专题02 计数原理与概率统计 3大高频考点（期末真题汇编，山东专用）高二数学下学期

**基本信息** 该试卷为高中数学计数原理与概率统计专题汇编，精选山东各地市期末试题，覆盖计数原理、概率、统计三大高频考点，注重真实情境应用与能力梯度设计，适配高二期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|39|排列组合、二项式定理、随机事件概率、相关系数|结合春节非遗、AI工具等时代情境，如民俗表演节目排序、电商推送概率模型| |多选题|23|二项式系数性质、独立性检验、回归分析|设置杨辉三角性质探究、莱布尼茨三角形等文化素材题| |填空题|19|涂色问题、数字密码排列、残差计算|融入十进制转二进制、疫苗检验等科学情境| |解答题|54|二项式定理应用、随机变量分布列、回归方程预测|设计分层抽样、独立性检验等综合题，如环保绿化与PM2.5浓度关联分析|

专题02 计数原理与概率统计 3大高频考点概览 考点01计数原理 考点02概率 考点03统计 地 城 考点01 计数原理 一、单选题 1．（2025高二下·山东威海·期末）用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数的个数为（   ） A．48 B．36 C．24 D．18 2．（2025高二下·山东聊城·期末）的展开式中的系数为（    ） A．75 B．135 C．180 D．195 3．（2025高二下·山东聊城·期末）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 4．（2025高二下·山东聊城·期末）将2本不同的漫画书和2本不同的科技书全部分给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少1本，若不分给甲漫画书，则不同的分配方案共有（    ） A．36种 B．24种 C．14种 D．12种 5．（2025高二下·山东聊城·期末）的展开式的二项式系数和为（    ） A．1 B．5 C．16 D．32 6．（2025高二下·山东菏泽·期末）用1，2，3组成三位数，数字最多用次，其中，则满足条件的三位数个数是（   ） A．15个 B．18个 C．19个 D．27个 7．（2025高二下·山东菏泽·期末）（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 8．（2025高二下·山东临沂·期末）已知A、B、C、D四个同学站成一排，要求和不相邻，不站两端，则不同排法的种数是（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 9．（2025高二下·山东东营·期末）5名同学分成两组参加志愿服务活动，其中甲、乙不同组的分法种数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．（2025高二下·山东东营·期末）（   ） A．25 B．35 C．70 D．1050 11．（2025高二下·山东滨州·期末）由数字0，1，2组成的五位数中，满足“0恰好出现两次”或“1恰好出现两次”的所有五位数的个数为（    ） A．86 B．104 C．128 D．130 12．（2025高二下·山东滨州·期末）被8除的余数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．7 13．（2025高二下·山东枣庄·期末）用1，4，7，10中的任意一个数作分子，2，5，9，11中任意一个数作分母，可构成的不同真分数的个数为（   ） A．9 B．10 C．14 D．16 14．（2025高二下·山东青岛·期末）二项式展开式的第3项的系数为（   ） A．21 B．35 C．42 D．70 15．（2025高二下·山东济南·期末）由若干根相同的木棍组成如图所示的长方体框架，一只蚂蚁从点P出发，沿木棍爬行到点Q的最短路径有（   ）    A．15种 B．30种 C．48种 D．60种 16．（2025高二下·山东济南·期末）的展开式中，常数项为（   ） A．2 B．4 C．6 D．12 17．（2025高二下·山东济南·期末）用1，2，3，4这四个数能够组成无重复数字的三位数的个数为（   ） A．9 B．12 C．16 D．24 18．（2025高二下·山东临沂·期末）的展开式中的常数项是（    ） A．12 B．8 C． D． 19．（2025高二下·山东青岛·期末）2024年12月4日，我国“春节”正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．某地为迎接春节的到来，举行了舞龙舞狮、铁水火龙、高跷秧歌、花灯猜谜、庙会祭祖五个民俗表演活动．若甲、乙、丙3人参加此次表演活动，且每人只选择一个活动参加，则3人中至多有2人所选活动相同的情况共有（    ） A．64种 B．90种 C．120种 D．180种 20．（2025高二下·山东潍坊·期末）如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（    ）    A． B． C． D． 21．（2025高二下·山东潍坊·期末）有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（   ） A．1440种 B．1560种 C．1920种 D．5760种 22．（2024高二下·山东威海·期末）甲、乙两所学校从个研学基地中各自选择个进行研学活动，则这两所学校选择的研学基地中恰好有个相同的选法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 23．（2024高二下·山东聊城·期末）甲、乙、丙、丁4名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，若甲、乙两名同学不听同一个讲座，则不同选择的种数是（    ） A．30 B．36 C．54 D．60 24．（2024高二下·山东临沂·期末）某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有（    ） A．24 B．36 C．40 D．48 25．（2024高二下·山东烟台·期末）从6名大学毕业生中任选3名去某中学支教，不同选派方法的总数为（    ） A．12 B．18 C．20 D．120 26．（2024高二下·山东枣庄·期末）将座位号为1，2，3，4的四张电影票分给甲、乙两人，每人至少一张.若分给同一人多张票，则必须连号，那么不同的分法种数为（    ） A．6 B．9 C．14 D．20 27．（2024高二下·山东济南·期末）大明湖是济南三大名胜之一，素有“泉城明珠”之美誉，自2017年1月1日起全面向社会免费开放.景区有东南西北4个大门，每个大门进去都有不同景致，小明从一个门进，另一个门出，则不同进出方式的种数为（    ） A．7 B．8 C．12 D．16 28．（2024高二下·山东菏泽·期末）在的展开式中，的幂指数是整数的各项系数之和为（    ） A． B． C． D． 29．（2024高二下·山东菏泽·期末）从标有的6张卡片中任取4张卡片放入如下表格中，使得表中数字满足，则满足条件的排法种数为（    ） A．45 B．60 C．90 D．180 30．（2024高二下·山东菏泽·期末）若能被25整除，则正整数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 31．（2024高二下·山东滨州·期末）已知 ，小明在设置银行卡的数字密码时，打算将 的前6位数字1，4，1，4，2，1进行某种排列得到密码．如果排列时要求三个1不相邻，两个4也不相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为（    ） A．6 B．7 C．10 D．12 32．（2024高二下·山东淄博·期末）在的展开式中，含的项的系数为（    ） A． B．280 C．560 D． 33．（2024高二下·山东淄博·期末）某志愿者小组有5人，从中选3人到A、B两个社区开展活动，其中1人到社区，则不同的选法有（    ） A．12种 B．24种 C．30种 D．60种 34．（2024高二下·山东青岛·期末）的展开式中常数项为（    ） A．544 B．559 C．495 D．79 35．（2024高二下·山东泰安·期末）中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 36．（2025高二下·山东泰安·期末）小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数…的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为（    ） A．24 B．16 C．12 D．10 37．（2025高二下·山东潍坊·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 38．（2025高二下·山东潍坊·期末）的展开式中的系数是（    ） A．126 B．125 C．96 D．83 39．（2025高二下·山东潍坊·期末）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 A．12种 B．18种 C．36种 D．54种 二、多选题 40．（2025高二下·山东菏泽·期末）已知，则（   ） A．的值为 B．的值为30 C．的值为 D． 41．（2025高二下·山东泰安·期末）已知的展开式中，第三项与第十一项的二项式系数相等，则下列选项正确的是（   ） A． B．所有项系数的和为1 C．二项式系数最大的项为第6项 D．有理项共有3项 42．（2025高二下·山东淄博·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D．的个位数字是9 43．（2025高二下·山东济南·期末）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则（   ） A． B．含项的系数为15 C．各二项式系数和为64 D．各项系数和为64 44．（2025高二下·山东潍坊·期末）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论正确的是（   ）    A．第20行中最大的数是第11个数 B．第20行中从左到右第18个数与第19个数之比为6：1 C．记第20行的第个数为，则 D．第四斜行的数：1，4，10，20，…，构成数列，则数列的前项和为 45．（2025高二下·山东青岛·期末）已知，则（    ） A．的值为2 B．的值为 C．的值为 D．当时，除以11的余数为10 46．（2024高二下·山东烟台·期末）设数列满足下列条件：，且当时，.记项数为的数列的个数为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 47．（2024高二下·山东枣庄·期末）下列有关排列数、组合数的等式中，其中，，，正确的是（    ） A． B． C． D． 48．（2024高二下·山东济南·期末）的展开式，下列说法正确的是（    ） A．展开式共有7项 B．展开式的二项式系数的和为128 C．展开式中的系数为14 D．展开式中第3项或者第4项的二项式系数最大 49．（2024高二下·山东滨州·期末）已知在 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（    ） A．n=6 B．展开式中含的项的系数是 C．展开式的各二项式系数和为64 D．展开式的各项系数和为729 50．（2024高二下·山东泰安·期末）已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 51．（2024高二下·山东青岛·期末）给出下列命题，其中正确的命题有（    ） A．若.则 B．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种 C．从6双不同颜色的鞋子中任取4只，其中恰好只有一双同色的取法有240种 D．西部某县委将7位大学生志愿者男3女)分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有104种 52．（2025高二下·山东潍坊·期末）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“山东书城”暑期志愿者服务活动，有翻译、导购员、收银员、仓库管理员四项工作可供选择，每人至多从事一项工作，下列说法正确的是（    ） A．若5人每人可任选一项工作，则有种不同的选法 B．若安排甲和乙分别从事翻译、收银工作，其余3人中任选2人分别从事导购、仓库管理工作，则有12种不同的方案 C．若仓库管理工作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有60种不同的方案 D．若每项工作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲、乙不能从事翻译工作，则有126种不同的方案 三、填空题 53．（2025高二下·山东威海·期末）的展开式中的系数为_____. 54．（2025高二下·山东聊城·期末）给如图所示的风筝中的5个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，现有5种颜色可选，则不同的涂色方案共有______种． 55．（2025高二下·山东淄博·期末）从4名男生和3名女生中选择3人去参加辩论赛，如果3人中既有男生又有女生，那么共有______种选法. 56．（2025高二下·山东枣庄·期末）十进制计数法与二进制计数法有如下转换规律：若十进制计数法下的满足：，，，，则其在二进制计数法下可记为.例如：1在二进制中表示为，2表示为，3表示为，4表示为，7表示为.记为，，…，中0的个数，如，，，则从1到255这些自然数的二进制表示中，的个数为__________. 57．（2025高二下·山东枣庄·期末）5名大学生到新疆、青海、西藏三个地方去支教，每名同学只去1个地方，新疆安排1名，青海安排2名，西藏安排2名，则不同的安排方法共有__________. 58．（2025高二下·山东济南·期末）口袋中有大小、形状均相同的3个红球，2个白球，从中任取两个球，则取到的两个球颜色相同的概率为_______． 59．（2024高二下·山东临沂·期末）展开式的常数项为______. 60．（2025高二下·山东临沂·期末）设集合A中的元素皆为无重复数字的二位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______. 61．（2024高二下·山东济南·期末）从0，1，2，3，4，5，6中任取3个数字，可以组成的没有重复数字的三位数的个数是________.（用数字作答） 62．（2024高二下·山东菏泽·期末）A、B、C、D共4名同学参加演讲比赛，决出第一至第四的名次.A和B去询问成绩，回答者对A说：“很遗憾，你和B都没有得到冠军.”对B说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，这4人的名次排列有__________.种（用数字作答）. 63．（2025高二下·山东潍坊·期末）在8只不同的试验产品中有3只不合格品､5只合格品.现每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止.最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现的不同情形有__________种. 64．（2024高二下·山东泰安·期末）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在x使得，则x的值是_________. 65．（2024高二下·山东济宁·期末）展开式中含项的系数为______. 66．（2025高二下·山东菏泽·期末）把6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每个人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法共有______种．（用数字作答） 67．（2024高二下·山东威海·期末）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则的系数为_______. 68．（2024高二下·山东淄博·期末）若二项展开式，则______. 69．（2025高二下·山东东营·期末）的二项展开式中项的系数为______ 70．（2024高二下·山东烟台·期末）展开式中的系数为__________. 71．（2025高二下·山东潍坊·期末）的展开式的常数项是________（用数字作答） 四、解答题 72．（2025高二下·山东菏泽·期末）已知的展开式中第三项的系数是第二项系数的2倍． (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求的展开式中含项的系数（结果用数值表示）． 73．（2025高二下·山东济南·期末）（1）证明：，其中，； （2）化简：，其中． 74．（2024高二下·山东枣庄·期末）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． (1)求n的值； (2)求展开式中的常数项． 75．（2024高二下·山东聊城·期末）已知. (1)求n的值； (2)求的值； (3)求的值（结果用数字表示）. 76．（2024高二下·山东泰安·期末）若函数的定义域、值域都是有限集合，，则定义为集合A上的有限完整函数.已知是定义在有限集合上的有限完整函数. (1)求的最大值； (2)当时，均有，求满足条件的的个数. 77．（2024高二下·山东济南·期末）某校数学兴趣小组的同学对杨辉三角性质进行探究发现：“第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即：”，证明如下.证明：考虑多项式中的系数，一方面：代数式中，的系数为.另一方面：代数式中，的系数为.因为，所以.所以. (1)如果证明过程中考虑中的系数，能得到的组合恒等式为________.请先填空，再构造一个实际背景，对所得恒等式的意义作出解释； (2)证明：①；②.注：组合数，若，则. 78．（2024高二下·山东泰安·期末）已知的展开式的各项系数和为256. (1)求展开式中的常数项； (2)设，证明：； (3)求证：. 79．（2025高二下·山东潍坊·期末）设，，已知 (1)求实数的值； (2)求的值； (3)求的值. 80．（2025高二下·山东枣庄·期末）已知在的展开式中，第6项为常数项． （1）求含的项的系数； （2）求展开式中所有的有理项． 地 城 考点02 概率 一、单选题 1．（2025高二下·山东潍坊·期末）下列说法正确的个数是（ ）． ①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 ②若随机变量，则方差 ③若随机变量，，则 ④已知随机变量X的分布列为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024高二下·山东烟台·期末）某产品只有一等品､二等品，现随机装箱销售，每箱15件.假定任意一箱含二等品件数为的概率分别为.一顾客欲购一箱该产品，开箱随机查看其中1件，若该件产品为一等品，则买下这箱产品，否则退回，则该顾客买下这箱产品的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二下·山东潍坊·期末）我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为，记第n次推送时不购买此商品的概率为，当时，恒成立，则M的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二下·山东济宁·期末）设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为，则为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2025高二下·山东聊城·期末）如图，在边长为1个单位长度的正六边形对角线的交点O处有一个质点，随机的沿A，B，C，D，E，F，O中相邻两个点的连线构成的轨道移动，且在每一点处都等可能的向与它相邻的点移动，每次移动1个单位长度，则（    ）    A．移动两次后位于点A的概率为 B．移动两次后位于点O的概率为 C．移动三次后位于点F的概率为 D．移动n次后位于点O的概率为 6．（2025高二下·山东济南·期末）与两人玩游戏，A有标号为的张卡片，B有标号为，的张卡片．规则如下：①双方交替从对方手中抽取一张卡片，若抽到的卡片与自己手中的某张卡片数字相同，则将这两张卡片丢弃；②先从手中抽取；③当有一位玩家手中没有卡片时，该玩家获胜，游戏结束．记有张卡片，有张卡片时，获胜的概率为，则（   ） A．若，则B恰好在两人共抽取4次后获胜的概率为 B． C． D． 7．（2024高二下·山东威海·期末）设随机事件，，，，则（   ） A．若与独立，且，，则 B．若与互斥，且，，则 C．若，则与独立 D．若，则与互斥 8．（2025高二下·山东潍坊·期末）甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（    ） A．事件B与事件C互斥 B． C．事件A与事件B相互独立 D．记C的对立事件为，则 9．（2024高二下·山东济南·期末）设A，B是两个随机事件，，，下列说法正确的是（    ） A．若A，B相互独立，，，则 B．若A，B互斥，，，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 10．（2025高二下·山东聊城·期末）已知，，则______． 11．（2025高二下·山东济南·期末）口袋中有大小、形状均相同的3个红球，2个白球，从中任取两个球，则取到的两个球颜色相同的概率为_______． 12．（2025高二下·山东青岛·期末）已知甲盒产品中有4个正品和2个次品，乙盒产品中有3个正品和2个次品，若从甲盒中任取2个产品，则这2个产品中有一个为正品的条件下，另一个为次品的概率__________.若先从甲盒中任取2个产品，放入乙盒，再从乙盒任取一个产品，则取出的这个产品是正品的概率为__________. 四、解答题 13．（2025高二下·山东威海·期末）已知甲、乙、丙三个品牌的手机从1米高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率均为，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率依次为，，，假设三个品牌的手机掉落后屏幕是否碎掉互不影响. (1)求这3个品牌的手机中至少有2个品牌第一次掉落屏幕未碎掉的概率； (2)设这3个品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉的品牌个数为随机变量X，求X的分布列； (3)已知3个品牌的手机掉落两次后恰有1个品牌的手机屏幕仍未碎掉，求该品牌手机是甲的概率. 14．（2025高二下·山东聊城·期末）某服装厂为了解消费者对鲜艳色和基础色衣服的喜好是否与年龄有关，随机选取了部分消费者进行调查研究，得到如下列联表： 年龄 喜好 合计 喜欢鲜艳色衣服 喜欢基础色衣服 小于50岁 75 50 125 不小于50岁 25 50 75 合计 100 100 200 (1)根据小概率值的独立性检验，分析消费者对鲜艳色和基础色衣服的喜好是否与年龄有关？ (2)从样本中小于50岁的125名消费者中按照分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求在这2人中至少有1人喜欢鲜艳色衣服的条件下，2人都喜欢鲜艳色衣服的概率． 附：，． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 15．（2025高二下·山东临沂·期末）某选手参加一项人工智能机器人PK比赛，规则如下：该选手的初始分为20分，每局比赛，该选手胜加10分；平局不得分；负减10分．当选手总分为0分时，挑战失败，比赛终止；当选手总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛选手胜、平、负的概率分别为，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求选手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，选手每胜1局，获奖5千元．记局后比赛终止且选手获奖1万元的概率为，求的最大值. 16．（2025高二下·山东泰安·期末）为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，比赛规则为：①每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局；②总共进行奇数局比赛；③全部比完后，分数高者获胜.假设每局比赛甲队获胜的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响. (1)当时，若两队共进行3局比赛，设甲队得分减去乙队得分的差为X，现在规定：若，则甲队可额外获得一次特殊训练机会，求甲队获得一次特殊训练机会的概率； (2)若两人共进行局比赛，当且时，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”，事件B表示“甲最终获胜”，求，的值； (3)若甲队在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为，已知，试判断与的大小关系，并说明理由. 17．（2025高二下·山东滨州·期末）某公司要招聘一名秘书，共有名候选人，他们的能力大小各不相同．面试过程中，n名候选人依次前来面试，面试官只能根据当前和之前的候选人的能力排名做出决策，并且必须在面试完当前候选人后立即决定是否录用．一旦拒绝，该候选人将无法再被录用．为了最大概率选中最优秀的候选人，面试官实行了以下策略： ①拒绝前个候选人，将其作为参考样本． ②从第个候选人开始，如果某个候选人的能力超过了之前所有人，就立即选中他．如果后面没有比前面更优秀的候选人，则录用最后一个候选人． 设面试官选中最优秀的候选人的概率为P． (1)若，，求P； (2)取． (ⅰ)若，求当P取得最大值时，k的取值； (ⅱ)证明：． 18．（2025高二下·山东枣庄·期末）“随机游走”在空气中的烟雾扩散等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位. (1)求质点移动6次后位于的概率； (2)设质点在第2秒末移动到点，记xy的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望； (3)记第n秒末质点回到原点的概率为. （i）求，； （ii）求. 参考公式：. 19．（2025高二下·山东济南·期末）从某校高一年级全体学生中随机抽取120人，进行文理选科倾向调查，得到如下列联表：       性别 倾向 男生 女生 合计 偏理科 40 90 偏文科 10 合计 60 120 (1)请完成上述列联表； (2)从女生中随机抽取一人，求该女生是偏文科生的概率； (3)根据小概率值的独立性检验，分析性别与选科倾向是否有关． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 2.70 3.841 6.635 ． 20．（2024高二下·山东聊城·期末）某餐馆为了解顾客对某一新菜品的喜好程度是否与年龄有关，随机调查了品尝过该菜品的100位顾客，得到下面列联表： 顾客 对该菜品的喜好程度 合计 喜欢 不喜欢 青年人 35 15 50 中老年人 25 25 50 合计 60 40 100 (1)根据上表，分别估计青年人、中老年人喜欢该菜品的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，判断顾客对该菜品的喜好程度与年龄是否有关联. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 21．（2024高二下·山东聊城·期末）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中一次性摸出两个球，如果每次摸出的两个球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖，有两种摸球方式：一是每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，中奖次数记为；二是每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，中奖次数记为. (1)求第一次摸球就中奖的概率； (2)若，求的分布列和数学期望； (3)若，函数随机变量，求的数学期望. 22．（2024高二下·山东临沂·期末）设集合，为的非空子集，随机变量，分别表示取到子集中的最大元素和最小元素的数值． (1)若，求； (2)若， （i）求且的概率； （ii）已知，求随机变量的均值． 23．（2024高二下·山东菏泽·期末）某学校有南､北两家餐厅，各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.某个就餐时间对在两个餐厅内就餐的100名学生分性别进行了统计，得到如下的列联表. 性别 就餐人数 合计 南餐厅 北餐厅 男 25 25 50 女 20 30 50 合计 45 55 100 (1)对学生性别与在南北两个餐厅就餐的相关性进行分析，依据的独立性检验，能否认为在不同餐厅就餐与学生性别有关联？ (2)若从这100名学生中选出2人参加某项志愿者活动，求在抽出2名学生的性别为一男一女的条件下，这2名学生均在“南餐厅”就餐的概率. 附：； 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 24．（2025高二下·山东青岛·期末）某同学在上学的路上要经过3个十字路口，在每个路口是否遇到红灯相互独立，设该同学在三个路口遇到红灯的概率分别为，，. (1)求该同学在上学路上恰好遇到一个红灯的概率； (2)若该同学在上学路上每遇到1个红灯，到校打卡时间就会比规定打卡时间晚48秒，记该同学某天到校打卡时间比规定时间晚秒，求X的分布列和数学期望. 25．（2025高二下·山东潍坊·期末）一疫苗生产单位通过验血方法检验某种疫苗产生抗体情况，需要检验血液是否有抗体现有份血液样本每份样本取到的可能性均等有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果无抗体，则这k份的血液全无抗体，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果有抗体，为了明确这k份血液究竟哪几份有抗体就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验总次数为k+1次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果有无抗体都是相互独立的，且每份样本有抗体的概率均为． （1）假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率； （2）现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式样本需要检验的总次数为．若，求关于k的函数关系式，并证明． 地 城 考点03 统计 一、单选题 1．（2025高二下·山东聊城·期末）某同学根据一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（    ） A．相关系数r变大 B．决定系数变小 C．残差平方和变小 D．不变 2．（2025高二下·山东枣庄·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 B．若x与y线性相关越强，则在线性回归直线上的点越多 C．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 D．线性回归分析中决定系数值越小，则模型的拟合效果越好 3．（2025高二下·山东枣庄·期末）下列四组成对数据：①，，，，；②，，，，；③，，，，；④，，，，.其中样本相关系数最小的是（   ）（附：样本相关系数） A．① B．② C．③ D．④ 4．（2025高二下·山东青岛·期末）已知变量，线性相关，其一组样本数据满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为，若增加一个数据后，得到新的经验回归方程，则此时数据的残差为（   ） A． B． C．1 D．2 5．（2025高二下·山东青岛·期末）为调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下列联表： 性别 晚上 白天 总计 女 30 男 30 总计 40 90 则的值最接近（附：，）（   ） A．18 B．11 C．8 D．6 6．（2025高二下·山东济南·期末）对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则（   ）    A． B． C． D． 7．（2024高二下·山东济南·期末）下列残差图满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（   ） A． B． C． D． 8．（2024高二下·山东聊城·期末）在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是（    ） A．残差图越宽 B．残差平方和越小 C．决定系数越小 D．相关系数越大 9．（2024高二下·山东枣庄·期末）学校开设了游泳选修课.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关，在全校学生中选取了男、女生各人进行调查，并绘制如下图所示的等高堆积条形图.则（    ） 参考公式及数据：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 A．参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数多 B．全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多 C．若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关 D．若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关 10．（2024高二下·山东枣庄·期末）相关变量，的散点图如下.若剔除点后，剩下数据得到的统计中，较剔除之前值变大的是（    ） A．的平均值 B．相关系数 C．决定系数 D．残差的平方和 11．（2024高二下·山东东营·期末）已知变量x和y的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为，则时的残差为（    ） x 4 4.5 5 5.5 6 y 7 6 4 2 1 A．0.2 B． C．0.4 D． 12．（2024高二下·山东菏泽·期末）下列说法正确的是（    ） A．线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．正态分布的图象越瘦高，越大 D．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 二、多选题 13．（2025高二下·山东威海·期末）某位同学10次考试的物理成绩与数学成绩如下表所示： 数学成绩x 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76 物理成绩y 80 87 75 86 100 79 93 68 85 77 已知y与x线性相关，计算可得，，回归直线方程为，则（   ） A．y与x正相关 B． C．相关系数 D．若该同学第11次考试的数学成绩为80，物理成绩为83，则以这11次成绩重新计算，得到的回归直线方程不变 14．（2025高二下·山东菏泽·期末）下列命题正确的有（   ） A．在两个随机变量的线性相关关系中，若相关系数越大，则样本的线性相关性越强 B．若用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好 C．若以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别为3，4 D．一组成对数据，增加一对数据，其中，，线性回归方程不变（其中） 15．（2025高二下·山东临沂·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．经验回归方程为时，变量和负相关 C．已知，若，则 D．在相关关系中，若用拟合时的决定系数为，用拟合时的决定系数为，且，则的拟合效果好 16．（2025高二下·山东泰安·期末）下列说法中正确的是（   ） A．如果由一组样本数据，，…得到的经验回归方程是，那么经验回归直线至少经过点，，…中的一个 B．在回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好 C．残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明模型选择比较合适，而且带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高 D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和0.3 17．（2025高二下·山东滨州·期末）某同学经过随机抽样获得的成对样本数据为，，，，数据为其中一对样本数据，经统计分析，变量x和变量y具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归方程为，则下列结论正确的为（    ） 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：． A．若，则 B．根据所求经验回归方程，数据的残差值为0.1 C．若将样本数据，，，调整为，，，，则调整数据后所得经验回归方程为 D．若该同学将样本数据错误的记为，则样本相关系数r将变小 18．（2025高二下·山东淄博·期末）以下结论正确的是（    ） A．在线性回归分析中，样本相关系数的值越大，变量间的线性相关性越强 B．经验回归直线一定经过点 C．一组数据，，，，的经验回归方程为，则当时，残差为1 D．以模型去拟合一组数据时，为了利用一元线性回归模型估计参数，，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.4 19．（2025高二下·山东枣庄·期末）某地新开了一条夜市街，每晚最多能接纳10万人.主办公司计划通过广告宣传提高客流量.通过调研，发现投入的广告费x与每晚客流量y存在如下关系： x/万元 1 2 3 4 5 y/千人 5 6 8.1 9 14.5 附，，，， 令，，，. 现用曲线拟合变量x与y的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数，的最小二乘估计，依所求回归方程C为预测依据，则（   ） A．曲线C经过点 B． C．若投入广告费9万元，则每晚客流量会超过夜市接纳能力 D．广告费每增加1万元，每晚客流量增加3000人 20．（2024高二下·山东临沂·期末）下列说法正确的是（    ） A．将一组数据的每一个数据减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同 B．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强 C．设随机变量，，则 D．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 21．（2024高二下·山东菏泽·期末）假设变量与变量的对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型要利用成对样本数据求参数的最小二乘估计，即求使取最小值时的的值，若某汽车品牌从2020~2024年的年销量为（万辆），其中年份对应的代码为，如表， 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万辆） 4 9 14 18 25 根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述 令变量，且变量与变量满足一元线性回归模型则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．2025年的年销售量约为34.4万辆 22．（2024高二下·山东泰安·期末）关于概率统计，下列说法中正确的是（    ） A．两个变量x，y的线性相关系数为r，若r越大，则x与y之间的线性相关性越强 B．某人解答5个问题，答对题数为X，若，则 C．若一组样本数据（，2，3，…，n）的样本点都在直线上，则这组数据的相关系数r为0.56 D．已知，若，则 23．（2024高二下·山东济宁·期末）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．设具有相关关系的两个变量的样本相关系数为，则越接近于，之间的线性相关程度越强 B．随机变量，若，则 C．随机变量服从两点分布，若，则 D．某人在次射击中击中目标的次数为，若，则当时概率最大 24．（2025高二下·山东东营·期末）某中学对1000名学生的竞赛成绩进行统计分析，按照，，，，分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（   ） A．图中的x值为0.020 B．得分在80分及以上的人数为400 C．这组数据的极差一定为50 D．这组数据的平均数的估计值为77 三、填空题 25．（2024高二下·山东枣庄·期末）害虫防控对于提高农作物产量具有重要意义.已知某种害虫产卵数（单位：个）与温度（单位：）有关，测得一组数据，可用模型进行拟合，利用变换得到的线性回归方程为.若，则的值为__________. 26．（2025高二下·山东济南·期末）两个相关变量x，y的一组数据统计如下表 x 2 3 4 5 6 y 2.8 3.1 3.3 3.8 4.0 根据上表可得经验回归方程中的为0.31，据此经验回归方程，当时，y的预测值为_______． 四、解答题 27．（2025高二下·山东威海·期末）在科技飞速发展的今天，人工智能（AI）领域迎来革命性的突破，各种AI工具拥有强大的解决问题的能力.某企业为了解男女员工对AI工具的使用情况，随机调查了200名员工，得到如下数据： 经常使用 不经常使用 合计 男性 80 20 100 女性 60 40 100 合计 140 60 200 (1)根据小概率值的独立性检验，分析该企业员工对AI工具的使用情况是否与性别有关； (2)为鼓励员工使用AI工具，企业采用按性别分层抽样的方式，在被调查的经常使用AI工具的员工中，抽取了7名员工组成AI工具宣传小组.现从这7名员工中随机选出3名担任宣传组长，记选出的3名宣传组长中女员工的人数为随机变量X，求X的数学期望. 参考公式：，. 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 28．（2025高二下·山东菏泽·期末）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取80名学生．通过测试得到了表中数据： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 10 30 40 乙校 20 20 40 合计 30 50 80 (1)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？如果表中所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因； (2)现从所抽取的数学成绩优秀学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取3人，设这3人中来自乙校的人数为，求的分布列和期望． 附：①，其中． ②临界值表 0.1 0.01 0.005 2.706 6.635 7.879 29．（2025高二下·山东临沂·期末）为了普及安全教育，某学校随机抽取男生、女生各100名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得知，该校有的同学成绩超过90分，具体情况如下表格： 性别 了解安全知识的程度 得分不超过90分的人数 得分超过90分的人数 男生 10 女生 t (1)求； (2)根据小概率值的独立性检验，能否推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关？ 附： 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 30．（2025高二下·山东泰安·期末）2025年1月，一股来自东方的“神秘力量”——国产AI大模型DeepSeek引发硅谷震动，并迅速走红全球，它向全球用户免费开源，用卓越性能和较低的算力成本引起国内外关注，令许多海外网友直呼“实力惊人”.如今，DeepSeek在各行各业的应用越来越广泛，逐步成为我们解决问题的好参谋，好助手.为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了100人，得到如下数据： 是否经常使用学历 经常使用 不经常使用 合计 本科及以上 30 20 50 本科以下 25 25 50 合计 55 45 100 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为学历与DeepSeek的使用情况有关？ (2)为了进一步了解DeepSeek的使用情况，从经常使用的人群中用分层随机抽样的方法抽取11人，并从这11人中抽取3人进行座谈，求抽到的3人中本科及以上学历的人数X的分布列及数学期望. 附：， 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 31．（2025高二下·山东东营·期末）某人工智能公司从某年起连续年的利润情况如下表所示. 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)计算出与之间的相关系数（精确到），并求出关于的回归直线方程； (2)根据回归直线方程，分别预测该人工智能公司第年和第年的利润. 参考公式：样本的回归直线为，其中，，，，，. 32．（2025高二下·山东滨州·期末）已知某产品的一个零件在甲工厂生产，由于设备老化，甲工厂生产的零件次品率为0.1． (1)为了解甲工厂生产情况，从生产的所有零件中随机抽取3件，记这3件产品中正品与次品的个数分别为X，Y，记随机变量，求的分布列及； (2)为降低产品次品率，甲工厂进行了技术改进，从改进后第1个月开始连续收集5个月的观测数据，用表示改进后的第i个月，用（单位：%）表示改进后第i个月的次品率，其中，利用最小二乘法得到经验回归直线方程为，求相关系数r（精确到0.01），并判断该经验回归直线方程是否有价值． 附：①． ②，若，则认为该经验回归直线方程有价值． ③． 33．（2025高二下·山东滨州·期末）为了研究高中生每天整理数学错题与数学成绩的关系，我市某校数学建模兴趣小组的同学在本校高二年级学生中采用随机抽样的方法抽取了300名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，统计得到部分数据如下： 整理数学错题情况 数学成绩总评优秀情况 合计 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 每天都整理数学错题人数 120 不是每天都整理数学错题人数 90 150 合计 300 (1)完善上面的列联表，依据的独立性检验，能否认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”； (2)采用分层随机抽样的方法从数学成绩总评优秀的学生中随机抽取6名学生，再从这6名学生中选3名做进一步访谈，设这3人中不是每天都整理数学错题的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附： 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 34．（2025高二下·山东淄博·期末）生活中运动对人体健康非常重要，为了了解不同年龄人群篮球运动的情况，随机调查了400人，得到如下数据： 年龄 篮球运动情况 合计 经常运动 不经常运动 40及以上 130 70 200 40以下 100 100 200 合计 230 170 400 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为篮球运动的情况与年龄有关？ (2)某校组织“篮球”比赛，分成了、、三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，且被挑战方拥有下一次的挑战权，若挑战权在组，挑战、组的概率为，，若挑战权在组，则挑战、组的概率为，，若挑战权在组，则挑战、组的概率为，.已知首先由组发起挑战，按此规则进行了多次挑战. ①前3次挑战后，求组拥有挑战权的次数的分布列与数学期望； ②经过次挑战后，挑战权在组的概率为，求； ③数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，（是一个确定的实数），则称数列收敛于.根据数列的定义证明②中收敛. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 35．（2025高二下·山东枣庄·期末）台儿庄古城景区面向全国应届中、高考学生推出自2025年6月11日至2025年8月31日的免费畅游古城活动.景区为了解这些学生游客对其开展的“国风毕业照”活动的满意度，随机抽取400人进行调查，得到如下列联表： 调查结果组别 不满意 满意 合计 高考生游客 80 120 200 中考生游客 130 70 200 合计 210 190 400 (1)根据小概率值的独立性检验，分析满意情况是否与学生的组别有关； (2)在高考学生游客的样本中用分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步的访谈，求这3人中满意人数X的概率分布列、数学期望和方差. 附：， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 36．（2025高二下·山东青岛·期末）某企业调研后，得到研发投入（万元）与产品收益（万元）的数据如下： 1 2 3 4 5 9 12 17 21 26 (1)若与线性相关，请根据样本相关系数推断它们的相关程度；（若，则相关程度一般；若，则相关程度很强） (2)求出关于的经验回归方程，并预测当研发投入6万元时的产品收益. 参考数据： 参考公式：，，. 37．（2025高二下·山东济南·期末）从某校高一年级全体学生中随机抽取120人，进行文理选科倾向调查，得到如下列联表：       性别 倾向 男生 女生 合计 偏理科 40 90 偏文科 10 合计 60 120 (1)请完成上述列联表； (2)从女生中随机抽取一人，求该女生是偏文科生的概率； (3)根据小概率值的独立性检验，分析性别与选科倾向是否有关． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 2.70 3.841 6.635 ． 38．（2025高二下·山东青岛·期末）某校推广新课改，在两个程度接近的班进行试验，一班为新课改班级，二班为非课改班级，经过一个学期的教学后对期末考试进行分析评价，规定：总分超过550（或等于550分）为优秀，550以下为非优秀，得到以下列联表： 班级 成绩 合计 优秀 非优秀 一班 35 15 二班 15 25 合计 (1)请完成列联表； (2)根据列联表中的数据，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推广新课改与总成绩是否优秀有关系？ 参考数据： 0.10 0.05 0.01 00.005 2.706 3.841 6.635 7.879 ． 39．（2025高二下·山东潍坊·期末）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（，简称）已然成为科技变革的核心驱动力.有媒体称开启了我国新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件“学生报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，. (1)根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ 报名情况 性别 合计 男生 女生 报名 未报名 合计 100 (2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定：每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束.已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. ①求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分.记甲答题累计得分为n的概率为. （i）求证：是等比数列；（ⅱ）求的最大值. 参考公式与数据：，其中. 40．（2025高二下·山东潍坊·期末）某环保机构研究城市绿化覆盖率（%）和年均浓度（）的关系，随机抽取10个城市数据如下： 编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 绿化覆盖率 4 13 16 21 26 31 36 45 52 56 300 年均浓度 80 66 58 54 50 46 42 38 34 32 500 可得. (1)求绿化覆盖率与浓度的样本相关系数（精确到）； (2)求y关于x的经验回归方程（精确到），并估计使得年均浓度不超过需要的最低绿化覆盖率（精确到整数）. 参考数据与公式：. 41．（2025高二下·山东潍坊·期末）网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期次数x（其中10场为一个周期）与产品销售额y（千元）的数据统计如下： 直播周期数x 1 2 3 4 5 产品销售额y（千元） 3 7 15 30 40 根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表： 3.7 55 382 65 978 101 其中 (1)请根据表中数据，建立y关于x的回归方程； (2)乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？（精确到0.01） 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，相关指数：. 42．（2024高二下·山东泰安·期末）2023年全国竞走大奖赛，暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛.重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录.某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据： 步频（单位：s） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长（单位：） 90 95 99 103 117 (1)根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出关于的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为时，步频约是多少？ (2)记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求（1）中步频为0.30的残差. 参考数据：，.参考公式：，. 43．（2024高二下·山东聊城·期末）某餐馆为了解顾客对某一新菜品的喜好程度是否与年龄有关，随机调查了品尝过该菜品的100位顾客，得到下面列联表： 顾客 对该菜品的喜好程度 合计 喜欢 不喜欢 青年人 35 15 50 中老年人 25 25 50 合计 60 40 100 (1)根据上表，分别估计青年人、中老年人喜欢该菜品的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，判断顾客对该菜品的喜好程度与年龄是否有关联. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 44．（2024高二下·山东临沂·期末）某手机App（应用程序）公司对一大型小区居民开展5个月的调查活动，了解使用这款App的居民的满意度，统计数据如下： 月份 1 2 3 4 5 不满意人数 110 95 90 85 70 (1)求不满意人数与月份之间的经验回归方程，并预测该小区8月份对这款App不满意的人数； (2)公司为了调查对这款App是否满意与性别的关系，工作人员从使用这款App的居民中随机调查60人，得到下表： 性别 满意度 满意 不满意 男性 15 15 女性 21 9 根据小概率值的独立性检验，能否认为对这款App是否满意与性别有关联？ 附： ，． ，． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 45．（2024高二下·山东济南·期末）长时间近距离看电子产品会影响视力.泉泉调查了某校1000名学生，发现40%的学生近视；而该校20%的学生每天近距离看电子产品时间超过1h，这些人的近视率为50%. (1)请完成下列2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断近视与每天近距离看电子产品时间超过1h是否有关联； 近视 每天近距离看电子产品时间超过1h 合计 是 否 是 否 合计 1000 (2)研究发现，近视儿童每年眼轴的增速要大于非近视儿童，长时间近距离看电子产品会导致眼轴快速增长，最终影响视力.高度近视者的眼轴长度一般大于26mm.下图是每天近距离看电子产品时间超过1h近视儿童和非近视儿童6~16岁的眼轴生长发育散点图. ①根据散点图判断，和哪一个更符合每天近距离看电子产品时间超过1h的近视儿童的眼轴生长发育情况？（给出判断即可，不必说明理由） ②根据①中的判断结果，建立该类近视儿童眼轴长度y（单位：mm）关于年龄x（，且）的经验回归方程； ③根据②中的结果，估计该类近视儿童开始高度近视时的年龄.（结果保留整数） 参考公式及数据：（ⅰ），， α 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 （ⅱ）回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，； （ⅲ）散点图1中，；散点图2中，. 46．（2024高二下·山东烟台·期末）某高中在高二年级举办创新作文比赛活动，满分100分，得分80及以上者获奖.为了解学生获奖情况与选修阅读课程之间的关系，在参赛选手中随机选取了50名学生作为样本，各分数段学生人数及其选修阅读课程情况统计如下： 成绩 学生人数 6 10 24 7 3 选修读课程人数 0 3 9 4 4 (1)根据以上统计数据完成下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为学生获奖与选修阅读课程有关联； 获奖 没有获奖 合计 选修阅读课程 不选阅读课程 合计 (2)在上述样本的获奖学生中随机抽取3名学生，设3人中选修阅读课程人数为，求的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 47．（2024高二下·山东菏泽·期末）某学校有南､北两家餐厅，各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.某个就餐时间对在两个餐厅内就餐的100名学生分性别进行了统计，得到如下的列联表. 性别 就餐人数 合计 南餐厅 北餐厅 男 25 25 50 女 20 30 50 合计 45 55 100 (1)对学生性别与在南北两个餐厅就餐的相关性进行分析，依据的独立性检验，能否认为在不同餐厅就餐与学生性别有关联？ (2)若从这100名学生中选出2人参加某项志愿者活动，求在抽出2名学生的性别为一男一女的条件下，这2名学生均在“南餐厅”就餐的概率. 附：； 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 48．（2024高二下·山东枣庄·期末）近年来骑行成为热门的户外运动方式之一.某同学近来5次骑行期间的身体运动参数评分与骑行距离（单位：公里）的数据统计如下表： 身体运动参数评分 2 4 6 8 10 骑行距离（公里） 38 37 32 33 30 (1)根据上表的样本数据，计算样本相关系数（结果保留两位小数），并推断身体运动参数评分和骑行距离的相关程度； (2)根据这些成对数据，建立骑行距离关于身体运动参数的线性经验回归方程.并估计当身体运动参数评分为11分时，该同学的骑行距离. 参考数据和参考公式： ①； ②对于一组数据（），样本相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 49．（2024高二下·山东东营·期末）某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关．若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且． (1)求和； (2)若该班级共有36名学生，请完成列联表，并分析能否有的把握认为学生期末统考中数学成绩是否及格与建立个性化错题本有关； 个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计 及格 不及格A 建立B 未建立 合计 (3)现从该班不及格的学生中按照分层抽样的方法抽取6人座谈，再从这6人中随机抽取3人了解建立错题本情况，记建立个性化错题本的学生人数为X，求X的分布列及期望． 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 （附：，．） 50．（2024高二下·山东滨州·期末）某景点在2024年2月10日至24日(正月初一至正月十五)期间，为吸引游客，共举行了15场精彩的烟花秀节目．前9场的观众人数(单位：万)与场次的统计数据如下表所示： 场次编号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 观众人数y(单位：万) 1.93 1.95 1.97 1.98 2.01 2.02 2.02 2.05 2.07 经计算可得：， ，． (1)通过作散点图发现x与y之间具有较强的线性相关关系，试用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程(结果中的数值用分数表示)； (2)若该烟花秀节目分A、B 两个等次的票价，该节目组织者随机调查了某场烟花秀节目100位观众购买A、B 两个等次票的情况，其中 60位男性观众中有 15 位观众购买了 B 等票；40位女性观众中有5位观众购买了 B 等票．请根据以上数据，将2×2列联表补充完整，并根据小概率值α=0.050的独立性检验，能否认为观众的性别与购票情况有关联？ 性别 购买情况 合计 购买 A 等票 购买 B 等票 男性观众 60 女性观众 40 合计 100 附： ①对于一组数据((x₁，y₁)，(x₂，y₂)，…，(xₙ，yₙ)，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，； ② 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 51．（2024高二下·山东淄博·期末）近年来，养宠物的人越来越多，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为. (1)随机抽取200名成年人，并调查这200名成年人养宠物的情况，统计后得到如下列联表： 成年男性 成年女性 合计 养宠物 38 60 98 不养宠物 62 40 102 合计 100 100 200 依据小概率值的独立性检验，判断能否认为养宠物与性别有关? (2)记2018-2023年的年份代码x依次为中国宠物经济产业年规模为y（单位：亿元），由这6年中国宠物经济产业年规模数据求得y，关于x的回归方程为，且. 求相关系数r并判断该回归方程是否有价值. 参考公式及数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 回归方程其中，相关系数；若， 则认为y与x有较强的相关性. 其中 . 52．（2024高二下·山东济宁·期末）某商场销售小天鹅、小熊猫两种型号的家电，现从两种型号中各随机抽取了100件进行检测，并将家电等级结果和频数制成了如下的统计图： (1)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为家电是否为甲等品与型号有关； 甲等品 非甲等品 总计 小天鹅型号 小熊猫型号 总计 (2)以样本估计总体，若销售一件甲等品可盈利90元，销售一件乙等品可盈利60元，销售一件丙等品亏损10元.分别估计销售小天鹅，小熊猫型号家电各一件的平均利润. 附：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 53．（2025高二下·山东潍坊·期末）受新冠肺炎疫情影响，本学期同学们在家上网课时间达三个多月，电脑屏幕代替了黑板，对同学们的视力造成了很大的损伤.某学校为了了解同学们现阶段的视力情况，对全校高三1000名学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，绘制了频率分布直方图如图： （1）求的值，并估计这1000名学生视力的中位数（精确到0.01）； （2）为了进一步了解视力与学生成绩是否有关，对本年级名次在前50名与后50名的学生进行了调查，得到如下数据： 前50名 后50名 近视 42 32 不近视 8 18 根据表中数据，能否有95%把握认为视力与学习成绩有关？ （3）若报考某高校某专业的资格为：视力不低于5.0，以该样本数据来估计全市高三学生的视力，现从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取4名同学，这4名同学中有资格报该校该专业的人数为，求的分布列及数学期望. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 54．（2025高二下·山东临沂·期末）我国新能源汽车迅速崛起，正以颠覆性技术重塑传统交通的格局，成为推动绿色革命的核心引擎.某品牌新能源汽车统计了2025年前5个月的月销量（单位：万辆）与月份之间的关系，得到如下数据： 月份 1 2 3 4 5 月销量（单位：万辆） 2.89 3.22 3.82 4.34 5.41 (1)根据上述数据可知与线性相关，试求出关于的经验回归方程，并预测该品牌新能源汽车2025年6月份的销量； (2)为刺激消费，省出台了以下补贴政策：每购买一辆新能源车，发放8000元补贴.若省甲、乙两人近期购买该新能源汽车的概率分别为，其中，求该省对甲、乙两人补贴总金额期望值的取值范围． 参考公式：经验回归方程为， 其中，.参考数据：，. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 计数原理与概率统计 3大高频考点概览 考点01计数原理 考点02概率 考点03统计 地 城 考点01 计数原理 一、单选题 1．（2025高二下·山东威海·期末）用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数的个数为（   ） A．48 B．36 C．24 D．18 【答案】D 【分析】根据分步乘法原理计算求解. 【详解】用0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位奇数个位数字有2种情况，首位数字有3种情况，十位数字有3种情况， 所以三位奇数的个数为种情况. 故选：D. 2．（2025高二下·山东聊城·期末）的展开式中的系数为（    ） A．75 B．135 C．180 D．195 【答案】D 【分析】利用二项式定理求解. 【详解】， 这个展开式中从第4项开始就不会出现，即只在前3项出现， 所以的系数为， 故选：D. 3．（2025高二下·山东聊城·期末）某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有（    ） A．480种 B．444种 C．408种 D．360种 【答案】C 【分析】因语言类节目不能第一个出场，考虑用间接法，用只考虑2个歌曲节目插空的方法数减去语言类节目在第一个出场对应的方法数即可. 【详解】依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法： 即先将1个语言类与3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有种方法， 减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排，再将2个歌曲节目在除去第一个节目前的空留下的4个空中插空， 有种方法，故不同的出场方式共有种. 故选：C. 4．（2025高二下·山东聊城·期末）将2本不同的漫画书和2本不同的科技书全部分给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少1本，若不分给甲漫画书，则不同的分配方案共有（    ） A．36种 B．24种 C．14种 D．12种 【答案】C 【分析】分类讨论甲分得几本科技书，结合组合数运算求解即可. 【详解】因为不分给甲漫画书，则有： 若甲分得1本科技书，则不同的分配方案共有种； 若甲分得2本科技书，则不同的分配方案共有种； 综上所述：不同的分配方案共有种. 故选：C. 5．（2025高二下·山东聊城·期末）的展开式的二项式系数和为（    ） A．1 B．5 C．16 D．32 【答案】D 【分析】利用二项式系数性质求解. 【详解】二项式系数和为， 故选：D. 6．（2025高二下·山东菏泽·期末）用1，2，3组成三位数，数字最多用次，其中，则满足条件的三位数个数是（   ） A．15个 B．18个 C．19个 D．27个 【答案】C 【分析】分三个不同数字各出现一次，一个数字出现两次，一个数字出现三次，三种情况讨论即可. 【详解】当三个不同数字各出现一次时，有个； 当一个数字出现两次，其他两个数字各出现一次时，则重复出现的数字只能是， 则有个； 当一个数字出现三次，则仅有数字符合条件，则有个； 综上所述，满足条件的三位数共有个. 故选：C 7．（2025高二下·山东菏泽·期末）（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【分析】根据组合数公式和排列数公式直接计算可得. 【详解】由组合数公式和排列数公式可得. 故选：D 8．（2025高二下·山东临沂·期末）已知A、B、C、D四个同学站成一排，要求和不相邻，不站两端，则不同排法的种数是（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】A 【分析】由分类加法、分步乘法原理计算即可求解. 【详解】（i）若排在从左到右的第二个位置， 则不能排在从左到右的第一个位置，否则只能相邻，但这与题意矛盾， 若不能排在从左到右的第三或第四个位置， 则此时有种不同的排法； （ii）若排在从左到右的第三个位置，根据对称性可知，此时有种不同的排法； 由加法原理可知，所求为. 故选：A. 9．（2025高二下·山东东营·期末）5名同学分成两组参加志愿服务活动，其中甲、乙不同组的分法种数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据5名同学分成两组，有1和4分组以及2和3分组这两种情况即可求解. 【详解】5名同学分成两组，有1和4分组以及2和3分组这两种情况， 若甲在1人组，乙在4人组，这是1种情况， 若甲在4人组，乙在1人组，这又是1种情况， 所以1和4分组时甲、乙不同组的方案数为种， 若甲在2人组，乙在3人组，那么从剩下3人中选1人与甲一组， 根据组合数公式，则种情况， 若甲在3人组，乙在2人组， 同样从剩下3人中选1人与乙一组，也有种情况， 所以2和3分组时甲、乙不同组的方案数为种， 根据分类加法计数原理，将两种分组情况的方案数相加，可得甲、乙不同组的分配方案共有种． 故选：D. 10．（2025高二下·山东东营·期末）（   ） A．25 B．35 C．70 D．1050 【答案】C 【分析】运用组合公式进行计算 【详解】，故C正确. 故选：C. 11．（2025高二下·山东滨州·期末）由数字0，1，2组成的五位数中，满足“0恰好出现两次”或“1恰好出现两次”的所有五位数的个数为（    ） A．86 B．104 C．128 D．130 【答案】A 【分析】分情况讨论，再利用分步乘法计数原理及容斥原理即可求解. 【详解】（1）“0恰好出现两次”： 万位不能为0，因此两个0的位置只能从剩下的4个位置中选择，有种方法， 剩下的3个位置由1或2填充，每个位置有2种选择，共种方法， 则“0恰好出现两次”的种数有种； （2）“1恰好出现两次”： “万位为1”时：从剩下的4个位置中选择1个位置放1，有种， 剩下的三个位置由0或2填充，每个位置有2种选择，共种方法， 则共有种方法， “万位不为1”时：从剩下的4个位置中选择2个位置放1，有种， 则万位放2，剩下的两个位置由0或2填充，每个位置有2种选择，有种， 则共有种方法， 所以“1恰好出现两次”的种数有种； （3）“0恰好出现两次”且“1恰好出现两次”： 先安排2个0，有种方法，再从剩下的3个位置选择2个放1，有种， 最后一个位置放2即可，则共有种方法； 则“0恰好出现两次”或“1恰好出现两次”的所有五位数的个数为. 故选：A. 12．（2025高二下·山东滨州·期末）被8除的余数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【分析】利用二项式定理求解. 【详解】， 显然中每一项都是8的倍数，因此代数和能被8整除，而除以8后余数为6， 所以被8除的余数为6， 故选：C. 13．（2025高二下·山东枣庄·期末）用1，4，7，10中的任意一个数作分子，2，5，9，11中任意一个数作分母，可构成的不同真分数的个数为（   ） A．9 B．10 C．14 D．16 【答案】B 【分析】使用列举法表示即可. 【详解】由题可知：不同真分数有：，共10个. 故选：B 14．（2025高二下·山东青岛·期末）二项式展开式的第3项的系数为（   ） A．21 B．35 C．42 D．70 【答案】A 【分析】由二项式定理即可求解. 【详解】二项式展开式的第3项的系数为. 故选：A. 15．（2025高二下·山东济南·期末）由若干根相同的木棍组成如图所示的长方体框架，一只蚂蚁从点P出发，沿木棍爬行到点Q的最短路径有（   ）    A．15种 B．30种 C．48种 D．60种 【答案】D 【分析】根据题意，要使得爬行的距离最短，则需要向右爬3格，向前爬2格，向上爬1格，利用组合数的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，一只蚂蚁从点出发，沿木棍爬行到点， 要使得爬行的距离最短，则需要向右爬3格，向前爬2格，向上爬1格，共计6步， 则爬行的路径共有：不同的路径. 故选：D. 16．（2025高二下·山东济南·期末）的展开式中，常数项为（   ） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】先将三项式变为两项式，再利用展开式的通项可得. 【详解】， 通项为， 令，所以常数项为. 故选：C. 17．（2025高二下·山东济南·期末）用1，2，3，4这四个数能够组成无重复数字的三位数的个数为（   ） A．9 B．12 C．16 D．24 【答案】D 【分析】根据题意，选出3个数字，进行全排列，即可求解. 【详解】根据题意，可从1，2，3，4这四个数中，选出3个数字，进行全排列， 可得组成无重复数字的三位数的个数为. 故选：D. 18．（2025高二下·山东临沂·期末）的展开式中的常数项是（    ） A．12 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】求出的通项公式，得到，，从而得到的展开式中常数项的值． 【详解】的通项公式为， 当时，．当时，， 故的展开式中常数项的值为． 故选：B． 19．（2025高二下·山东青岛·期末）2024年12月4日，我国“春节”正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．某地为迎接春节的到来，举行了舞龙舞狮、铁水火龙、高跷秧歌、花灯猜谜、庙会祭祖五个民俗表演活动．若甲、乙、丙3人参加此次表演活动，且每人只选择一个活动参加，则3人中至多有2人所选活动相同的情况共有（    ） A．64种 B．90种 C．120种 D．180种 【答案】C 【分析】分恰有2人所选活动相同、3人所选活动均不同两种情况分别计算，再根据分类加法计数原理计算可得. 【详解】甲、乙、丙3人中至多有2人所选活动相同的情况有两类： ①恰有2人所选活动相同，有种； ②3人所选活动均不同，有种； 所以共有种． 故选：C 20．（2025高二下·山东潍坊·期末）如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆3个，另一堆也是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对箱子进行编号，根据定序问题解法得到答案. 【详解】如下图所示，对集装箱进行编号， 则可知1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走， 4号箱子一定在5号箱子前被取走，5号箱子一定在6号箱子前被取走， 根据定序问题用除法得到不同取法的种数为， 故选：C.    21．（2025高二下·山东潍坊·期末）有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（   ） A．1440种 B．1560种 C．1920种 D．5760种 【答案】B 【分析】先进行分组，有和两种情况，利用排列组合知识分别求出两种情况下的情况数，再相加求出答案. 【详解】先将6本书进行分为4组，每个学生至少一本，有和两种情况， 其中分为的情况有种， 分为的情况有种， 故不同的分法种数为. 故选：B 22．（2024高二下·山东威海·期末）甲、乙两所学校从个研学基地中各自选择个进行研学活动，则这两所学校选择的研学基地中恰好有个相同的选法共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据组合的知识求得正确答案. 【详解】依题意，这两所学校选择的研学基地中恰好有个相同的选法有种. 故选：C 23．（2024高二下·山东聊城·期末）甲、乙、丙、丁4名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，若甲、乙两名同学不听同一个讲座，则不同选择的种数是（    ） A．30 B．36 C．54 D．60 【答案】C 【分析】甲、乙两名同学不听同一个讲座，则可甲先在3个讲座中选择一个，然后乙在剩余的两场讲座中选择一个，其余两位同学均可在3个讲座中任意选择一个. 【详解】根据题意，首先甲在3个讲座中选择一个，然后乙在剩余的两场讲座中选择一个，最后丙、丁分别在3个讲座中选择一个， 所以若甲、乙两名同学不听同一个讲座，则不同选择的种数是. 故选：C 24．（2024高二下·山东临沂·期末）某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有（    ） A．24 B．36 C．40 D．48 【答案】C 【分析】设最后两人为丁和戊，然后分甲、乙在丁、戊之间和丁、戊在甲、乙一侧时讨论即可. 【详解】设剩下的两人分别为丁和戊， ①甲、乙在丁、戊之间，将甲、乙捆绑成一个元素， 丁、戊两人有种排法，甲、乙内部有种排法，丙有4个位置可站， 则共有种； ②丁、戊在甲、乙一侧时，丁、戊可选择甲、乙左侧或右侧，则有种排法， 丁、戊排列有种排法， 甲、乙之间排列也有种排法， 丙有3个位置可站， 则该种情况共有种， 则总共有种不同安排方法. 故选：C. 25．（2024高二下·山东烟台·期末）从6名大学毕业生中任选3名去某中学支教，不同选派方法的总数为（    ） A．12 B．18 C．20 D．120 【答案】C 【分析】根据组合公式即可得到答案. 【详解】由题意得不同选派方法的总数为. 故选：C. 26．（2024高二下·山东枣庄·期末）将座位号为1，2，3，4的四张电影票分给甲、乙两人，每人至少一张.若分给同一人多张票，则必须连号，那么不同的分法种数为（    ） A．6 B．9 C．14 D．20 【答案】A 【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理即可. 【详解】四张电影票分成两部分，每部分至少1张，多张票必须连号， 若一部分1张，另一个部分3张的分法有：1，234 和 123，4 两种分法； 若两部分都是两张的有：12，34 一种分法， 再分给甲乙两个人，全部的分法有：种. 故选：A 27．（2024高二下·山东济南·期末）大明湖是济南三大名胜之一，素有“泉城明珠”之美誉，自2017年1月1日起全面向社会免费开放.景区有东南西北4个大门，每个大门进去都有不同景致，小明从一个门进，另一个门出，则不同进出方式的种数为（    ） A．7 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】由题意，分两步完成，第一步选一个大门进去有4种选法，第二步选一个大门出去有3种选法， 所以由分步乘法计数原理可知共有种. 故选：C 28．（2024高二下·山东菏泽·期末）在的展开式中，的幂指数是整数的各项系数之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由二项式定理知与中的的整数次幂项之和相同，再利用赋值法求解. 【详解】设， 由二项式定理知与中的的整数次幂项之和相同，记作， 非整数次幂项之和互为相反数，相加后相互抵消. 故有. 令，则所求的系数之和为. 故选：D. 29．（2024高二下·山东菏泽·期末）从标有的6张卡片中任取4张卡片放入如下表格中，使得表中数字满足，则满足条件的排法种数为（    ） A．45 B．60 C．90 D．180 【答案】C 【分析】分两步完成，第一步从张卡片中任取张卡片放入、，第二步从剩下的张卡片中任取张卡片放入、，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】首先从张卡片中任取张卡片放入、（较大的数放入）有种方法； 再从剩下的张卡片中任取张卡片放入、（较大的数放入）有种方法； 综上可得一共有种不同的排法. 故选：C 30．（2024高二下·山东菏泽·期末）若能被25整除，则正整数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用二项式定理展开，并对讨论即可得到答案 【详解】因为能被25整除， 所以当时，，此时，， 当时，； 当时， ， 因此只需能够被整除即可，可知最小正整数的值为， 综上所述，正整数的最小值为， 故选：C 31．（2024高二下·山东滨州·期末）已知 ，小明在设置银行卡的数字密码时，打算将 的前6位数字1，4，1，4，2，1进行某种排列得到密码．如果排列时要求三个1不相邻，两个4也不相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为（    ） A．6 B．7 C．10 D．12 【答案】C 【分析】讨论2与两个4的位置，结合组合公式得出答案. 【详解】当2在两个4的左边时，两个4中间必有一个1，另外两个1可以插空，共有种； 由对称性可得，当2在两个4的右边时，共有3种； 当2在两个4的中间时，形成4个空，将3个1插入其中，共有种； 综上，共有10种； 故选：C 32．（2024高二下·山东淄博·期末）在的展开式中，含的项的系数为（    ） A． B．280 C．560 D． 【答案】B 【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】的二项式展开式的通项公式为，, 令，可得， 所以， 故含的项的系数为. 故选：B. 33．（2024高二下·山东淄博·期末）某志愿者小组有5人，从中选3人到A、B两个社区开展活动，其中1人到社区，则不同的选法有（    ） A．12种 B．24种 C．30种 D．60种 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理及组合数计算即得. 【详解】求不同选法种数需2步，先从5人中选1人去社区，再从余下4人中选2人去社区， 所以不同的选法有（种）. 故选：C 34．（2024高二下·山东青岛·期末）的展开式中常数项为（    ） A．544 B．559 C．495 D．79 【答案】B 【分析】若要展开式中出现常数项，需考虑六个括号中每个括号提供哪些项，分三种情况解决即可. 【详解】展开式中的常数项分三种情况： 第一种，六个括号都提供，此时得到； 第二种，六个括号中一个括号提供，两个括号提供，三个括号提供，此时得到； 第三种，六个括号中两个括号提供，四个括号提供，此时得到， 所以展开式的常数项为， 故选：B. 35．（2024高二下·山东泰安·期末）中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 【答案】C 【分析】先排宫、徽、羽三个音节，然后商、角两个音阶插空即可求解. 【详解】解：先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有， 再将商、角插入4个空中的2个，有， 所以共有种． 故选：C． 36．（2025高二下·山东泰安·期末）小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数…的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为（    ） A．24 B．16 C．12 D．10 【答案】B 【分析】分两个2之间是8和不是8两大类讨论即可. 【详解】若两个2之间是8，则有282817；282871；728281；128287；172828；712828； 828217；828271；782821；182827；178282；718282，共12种 若两个2之间是1或7，则有272818；818272；212878； 878212，共4种； 则总共有16种， 故选：B. 37．（2025高二下·山东潍坊·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过组合公式变形得，然后利用倒序相加求和即可. 【详解】由题可知通项公式， 所以， 同时， 上述两式相加得 ， 所以， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对组合公式的灵活应用，以及对倒序相加方法的灵活使用. 38．（2025高二下·山东潍坊·期末）的展开式中的系数是（    ） A．126 B．125 C．96 D．83 【答案】B 【分析】运用二项式定理求解. 【详解】由题意原式中的系数； 故选：B. 39．（2025高二下·山东潍坊·期末）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 A．12种 B．18种 C．36种 D．54种 【答案】B 【详解】试题分析：由题意知，完成这一件事可分为两步：先将标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；再将其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B. 考点：排列与组合 二、多选题 40．（2025高二下·山东菏泽·期末）已知，则（   ） A．的值为 B．的值为30 C．的值为 D． 【答案】AB 【分析】令 ，即可判断 ；利用二项式展开得通项，结合乘法得分配律即可判断 ；分别令 和 即可判断 ；令 即可判断 . 【详解】对于 ，令 ，则 ，故 正确； 对于B， 先将展开，其通项公式为， 展开式中的系数为展开式中的系数与的系数之和， ，故B正确； 对于 ，令 ，则 ， 令 ，则 ， 则 ， 故 错误； 对于 ，令 ，则 ， 所以，D错误. 故选： AB 41．（2025高二下·山东泰安·期末）已知的展开式中，第三项与第十一项的二项式系数相等，则下列选项正确的是（   ） A． B．所有项系数的和为1 C．二项式系数最大的项为第6项 D．有理项共有3项 【答案】BD 【分析】对于A，由得即可判断；对于B，令即可验算；对于C，由二项式系数的增减性即可判断；对于D，由二项式展开式即可判断. 【详解】对于A，由题意，所以，故A错误； 对于B，在中令，可得，即所有项系数的和为1，故B正确； 对于C，二项式系数最大的项为第7项，即为，故C错误； 对于D，的展开式通项为， 所以第项为有理项，当且仅当，故有理项共有3项，故D正确. 故选：BD. 42．（2025高二下·山东淄博·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D．的个位数字是9 【答案】BC 【分析】赋值法求系数和判断A、B；由并应用二项式定理求对应项系数判断C；由，结合展开式通项得个位数由决定，即可判断D. 【详解】由题设，令，则，A错； 令，则， 所以，即，B对； 由，展开式通项为，， 当时，，即，C对； 由，展开式通项为，， 显然个位数由决定，即个位数是1，D错. 故选：BC 43．（2025高二下·山东济南·期末）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则（   ） A． B．含项的系数为15 C．各二项式系数和为64 D．各项系数和为64 【答案】AC 【分析】利用二项式系数的性质求出，再利用二项式定理逐项分析判断. 【详解】对于A，由的展开式中仅第4项的二项式系数最大，得展开式共7项，则，A正确； 对于B，在的展开式中，含的项为，此项系数为，B错误； 对于C，的展开式的各二项式系数和为，C正确； 对于D，取，得的展开式各项系数和为0，D错误. 故选：AC 44．（2025高二下·山东潍坊·期末）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论正确的是（   ）    A．第20行中最大的数是第11个数 B．第20行中从左到右第18个数与第19个数之比为6：1 C．记第20行的第个数为，则 D．第四斜行的数：1，4，10，20，…，构成数列，则数列的前项和为 【答案】ABD 【分析】根据组合数公式及性质计算判断A，B，对于C，，代入利用二项式定理即可判断；对于D，，利用公式即可判断. 【详解】对选项A：第20行中最大的数是第11个数，正确； 对选项B：第20行中从左到右第18个数与第19个数之比为，正确； 对选项C：记第行的第个数为，则， 则， 则，故C错误； 对选项D： ，则数列的前项和为，故D正确； 故选：ABD 45．（2025高二下·山东青岛·期末）已知，则（    ） A．的值为2 B．的值为 C．的值为 D．当时，除以11的余数为10 【答案】ACD 【分析】对于AC：利用赋值法分析求解；对于B：根据二项展开式的通项公式分析求解；对于D：整理可得，结合二项展开式分析求解. 【详解】因为， 对于选项A：令，则； 对于选项B：因为的通项为， 可知含项为， 所以的值为，故B错误； 对于选项C：令，则； 令，则； 所以，故C正确； 对于选项D：令，则， 因为， 可知除以11的余数为， 则除以11的余数为，且除以11的余数为， 所以当时，除以11的余数为10，故D正确； 故选：ACD. 46．（2024高二下·山东烟台·期末）设数列满足下列条件：，且当时，.记项数为的数列的个数为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据排列组合的性质可得的通项公式，进而判断ABC各选项，根据等比数列的性质可判断D选项. 【详解】由已知当时，，则数列的项中不能连续出现， 且当为偶数时，出现的次数不得大于，当为奇数时，出现的次数不等大于，且当出现的次数为时数列的第一项为， 当为偶数时，当有个时，则有个，此时数列共有种情况， 所以， 当为奇数时，当有个时，则有个，此时数列共有种情况， 所以， 所以，A选项正确； ，B选项错误； C选项：当为奇数时，， ， ， 此时， 又组合数（），且， 可知 ， 当为偶数时，， ，， 同理， 所以C选项正确； D选项：由，即， 所以， 化简可得，， 由已知，设，则，， 所以数列使以为首项，为公比的等比数列， 所以，D选项错误； 故选：AC. 47．（2024高二下·山东枣庄·期末）下列有关排列数、组合数的等式中，其中，，，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用排列数和组合数的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，根据组合数的性质可知，，故A正确； 对于B，设，则，此时，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，， 故D错误. 故选：AC 48．（2024高二下·山东济南·期末）的展开式，下列说法正确的是（    ） A．展开式共有7项 B．展开式的二项式系数的和为128 C．展开式中的系数为14 D．展开式中第3项或者第4项的二项式系数最大 【答案】BC 【分析】对于A，根据二项式展开式的性质判断，对于B，根据二项式展开式的系数的性质求解判断，对于C，求出通项公式，令的次数为2，求出，从而可求出的系数，对于D，根据二项式展开式的系数的性质判断. 【详解】对于A，的展开式有8项，所以A错误， 对于B，的展开式的二项式系数的和为，所以B正确， 对于C，展开式的通项公式为， 令，得， 所以展开式中的系数为，所以C正确， 对于D，因为的展开式有8项，所以展开式中第4项或者第5项的二项式系数最大，所以D错误. 故选：BC 49．（2024高二下·山东滨州·期末）已知在 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（    ） A．n=6 B．展开式中含的项的系数是 C．展开式的各二项式系数和为64 D．展开式的各项系数和为729 【答案】AC 【分析】由展开式共有7项判断A；由通项公式利用赋值法判断B；由性质判断C；由得出展开式的各项系数和. 【详解】展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式共有7项，则，故A正确； 展开式的通项为， 令，则展开式中含的项的系数是，故B错误； 展开式的各二项式系数和为，故C正确； 令，则展开式的各项系数和为，故D错误； 故选：AC 50．（2024高二下·山东泰安·期末）已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先用题目条件得到，然后取特殊值即可验证A，对表达式求导即可验证B，换元并使用二项式定理即可验证C，考查每一项系数的符号并取特殊值即可验证D. 【详解】由已知有，故，. 所以. 对于A，取得，取得， 所以，A错误； 对于B，对求导得， 取得，B正确； 对于C，在中用替换， 得. 所以，特别地对有，C错误； 对于D，由有. 在中取得， 所以，D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在恒等式中取特殊值，以得到相应的结果. 51．（2024高二下·山东青岛·期末）给出下列命题，其中正确的命题有（    ） A．若.则 B．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种 C．从6双不同颜色的鞋子中任取4只，其中恰好只有一双同色的取法有240种 D．西部某县委将7位大学生志愿者男3女)分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有104种 【答案】ACD 【分析】利用赋值法判断A，根据分步乘法计数原理判断B，先选一双鞋子，再从剩下的双鞋子中各选一只，按照分步乘法计数原理判断C，先分组、再分配，即可判断D. 【详解】对于A：二项式展开式的通项为（）， 所以、、，、、， 对， 令可得， 令可得， 所以，故A正确； 对于B：公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种，故B错误； 对于C：先从双不同颜色的鞋子中任选一双有种取法，再从剩余的双鞋子中的任意两双，在这两双中各选一只有， 由分步乘法计数原理可得从双不同颜色的鞋子中任取只，其中恰好只有一双同色的不同取法共有，故C正确； 对于D：分组的方案有、和、两类， 第一类有种； 第二类有种， 所以共有种不同的方案，故D正确； 故选：ACD． 52．（2025高二下·山东潍坊·期末）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“山东书城”暑期志愿者服务活动，有翻译、导购员、收银员、仓库管理员四项工作可供选择，每人至多从事一项工作，下列说法正确的是（    ） A．若5人每人可任选一项工作，则有种不同的选法 B．若安排甲和乙分别从事翻译、收银工作，其余3人中任选2人分别从事导购、仓库管理工作，则有12种不同的方案 C．若仓库管理工作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有60种不同的方案 D．若每项工作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲、乙不能从事翻译工作，则有126种不同的方案 【答案】CD 【分析】根据排列组合知识分别进行计算可得正确选项 【详解】对于A，安排5人参加4项工作，若每人可任选一项工作，每人有4种安排方式，则有种安排方法，故A不正确； 对于B，安排甲和乙分别从事翻译、收银工作，则有1种方法， 其余3人中任选2人分别从事导购、仓库管理工作，则有种方法， 则共有：种方法，则B错误； 对于C，若仓库管理工作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有种不同的方案，故C正确； 对于D，①从剩下的三人选一个人从事翻译工作，则有种方法， 则甲、乙和三人中剩下的2人从事其余的三个工作共有：种方法， 则共有种方法. ②从剩下的三人选2个人从事翻译工作，则有种方法， 则甲、乙和三人中剩下的1人从事其余的三个工作共有：种方法， 则共有种方法， 所以若每项工作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲、乙不能从事翻译工作， 则有种不同的方案，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 53．（2025高二下·山东威海·期末）的展开式中的系数为_____. 【答案】 【分析】求出展开式中和的系数，然后由多项式乘法得结论． 【详解】展开式的通项公式为，所以所求的系数为. 故答案为：. 54．（2025高二下·山东聊城·期末）给如图所示的风筝中的5个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，现有5种颜色可选，则不同的涂色方案共有______种． 【答案】420 【分析】先对1，2，3三个区域涂色，再讨论1和5区域是否同色，结合排列数分析求解. 【详解】先对1，2，3三个区域涂色，有种涂法， 当1和5区域同色时，有种涂法； 当1和5区域不同色时，有种涂法； 综上所述：共有种涂法. 故答案为：420. 55．（2025高二下·山东淄博·期末）从4名男生和3名女生中选择3人去参加辩论赛，如果3人中既有男生又有女生，那么共有______种选法. 【答案】30 【分析】先利用组合数性质得到选法总数，再减去全是男生或全是女生的选法数，最后求解既有男生又有女生的选法数即可. 【详解】由组合数性质得从7人里选择3人去参加辩论赛有种选法， 而选的人全是男生则有种选法，选的人全是女生则有种选法， 则由分类加法计数原理得全是男生或全是女生共有种选法， 故既有男生又有女生共有种选法. 故答案为：30 56．（2025高二下·山东枣庄·期末）十进制计数法与二进制计数法有如下转换规律：若十进制计数法下的满足：，，，，则其在二进制计数法下可记为.例如：1在二进制中表示为，2表示为，3表示为，4表示为，7表示为.记为，，…，中0的个数，如，，，则从1到255这些自然数的二进制表示中，的个数为__________. 【答案】56 【分析】由题意：在二进制中的表示，恰有两个0，结合组合数计算即可求解. 【详解】由，即，要使， 则在二进制中的表示恰好有两个0， 所以有个满足题意的的值. 故答案为：56. 57．（2025高二下·山东枣庄·期末）5名大学生到新疆、青海、西藏三个地方去支教，每名同学只去1个地方，新疆安排1名，青海安排2名，西藏安排2名，则不同的安排方法共有__________. 【答案】30 【分析】由分步乘法计数原理计算即可得解． 【详解】先选1名去新疆，再选2名去青海，剩下的2名去西藏，方法数为， 故答案为：30. 58．（2025高二下·山东济南·期末）口袋中有大小、形状均相同的3个红球，2个白球，从中任取两个球，则取到的两个球颜色相同的概率为_______． 【答案】/0.4 【分析】利用组合计数问题，结合古典概率求解. 【详解】从5个球中任取2个球的结果有个，取到同色球的结果个， 所以取到的两个球颜色相同的概率为. 故答案为： 59．（2024高二下·山东临沂·期末）展开式的常数项为______. 【答案】60 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】的常数项为, 故答案为： 60．（2025高二下·山东临沂·期末）设集合A中的元素皆为无重复数字的二位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______. 【答案】 【分析】按照二位正整数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可. 【详解】由题意知集合中元素中任意两者之积皆为偶数， 故该集合元素中最多只能有一个奇数，其余元素均是偶数． ①当个位为0时，则十位有9个数字可供选择，则这样的偶数有个； ②当个位不为0时，则个位有2,4,6,8共4个数字可供选择，十位有8个数字可供选择， 则这样的偶数有个； 则集合中元素个数的最大值为个． 故答案为：． 61．（2024高二下·山东济南·期末）从0，1，2，3，4，5，6中任取3个数字，可以组成的没有重复数字的三位数的个数是________.（用数字作答） 【答案】180 【分析】根据取到0与取不到0分类讨论即可由排列求解. 【详解】当取不到0时，一共有个三位数， 若取到时，不能排首位，共有个三位数， 由分类加法计数原理可知，共有三位数的个数为. 故答案为：180 62．（2024高二下·山东菏泽·期末）A、B、C、D共4名同学参加演讲比赛，决出第一至第四的名次.A和B去询问成绩，回答者对A说：“很遗憾，你和B都没有得到冠军.”对B说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，这4人的名次排列有__________.种（用数字作答）. 【答案】 【分析】依题意、不在第一名且不在第四名，分在第四名与不在第四名两种情况讨论. 【详解】依题意、不在第一名且不在第四名， 若在第四名，先排到第二、三名中的一个位置，另外两个人全排列， 所以有种排列； 若不在第四名，则先排、到第二、三名两个位置，另外两个人全排列， 所以有种排列； 综上可得这4人的名次排列有种. 故答案为： 63．（2025高二下·山东潍坊·期末）在8只不同的试验产品中有3只不合格品､5只合格品.现每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止.最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现的不同情形有__________种. 【答案】90 【分析】根据题意，前3次有两次是不合格品，一次是合格品，由分步计数原理得到所求结果. 【详解】有8只不同的试验产品，其中有3只不合格品，第4次抽到不合格品， 前3次有两次是不合格品，一次是合格品共有种可能， 前3次测试中的顺序有种可能， 由分步计数原理即得共有种可能. 故答案为：90 64．（2024高二下·山东泰安·期末）将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在x使得，则x的值是_________. 【答案】或 【分析】根据，可得，再根据组合数的性质，计算即可得出答案. 【详解】根据题意可得， 因为 ， 即，所以或. 故答案为：或. 65．（2024高二下·山东济宁·期末）展开式中含项的系数为______. 【答案】30 【分析】根据二项式展开式有关知识求得正确答案. 【详解】由于， 所以的展开式中含的项为， 所以的展开式中的系数为30. 故答案为：30. 66．（2025高二下·山东菏泽·期末）把6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每个人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法共有______种．（用数字作答） 【答案】144 【分析】根据题意分2步进行：①先将票分为符合条件的4份，有2个人各一张，2个人各2张；②再将分好的4份全排列，对应到4个人，即可得答案. 【详解】解：根据题意，可分为两步进行： ①先将票分为符合条件的4份，4人分6张票，且每人至少一张，至多两张， 则有2个人各一张，2个人各2张，且分得的票必须连号，相当于将1，2，3，4，5，6这6个数字用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号， 即在其中的5个空隙中插入3个板子，其有种情况； 其中出现3张三连号的有：123，4，5，6；1，234，5，6；1，2，345，6；1，2，3，456；共4种情况，不满足题意， 所以有10-4=6种情况； ②再将分好的4份全排列，对应到4个人，有种情况， 由分步计数原理可得，共有种不同的分法. 故答案为：144 67．（2024高二下·山东威海·期末）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则的系数为_______. 【答案】 【分析】根据赋值法和二项式系数的定义可以求得n，再根据二项式的通项即可求得结果. 【详解】在的展开式中，令得展开式各项系数和为，又二项式系和为， 各项系数和与二项式系之比为32，即，∴， 在的展开式中，通项公式为 令，求得，∴的系数为， 故答案为：． 68．（2024高二下·山东淄博·期末）若二项展开式，则______. 【答案】2 【分析】利用赋值法求出所有项系数和以及常数项即可得解. 【详解】令，于是得，而， 所以. 故答案为：2 69．（2025高二下·山东东营·期末）的二项展开式中项的系数为______ 【答案】84 【分析】写出二项展开式的通项公式，由指定项经计算即得. 【详解】的二项展开式的通项：， 由得，， 所以展开式中项的系数为84. 故答案为：84 70．（2024高二下·山东烟台·期末）展开式中的系数为__________. 【答案】-80 【解析】求出的展开式的通项即得解. 【详解】的展开式的通项为， 令，所以的系数为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求二项展开式的某一项的系数，一般利用二项展开式的通项求解. 71．（2025高二下·山东潍坊·期末）的展开式的常数项是________（用数字作答） 【答案】240 【分析】根据二项式的展开式的通项公式赋值即可求出． 【详解】因为的展开式的通项公式为， 令，解得． 所以的展开式的常数项是． 故答案为：240． 【点睛】本题主要考查利用二项式的展开式的通项公式求指定项，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 四、解答题 72．（2025高二下·山东菏泽·期末）已知的展开式中第三项的系数是第二项系数的2倍． (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求的展开式中含项的系数（结果用数值表示）． 【答案】(1) (2)和 (3)219 【分析】（1）利用二项式展开式的通项计算即可求出； （2）由展开式的通项可知共有10项，则二项式系数最大的项为第5项和第6项计算即可； （3）分析可知展开式中含项的系数，根据组合数性质计算即可. 【详解】（1）的展开式的通项为， 因为第三项的系数是第二项系数的2倍， ，解得，因为，所以； （2）由知展开式共有10项，二项式系数最大的项为第5项和第6项， 由（1）知第5项为，第6项为， 所以二项式系数最大的项为和； （3）由（1）知展开式中的系数为 ， 所以展开式中含项的系数为219. 73．（2025高二下·山东济南·期末）（1）证明：，其中，； （2）化简：，其中． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【分析】（1）根据题意，利用组合数的公式，进行化简，即可得证； （2）根据题意，结合倒序相加法，以及组合数的运行性质，即可求解. 【详解】（1）证明：由组合数的计算公式，可得， 又由，所以； （2）解：设， 则， 两式相加，可得， 所以，即. 74．（2024高二下·山东枣庄·期末）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为． (1)求n的值； (2)求展开式中的常数项． 【答案】(1)6 (2)4860 【分析】（1）利用二项式系数的定义求解即可； （2）利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】（1）由展开式的第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5:2， 得，即，而， 所以. （2）二项式的展开式通项公式为， 由，得，则， 所以展开式中的常数项为4860. 75．（2024高二下·山东聊城·期末）已知. (1)求n的值； (2)求的值； (3)求的值（结果用数字表示）. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目条件，令，化简可得的值. （2）根据题目条件，令，化简可得结果. （3）结合二项式展开式通项公式可得，结合组合数性质求值可得结果. 【详解】（1）在中， 令，得，所以. （2）在中， 令，得， 所以. （3）∵的展开式的通项公式为， ∴. 76．（2024高二下·山东泰安·期末）若函数的定义域、值域都是有限集合，，则定义为集合A上的有限完整函数.已知是定义在有限集合上的有限完整函数. (1)求的最大值； (2)当时，均有，求满足条件的的个数. 【答案】(1)140 (2)42 【分析】（1）利用基本不等式求解即可.（2）利用排列组合的知识求解即可. 【详解】（1）由题意得 当且仅当时取等号， 即的最大值为140； （2）由题意知， 从集合M中任取5个数，记为，共有中取法，然后剩余的两个数全排列， 故共有个满足条件； 77．（2024高二下·山东济南·期末）某校数学兴趣小组的同学对杨辉三角性质进行探究发现：“第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即：”，证明如下.证明：考虑多项式中的系数，一方面：代数式中，的系数为.另一方面：代数式中，的系数为.因为，所以.所以. (1)如果证明过程中考虑中的系数，能得到的组合恒等式为________.请先填空，再构造一个实际背景，对所得恒等式的意义作出解释； (2)证明：①；②.注：组合数，若，则. 【答案】(1)，解释见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据材料中的系数求解，从个男生与个女生中选取人小组，另一方面这样的人小组可分为个类：第类由个男生和个女生组成（），利用乘法原理和加法原理可得结论； （2）①等式两边都是两个数相乘，可以联想到分步乘法原理.于是构造组合的实际问题进行解释；②由，考虑中的系数，依照材料中的方法推导求解即可. 【详解】（1） 构造实际背景，对所得恒等式的意义做出解释：从个男生与个女生中选取人小组，一共有种方式， 另一方面，这样的人小组可分为个类：第类由个男生和个女生组成（）， 由乘法原理可知，第类中有个小组，因此人小组共有个， 由加法原理可知：； （2）①等式两边都是两个数相乘，可以联想到分步乘法原理.于是构造组合的实际问题： 从名学生中选出人组成代表队，其中名作为主力队员，名替补队员， 根据分步乘法原理共有种方法， 也可以直接从名学生中选了名主力队员，再从剩下的名学生中选出名替补队员， 根据分步乘法原理共有种方法， 由上面的两种方法可知：； ②考虑中的系数， 一方面 的系数为， 因为，所以的系数为 另一方面， ， 所以的系数为， 因为，所以 ， 所以 【点睛】关键点点睛：此题考查组合数的计算及性质的应用，考查二项定理，解题的关键是对材料中的解法的正确理解，依照材料中解法求解，考查理解能力和计算能力，属于难题. 78．（2024高二下·山东泰安·期末）已知的展开式的各项系数和为256. (1)求展开式中的常数项； (2)设，证明：； (3)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意得，求出，再求出二项式展开式的通项公式，令的次数为0，求出，从而可求出展开式中的常数项； （2）根据阶乘公式化简等式右边即可； （3）根据（2）的结论，利用裂项相消求和法可证得结论. 【详解】（1）因为的展开式的各项系数和为256， 所以，解得， 所以， 展开式的通项公式为， 令，得， 所以展开式中的常数项为； （2）证明：因为 ， 所以； （3）证明：因为由（2）知， 所以 ． 79．（2025高二下·山东潍坊·期末）设，，已知 (1)求实数的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)-2； (2)-2； (3)128. 【分析】（1）根据二项式定理得到方程，求出； （2）赋值得到，，计算出答案； （3）令得到答案. 【详解】（1）根据二项式定理可得， ，解得； （2）由（1）知，，令得 再令得 所以； （3）在式子中， 令可得 80．（2025高二下·山东枣庄·期末）已知在的展开式中，第6项为常数项． （1）求含的项的系数； （2）求展开式中所有的有理项． 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【详解】 （1） （2） 展开式中所有的有理项为 地 城 考点02 概率 一、单选题 1．（2025高二下·山东潍坊·期末）下列说法正确的个数是（ ）． ①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为 ②若随机变量，则方差 ③若随机变量，，则 ④已知随机变量X的分布列为，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据对立事件的概率可判断①；根据二项分布的方差以及方差的性质即可判断②，根据正态分布的对称性可判断③，根据随机变量的分布列即可判④. 【详解】设至少有一名女生为事件 ，则，则，①错误； 因为随机变量，所以，，②正确； 根据正态分布的性质，，所以，，③正确； ，得， 可得，解得，所以，④正确； 综上，正确命题的个数为3. 故选：C. 2．（2024高二下·山东烟台·期末）某产品只有一等品､二等品，现随机装箱销售，每箱15件.假定任意一箱含二等品件数为的概率分别为.一顾客欲购一箱该产品，开箱随机查看其中1件，若该件产品为一等品，则买下这箱产品，否则退回，则该顾客买下这箱产品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合全概率公式、对立事件概率公式即可求解. 【详解】由全概率公式可知，抽到二等品的概率为， 故所求概率为. 故选：C. 3．（2025高二下·山东潍坊·期末）我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为，记第n次推送时不购买此商品的概率为，当时，恒成立，则M的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第n-1次推送时购买、没有购买两种情况，写出第n次推送时没有购买的事件，由互斥事件及独立事件同时发生的概率公式计算，得出递推关系，利用构造等比数列求出通项公式，再由单调性求最值即可. 【详解】由题意知，第n次推送时不购买此商品的概率， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 显然单调递减，所以当时，， 所以即M的最小值为. 故选：A 4．（2024高二下·山东济宁·期末）设一个正三棱柱，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为；②若上一步在下面，则第步不在上面的概率是.如果爬上来，其概率是，两种事件又是互斥的,可得，根据求数列的通项知识可得选项. 【详解】由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为. ①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为； ②若上一步在下面，则第步不在上面的概率是.如果爬上来，其概率是， 两种事件又是互斥的,∴，即，∴， ∴数列是以为公比的等比数列，而，所以， ∴当时，， 故选：D. 【点睛】本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关系，这是常用的方法，属于难度题. 二、多选题 5．（2025高二下·山东聊城·期末）如图，在边长为1个单位长度的正六边形对角线的交点O处有一个质点，随机的沿A，B，C，D，E，F，O中相邻两个点的连线构成的轨道移动，且在每一点处都等可能的向与它相邻的点移动，每次移动1个单位长度，则（    ）    A．移动两次后位于点A的概率为 B．移动两次后位于点O的概率为 C．移动三次后位于点F的概率为 D．移动n次后位于点O的概率为 【答案】BCD 【分析】根据移动过程，结合独立事件概率公式和互斥事件概率公式计算概率判断ABC，设移动n次后位于点O的概率为，找到与的关系后再利用数列知识求解后判断D. 【详解】对A， 移动两次后位于点A，需要第一次移动到B或F，然后再移动到A，概率为，A错； 对B，移动两次后位于点O，第一次移出去，第二次再移回来，概率为，B正确； 对C，移动三次后位于点F，前两次移动到O或A或E,因此概率为，C正确； 对D，设移动n次后位于点O的概率为，则前一次一定在非点，概率为， 所以，从而， 又，所以，所以，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：对D，在求时，关键是找到与的关系，第次必须在非点（概率为），第次才能移动到点，由此得出关系式，其次关键点是凑配出等比数列，利用等比数列通项公式求解. 6．（2025高二下·山东济南·期末）与两人玩游戏，A有标号为的张卡片，B有标号为，的张卡片．规则如下：①双方交替从对方手中抽取一张卡片，若抽到的卡片与自己手中的某张卡片数字相同，则将这两张卡片丢弃；②先从手中抽取；③当有一位玩家手中没有卡片时，该玩家获胜，游戏结束．记有张卡片，有张卡片时，获胜的概率为，则（   ） A．若，则B恰好在两人共抽取4次后获胜的概率为 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A：分析可能的各种可能，利用独立事件概率公式分别计算，然后求和即得；对于B：利用状态转换方法建立方程即可求解；对于C：利用状态转化方法建立一般递推关系，然后得解；对于D：利用C中建立的一般递推关系，计算前面几项的值，可猜想出一般公式，然后验证满足递推关系，根据由递推关系确定的数列的唯一性，验证了公式的正确性，进而判定. 【详解】选项A：①A先抽则；②A第二次抽则 则B恰好在两人共抽取4次后获胜的概率为，A正确； 选项B：当时，有，有； 第一次抽中的概率 (胜)；抽中的概率，此时有，有； 此时有，有，后续获胜概率为， 所以，解得，故B错误； 选项C：当时， ①若先抽，则手中卡片的状态互换，接下来抽，胜的概率为，所以胜概率为， ②若先抽中一张之后，有张卡片，有张卡片（含有和手中卡片相同数字的所有卡片），后续抽后，状态必然变为有张卡片，有张卡片（包含与手中卡片数字相同的所有卡片），则后续胜概率为， 所以， 所以（＊）， 所以，故C正确； 选项D：猜测， 验证满足递推关系，由递推关系所确定奇数项的概率是确定的，故猜想成立. 所以，故D正确. 故选：ACD. 7．（2024高二下·山东威海·期末）设随机事件，，，，则（   ） A．若与独立，且，，则 B．若与互斥，且，，则 C．若，则与独立 D．若，则与互斥 【答案】AC 【分析】根据相互独立事件、互斥事件的定义计算即可判断. 【详解】对于A，因为,所以 若与独立,则与也相互独立， 所以 , 所以 , 故A正确; 对于B，若A与B互斥,则全体样本空间， 所以 故 错误; 对于C，, 因为, 所以, 即 即 所以和相互独立， 所以和也相互独立，故C正确; 对于D， , 因为, 所以 当时， , 即, 此时未必互斥，故D错误. 答案为：AC. 8．（2025高二下·山东潍坊·期末）甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（    ） A．事件B与事件C互斥 B． C．事件A与事件B相互独立 D．记C的对立事件为，则 【答案】CD 【分析】利用列举法将三人抛掷硬币的结果一一列举，再结合古典概型、独立事件、互斥事件、对立事件及条件概率公式一一判定选项即可. 【详解】由题意可知三人抛掷硬币可能的结果有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正）， （反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）八种 情况，显然事件A为中间六种情况，事件B为后四种情况，事件C为最后一种情况. 对于A选项，易知，故A错误； 对于B选项，，故B错误； 对于C选项，易知，故C正确； 对于D选项，易知，故D正确. 故选：CD 9．（2024高二下·山东济南·期末）设A，B是两个随机事件，，，下列说法正确的是（    ） A．若A，B相互独立，，，则 B．若A，B互斥，，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】由互斥、对立事件概率公式及相互独立事件乘法公式判断AB；根据条件概率公式判断C,应用条件概率公式、相互独立事件乘法公式判断D. 【详解】对A，A，B相互独立，，，所以，故A正确； 对B，，故B正确； 对C，，若时， 得不出，即得不出，得不出，故C错误； 对D，， ， 所以 ，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 10．（2025高二下·山东聊城·期末）已知，，则______． 【答案】0.18# 【分析】根据条件概率公式计算. 【详解】由得， 所以， 故答案为：0.18 11．（2025高二下·山东济南·期末）口袋中有大小、形状均相同的3个红球，2个白球，从中任取两个球，则取到的两个球颜色相同的概率为_______． 【答案】/0.4 【分析】利用组合计数问题，结合古典概率求解. 【详解】从5个球中任取2个球的结果有个，取到同色球的结果个， 所以取到的两个球颜色相同的概率为. 故答案为： 12．（2025高二下·山东青岛·期末）已知甲盒产品中有4个正品和2个次品，乙盒产品中有3个正品和2个次品，若从甲盒中任取2个产品，则这2个产品中有一个为正品的条件下，另一个为次品的概率__________.若先从甲盒中任取2个产品，放入乙盒，再从乙盒任取一个产品，则取出的这个产品是正品的概率为__________. 【答案】 【分析】由条件概率公式得到第一个空；由超几何分布，分别计算出从甲中取出的是两个正品、一个正品一个次品、两个次品的概率，再由全概率公式得到第二个空的答案. 【详解】设事件为“从甲中取出的件产品中有一个为正品”，事件为“从甲中取出的个产品中有一个为次品”， 则，，所以； 设事件为“从乙中取出的这个产品是正品”，事件为“从甲中取出两个正品”， 事件为“从甲中取出一个正品、一个次品”，事件为“从甲中取出两个次品”， 则， ， 由全概率公式得. 故答案为：；. 四、解答题 13．（2025高二下·山东威海·期末）已知甲、乙、丙三个品牌的手机从1米高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率均为，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率依次为，，，假设三个品牌的手机掉落后屏幕是否碎掉互不影响. (1)求这3个品牌的手机中至少有2个品牌第一次掉落屏幕未碎掉的概率； (2)设这3个品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉的品牌个数为随机变量X，求X的分布列； (3)已知3个品牌的手机掉落两次后恰有1个品牌的手机屏幕仍未碎掉，求该品牌手机是甲的概率. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式及互斥事件的概率公式列式计算. （2）求出的可能值，再求出各个值对应的概率，列出分布列. （3）利用条件概率公式求解. 【详解】（1）设事件D表示“3个品牌的手机中至少有2个品牌第一次掉落屏幕未碎掉”， 则. （2）依题意，随机变量X的取值集合为， 设事件A表示“甲品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉”， 事件B表示“乙品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉”， 事件C表示“丙品牌的手机掉落两次后屏幕仍未碎掉”， 则，，， 因此，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 （3）设事件E表示“3个品牌的手机掉落两次后恰有1个品牌的手机屏幕仍未碎掉”， 事件F表示“3个品牌的手机掉落两次后恰有甲品牌的手机屏幕仍未碎掉”， 由（2）知，，， 所以已知3个品牌的手机掉落两次后恰有1个品牌的手机屏幕仍未碎掉， 该品牌手机是甲的概率为. 14．（2025高二下·山东聊城·期末）某服装厂为了解消费者对鲜艳色和基础色衣服的喜好是否与年龄有关，随机选取了部分消费者进行调查研究，得到如下列联表： 年龄 喜好 合计 喜欢鲜艳色衣服 喜欢基础色衣服 小于50岁 75 50 125 不小于50岁 25 50 75 合计 100 100 200 (1)根据小概率值的独立性检验，分析消费者对鲜艳色和基础色衣服的喜好是否与年龄有关？ (2)从样本中小于50岁的125名消费者中按照分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求在这2人中至少有1人喜欢鲜艳色衣服的条件下，2人都喜欢鲜艳色衣服的概率． 附：，． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）计算出，与临界值比较可得； （2）确定喜欢鲜艳色衣服的人数以及喜欢基础色衣服的人数，然后用条件概率公式计算. 【详解】（1）， 所以根据小概率值的独立性检验， 有99.9%的把握认为消费者对鲜艳色和基础色衣服的喜好与年龄有关. （2）小于50岁的125名消费者中喜欢鲜艳色衣服的人数和喜欢基础色衣服的人数比为， 因此抽取的5人中，喜欢鲜艳色衣服的人数为3，编号为，喜欢基础色衣服的人数为2，编号为， 从5人抽取2人的样本点为：共10个， 这2人中至少有1人喜欢鲜艳色衣服的样本点有共9个，概率为， 2人都喜欢鲜艳色衣服的样本点有：共3个，概率为． 所以在这2人中至少有1人喜欢鲜艳色衣服的条件下，2人都喜欢鲜艳色衣服的概率为. 15．（2025高二下·山东临沂·期末）某选手参加一项人工智能机器人PK比赛，规则如下：该选手的初始分为20分，每局比赛，该选手胜加10分；平局不得分；负减10分．当选手总分为0分时，挑战失败，比赛终止；当选手总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛选手胜、平、负的概率分别为，且各局比赛相互独立. (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求选手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，选手每胜1局，获奖5千元．记局后比赛终止且选手获奖1万元的概率为，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）两局后比赛终止有两种情况：先平后胜达到 30 分或两负达到 0 分，利用相互独立事件概率公式计算； （2）先求出 3 局后比赛终止的概率以及 3 局后挑战成功的概率，再利用条件概率公式计算； （3）根据获奖金额确定胜的局数，再结合比赛终止条件得到比赛局数与胜、负局数的关系，从而得出概率表达式，进而求最大值. 【详解】（1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或30分比赛终止． （i）当棋手得分为分，则局均负，即； （ii）当棋手得分为30分，则局先平后胜，即．                 因为、互斥，所以         ．                            所以两局后比赛终止的概率为． （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为                            ，                               ．                          所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ．                                     所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． （3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局．                               （i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种，                          （ii）当棋手第局以30分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种，                              则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率 ，．             所以．                         因为，所以，                          所以，所以单调递减， 所以当时，取最大值为. 16．（2025高二下·山东泰安·期末）为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，比赛规则为：①每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局；②总共进行奇数局比赛；③全部比完后，分数高者获胜.假设每局比赛甲队获胜的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响. (1)当时，若两队共进行3局比赛，设甲队得分减去乙队得分的差为X，现在规定：若，则甲队可额外获得一次特殊训练机会，求甲队获得一次特殊训练机会的概率； (2)若两人共进行局比赛，当且时，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”，事件B表示“甲最终获胜”，求，的值； (3)若甲队在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为，已知，试判断与的大小关系，并说明理由. 【答案】(1)； (2)，； (3)，理由见解析. 【分析】（1）应用独立重复试验的概率求法及互斥加法公式求概率； （2）由题设前局后剩余2局比赛，设前局甲队赢局，则剩余2局的赢局数，总分满足，应用二项分布的概率及对立事件概率求法求，； （3）由全概率公式得，即，再应用作商、基本不等式得，即可得结论. 【详解】（1）， ∴甲队获得一次特殊训练机会的概率为； （2）由题设，前局后剩余2局比赛，设前局甲队赢局， 则剩余2局的赢局数，总分满足， 所以对应，即，又，故， 对于对应，即，又，所以； （3）由全概率公式得     ， ∴， 当时，， ， ∵， ∴， ∴. 17．（2025高二下·山东滨州·期末）某公司要招聘一名秘书，共有名候选人，他们的能力大小各不相同．面试过程中，n名候选人依次前来面试，面试官只能根据当前和之前的候选人的能力排名做出决策，并且必须在面试完当前候选人后立即决定是否录用．一旦拒绝，该候选人将无法再被录用．为了最大概率选中最优秀的候选人，面试官实行了以下策略： ①拒绝前个候选人，将其作为参考样本． ②从第个候选人开始，如果某个候选人的能力超过了之前所有人，就立即选中他．如果后面没有比前面更优秀的候选人，则录用最后一个候选人． 设面试官选中最优秀的候选人的概率为P． (1)若，，求P； (2)取． (ⅰ)若，求当P取得最大值时，k的取值； (ⅱ)证明：． 【答案】(1)； (2)（i）37；（ii）证明见解析. 【分析】（1）求出满足题意的情况数和总情况数，再利用古典概型公式即可得到答案； （2）（i）利用全概率公式得，再构造函数，求导得其单调性即可证明； （ii）转化为证明，设，再利用同构思想转化证明，最后构造函数，求导再利用其单调性即可证明. 【详解】（1）4名候选人的面试顺序从第1个到第4个排序，有种情况， 要选中最优秀的侯选人，有以下两类情形： ①最优秀的候选人是第3个，其他使选人位置随意，有种情况； ②最优秀的候选人是最后1个，第二优秀的候选人是第1个或第2个，其他候选人位置随意，有种情况． 故所求概率． （2）（i）记事件表示选中最优秀的候选人，事件表示最优秀的候选人排在第个位置， 因为最优秀的候选人出现在各个位置上的概率相等， 所以. 以最优秀候选人所在位置作为条件， 当时，最优秀的饮选人在前个人之中，不会被选中，此时． 当时，最优秀的候选人被选中，当且仅当前个候选人中的最优秀的一个在前个人中，此时． 由全概率公式得： ， 因为，所以. 构造函数．所以． 令，得． 当；当． 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以． 因为，所以当时，， 即， 所以取最大值时，的取值约为37． （ii）由（i）知，， 要证，即证，即证. 令，即需证，即证， 即证. 构造函数 因为在上恒成立， 所以在单调递增．． 取，则， 则命题得证. 18．（2025高二下·山东枣庄·期末）“随机游走”在空气中的烟雾扩散等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位. (1)求质点移动6次后位于的概率； (2)设质点在第2秒末移动到点，记xy的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望； (3)记第n秒末质点回到原点的概率为. （i）求，； （ii）求. 参考公式：. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为0； (3)（i）；（ii） 【分析】（1）移动6次到，只能3次向右，3次向上，由此由独立重复试验概率公式计算； （2）根据第2秒末粒子的可能位置进行列举，确定随机变量的可能值，由古典概型概率公式计算概率得其分布列，再由期望公式计算出期望； （3）（i）根据第1秒末粒子的所有可能位置，易得第2秒末回到原点的概率，根据粒子在第4秒末回到原点，可分两种情况考虑，即按照四个不同方向的排列或按照两个相反方向的排列，利用互斥事件的概率加法公式计算即得；（ii）因第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动了步，向右移动了步，向上移动了步，向下移动了步，由此求出，利用组合式公式和题设公式化简即得. 【详解】（1）质点移动6次后位于，6次移动中只能有3次向右，3次向上，因此概率为 （2）因在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处，故在第2秒末可能运动到点各两种情形，各一种情形，有4种情形，共计16种情形， 随机变量表示的取值，故的可能取值为， 对应的概率分别为：，，， 故的分布列为： 0 1 期望为； （3）（i）因第1秒末，粒子等可能地出现在，，，四点，第2秒末，每个位置的粒子都有的可能回到原点，故； 对于粒子在第4秒末回到原点，分两种情况考虑：每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有种情形； 每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右，上上下下”，共有种情形.故； （ii）第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动了步，向右移动了步，向上移动了步，向下移动了步， 故 ， 因，故. 【点睛】关键点点睛：题中求时理解为第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动了步，向右移动了步，向上移动了步，向下移动了步最为关键，从而得到，其次利用组合公式，题设公式的结合是第二关键. 19．（2025高二下·山东济南·期末）从某校高一年级全体学生中随机抽取120人，进行文理选科倾向调查，得到如下列联表：       性别 倾向 男生 女生 合计 偏理科 40 90 偏文科 10 合计 60 120 (1)请完成上述列联表； (2)从女生中随机抽取一人，求该女生是偏文科生的概率； (3)根据小概率值的独立性检验，分析性别与选科倾向是否有关． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 2.70 3.841 6.635 ． 【答案】(1)列联表见解析； (2)； (3)有关. 【分析】（1）根据题意完善列联表. （2）利用古典概率求解即得. （3）求出的观测值，与临界值比对作答. 【详解】（1）列联表如下：       性别 倾向 男生 女生 合计 偏理科 50 40 90 偏文科 10 20 30 合计 60 60 120 （2）由表格中数据知，60名女生中偏文科的有20名， 所以从女生中随机抽取一人，该女生是偏文科生的概率为. （3）零假设：性别与选科倾向无关， 由表格中数据经计算得， 根据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立， 即认为性别与选科倾向有关，此推断犯错误的概率不超过0.05. 20．（2024高二下·山东聊城·期末）某餐馆为了解顾客对某一新菜品的喜好程度是否与年龄有关，随机调查了品尝过该菜品的100位顾客，得到下面列联表： 顾客 对该菜品的喜好程度 合计 喜欢 不喜欢 青年人 35 15 50 中老年人 25 25 50 合计 60 40 100 (1)根据上表，分别估计青年人、中老年人喜欢该菜品的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，判断顾客对该菜品的喜好程度与年龄是否有关联. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)青年人、中老年人喜欢该菜品的概率分别为. (2)见解析 【分析】（1）根据表格数据结合概率公式求解； （2）由独立性检验，计算卡方，即可作出判断. 【详解】（1）解：根据表中数据，青年人共有50人,喜欢该菜品的有35人， 设“青年人喜欢该菜品”为事件A，则. 中老年人共有50人，喜欢该菜品的有25人， 设“中老年喜欢该菜品”为事件B，则. 所以估计青年人、中老年人喜欢该菜品的概率分别为 （2）零假设：顾客对该菜品的喜好程度与年龄无关.   依题意，得， 根据小概率值的独立性检验，推断成立， 即顾客对该菜品的喜好程度与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于. 21．（2024高二下·山东聊城·期末）有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中一次性摸出两个球，如果每次摸出的两个球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖，有两种摸球方式：一是每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，中奖次数记为；二是每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，中奖次数记为. (1)求第一次摸球就中奖的概率； (2)若，求的分布列和数学期望； (3)若，函数随机变量，求的数学期望. 【答案】(1) (2)，分布列见解析 (3) 【分析】（1）根据组合公式结合概率公式求解； （2）组合公式结合概率公式分别求出对应概率，再由分布列求出期望； （3）由，再结合函数解析式，得出的数学期望. 【详解】（1）解:记“第一次摸球就中奖”为事件，则 即第一次摸球就中奖的概率为. （2）若，且第一次摸球后将球均不放回袋中，直接进行第二次摸球， 则的可能取值为. 则 则的分布列为 所以的数学期望为 （3）若，且每次摸球后均将球放回袋中，再进行下一次摸球， 则每次中奖相互独立,且由(1)知每次中奖的概率均为，所以. 此时的可能取值为. 的可能取值为 当时，； 当时，，当时，. 因为， 所以 又， 所以 . 所以 . 即的数学期望为    . 【点睛】关键点睛：解决第三问时，关键在于对二项分布的识别与应用，会结合新情境，求出随机变量的数学期望. 22．（2024高二下·山东临沂·期末）设集合，为的非空子集，随机变量，分别表示取到子集中的最大元素和最小元素的数值． (1)若，求； (2)若， （i）求且的概率； （ii）已知，求随机变量的均值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）10 【分析】（1）根据古典概型公式，计算出总数和满足题意的情况数即可； （2）（i）计算出集合中有7个元素总情况数，再计算出时，集合的非空子集个数，再利用古典概型公式即可； （ii）通过分析得，，再利用均值公式结合等比数列求和公式即可得到答案. 【详解】（1）当时，集合的非空子集的个数为， 其中这些子集中最大元素为4的集合个数为， . （2）（i）当集合中的最大元素和最小元素分别为8，2， 元素个数最少时， 元素个数最多时为7元素集， 集合的可能情况有个； 当时，集合的非空子集个数为个； 且. （ii）当时，集合的非空子集个数为511个， 其中，最大值的子集可视为的子集与集合的并集共有个， 最大值的子集可视为的子集与集合的并集共有个， 最大值的子集可视为的子集与集合的并集共有个， . 最小值的子集可视为的子集与集合的并集共有个， 最小值的子集可视为的子集与集合的并集共有个， ， . 【点睛】关键点点睛；本题第二问第二小问的关键是根据集合的知识得到，最后再代入均值公式计算. 23．（2024高二下·山东菏泽·期末）某学校有南､北两家餐厅，各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.某个就餐时间对在两个餐厅内就餐的100名学生分性别进行了统计，得到如下的列联表. 性别 就餐人数 合计 南餐厅 北餐厅 男 25 25 50 女 20 30 50 合计 45 55 100 (1)对学生性别与在南北两个餐厅就餐的相关性进行分析，依据的独立性检验，能否认为在不同餐厅就餐与学生性别有关联？ (2)若从这100名学生中选出2人参加某项志愿者活动，求在抽出2名学生的性别为一男一女的条件下，这2名学生均在“南餐厅”就餐的概率. 附：； 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出值，与2.706比较大小，得出结论即可； （2）运用古典概型和条件概率公式求解即可. 【详解】（1）零假设为：分类变量X与Y相互独立，即不同区域就餐与学生性别没有关联.． 依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联． （2）设事件A为“从这100名参赛学生中抽出2人，其性别为一男一女”， 事件为“这2名学生均在南餐厅就餐”， 则． 故在抽出2名学生性别为一男一女的条件下，这2名学生的成绩均在“南餐厅”就餐概率为． 24．（2025高二下·山东青岛·期末）某同学在上学的路上要经过3个十字路口，在每个路口是否遇到红灯相互独立，设该同学在三个路口遇到红灯的概率分别为，，. (1)求该同学在上学路上恰好遇到一个红灯的概率； (2)若该同学在上学路上每遇到1个红灯，到校打卡时间就会比规定打卡时间晚48秒，记该同学某天到校打卡时间比规定时间晚秒，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，52 【分析】（1）利用概率的乘法和加法公式即可求解； （2）根据已知条件求出随机变量的取值，再利用概率的乘法和加法公式求出随机变量对应的概率，进而得出随机变量的分布列，再利用随机变量的期望公式即可求解. 【详解】（1）记A={该同学在上学路上恰好遇到一个红灯}, . （2）的可能取值为， , , , X的分布列为： X 0 48 96 144 P . 25．（2025高二下·山东潍坊·期末）一疫苗生产单位通过验血方法检验某种疫苗产生抗体情况，需要检验血液是否有抗体现有份血液样本每份样本取到的可能性均等有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验若检验结果无抗体，则这k份的血液全无抗体，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果有抗体，为了明确这k份血液究竟哪几份有抗体就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验总次数为k+1次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果有无抗体都是相互独立的，且每份样本有抗体的概率均为． （1）假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率； （2）现取其中（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式样本需要检验的总次数为．若，求关于k的函数关系式，并证明． 【答案】（1）；（2）；证明见解析． 【分析】（1）设恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件A，由古典概型概率计算公式可得答案； （2）由题得，，进而根据化简整理得，再令（且）得，再令，利用导数研究最值得，进而得，即，进而证明. 【详解】解：（1）设恰好经过3次检验能把有抗体血液样本全部检验出来为事件A， 所以， 所以恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为． （2）由已知得， 的所有可能取值为1，． 所以，， 所以， 若，则， 所以，， 所以，即， 所以p关于k的函数关系式为（且） 证明：令（且） 所以， 令， ， 所以得， 所以，，单调递减， ，，单调递增 所以，所以， 因为且， 所以，即， 所以，即， 所以． 【点睛】本题考查古典概型求概率，随机变量概率分布列，数学期望，利用导数研究函数的性质等，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问题解题的关键在于根据题意求得，进而结合得，再通过换元法结合导数研究函数不等式. 地 城 考点03 统计 一、单选题 1．（2025高二下·山东聊城·期末）某同学根据一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（    ） A．相关系数r变大 B．决定系数变小 C．残差平方和变小 D．不变 【答案】B 【分析】从图中分析得到加入点后，回归效果会变差，再由平均数，相关系数，决定系数，残差平方和及相关性的概念和性质作出判断即可. 【详解】增加点，从散点图中可以看出拟合效果变差； 越接近，相关程度越强，拟合效果越好，由于两个变量成正相关，所以相关系数变小；故A错误； 决定系数越接近，拟合效果越好，所以决定系数变小，故B正确； 残差平方和越小，拟合效果越好，所以残差平方和变大；故C错误； 增加点前的的平均数为，增加点后的的平均数为，所以变大，故D错误. 故选：B 2．（2025高二下·山东枣庄·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 B．若x与y线性相关越强，则在线性回归直线上的点越多 C．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 D．线性回归分析中决定系数值越小，则模型的拟合效果越好 【答案】A 【分析】由残差平方和越小的模型，拟合的效果越好可判断A；x与y线性相关越强，在线性回归直线上的点不一定越多，可判断B；两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，可判断C；值越大，则模型的拟合效果越好，可判断D. 【详解】对于A，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故A正确； 对于B，x与y线性相关越强，在线性回归直线上的点不一定越多，故B错误； 对于C，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故C错误； 对于D，值越大，则模型的拟合效果越好，故D错误. 故选：A. 3．（2025高二下·山东枣庄·期末）下列四组成对数据：①，，，，；②，，，，；③，，，，；④，，，，.其中样本相关系数最小的是（   ）（附：样本相关系数） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】观察数据，对于①，样本相关系数为1，对于③，样本相关系数为-1，再对②和④进行观察和计算，最终可得答案. 【详解】对于①，数据均在上，故样本相关系数为1， 对于③，数据均在上，故样本相关系数为-1， 对于②，可看出其数据为正相关，故样本相关系数大于0， 对于④，显然所有数据无法落在某一个一次函数上，故， 事实上， ， 其中，故， 故， 综上，样本相关系数最小的是③. 故选：C 4．（2025高二下·山东青岛·期末）已知变量，线性相关，其一组样本数据满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为，若增加一个数据后，得到新的经验回归方程，则此时数据的残差为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据已知数据求原数据的样本中心，再确定新数据的样本中心，进而得出新的回归直线方程，再结合残差的定义计算即可. 【详解】由题意可知，旧数据，则， 增加数据后，，， 将点代入中得， ，即，则， 当时，，故残差为. 故选：D 5．（2025高二下·山东青岛·期末）为调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下列联表： 性别 晚上 白天 总计 女 30 男 30 总计 40 90 则的值最接近（附：，）（   ） A．18 B．11 C．8 D．6 【答案】B 【分析】完善列联表，计算得解. 【详解】由题意可得列联表： 性别 晚上 白天 总计 女 30 20 50 男 10 30 40 总计 40 50 90 所以， 所以的值最接近11， 故选：B 6．（2025高二下·山东济南·期末）对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据对应的相关系数进行比较，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的散点图，结合相关系数的意义判断即得. 【详解】由图知，对应的与负相关，且对应的相关性更强，即； 对应的与正相关，且对应的相关性更强，即， 所以. 故选：A 7．（2024高二下·山东济南·期末）下列残差图满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元线性回归模型中对随机误差的假定是：随机误差是均值为0，且相互独立，方差为常数的正态分布.反映在残差图上，满足假定的残差图的特征是：残差均匀地分布在以横轴（一般为解释变量或观测顺序等）为中心的水平带状区域内，且残差之间没有明显的趋势性或规律性.根据这些特征对每个选项的残差图进行分析判断. 【详解】对于选项A，观察选项A的残差图，可以看到残差均匀地分布在以横轴为中心的水平带状区域内.残差没有明显的上升、下降趋势，也没有呈现出某种曲线形状等规律性.这表明随机误差满足均值为0，相互独立且方差为常数的假定，所以选项A符合一元线性回归模型中对随机误差的假定.   对于选项B，选项B的残差图中，残差呈现出明显的上升趋势.这意味着残差不是相互独立的，且其均值也不是稳定的0，不满足一元线性回归模型中随机误差相互独立且均值为0的假定，所以选项B不符合要求.   对于选项C，选项C的残差图呈现出“U”型曲线的形状.这种形状说明残差具有明显的规律性，不是随机分布的，不满足随机误差相互独立且方差为常数的假定，所以选项C不符合要求.   对于选项D，选项D的残差图虽然看起来大致分布在一定区域内，但仔细观察可以发现，残差在横轴两侧的分布并不是均匀的，在某些区间内残差的波动较大，而在另一些区间内波动较小，这说明方差不是常数，不满足一元线性回归模型中对随机误差方差为常数的假定，所以选项D不符合要求. 故选：A. 8．（2024高二下·山东聊城·期末）在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是（    ） A．残差图越宽 B．残差平方和越小 C．决定系数越小 D．相关系数越大 【答案】B 【分析】根据残差、决定系数、相关系数的概念判断即可. 【详解】残差图越宽，模型的拟合效果越差，故A错误； 残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故B正确； 决定系数越小，说明模型的拟合效果越差，故C错误； 相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，故D错误； 故选：B 9．（2024高二下·山东枣庄·期末）学校开设了游泳选修课.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关，在全校学生中选取了男、女生各人进行调查，并绘制如下图所示的等高堆积条形图.则（    ） 参考公式及数据：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 A．参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数多 B．全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多 C．若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关 D．若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关 【答案】D 【分析】根据等高堆积条形图即可判断A,B选项，计算出的值即可判断C,D选项. 【详解】对于A，由等高堆积条形图可知，参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数少，故A错误； 对于B，全校学生中男生和女生人数比不确定，故不能确定全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多，故B错误； 对于C，结合等高堆积条形图可得： 性别 游泳 合计 喜欢 不喜欢 男生 0.6n 0.4n n 女生 0.4n 0.6n n 合计 n n 2n 故， 若，则， 故依据的独立性检验，不可以认为游泳运动的喜好和性别有关，故C错误； 对于D，若，则， 依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关，故D正确. 故选：D 10．（2024高二下·山东枣庄·期末）相关变量，的散点图如下.若剔除点后，剩下数据得到的统计中，较剔除之前值变大的是（    ） A．的平均值 B．相关系数 C．决定系数 D．残差的平方和 【答案】C 【分析】结合图像和变量之间的相关关系进行判断即可. 【详解】由散点图可知，去掉点后，，的线性相关加强，且是负相关， 故样本的相关系数变小，决定系数变大，残差平方和变小，样本数据y的平均值也变小. 故选：C 11．（2024高二下·山东东营·期末）已知变量x和y的统计数据如表，若由表中数据得到回归直线方程为，则时的残差为（    ） x 4 4.5 5 5.5 6 y 7 6 4 2 1 A．0.2 B． C．0.4 D． 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得样本中心点的坐标，即可得到，得到线性回归方程，然后求得时的预测值，再由残差定义即可求解. 【详解】因为，， 则样本中心点为，代入可得， 所以回归直线方程为， 当时，， 所以时的残差为. 故选：D 12．（2024高二下·山东菏泽·期末）下列说法正确的是（    ） A．线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．正态分布的图象越瘦高，越大 D．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 【答案】B 【分析】值越大，模型的拟合效果越好可判断A；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，判断B；正态分布的图象越瘦高，越小可判断C；两个随机变量的线性相关性越强， 则相关系数的绝对值越接近于1，可判断D. 【详解】对于A：值越大，模型的拟合效果越好，故A错误； 对于B，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B正确． 对于C，正态分布的图象越瘦高，越小，故C错误； 对于D， 两个随机变量的线性相关性越强， 则相关系数的绝对值越接近于1 ，故D错误. 故选：B． 二、多选题 13．（2025高二下·山东威海·期末）某位同学10次考试的物理成绩与数学成绩如下表所示： 数学成绩x 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76 物理成绩y 80 87 75 86 100 79 93 68 85 77 已知y与x线性相关，计算可得，，回归直线方程为，则（   ） A．y与x正相关 B． C．相关系数 D．若该同学第11次考试的数学成绩为80，物理成绩为83，则以这11次成绩重新计算，得到的回归直线方程不变 【答案】ACD 【分析】根据题意，结合回归直线方程一一判断即可． 【详解】对于选项A，在中，，则y与x正相关，故选项A正确； 对于选项B，由，，则样本中心点为，代入得，解得，故选项B错误； 对于选项C，根据选项A可得相关系数，故选项C正确； 对于选项D，新增数据点为，该点恰好是原样本中心，且新增点不影响协方差和方差的计算(新增点的和均为0)，所以新的回归直线方程不变，故选项D正确． 故选：ACD． 14．（2025高二下·山东菏泽·期末）下列命题正确的有（   ） A．在两个随机变量的线性相关关系中，若相关系数越大，则样本的线性相关性越强 B．若用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好 C．若以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别为3，4 D．一组成对数据，增加一对数据，其中，，线性回归方程不变（其中） 【答案】BCD 【分析】根据回归方程、残差、相关系数、非线性回归等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，相关系数的绝对值越大，样本的线性相关性越强，故A错误； 对于B，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，B选项正确； 对于C， 由，得，故C确. 对于D，新增加的数据是原数据的样本中心点， 根据线性回归方程的性质，回归直线过，增加这样一个点，样本中心点不变， 计算回归系数和的公式中，分子分母的计算结果也不会改变，所以线性回归方程不变，故D正确. 故选：BCD. 15．（2025高二下·山东临沂·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．经验回归方程为时，变量和负相关 C．已知，若，则 D．在相关关系中，若用拟合时的决定系数为，用拟合时的决定系数为，且，则的拟合效果好 【答案】BC 【分析】根据二项分布的方差公式，结合正态分布的性质、回归直线方程系数的意义、决定系数的意义逐一判断即可. 【详解】A：由，所以本命题不正确； B：因为，所以变量和负相关，因此本命题正确； C：因为， 所以， 所以，因此本命题正确； D：因为，所以的拟合效果好，因此本命题不正确， 故选：BC 16．（2025高二下·山东泰安·期末）下列说法中正确的是（   ） A．如果由一组样本数据，，…得到的经验回归方程是，那么经验回归直线至少经过点，，…中的一个 B．在回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好 C．残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明模型选择比较合适，而且带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高 D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和0.3 【答案】BCD 【分析】ABC选项，根据线性回归方程，回归分析中决定系数，残差图的相关概念对选项一一判断；D选项，变形后对照系数，得到，，所以c，k的值分别是和0.3，D正确. 【详解】A选项，可能不经过点，，…中的任何一个，A错误； B选项，回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好，B正确； C选项，残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中， 说明模型选择比较合适，而且带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高，C正确； D选项，中，两边取对数，设，得，所以，， 所以c，k的值分别是和0.3，D正确. 故选：BCD 17．（2025高二下·山东滨州·期末）某同学经过随机抽样获得的成对样本数据为，，，，数据为其中一对样本数据，经统计分析，变量x和变量y具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归方程为，则下列结论正确的为（    ） 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：． A．若，则 B．根据所求经验回归方程，数据的残差值为0.1 C．若将样本数据，，，调整为，，，，则调整数据后所得经验回归方程为 D．若该同学将样本数据错误的记为，则样本相关系数r将变小 【答案】ACD 【分析】由回归直线方程求中心点判断A，计算预估值后得残差判断B，根据数据的变化确定新回归直线中的系数得方程判断C，利用数据点与回归直线的远近变化确定相关系数的变化判断D. 【详解】对A，，因此，A正确； 对B，由回归直线方程知时，，因此残差为，B错； 对C，将样本数据，，，调整为，，，，根据计算公式，回归直线方程中系数不改变，但增加了3，原来是， 所以新的系数为，回归方程为，C正确； 对D，原回归直线中样本点的预估点是，现变为，远离了回归直线，因此线性相关性减弱，相关系数的绝对值变小，原来是3，因此相关系数变小，D正确。 故选：ACD. 18．（2025高二下·山东淄博·期末）以下结论正确的是（    ） A．在线性回归分析中，样本相关系数的值越大，变量间的线性相关性越强 B．经验回归直线一定经过点 C．一组数据，，，，的经验回归方程为，则当时，残差为1 D．以模型去拟合一组数据时，为了利用一元线性回归模型估计参数，，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.4 【答案】BCD 【分析】利用相关系数的性质判断A，利用回归直线的性质判断B，先求出样本中心点，进而求出回归方程，再利用残差的定义判断C，对合理变形，得到，最后对照系数求解参数值判断D即可. 【详解】对于A，由相关系数性质得，当越接近1时， 变量间的线性相关性越强，故A错误， 对于B，由回归直线性质得回归直线一定经过点，故B正确， 对于C，由题意得，， 将代入中，得到，解得， 则回归方程为，当时，， 由残差公式得残差为，故C正确， 对于D，由题意得，且设， 则， 而，得到，，解得， 则，的值分别是和0.4，故D正确. 故选：BCD 19．（2025高二下·山东枣庄·期末）某地新开了一条夜市街，每晚最多能接纳10万人.主办公司计划通过广告宣传提高客流量.通过调研，发现投入的广告费x与每晚客流量y存在如下关系： x/万元 1 2 3 4 5 y/千人 5 6 8.1 9 14.5 附，，，， 令，，，. 现用曲线拟合变量x与y的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数，的最小二乘估计，依所求回归方程C为预测依据，则（   ） A．曲线C经过点 B． C．若投入广告费9万元，则每晚客流量会超过夜市接纳能力 D．广告费每增加1万元，每晚客流量增加3000人 【答案】BC 【分析】利用题目的数据，得出，的最小二乘估计，即可得出回归方程，逐个逐项判断即可. 【详解】由题可知，令，，， ， 所以， ，故B正确； 所以， 令，， 所以曲线C不经过点，故A错误； 当时，千人， 所以若投入广告费9万元，则每晚客流量为万人， 因为每晚最多能接纳10万人，所以会超过夜市接纳能力，故C正确； 由可知，当时，， 所以当广告费从5万元增加到6万元，客流量增加千人，故D错误. 故选：BC 20．（2024高二下·山东临沂·期末）下列说法正确的是（    ） A．将一组数据的每一个数据减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同 B．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强 C．设随机变量，，则 D．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 【答案】ACD 【分析】借助方差的性质即可判断A；根据线性相关系数的性质即可判断B；利用正态分布的对称性即可判断C；利用残差的性质逐项判断即可得. 【详解】对A：由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一个数后， 新数据的方差与原数据方差相同，故A正确； 对B：线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，，故B错误； 对C：根据正态分布的对称性知，故C正确； 对D：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄， 其模型的拟合效果越好，故D正确. 故选：ACD. 21．（2024高二下·山东菏泽·期末）假设变量与变量的对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型要利用成对样本数据求参数的最小二乘估计，即求使取最小值时的的值，若某汽车品牌从2020~2024年的年销量为（万辆），其中年份对应的代码为，如表， 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万辆） 4 9 14 18 25 根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述 令变量，且变量与变量满足一元线性回归模型则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．2025年的年销售量约为34.4万辆 【答案】AC 【分析】利用线性回归方程待定系数公式，再由变量的线性代换关系进行计算，最后恒过样本点，就可得到线性回归方程. 【详解】由可得：， 同理由，可得， 根据公式，故A正确；B错误； 由表格中数据可得：， ， ， 所以， 由于，所以与的回归方程必过原点，， 又由于，代入得： ，整理得：，故C正确； 当，即表示2025年，此时， 所以2025年的年销售量约为万辆，故D错误； 故选：AC. 22．（2024高二下·山东泰安·期末）关于概率统计，下列说法中正确的是（    ） A．两个变量x，y的线性相关系数为r，若r越大，则x与y之间的线性相关性越强 B．某人解答5个问题，答对题数为X，若，则 C．若一组样本数据（，2，3，…，n）的样本点都在直线上，则这组数据的相关系数r为0.56 D．已知，若，则 【答案】BD 【分析】根据相关系数的几何意义即可判断A；根据二项分布的期望公式即可判断B；根据线性相关的定义即可判断C；根据正态分布的对称性即可判断D. 【详解】对于A，越大，则x与y之间的线性相关性越强，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为样本点都在直线上， 所以样本数据呈线性相关，且为正相关，所以，故C错误； 对于D，因为，， 所以，故D正确. 故选：BD. 23．（2024高二下·山东济宁·期末）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．设具有相关关系的两个变量的样本相关系数为，则越接近于，之间的线性相关程度越强 B．随机变量，若，则 C．随机变量服从两点分布，若，则 D．某人在次射击中击中目标的次数为，若，则当时概率最大 【答案】BD 【分析】根据相关系数的特点可知A错误；由正态分布可得，根据方差的性质可知B正确；由两点分布方差计算公式可知C错误；利用可求得，由此可知当时概率最大，D正确. 【详解】对于A，越接近于，之间的线性相关程度越弱，A错误； 对于B，随机变量，则，， 若，则，解得：，B正确； 对于C，随机变量服从两点分布，其中，， 则，，C错误； 对于D，，当时，对应的概率， 当时，， 令，解得：，又， 且，即当时，概率最大，D正确． 故选：BD． 24．（2025高二下·山东东营·期末）某中学对1000名学生的竞赛成绩进行统计分析，按照，，，，分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（   ） A．图中的x值为0.020 B．得分在80分及以上的人数为400 C．这组数据的极差一定为50 D．这组数据的平均数的估计值为77 【答案】ABD 【分析】A选项，根据频率之和为1得到方程，求出；B选项，先计算出得分在80分及以上的频率，进而得到得分在80分及以上的人数；C选项，从频率分布直方图中无法确定具体的成绩数值，C错误；D选项，利用中间值作代表，利用平均数的定义计算即可. 【详解】A选项，频率之和为1，故， 解得，A正确； B选项，得分在80分及以上的频率为， 故得分在80分及以上的人数为，B正确； C选项，从频率分布直方图中无法确定具体的成绩数值，故无法确切求出极差的大小， 只能进行极值的估计，C错误； D选项，利用中间值作代表，， 这组数据的平均数的估计值为77，D正确. 故选；ABD 三、填空题 25．（2024高二下·山东枣庄·期末）害虫防控对于提高农作物产量具有重要意义.已知某种害虫产卵数（单位：个）与温度（单位：）有关，测得一组数据，可用模型进行拟合，利用变换得到的线性回归方程为.若，则的值为__________. 【答案】 【分析】将非线性模型两边同时取对数可得，再将样本中心点代入回归方程可得，即可计算出. 【详解】对两边同时取对数可得； 即，可得 由可得， 代入可得，即，所以. 故答案为： 26．（2025高二下·山东济南·期末）两个相关变量x，y的一组数据统计如下表 x 2 3 4 5 6 y 2.8 3.1 3.3 3.8 4.0 根据上表可得经验回归方程中的为0.31，据此经验回归方程，当时，y的预测值为_______． 【答案】 【分析】根据给定数表，求出样本的中心点，进而求出回归方程即可得解. 【详解】由数表得， 经验回归方程过点，， 即，则当时，. 故答案为： 四、解答题 27．（2025高二下·山东威海·期末）在科技飞速发展的今天，人工智能（AI）领域迎来革命性的突破，各种AI工具拥有强大的解决问题的能力.某企业为了解男女员工对AI工具的使用情况，随机调查了200名员工，得到如下数据： 经常使用 不经常使用 合计 男性 80 20 100 女性 60 40 100 合计 140 60 200 (1)根据小概率值的独立性检验，分析该企业员工对AI工具的使用情况是否与性别有关； (2)为鼓励员工使用AI工具，企业采用按性别分层抽样的方式，在被调查的经常使用AI工具的员工中，抽取了7名员工组成AI工具宣传小组.现从这7名员工中随机选出3名担任宣传组长，记选出的3名宣传组长中女员工的人数为随机变量X，求X的数学期望. 参考公式：，. 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)企业员工对AI工具的使用情况与性别有关 (2) 【分析】（1）根据题意得到列联表；利用公式求得，结合附表即可得到结论； （2）应用分层抽样的等比例性质确定男女人数，确定有X的所有可能取值集合为，求出对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【详解】（1）零假设为：该企业员工对AI工具的使用情况与性别无关. 根据列联表数据计算得： . 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为“该企业员工对AI工具的使用情况与性别无关”，此推断犯错误的概率不超过. 故分析认为企业员工对AI工具的使用情况与性别有关. （2）由题意知，抽取的7名员工中男员工有4名，女员工有3名. 则X可能的取值集合为， 因此，， ，， 所以. 28．（2025高二下·山东菏泽·期末）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取80名学生．通过测试得到了表中数据： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 10 30 40 乙校 20 20 40 合计 30 50 80 (1)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？如果表中所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因； (2)现从所抽取的数学成绩优秀学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取3人，设这3人中来自乙校的人数为，求的分布列和期望． 附：①，其中． ②临界值表 0.1 0.01 0.005 2.706 6.635 7.879 【答案】(1)认为两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异，不一样，因为样本容量的不同，导致推断结论发生了变化 (2)分布列见解析， 【分析】（1）求出观测值，再与临界值比对即可得解. （2）由分层抽样确定5人中来自乙校的人数，然后确定的所有取值为0，1，2，计算出各概率的分布列，再由期望公式计算期望. 【详解】（1）零假设：两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异. 因为， 依据小概率值的独立性检验，没有充分的理由推断不成立， 所以认为两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异． 所有数据都扩大10倍后： ． 依据小概率值的独立性检验，可以认为不成立，即学校与数学成绩有关联 结论不一样，主要是因为样本容量的不同，导致推断结论发生了变化. （2）由分层随机抽样可知，抽取的5名学生中有2名来自乙校． 所有可能的取值为0，1，2， 知，，， 所以的分布列为： 0 1 2 故． 29．（2025高二下·山东临沂·期末）为了普及安全教育，某学校随机抽取男生、女生各100名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得知，该校有的同学成绩超过90分，具体情况如下表格： 性别 了解安全知识的程度 得分不超过90分的人数 得分超过90分的人数 男生 10 女生 t (1)求； (2)根据小概率值的独立性检验，能否推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关？ 附： 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】(1) (2)不能，理由见解析过程 【分析】（1）根据总量结合分量的占比进行计算求解即可； （2）根据题中公式，结合附中表格的数据进行计算判断即可. 【详解】（1）因为200名同学的测试成绩得知，该校有的同学成绩超过90分， 所以该校成绩超过90分的人数为， 成绩没有超过90分的人数为， 因此； （2）零假设：该校男生和女生了解安全知识的程度与性别无关， 因为 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断零假设不成立， 所以不能推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关. 30．（2025高二下·山东泰安·期末）2025年1月，一股来自东方的“神秘力量”——国产AI大模型DeepSeek引发硅谷震动，并迅速走红全球，它向全球用户免费开源，用卓越性能和较低的算力成本引起国内外关注，令许多海外网友直呼“实力惊人”.如今，DeepSeek在各行各业的应用越来越广泛，逐步成为我们解决问题的好参谋，好助手.为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了100人，得到如下数据： 是否经常使用学历 经常使用 不经常使用 合计 本科及以上 30 20 50 本科以下 25 25 50 合计 55 45 100 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为学历与DeepSeek的使用情况有关？ (2)为了进一步了解DeepSeek的使用情况，从经常使用的人群中用分层随机抽样的方法抽取11人，并从这11人中抽取3人进行座谈，求抽到的3人中本科及以上学历的人数X的分布列及数学期望. 附：， 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)学历与Deep Seek的使用情况无关； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）应用卡方公式求卡方值，再由独立性检验的基本思想得结论； （2）由分层抽样确定人员分布，法一：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，并求出对应概率，写出分布列，进而求期望；法二：应用超几何分布的期望公式求期望. 【详解】（1）零假设为：“学历与Deep Seek的使用情况无关”， 根据表中数据，计算得到， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即学历与Deep Seek的使用情况无关； （2）由题意知，在抽取的11人中，本科及以上学历的有6人，本科以下学历的有5人 方法一：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3， ，，，， X的分布列为： X 0 1 2 3 P ∴； 方法二：X服从超几何分布，X的分布列为，， ∴. 31．（2025高二下·山东东营·期末）某人工智能公司从某年起连续年的利润情况如下表所示. 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)计算出与之间的相关系数（精确到），并求出关于的回归直线方程； (2)根据回归直线方程，分别预测该人工智能公司第年和第年的利润. 参考公式：样本的回归直线为，其中，，，，，. 【答案】(1)相关系数约为，回归方程为. (2)第、年的利润约为亿元、亿元. 【分析】（1）求出、的值，将参考数据代入相关系数公式，可求出相关系数的值，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出关于的回归直线方程； （2）将、分别代入回归直线方程，可得结果. 【详解】（1）由题中数据可得， ， ， 因此， ，， 故回归直线方程为. （2）在回归直线方程中令，得. 令，得， 因此预测第、年的利润约为亿元、亿元. 32．（2025高二下·山东滨州·期末）已知某产品的一个零件在甲工厂生产，由于设备老化，甲工厂生产的零件次品率为0.1． (1)为了解甲工厂生产情况，从生产的所有零件中随机抽取3件，记这3件产品中正品与次品的个数分别为X，Y，记随机变量，求的分布列及； (2)为降低产品次品率，甲工厂进行了技术改进，从改进后第1个月开始连续收集5个月的观测数据，用表示改进后的第i个月，用（单位：%）表示改进后第i个月的次品率，其中，利用最小二乘法得到经验回归直线方程为，求相关系数r（精确到0.01），并判断该经验回归直线方程是否有价值． 附：①． ②，若，则认为该经验回归直线方程有价值． ③． 【答案】(1)分布列见解析，期望为2.4； (2)，该经验回归直线方程有价值. 【分析】（1）由，，求出各概率后得分布列，由期望公式计算出期望； （2）根据已知数据求出，再比较可得结论. 【详解】（1）由已知，所以，， 的取值分别为3，1，，， ， 所以的分布列为 3 1 0.729 0.243 （2）由已知， ，则， 所以， ，则认为该经验回归直线方程有价值． 33．（2025高二下·山东滨州·期末）为了研究高中生每天整理数学错题与数学成绩的关系，我市某校数学建模兴趣小组的同学在本校高二年级学生中采用随机抽样的方法抽取了300名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，统计得到部分数据如下： 整理数学错题情况 数学成绩总评优秀情况 合计 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 每天都整理数学错题人数 120 不是每天都整理数学错题人数 90 150 合计 300 (1)完善上面的列联表，依据的独立性检验，能否认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”； (2)采用分层随机抽样的方法从数学成绩总评优秀的学生中随机抽取6名学生，再从这6名学生中选3名做进一步访谈，设这3人中不是每天都整理数学错题的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附： 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”； (2)分布列见解析，期望为1. 【分析】（1）由已知数据填写列联表，计算出，与临界值比较可得； （2）由分层抽样得随机抽取的6名学生中，每天都整理数学错题的有4人，不是每天都整理数学错题的有2人，的可能值依次为，计算出概率可得分布列，再由期望公式计算出期望. 【详解】（1）由已知列联表如下： 整理数学错题情况 数学成绩总评优秀情况 合计 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 每天都整理数学错题人数 120 30 150 不是每天都整理数学错题人数 60 90 150 合计 180 120 300 ， 依据的独立性检验，有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关” （2）随机抽取的6名学生中，每天都整理数学错题的有4人，不是每天都整理数学错题的有2人， 所以的可能值依次为， ，，， 的分布列为： 0 1 2 . 34．（2025高二下·山东淄博·期末）生活中运动对人体健康非常重要，为了了解不同年龄人群篮球运动的情况，随机调查了400人，得到如下数据： 年龄 篮球运动情况 合计 经常运动 不经常运动 40及以上 130 70 200 40以下 100 100 200 合计 230 170 400 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为篮球运动的情况与年龄有关？ (2)某校组织“篮球”比赛，分成了、、三组进行挑战赛，其规则如下：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，且被挑战方拥有下一次的挑战权，若挑战权在组，挑战、组的概率为，，若挑战权在组，则挑战、组的概率为，，若挑战权在组，则挑战、组的概率为，.已知首先由组发起挑战，按此规则进行了多次挑战. ①前3次挑战后，求组拥有挑战权的次数的分布列与数学期望； ②经过次挑战后，挑战权在组的概率为，求； ③数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，，（是一个确定的实数），则称数列收敛于.根据数列的定义证明②中收敛. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)能 (2)①分布列见解析，；②；③证明见解析 【分析】（1）根据列联表数据计算，再由独立性检验可判断； （2）①根据题意，的可能取值为，分别计算出概率，写出分布列并利用公式计算期望即可；②根据题意列出数量递推式，构造数列得到通项；③利用“收敛数列”定义即可证明. 【详解】（1）零假设为：篮球运动情况与年龄无关， 由列联表数据可得， 因为，，， 所以根据小概率值的独立性检验，认为不成立，即认为篮球运动与年龄有关，此推断犯错误的概率不超过. （2）①依题意知，的可能取值为， 则， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 . ②设第次挑战权在、组的概率分别是、，，， 依题意可得， （1）+（3）得， 由（2）得， 所以， 即， ， ，其中， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. ③证明：对任意，总存在正整数，（其中表示取整函数）， 当时，， 所以收敛. 35．（2025高二下·山东枣庄·期末）台儿庄古城景区面向全国应届中、高考学生推出自2025年6月11日至2025年8月31日的免费畅游古城活动.景区为了解这些学生游客对其开展的“国风毕业照”活动的满意度，随机抽取400人进行调查，得到如下列联表： 调查结果组别 不满意 满意 合计 高考生游客 80 120 200 中考生游客 130 70 200 合计 210 190 400 (1)根据小概率值的独立性检验，分析满意情况是否与学生的组别有关； (2)在高考学生游客的样本中用分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步的访谈，求这3人中满意人数X的概率分布列、数学期望和方差. 附：， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)满意情况与学生的组别有关 (2)答案见解析 【分析】（1）根据独立性检验的基本思想即可判断； （2）根据分层抽样的性质，结合古典概型公式、数学期望和方差的公式进行运算求解即可. 【详解】（1）零假设为：满意情况与学生的组别无关. 因为， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即满意情况与学生的组别有关，该推断犯错概率不超过； （2）根据分层抽样的性质可知： 选出5人中，满意人数为，不满意人数为， 由题意可知：， ， ， ， 所以这3人中满意人数X的概率分布列为： ， . 36．（2025高二下·山东青岛·期末）某企业调研后，得到研发投入（万元）与产品收益（万元）的数据如下： 1 2 3 4 5 9 12 17 21 26 (1)若与线性相关，请根据样本相关系数推断它们的相关程度；（若，则相关程度一般；若，则相关程度很强） (2)求出关于的经验回归方程，并预测当研发投入6万元时的产品收益. 参考数据： 参考公式：，，. 【答案】(1)变量与的相关程度很强 (2)，约为万元 【分析】（1）根据所给数据，求出相关系数，即可判断； （2）由公式求出，得出线性回归方程，再由方程预测收益即可. 【详解】（1）由表格数据可得，， 所以， ， 所以， 可知变量与的相关程度很强. （2）由（1）可知，， ， 所以， 则， 可得关于的经验回归方程为， 令，可得， 即预测研发投入6万元时，产品收益约为万元. 37．（2025高二下·山东济南·期末）从某校高一年级全体学生中随机抽取120人，进行文理选科倾向调查，得到如下列联表：       性别 倾向 男生 女生 合计 偏理科 40 90 偏文科 10 合计 60 120 (1)请完成上述列联表； (2)从女生中随机抽取一人，求该女生是偏文科生的概率； (3)根据小概率值的独立性检验，分析性别与选科倾向是否有关． 参考数据： 0.1 0.05 0.01 2.70 3.841 6.635 ． 【答案】(1)列联表见解析； (2)； (3)有关. 【分析】（1）根据题意完善列联表. （2）利用古典概率求解即得. （3）求出的观测值，与临界值比对作答. 【详解】（1）列联表如下：       性别 倾向 男生 女生 合计 偏理科 50 40 90 偏文科 10 20 30 合计 60 60 120 （2）由表格中数据知，60名女生中偏文科的有20名， 所以从女生中随机抽取一人，该女生是偏文科生的概率为. （3）零假设：性别与选科倾向无关， 由表格中数据经计算得， 根据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立， 即认为性别与选科倾向有关，此推断犯错误的概率不超过0.05. 38．（2025高二下·山东青岛·期末）某校推广新课改，在两个程度接近的班进行试验，一班为新课改班级，二班为非课改班级，经过一个学期的教学后对期末考试进行分析评价，规定：总分超过550（或等于550分）为优秀，550以下为非优秀，得到以下列联表： 班级 成绩 合计 优秀 非优秀 一班 35 15 二班 15 25 合计 (1)请完成列联表； (2)根据列联表中的数据，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推广新课改与总成绩是否优秀有关系？ 参考数据： 0.10 0.05 0.01 00.005 2.706 3.841 6.635 7.879 ． 【答案】(1)答案见解析； (2)能． 【分析】（1）利用已知数据求和即可得到列联表； （2）利用卡方公式计算，再与参考数据对照，即可得出判断． 【详解】（1） 班级 成绩 合计 优秀 非优秀 一班 35 15 5 二班 15 25 40 合计 50 40 90 （2）零假设为：推广新课改与总成绩是否优秀无关． 根据列联表中的数据，得到 故根据的独立性检验，可以认为推广新课改与总成绩是否优秀有关系． 39．（2025高二下·山东潍坊·期末）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（，简称）已然成为科技变革的核心驱动力.有媒体称开启了我国新纪元.某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，用比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件“学生报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，. (1)根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？ 报名情况 性别 合计 男生 女生 报名 未报名 合计 100 (2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定：每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第m道题答完，本轮答题结束.已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为. ①求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望； ②假设甲同学每轮答题答对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分.记甲答题累计得分为n的概率为. （i）求证：是等比数列；（ⅱ）求的最大值. 参考公式与数据：，其中. 【答案】(1)列联表见解析，能 (2)①；②（i）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）根据已知条件完成列联表，零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关，求出，与参考数据比较可得答案； （2）①设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量，则的所有可能取值为1，2，3，…，m，求出相对应的概率，利用期望公式求出期望，再利用错位相减求和求出；②求出， 根据递推式求出数列是等比数列，求出. 分n为奇数、n为偶数讨论可得答案. 【详解】（1）因为，所以报名参加答题活动人数为， 又因为，所以报名参加答题活动的男生人数为，女生人数为， 又，所以样本中男生人数为，女生人数为50，得到列联表为： 报名情况 性别 合计 男生 女生 报名 20 35 55 未报名 30 15 45 合计 50 50 100 零假设为：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于； （2）①设甲完成一轮答题，答题数量为随机变量，则的所有可能取值 为1，2，3，…，m， 其中， 所以. . 所以， 所以 . 即甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望为； ②每轮比赛甲得1分的概率为，得2分的概率为， 依题意可得， 当时，由全概率公式，， 因为，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故，故时， ， 因为也符合上式，所以. 当n为奇数时，，当n为偶数时，， 所以的最大值在n为偶数时产生，又当n为偶数时， 随着n的增大而减小， 所以当时，的最大值为. 40．（2025高二下·山东潍坊·期末）某环保机构研究城市绿化覆盖率（%）和年均浓度（）的关系，随机抽取10个城市数据如下： 编号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 绿化覆盖率 4 13 16 21 26 31 36 45 52 56 300 年均浓度 80 66 58 54 50 46 42 38 34 32 500 可得. (1)求绿化覆盖率与浓度的样本相关系数（精确到）； (2)求y关于x的经验回归方程（精确到），并估计使得年均浓度不超过需要的最低绿化覆盖率（精确到整数）. 参考数据与公式：. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据公式求出可得答案； （2）根据已知求出线性回归方程，由解不等式可得答案 【详解】（1）因， 故 . 即绿化覆盖率与浓度的样本相关系数约为； （2）因为， 所以，故， 依题意由，可得， 即使得年均浓度不超过需要的最低绿化覆盖率约为. 41．（2025高二下·山东潍坊·期末）网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期次数x（其中10场为一个周期）与产品销售额y（千元）的数据统计如下： 直播周期数x 1 2 3 4 5 产品销售额y（千元） 3 7 15 30 40 根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表： 3.7 55 382 65 978 101 其中 (1)请根据表中数据，建立y关于x的回归方程； (2)乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？（精确到0.01） 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，相关指数：. 【答案】(1)； (2)乙建立的回归模型拟合效果更好. 【分析】（1）对两边取对数得，令，利用最小二乘法可求得，由此可得回归方程； （2）根据公式计算可得相关指数，由此可得结论； 【详解】（1）将两边取对数得：， 令，则， 因为， 所以根据最小二乘估计可知：， 所以， 所以回归方程为，即. （2）甲建立的回归模型的. 所以乙建立的回归模型拟合效果更好. 42．（2024高二下·山东泰安·期末）2023年全国竞走大奖赛，暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛.重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录.某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据： 步频（单位：s） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长（单位：） 90 95 99 103 117 (1)根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出关于的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为时，步频约是多少？ (2)记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求（1）中步频为0.30的残差. 参考数据：，.参考公式：，. 【答案】(1)，秒 (2) 【分析】（1）根据最小二乘法即可求解， （2）由残差的计算公式即可求解. 【详解】（1）依题意可得，， ， ， 所以回归直线方程为， 将代入得，解得，所以当步长为时，步频约是秒. （2）根据（1）得到，； 所以步长为0.30残差和为. 43．（2024高二下·山东聊城·期末）某餐馆为了解顾客对某一新菜品的喜好程度是否与年龄有关，随机调查了品尝过该菜品的100位顾客，得到下面列联表： 顾客 对该菜品的喜好程度 合计 喜欢 不喜欢 青年人 35 15 50 中老年人 25 25 50 合计 60 40 100 (1)根据上表，分别估计青年人、中老年人喜欢该菜品的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，判断顾客对该菜品的喜好程度与年龄是否有关联. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)青年人、中老年人喜欢该菜品的概率分别为. (2)见解析 【分析】（1）根据表格数据结合概率公式求解； （2）由独立性检验，计算卡方，即可作出判断. 【详解】（1）解：根据表中数据，青年人共有50人,喜欢该菜品的有35人， 设“青年人喜欢该菜品”为事件A，则. 中老年人共有50人，喜欢该菜品的有25人， 设“中老年喜欢该菜品”为事件B，则. 所以估计青年人、中老年人喜欢该菜品的概率分别为 （2）零假设：顾客对该菜品的喜好程度与年龄无关.   依题意，得， 根据小概率值的独立性检验，推断成立， 即顾客对该菜品的喜好程度与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于. 44．（2024高二下·山东临沂·期末）某手机App（应用程序）公司对一大型小区居民开展5个月的调查活动，了解使用这款App的居民的满意度，统计数据如下： 月份 1 2 3 4 5 不满意人数 110 95 90 85 70 (1)求不满意人数与月份之间的经验回归方程，并预测该小区8月份对这款App不满意的人数； (2)公司为了调查对这款App是否满意与性别的关系，工作人员从使用这款App的居民中随机调查60人，得到下表： 性别 满意度 满意 不满意 男性 15 15 女性 21 9 根据小概率值的独立性检验，能否认为对这款App是否满意与性别有关联？ 附： ，． ，． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)；45人. (2)无关联 【分析】（1）求出平均数，再利用公式求出，则得到回归直线方程，再代入数据即可； （2）零假设，再计算卡方值与临界值比较即可. 【详解】（1）由表中的数据可知，， ， ， 所求回归直线方程为. 当时，， 该小区8月份对这款App不满意人数估计为45人. （2）零假设为:对这款App是否满意与性别无关联. 由表中的数据可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 即可以认为成立，即对这款App是否满意与性别无关联. 45．（2024高二下·山东济南·期末）长时间近距离看电子产品会影响视力.泉泉调查了某校1000名学生，发现40%的学生近视；而该校20%的学生每天近距离看电子产品时间超过1h，这些人的近视率为50%. (1)请完成下列2×2列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断近视与每天近距离看电子产品时间超过1h是否有关联； 近视 每天近距离看电子产品时间超过1h 合计 是 否 是 否 合计 1000 (2)研究发现，近视儿童每年眼轴的增速要大于非近视儿童，长时间近距离看电子产品会导致眼轴快速增长，最终影响视力.高度近视者的眼轴长度一般大于26mm.下图是每天近距离看电子产品时间超过1h近视儿童和非近视儿童6~16岁的眼轴生长发育散点图. ①根据散点图判断，和哪一个更符合每天近距离看电子产品时间超过1h的近视儿童的眼轴生长发育情况？（给出判断即可，不必说明理由） ②根据①中的判断结果，建立该类近视儿童眼轴长度y（单位：mm）关于年龄x（，且）的经验回归方程； ③根据②中的结果，估计该类近视儿童开始高度近视时的年龄.（结果保留整数） 参考公式及数据：（ⅰ），， α 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 （ⅱ）回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，； （ⅲ）散点图1中，；散点图2中，. 【答案】(1)2×2列联表见解析，近视与每天近距离看电子产品时间超过1h有关联 (2)①②③18岁 【分析】（1）根据题意列出2×2列联表，计算，根据小概率值的独立性检验得出结论； （2）①由散点图直接写出，②根据最小二乘法求回归直线方程，③根据回归直线方程得预测值. 【详解】（1）2×2列联表 近视 每天近距离看电子产品时间超过1h 合计 是 否 是 100 300 400 否 100 500 600 合计 200 800 1000 零假设为：近视与每天近距离看电子产品时间超过1h无关 根据列联表中的数据，并计算得到 ， 因为， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为近视与每天近距离看电子产品时间超过1h有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. （2）①适宜每天近距离看电子产品时间超过1h的近视儿童的眼轴生长发育情况. ②由题意可得， 因此， 再由题意得，所以， 从而该类近视儿童眼轴长度)(单位：mm)关于年龄x的回归方程为. ③，解得， 所以该类近视儿童开始高度近视时大约18岁. 46．（2024高二下·山东烟台·期末）某高中在高二年级举办创新作文比赛活动，满分100分，得分80及以上者获奖.为了解学生获奖情况与选修阅读课程之间的关系，在参赛选手中随机选取了50名学生作为样本，各分数段学生人数及其选修阅读课程情况统计如下： 成绩 学生人数 6 10 24 7 3 选修读课程人数 0 3 9 4 4 (1)根据以上统计数据完成下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为学生获奖与选修阅读课程有关联； 获奖 没有获奖 合计 选修阅读课程 不选阅读课程 合计 (2)在上述样本的获奖学生中随机抽取3名学生，设3人中选修阅读课程人数为，求的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析；能 (2)分布列见解析；数学期望为 【分析】（1）由题意可得列联表，计算的值，并与临界值表比较，可得结论； （2）确定变量的取值，求得每个值对应的概率，即可得分布列，根据数学期望公式即可求得期望. 【详解】（1）根据已知条件可得 获奖 没有获奖 合计 选修阅读课程 8 12 20 不选阅读课程 2 28 30 合计 10 40 50 零假设：创新作文比赛获奖与选修阅读课程无关联； 根据列联表中数据计算可得： ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为创新作文比赛获奖与选修阅读课程有关联，此推断犯错的概率不大于. （2）由题意可知的可能取值为， 则，， ， 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 . 47．（2024高二下·山东菏泽·期末）某学校有南､北两家餐厅，各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.某个就餐时间对在两个餐厅内就餐的100名学生分性别进行了统计，得到如下的列联表. 性别 就餐人数 合计 南餐厅 北餐厅 男 25 25 50 女 20 30 50 合计 45 55 100 (1)对学生性别与在南北两个餐厅就餐的相关性进行分析，依据的独立性检验，能否认为在不同餐厅就餐与学生性别有关联？ (2)若从这100名学生中选出2人参加某项志愿者活动，求在抽出2名学生的性别为一男一女的条件下，这2名学生均在“南餐厅”就餐的概率. 附：； 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出值，与2.706比较大小，得出结论即可； （2）运用古典概型和条件概率公式求解即可. 【详解】（1）零假设为：分类变量X与Y相互独立，即不同区域就餐与学生性别没有关联.． 依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联． （2）设事件A为“从这100名参赛学生中抽出2人，其性别为一男一女”， 事件为“这2名学生均在南餐厅就餐”， 则． 故在抽出2名学生性别为一男一女的条件下，这2名学生的成绩均在“南餐厅”就餐概率为． 48．（2024高二下·山东枣庄·期末）近年来骑行成为热门的户外运动方式之一.某同学近来5次骑行期间的身体运动参数评分与骑行距离（单位：公里）的数据统计如下表： 身体运动参数评分 2 4 6 8 10 骑行距离（公里） 38 37 32 33 30 (1)根据上表的样本数据，计算样本相关系数（结果保留两位小数），并推断身体运动参数评分和骑行距离的相关程度； (2)根据这些成对数据，建立骑行距离关于身体运动参数的线性经验回归方程.并估计当身体运动参数评分为11分时，该同学的骑行距离. 参考数据和参考公式： ①； ②对于一组数据（），样本相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 【答案】(1)，身体运动参数评分和骑行距离的相关程度很强 (2)，29公里 【分析】（1）根据表中的数据先求出，然后分别求出，和，再代入公式可求出相关系数，再根据其值进行判断； （2）利用公式求出，从而可求出关于身体运动参数的线性经验回归方程，将代入可求出该同学的骑行距离. 【详解】（1）由表中的数据可得，， 所以 ， ， ， 所以， 因为接近于1，所以身体运动参数评分和骑行距离的相关程度很强； （2）由（1）可知， 所以， 所以， 当时，， 所以当身体运动参数评分为11分时，该同学的骑行距离约为29公里. 49．（2024高二下·山东东营·期末）某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关．若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”，“抽取的学生建立了个性化错题本”，且． (1)求和； (2)若该班级共有36名学生，请完成列联表，并分析能否有的把握认为学生期末统考中数学成绩是否及格与建立个性化错题本有关； 个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计 及格 不及格A 建立B 未建立 合计 (3)现从该班不及格的学生中按照分层抽样的方法抽取6人座谈，再从这6人中随机抽取3人了解建立错题本情况，记建立个性化错题本的学生人数为X，求X的分布列及期望． 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 （附：，．） 【答案】(1)， (2)表格见解析，有的把握认为期末统考中的数学成绩是否及格与建立个性化错题本有关 (3)分布列见解析，1 【分析】（1）根据对立事件的概率可得，即可根据条件概率以及全概率公式即可求解， （2）计算卡方，即可与临界值比较求解， （3）利用超几何概率的计算得分布列，即可求解期望. 【详解】（1）因为，所以， 所以 由，解得，所以， 则，解得． （2） 个性化错题本 期末统考中的数学成绩 合计 及格 不及格A 建立B 20 4 24 未建立 4 8 12 合计 24 12 36 根据列联表中的数据，经计算得到． 所以有的把握认为期末统考中的数学成绩是否及格与建立个性化错题本有关． （3）从该班不及格的学生中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行座谈，其中建立个性化错题本的学生人数为2人，不建立个性化错题本的学生人数为4人．故X的取值范围是 X的分布列为 X 0 1 2 P 故X的期望为 50．（2024高二下·山东滨州·期末）某景点在2024年2月10日至24日(正月初一至正月十五)期间，为吸引游客，共举行了15场精彩的烟花秀节目．前9场的观众人数(单位：万)与场次的统计数据如下表所示： 场次编号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 观众人数y(单位：万) 1.93 1.95 1.97 1.98 2.01 2.02 2.02 2.05 2.07 经计算可得：， ，． (1)通过作散点图发现x与y之间具有较强的线性相关关系，试用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程(结果中的数值用分数表示)； (2)若该烟花秀节目分A、B 两个等次的票价，该节目组织者随机调查了某场烟花秀节目100位观众购买A、B 两个等次票的情况，其中 60位男性观众中有 15 位观众购买了 B 等票；40位女性观众中有5位观众购买了 B 等票．请根据以上数据，将2×2列联表补充完整，并根据小概率值α=0.050的独立性检验，能否认为观众的性别与购票情况有关联？ 性别 购买情况 合计 购买 A 等票 购买 B 等票 男性观众 60 女性观众 40 合计 100 附： ①对于一组数据((x₁，y₁)，(x₂，y₂)，…，(xₙ，yₙ)，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，； ② 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)认为观众的性别与购票情况无关 【分析】（1）由表格中的数据，求得，结合参考数据和公式，求得，得到，即可求解； （2）根据题意，得到的列联表，求得，结合附表，即可得到结论. 【详解】（1）解：由表格中的数据可得， 因为， ，， 所以，则， 所以关于的线性回归方程为. （2）解：根据题意，得到的列联表，如下表所示： 性别 购买情况 合计 购买A等票 购买B等票 男性观众 45 15 60 女性观众 35 5 40 合计 80 20 100 零假设为：观众的性别与购票情况无关， 根据列联表中的数据，经计算可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以认为成立，即认为观众的性别与购票情况无关. 51．（2024高二下·山东淄博·期末）近年来，养宠物的人越来越多，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为. (1)随机抽取200名成年人，并调查这200名成年人养宠物的情况，统计后得到如下列联表： 成年男性 成年女性 合计 养宠物 38 60 98 不养宠物 62 40 102 合计 100 100 200 依据小概率值的独立性检验，判断能否认为养宠物与性别有关? (2)记2018-2023年的年份代码x依次为中国宠物经济产业年规模为y（单位：亿元），由这6年中国宠物经济产业年规模数据求得y，关于x的回归方程为，且. 求相关系数r并判断该回归方程是否有价值. 参考公式及数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 回归方程其中，相关系数；若， 则认为y与x有较强的相关性. 其中 . 【答案】(1)依据小概率值的独立性检验，可以认为养宠物与性别有关. (2),所以与有较强的相关性，该回归方程有价值. 【分析】（1）利用卡方检验公式即可求出，与临界值比较，即即可求解. （2）先利用给的数据求出和再利用回归方程的求出，代入到相关系数的公式中即可求解. 【详解】（1）零假设为：认为养宠物与性别无关； ， 依据小概率值的独立性检验，可以认为养宠物与性别有关. （2）由的取值依次为得， 回归方程为， ， ， ， ,与有较强的相关性，该回归方程有价值. 52．（2024高二下·山东济宁·期末）某商场销售小天鹅、小熊猫两种型号的家电，现从两种型号中各随机抽取了100件进行检测，并将家电等级结果和频数制成了如下的统计图： (1)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为家电是否为甲等品与型号有关； 甲等品 非甲等品 总计 小天鹅型号 小熊猫型号 总计 (2)以样本估计总体，若销售一件甲等品可盈利90元，销售一件乙等品可盈利60元，销售一件丙等品亏损10元.分别估计销售小天鹅，小熊猫型号家电各一件的平均利润. 附：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有99.9%的把握认为家电是否为甲等品与型号有关 (2)销售一件小天鹅型号家电和一件小熊猫型号家电的平均利润分别为50.5元和54.5元 【分析】（1）首先根据统计图，填写列联表，再根据公式计算，最后比照临界值，判断结果； （2）根据统计图，分别计算销售一件小天鹅和小熊猫型号家电的平均利润 【详解】（1）根据已知数据可得列联表如下： 甲等品 非甲等品 总计 小天鹅型号 15 85 100 小熊猫型号 40 60 100 总计 55 145 200 ， 参照临界值表可知，有99.9%的把握认为家电是否为甲等品与型号有关. （2）销售一件小天鹅型号家电的平均利润为（元）； 销售一件小熊猫型号家电的平均利润为（元）. 53．（2025高二下·山东潍坊·期末）受新冠肺炎疫情影响，本学期同学们在家上网课时间达三个多月，电脑屏幕代替了黑板，对同学们的视力造成了很大的损伤.某学校为了了解同学们现阶段的视力情况，对全校高三1000名学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，绘制了频率分布直方图如图： （1）求的值，并估计这1000名学生视力的中位数（精确到0.01）； （2）为了进一步了解视力与学生成绩是否有关，对本年级名次在前50名与后50名的学生进行了调查，得到如下数据： 前50名 后50名 近视 42 32 不近视 8 18 根据表中数据，能否有95%把握认为视力与学习成绩有关？ （3）若报考某高校某专业的资格为：视力不低于5.0，以该样本数据来估计全市高三学生的视力，现从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取4名同学，这4名同学中有资格报该校该专业的人数为，求的分布列及数学期望. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 【答案】（1），；（2）有；（3）答案见解析，. 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，各小矩形的面积之和为，列方程即可求出的值，再根据直方图中中位数左右两侧的矩形面积相等即可求出中位数； （2）先利用公式求出的观测值，再根据临界值表，即可判断； （3）根据题意可知，视力在4.8以上的同学中，视力在5.0以上的同学所占的比例为，所以离散型随机变量，再根据二项分布的概率公式，，即可求出各概率，从而得到分布列，再根据期望公式即可求解． 【详解】（1），所以， 视力在4.4以下的频率为：， 视力在4.6以下的频率为：， 所以中位数在4.4至4.6之间，设中位数为， 则，，故中位数为4.54． （2）因为的观测值， 所以有95%把握认为视力与学习成绩有关. （3）视力在4.8以上的同学中，视力在5.0以上的同学所占的比例为： 所以从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取4名同学，这4名同学中有资格报该校该专业的人数为，即，， 所以， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 . 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，独立性检验的基本思想及其应用，二项分布的应用，意在考查学生的数学运算能力，数学抽象能力和数据分析能力，属于中档题． 54．（2025高二下·山东临沂·期末）我国新能源汽车迅速崛起，正以颠覆性技术重塑传统交通的格局，成为推动绿色革命的核心引擎.某品牌新能源汽车统计了2025年前5个月的月销量（单位：万辆）与月份之间的关系，得到如下数据： 月份 1 2 3 4 5 月销量（单位：万辆） 2.89 3.22 3.82 4.34 5.41 (1)根据上述数据可知与线性相关，试求出关于的经验回归方程，并预测该品牌新能源汽车2025年6月份的销量； (2)为刺激消费，省出台了以下补贴政策：每购买一辆新能源车，发放8000元补贴.若省甲、乙两人近期购买该新能源汽车的概率分别为，其中，求该省对甲、乙两人补贴总金额期望值的取值范围． 参考公式：经验回归方程为， 其中，.参考数据：，. 【答案】(1)；万辆 (2) 【分析】（1）根据表中数据以及参考公式计算可得经验回归方程，代入即可预测该品牌新能源汽车2025年6月份的销量； （2）设甲、乙两人购买新能源车的辆数为，分别求得其每个可能取值对应的概率，即可得出购买新能源车的辆数的期望值的表达式，进而依据题意得出补贴总金额的期望值的表达式，再由的范围得出结论. 【详解】（1）由题意得，， 则，， 所以关于的经验回归方程为， 预测该品牌新能源汽车2025年6月份的销量为（万辆）. （2）设甲、乙两人购买新能源车的辆数为，则的可能取值为， ， ， ， 所以， 依题意，每购买一辆新能源车，发放8000元补贴， 因此该省对甲、乙两人补贴总金额期望值为， ，则， 即， 故该省对甲、乙两人补贴总金额期望值的取值范围是. 1 / 132 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $