴这个等腰三角形的周长最大可以是. 10．A 【详解】解：连接，过点作于点，如图所示： 四边形是正方形， ，正方形面积为， ， ， ，， ， ， ， ， ， 的面积是正方形面积的． 11．C 【详解】解： 等腰周长为，一边长为， 当为腰长时，底边长为， 和谐比为：； 当为底边长时，腰长为， 和谐比为：． ∴ 和谐比为或． 12．B 【详解】解：如图，连接，，，在上截取，连接， ， 为的三条角平分线交点， 平分，平分，平分， ，，， ，，， ， ， ，，， ， ， . 13．或 【详解】解：①当点F在延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，． ∵， ∴，解得． ②当点F在之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，． ∵，， ∴，解得． 综上，或． 14．或或 【详解】解：根据题意，进行分类讨论如下： 当点在线段上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒） ∴的值为或或. 15． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵梯形的面积， ， ， ∴图中实线所围成的图形的面积， 16．/0.5 【详解】解：如图：过点B作，且，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点C，点E，点H三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H是的中点， ∴， ∴点P与点H重合， ∴， ∴. 17．1或或 【详解】解：由题意得， ∴， 当点在上，点第一次从上时， ∵与全等， ， ， ， 当点在上，点从上时， ∵与全等， ， ， 当点在上，点从上时， ∵与全等，， ， ， （舍）； 当点在上，点第二次从上时， ∵与全等，， ， ， 综上所述：t的值为1或或. 18． 【详解】解：如图： 设长方形面积为S，则阴影部分面积为， ∵Ⅱ、Ⅲ的面积分别为4、6， ∴ ， ∵Ⅰ的面积为7， ∴，解得：， ∴，即阴影部分面积为． 19． 解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）线段与的数量关系是：，理由如下： 延长到F，使，连接，如图所示： 则， 同（1）证明：， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）线段与的数量关系是：，位置关系是：，理由如下： 过点C作于点H，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴，． 20．（1）解：∵点B和点P关于直线对称， ∴， ∴； （2）解：点P、M、Q在同一条直线上，理由如下： ∵， ∴， ∵点B和点P关于直线对称， ∴， ∴， ∵点A和点Q关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P、M、Q在同一条直线上； （3）解：过Q作于点H，连接，设与相交于点， ∵点A和点Q关于直线对称，， ∴， ∵点A和点Q关于直线对称，点B和点P关于直线对称， ∴和关于直线对称， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当点H、D与点B重合时，QH最大值是4； ∴， 又∵， ∴， 故和的面积之和的最大值是． 21．（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）解：∵，，，，，，，， ∴， ①当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； ②当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 综上可知，点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，． 22．（1）解：∵，，， ∴. （2）∵，点是边的中点， ∴， ∵点速度为每秒2个单位长度， 当时，在上，， 当时，在上，， ∴； （3）解：∵， ∴，则在上， ∴， 解得：； （4）解：∵，点是边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 当在上时，， 解得：， ∴， 当在上时，∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：. 23． （1）解：，，  ，  ，  ．  ，，  ，  ．  （2）猜想：．  理由如下：，  又，  ，  即； （3），，，，．  理由：当时，如图1所示：  ∴， ∴； 当时，如图2所示： ∴； 当时，如图3所示： ∴ ∴；  当时，如图4所示： ∴， ∴；  当时，延长交于F，如图5所示： ∴， ∵，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $