河南新乡市延津县第一高级中学2025-2026学年高一下学期素养评价(三) 数学试题

2025—2026学年度高一下学期素养评价（三） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中与的位置关系是 A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直 2．若复数（i为虚数单位），则在复平面内，复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为 A． B． C． D． 4．设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 5．已知一个正四棱台的上、下底面边长为2，4，侧棱长为，则棱台的体积为 A． B． C．28 D．84 6．三角形的海伦面积公式为，其中，，，分别为的三个内角，，所对的边．已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为 A． B．8 C． D． 7．《几何原本》中称轴截面为正三角形的圆锥为等边圆锥，如图，若，都是等边圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 8．在中，，，，点在边上，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为虚数单位，下列说法中正确的是 A．若，则 B． C．是纯虚数 D．若，则 10．如图，某海洋测绘小组为测量对岸灯塔（为塔顶，为塔底）的高度，选取与在同一水平面内的两点与（，，不在同一直线上），测得．测绘小组利用测角仪可测得的角有：，，，，，，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是 A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 11．如图，圆为梯形的外接圆，线段为圆的直径，，四边形为矩形，平面平面，且，，则下列说法正确的是 A．平面 B．平面 C．三棱锥外接球的表面积为 D．直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知是关于的方程（）的一个根，则________． 13．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图，其中，若原的面积为，则________． 14．若三角形的两个内角和满足，则称该三角形为“半余三角形”．在中，，，，点是边上一点，若是半余三角形，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知向量，． （1）若，求向量的坐标； （2）若，求向量与向量的夹角． 16．（15分）在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，边上的高为，求的周长． 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，平面平面，，，为线段上一点，为的中点． （1）当为的中点时，求证：平面． （2）若平面， ①试确定点的位置并说明理由； ②求三棱锥的体积． 18．（17分）如图，在四边形中，，，，． （1）求边的长度； （2）求四边形的面积； （3）求的值． 19．（17分）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，且． （1）证明：． （2）证明：平面平面． （3）若，求平面与平面夹角的正切值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一下学期素养评价（三） 数学参考答案及评分意见 1．C 2．A 3．A 4．D 5．C 6．D 7．B 8．A 9．BC 10．ACD 11．ABD 12．2 13． 14． 15．解：（1）由题意，设．1分 因为，所以，所以．4分 所以或．6分 （2）因为，所以，即，8分 即，所以．10分 则，12分 又因为，所以，即向量与向量的夹角为．13分 16．解：（1）由及正弦定理， 得．2分 因为，所以，即， 即．5分 因为，所以． 因为，所以．7分 （2）由三角形面积公式，得，将代入，得， 所以．10分 由余弦定理，得， 解得或（舍去），则．13分 所以的周长为．15分 17．（1）证明：如图，取的中点为，连接，． 在中，为的中点，为的中点，，． 在平行四边形中，为的中点，，，2分 且，四边形为平行四边形，． 平面，平面，平面．5分 （2）解：①如图，连接交于点，连接．6分 平面，平面，平面平面，．8分 ．四边形是平行四边形，为的中点，，， ，即点为上靠近点的三等分点．10分 ②在四边形中，，，， ．12分 取的中点，连接． 是正三角形，，且． 又平面平面，且平面平面，平面，平面． 为上靠近点的三等分点，点到平面的距离为．14分 三棱锥的体积．15分 18．解：（1）方法一：，，，． ，．3分 在中，由余弦定理，得， ．5分 方法二：，．3分 ，，，，即．5分 （2）由（1）得，．6分 ． ，．8分 ．10分 四边形的面积．12分 （3）在中，， ．14分 由正弦定理，得， ．17分 19．（1）证明：方法一：在正三棱柱中，平面，平面， 所以．2分 因为为正三角形，为的中点，所以． 又因为，，平面，所以平面．4分 因为平面，所以．5分 方法二：在正三棱柱中，平面平面．1分 因为是正三角形，为的中点，所以．2分 因为平面平面，平面， 所以平面．4分 因为平面，所以．5分 （2）证明：如图，连接交于点，连接，．6分 因为，分别为，的中点，所以且． 又因为且，所以且． 所以四边形为平行四边形，则．8分 由（1）知平面，所以平面． 又因为平面，所以平面平面．10分 （3）解：如图，取的中点，连接，则． 因为平面，平面，所以． 因为，，平面，所以平面．12分 又因为平面，所以． 如图，过点作的垂线，垂足为点，连接． 因为，，平面，所以平面． 又因为平面，所以． 所以为平面与平面夹角的平面角．14分 设．因为为的中点，，所以为的中点，所以． 又因为为的中点，所以，，． 在中，，所以． 由等面积法，得，则．16分 所以， 所以平面与平面夹角的正切值为．17分 学科网（北京）股份有限公司 $