2025-2026学年下学期北师大版数学八年级第二次月考质量监测试题【范围：八年级下册第1章-第5章】

**基本信息** 八年级下学期第二次月考数学试卷，以北师大版1-5章为范围，通过芦笙文化、快递效率等真实情境，设置选择、填空、解答三级梯度，考查因式分解、几何变换等知识，融合数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|因式分解、平移、分式变形|结合微信表情考平移，体现几何直观| |填空题|6/18|坐标变换、不等式整数解|分式方程无解问题，考查运算能力| |解答题|8/72|几何作图、旋转证明、应用题|芦笙单价应用题（模型意识），“优美数”新定义（创新思维）|

八年级下学期第二次月考质量监测试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 【测试范围：八年级下册第1章-第5章】（北师大版2024） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.下列由左边到右边的变形，是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： A、，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、，不是整式乘积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、，是因式分解，故本选项符合题意； D、不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意． 2.下列各组微信表情中，能通过互相平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.图形可通过互相旋转得到的，故不符合题意； B. 图形可通过互相轴对称得到的，故不符合题意； C. 图形可通过互相旋转得到的，故不符合题意； D. 图形可通过互相平移得到的，故符合题意； 3．分式从左至右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、；故A选项符合题意； B、等式不总是成立，如：当，时，，，即；故B选项不符合题意； C、，故C选项不符合题意； D、根据分式的基本性质，乘以分式分子和分母的整式不能为零，当时，，此时满足此条件，故D选项不符合题意； 4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】∵解不等式得：x＞1， 解不等式得：x＜-2， 在数轴上表示为： ， ∴不等式组无解， 5．如图，将沿方向平移得到，下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将沿方向平移得到， ∴，，，，， 和不一定相等． 6．如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：图中剩余部分的面积等于两个正方形的面积之差，即， 剩余部分通过割补拼成的长方形的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴， 7．已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（　　） 甲：可化为最简分式；乙：当时，． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】C 【详解】解：， 当时，，此时，原分式无意义， 只有甲正确． 8．一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：由题意可得：， ，故①符合题意； 如图，，， ， ， 与不平行，故②不符合题意； ，， ， ∴，故③符合题意； 如图，当时， ， ， ， ， ，故④符合题意； 9．芦笙，为西南地区苗、瑶、侗等民族的簧管乐器．发源于中原，后传入少数民族地区，其前身为汉族的竽．在贵州各地少数民族居住的村寨，素有“芦笙之乡”“歌舞之乡”的称誉，是少数民族特别喜爱的一种乐器之一．已知A型芦笙比B型芦笙的单价低20元，用2700元购买A型芦笙与用4500元购买B型芦笙的数量相同，设B型芦笙的单价为x元，根据题意列出正确的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设B型芦笙的单价为x元，则A型芦笙的单价为元， 根据题意可得． 10． 如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点分别落在点处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去．若点，则点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点 ∴ 的横坐标为6，且， 的横坐标为， …… ∴的横坐标为，纵坐标为 点的横坐标为，点的纵坐标为2，即的坐标是， 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．在直角坐标系中，将点先向下平移3个单位，再向左平移5个单位得到点．若点的横坐标与纵坐标互为相反数，则 ． 【答案】2 【详解】解：∵将点先向下平移3个单位，再向左平移5个单位得到点． ∴，即， ∵点的横坐标与纵坐标互为相反数， ∴， 解得 故答案为：2 12.关于x的不等式组恰好有5个整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：， 由①解得：， 由②解得：， 故不等式组的解集为， 由不等式组的整数解有5个，得到整数解为2，3，4，5，6， ∴， 则的范围为．， 故答案为： 13．如果两数满足，那么 ． 【答案】16 【详解】解：， ①②，得， ∴， ②①，得， 则， 故答案为：． 14．若关于x的分式方程无解，则实数m的值为 ． 【答案】或2 【解析】解：， 方程两边都乘以， 得：， 整理，得：， ∵关于x的分式方程无解， ∴①整式方程无解，即，解得：； 当时，此时方程为，方程不成立，故不是增根； ②当产生增根，当时，此时，解得：； ∴或 2 ． 故答案为：或2 15．某快递公司为快递员更换了更便捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周4000件提高到5600件，平均每人每周比原来多投80件，若快递公司的快递员人数不变，则现在平均每人每周投递的快件数为______． 【答案】280件 【详解】解：设原来平均每人每周投递快件数为件，则现在为件，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴现在平均每人每周投递快件数为（件）． 故答案为：280件 16．如图，C为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边△ABC和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下七个结论：①；②；③；④；⑤；⑥平分；⑦平分．恒成立的结论有 ．（选填序号） 【答案】①②③⑤⑥ 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，结论①正确． ， ， 又， ， ， 在和中，， ， ，结论③正确； 又， 为等边三角形， ， ，结论②正确． ， ， ， 结论⑤正确． 没有条件证出，④错误； 过点作于，于， ， ，， ， ， 平分， 故⑥正确，符合题意； ，，， 不能说明与全等， ， 故⑦错误，不符合题意 综上，可得正确的结论有5个：①②③⑤⑥． 故答案为：①②③⑤⑥ 三．解答题（本题共8小题，共72分，17-21，每题8分，22-23，每题10分, 24题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（1）因式分解：mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）． （2）解分式方程： 【答案】（2）m（m﹣n）（n+1）；（2）． 【详解】解： （1）mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）． ＝mn（m﹣n）+m（m﹣n） ＝m（m﹣n）（n+1）； （2） 解： 方程两边乘以， 得， 整理得，， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 18．先化简，再求值：，其中x＝． 【答案】， 【详解】解：， =， =， =， =， =， =， = 当 x＝时，原式=． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上．    (1)将沿轴方向向左平移3个单位后得到，画出 ．并写出顶点的坐标； (2)将绕顺时针旋转后得到，画出．并写出顶点的坐标； (3)在轴上作一点，使最小，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3)图见解析， 【详解】（1）解：如图，即为所求；由图可得，点的坐标为；    （2）解：如图，即为所求；由图可得，点的坐标为； （3）解：如图，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， 此时，为最小值，则点即为所求； 由图可得，点的坐标为． 20．如图，在中，，将绕点A沿顺时针旋转得到，与交于点F． 求证：； 【答案】见解析 【详解】证明：连接． 将绕点沿顺时针旋转得到， ，，， ， 又， ， ． ． ，， ． ． 在和中， ， ． 21．随着人们环保意识的增强，混动汽车也成了广大消费者的宠儿．某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为70元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多元．求汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？ 【答案】汽车行驶中每千米用电费用是元，甲、乙两地的距离是100千米 【详解】解：设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为元， 甲、乙两地的距离是千米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：汽车行驶中每千米用电费用是元，甲、乙两地的距离是100千米 22．若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：因为，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解； 再如：也是“优美数”．∵（其中x，y是正整数），所以M也是“优美数”， 与y是M的一个平方差分解． (1)判断：27是否是“优美数”，如果是，请写出27的所有平方差分解；如果不是，请说明理由． (2)设两个连续正奇数为和（其中n是正整数），由它们构成的“优美数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (3)已知（x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“优美数”，请写出一个符合条件的一个k值 ． 【答案】(1)27是“优美数”， 14与13，6与3都是27的平方差分解 (2)能，见解析 (3) 【详解】（1）解：27是“优美数”， ∵， ， ∴27是“优美数”，14与13，6与3都是27的平方差分解； （2）解： ， ∵能被8整除， ∴由它们构成的“优美数”能被8整除； （3）解：∵ ； ∴当时，为“优美数”，此时， 故当时，N为“优美数”． 23．某中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元． （1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？ （2）学校决定再次购进A，B两种品牌的足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果学校此次购买A、B两种品牌的足球总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有几种购买方案？ 【答案】（1）购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元． （2） 学校购买足球有三种方案： 方案一：购买A种足球25个，B种足球25个； 方案二：购买A种足球26个，B种足球24个； 方案三：购买A种足球27个，B种足球23个． 【小问1详解】 解：设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元， 依题意得：，解得：． 答：购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元． 【小问2详解】 解：设第二次购买A种足球m个，则购买B种足球（50﹣m）个， 依题意得：， 解得：25≤m≤27． 故这次学校购买足球有三种方案： 方案一：购买A种足球25个，B种足球25个； 方案二：购买A种足球26个，B种足球24个； 方案三：购买A种足球27个，B种足球23个． 答：学校在第二次购买活动中最多需要3150元资金． 24．（1）一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，点M，N在斜边上，，，，你能求出的长度吗？ 小清通过观察，分析，思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，显然，连接；求出的长度； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，显然，连接，求出的长度； 请参考小清的思路，任选一种写出完整解答过程． （2）【类比探究】如图2，在等边中，点、在边上，，，，求的长．（直接写出答案）    【答案】（1）；（2）． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，    ∴，连接， 则：，，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中：； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，    ∴，连接， 则：，，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中：； （2）∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， 将绕点C逆时针旋转，得到，    ∴，连接， 则：，，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 作交的延长线于点， ∵， ∴，， ∴，， 设，则，， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴． 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下学期第二次月考质量监测试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 【测试范围：八年级下册第1章-第5章】（北师大版2024） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.下列由左边到右边的变形，是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 2.下列各组微信表情中，能通过互相平移得到的是（    ） A． B． C． D． 3．分式从左至右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5．如图，将沿方向平移得到，下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 7．已知，关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（　　） 甲：可化为最简分式；乙：当时，． A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 8．一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 9．芦笙，为西南地区苗、瑶、侗等民族的簧管乐器．发源于中原，后传入少数民族地区，其前身为汉族的竽．在贵州各地少数民族居住的村寨，素有“芦笙之乡”“歌舞之乡”的称誉，是少数民族特别喜爱的一种乐器之一．已知A型芦笙比B型芦笙的单价低20元，用2700元购买A型芦笙与用4500元购买B型芦笙的数量相同，设B型芦笙的单价为x元，根据题意列出正确的方程是（   ） A． B． C． D． 10． 如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点分别落在点处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去．若点，则点的坐标是(   ) A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．在直角坐标系中，将点先向下平移3个单位，再向左平移5个单位得到点．若点的横坐标与纵坐标互为相反数，则 ． 12.关于x的不等式组恰好有5个整数解，则m的取值范围是 ． 13．如果两数满足，那么 ． 14．若关于x的分式方程无解，则实数m的值为 ． 15．某快递公司为快递员更换了更便捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周4000件提高到5600件，平均每人每周比原来多投80件，若快递公司的快递员人数不变，则现在平均每人每周投递的快件数为______． 16．如图，C为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边△ABC和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下七个结论：①；②；③；④；⑤；⑥平分；⑦平分．恒成立的结论有 ．（选填序号） 三．解答题（本题共8小题，共72分，17-21，每题8分，22-23，每题10分, 24题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（1）因式分解：mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）． （2）解分式方程： 18． 先化简，再求值：，其中x＝． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上．    (1)将沿轴方向向左平移3个单位后得到，画出 ．并写出顶点的坐标； (2)将绕顺时针旋转后得到，画出．并写出顶点的坐标； (3)在轴上作一点，使最小，并写出点的坐标． 20．如图，在中，，将绕点A沿顺时针旋转得到，与交于点F． 求证：； 21． 随着人们环保意识的增强，混动汽车也成了广大消费者的宠儿．某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为70元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多元．求汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？ 22．若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：因为，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解； 再如：也是“优美数”．∵（其中x，y是正整数），所以M也是“优美数”， 与y是M的一个平方差分解． (1)判断：27是否是“优美数”，如果是，请写出27的所有平方差分解；如果不是，请说明理由． (2)设两个连续正奇数为和（其中n是正整数），由它们构成的“优美数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (3)已知（x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“优美数”，请写出一个符合条件的一个k值 ． 23．某中学开学初到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元． （1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？ （2）学校决定再次购进A，B两种品牌的足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果学校此次购买A、B两种品牌的足球总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校有几种购买方案？ 24．（1）一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，点M，N在斜边上，，，，你能求出的长度吗？ 小清通过观察，分析，思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，显然，连接；求出的长度； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，显然，连接，求出的长度； 请参考小清的思路，任选一种写出完整解答过程． （2）【类比探究】如图2，在等边中，点、在边上，，，，求的长．（直接写出答案）    2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $