精品解析：陕西西安市周至县第六中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

周至六中2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学试题（卷） （试卷共150分，时间为120分钟） 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则计算即可. 【详解】. 故选：A. 2. 设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】 如果两个向量共线便不能作为基底，从而找为共线向量的一组即可，可根据共面向量基本定理进行判断． 【详解】解：、是平面内所有向量的一组基底， 与，不共线，可以作为基底， 与，不共线，可以作为基底， 与不共线，可以作为基底， 与，存在实数，使得，所以和共线，不可以作为基底， 故选：． 3. 已知向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量平行的坐标关系计算求解. 【详解】因为向量，又因为， 所以， 即，解得或. 故选：C. 4. 已知在四边形ABCD中，则四边形ABCD一定是（　　） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量减法法则判断即可. 【详解】由，可得， 所以四边形一定是平行四边形. 故选：A 5. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，即，利用正弦定理求出的值，即可得出的大小. 【详解】在中，因为，，，且，故， 由正弦定理可得， 又因为，故或. 故选：D. 6. 已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由投影向量的概念求解即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为：， 故选：B 7. 如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图，其中，梯形的面积为30，则梯形的高为（ ） A. B. 10 C. D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】求得直观图的高，再结合直观图与原图线段关系即可求解. 【详解】因为， 梯形的面积为30， 所以梯形的高为， 设与轴的交点为， 即到轴的距离为5， 易得， 所以梯形的高为． 故选：C 8. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】用正、余弦定理进行边角互化解题即可. 【详解】解：，可得， 由余弦定理可得，整理可得：，即， 所以或，即或 ∴的形状是等腰或直角三角形. 故选：C 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【详解】向量不能比较大小，A错误； 表示向量大小相等，方向相同，所以，B正确； 若，则不能推出，C错误； 根据平面向量相等的定义，D正确． 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B，利用单位向量的定义计算可判断；对于C，利用向量投影向量的坐标公式求解判断；对于D，利用两向量夹角为锐角的充要条件列方程组求解可判断. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，与共线的单位向量， 同向的单位向量为，故B正确； 对于C，在上的投影向量为， 故C正确； 对于D，因， 则， 由与的夹角为锐角，可得：， 解得且，故D错误. 11. 已知分别为△ABC内角的对边，下面四个结论正确的是（    ） A. 若，则 B. 在锐角△ABC中，不等式恒成立 C. 若，且△ABC有两解，则的取值范围是 D. 若，则△ABC为锐角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正弦定理、三角函数单调性、三角形解的个数条件及余弦定理的变形，对各选项逐一分析判断. 【详解】对于A，由正弦定理，得，. 由可得，故A正确； 对于B， 在锐角三角形中，由，可得，即， 由于正弦函数在上单调递增，故，故B正确； 对于C， 过作射线的垂线，垂足为，如图， 若，且有两解，则，即，故C正确； 对于D，将不等式变形为，则 化简得，由正弦定理，可得， 再由余弦定理，，可知角为锐角， 但仅此不等式不能保证该三角形为锐角三角形，例如，取，， 由，，可知不等式成立，但三角形为钝角三角形，故D错误. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥轴截面等腰三角形特征求出圆锥的高和底面圆半径，再利用圆锥体积公式计算作答 【详解】因圆锥的轴载面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形， 则此等腰三角形底边上的高即为圆锥的高， 因此，圆锥底面圆半径， 所以圆雗的体积为. 故答案为： 13. 如图，在中，向量，且，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用图形关系进行平面向量的线性运算求出，即可得出结果. 【详解】由题意知， ， 所以， 所以， 则， 故. 故答案为：1. 14. 内角的对边分别为，若的面积为，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理可得，根据条件结合三角形的面积公式可得从而可得答案. 【详解】由余弦定理可得，所以 的面积为 所以 即，由 所以 故答案为： 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数，为虚数单位，为实数． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的概念可得出关于的等式与不等式，进而可求得实数的值； （2）根据条件得出该复数的实部和虚部都为正数，则可得出关于实数的不等式组，进而求解即可． 【小问1详解】 由复数为纯虚数，得，解得. 【小问2详解】 因为复数在复平面内对应的点位于第一象限， 所以，解得， 即的取值范围为． 16. 已知向量与的夹角为，且，. （1）求的值； （2）求向量与的夹角. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积公式先求，再通过模的平方公式计算； （2）先计算与的数量积及，再结合夹角公式求解夹角. 【小问1详解】 . ， 故. 【小问2详解】 . ， 故. 设向量与的夹角为， 则， 又， 故. 17. 如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，如果圆柱的体积是，底面直径与母线长相等. （1）求圆柱的侧面积； （2）求三棱柱的体积. 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）设底面半径为r，则母线长为2r，由V圆柱=πr2•2r=2π，求出r=1，由此能求出该圆柱的侧面积； （2）因为△ABC为正三角形，底面圆的半径为1，所以可得边长AB=，利用三棱柱的体积，即可得解. 试题解析： （1）设底面圆的直径为，由题可知 ∴∴圆柱的侧面积 （2）因为△ABC为正三角形，底面圆的半径为1， ∴可得边长AB=∴三棱柱的体积 18. 记的内角，，的对边分别是，，，已知． （1）求角； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件，利用正弦定理角化边可得，再根据余弦定理即可求解； （2）由余弦定理求得的值，再利用三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为. 所以，整理得. 所以. 因为，所以. 【小问2详解】 已知，，， 由余弦定理得， 化简得，解得或（负值舍去），所以. 所以. 19. 如图，在等腰梯形中，，，，，分别是，的中点. （1）求； （2）点在边上，若，求； （3）若为梯形所在平面内的一点，且，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3）1. 【解析】 【分析】如图建立以为坐标原点，所在直线为轴的平面直角坐标系 （1）求出坐标，据此可得答案； （2）设，由可得，然后可得； （3）设，则，，由，可得，据此可得的最小值. 【小问1详解】 以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，，. ，； 【小问2详解】 设，则. 因为，所以， 即，解得. 所以，，； 【小问3详解】 设，则. ，，，. 因为，所以，即. .当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 周至六中2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学试题（卷） （试卷共150分，时间为120分钟） 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 复数（ ） A. B. C. D. 2. 设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 已知向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 或 4. 已知在四边形ABCD中，则四边形ABCD一定是（　　） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 5. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ） A. B. C. D. 或 6. 已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形的直观图，其中，梯形的面积为30，则梯形的高为（ ） A. B. 10 C. D. 20 8. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与同向的单位向量为 C. 在上的投影向量为 D. 若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 11. 已知分别为△ABC内角的对边，下面四个结论正确的是（    ） A. 若，则 B. 在锐角△ABC中，不等式恒成立 C. 若，且△ABC有两解，则的取值范围是 D. 若，则△ABC为锐角三角形 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥的体积为__________. 13. 如图，在中，向量，且，则______. 14. 内角的对边分别为，若的面积为，则_________ 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数，为虚数单位，为实数． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围． 16. 已知向量与的夹角为，且，. （1）求的值； （2）求向量与的夹角. 17. 如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，如果圆柱的体积是，底面直径与母线长相等. （1）求圆柱的侧面积； （2）求三棱柱的体积. 18. 记的内角，，的对边分别是，，，已知． （1）求角； （2）若，，求的面积． 19. 如图，在等腰梯形中，，，，，分别是，的中点. （1）求； （2）点在边上，若，求； （3）若为梯形所在平面内的一点，且，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $