精品解析：江苏苏州市昆山市蓬朗高级中学2025-2026学年高一下学期第二次模块检测数学试题

2026年秋季学期蓬高第二次模块检测 高一数学 命题学校：昆山市蓬朗高级中学 命题人：张易冰 审核人：严烁楷 注意事项： 1．本张试卷总分为150分，考试时间为120分钟. 2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，务必在将自己的姓名、考生号填写在答题卡上. 3．请将答案填涂填写在答题卷上，写在试卷上无效. 4．考试结束，将答题卷交回. 一、单选题 1. 已知复数满足，则的虚部为（    ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】，； 的虚部为. 2. 设与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意， 在上的投影向量为. 3. 已知直线a，b，c，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则a，b，c共面 C. 若，则 D. 若a，b异面，b，c异面，则a，c异面 【答案】C 【解析】 【分析】A. 由直线与直线的位置关系判断；B.举例判断；C. 由一条直线垂直于平行线中的一条则垂直另一条判断；D.举例判断. 【详解】A. 若，则，a与b相交或异面，故错误； B.若，a，b，c不一定在同一平面内， 如在正方体中，，,但 不共面，故错误； C. 由一条直线垂直于平行线中的一条则垂直另一条，故正确； D.若a，b异面，b，c异面，则a，c不一定异面， 如在正方体中，与 异面， 与异面，但，故错误； 故选：C 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用三角恒等变换可得，以为整体，结合诱导公式和倍角公式运算求解. 【详解】由，得， 即，所以. 所以 . 5. 在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在中，，. 有两解的充要条件是： 得 ，即. 6. 如图所示正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ） A. 12 B. 8 C. 8 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用直观图还原原图形，再求出面积即可. 【详解】根据斜二测画法可知，原图形为平行四边形， 如图所示， 其中，， 所以原图形的面积为. 7. 如图，在矩形中，为边上靠近点的三等分点，为边上靠近点的四等分点，且线段交于点.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先把用表示出来，然后利用共线定理设，，联立方程即可求解. 【详解】 在矩形中，， 由题意：为靠近的三等分点，故；  为靠近的四等分点，故， 因为在上，设， 又因为在上，根据向量共线定理，存在参数使得： ， 代入得： ， 两个表达式对应系数相等： ， 联立得，解得，代入得. 因此. 8. 如图，，两点都在河的对岸（不可到达）.某测量队在，处测得米，，，则（ ） A. 100米 B. 200米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【详解】由，得是等腰直角三角形，斜边米， 在中，，由正弦定理得， 则米，，因此是等边三角形，米. 二、多选题 9. 已知是虚数单位，下列说法正确的有（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数,满足，则 C. 在复数范围内，若是关于的实系数方程的一根，则该方程的另一根是 D. 若，则的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用复数为实数的充要条件判断A，举反例排除B，根据实系数方程虚根的共轭性判断C，结合复数模的几何意义（圆上点到定点的距离）判断D， 【详解】选项A：设，若，则，此时，，故A正确； 选项B：取反例，令，，则，但，，显然，故B错误； 选项C：实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数，若一根为，则另一根为其共轭复数，而非，故C错误； 选项D：表示复平面内z对应的点在以原点为圆心、半径为1的单位圆上， 表示圆上的点到点的距离， 点到原点的距离为，故圆上点到该点的最大距离为，故D正确. 10. 在中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为直角三角形 B. 若为锐角三角形，则 C. 若，，，则符合条件的有两个 D. 若，则为等腰直角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】对于AD：举反例说明即可；对于B：根据正弦函数单调性分析判断；对于C：利用余弦定理运算求解. 【详解】对于选项A：例如，，满足， 但此时不是直角三角形，故A错误； 对于选项B：因为为锐角三角形，则，即，， 且，则，， 又因为在内单调递增， 则，， 两式相加得 ，故B正确； 选项C：由余弦定理得，即， 整理可得，解得， 所以符合条件的三角形有两个，故C正确； 对于选项D：例如，满足， 但不是等腰直角三角形，故D错误. 11. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 不存在点P，使得平面 B. 一蚂蚁从点A出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】取中点，利用面面平行判定定理可得平面平面，则可利用面面平行性质定理得A；将平面展开后计算可得B；借助等积转换计算可得C；将三棱锥补形后可得D. 【详解】对A：取中点，连接、，由为中点，则， 又平面，平面，故平面， 由为中点，则， 又平面，平面，故平面， 又，、平面，则平面平面， 则当点在线段上时，由平面，可得平面， 故存在点，使得平面，故A错误； 对B：将平面与平面沿展开，使其位于同一平面如下图： 则从到的最短距离为，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：取、、中点、、，连接成四边形， 三棱锥的外接球与长方体的外接球相同， 故即为该外接球直径，故半径为， 则外接球表面积为，故D正确. 三、填空题 12. 已知，若与垂直，则向量与的夹角的余弦值为__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，求得，进而求得与的夹角的余弦值. 【详解】已知，由于与垂直，则，解得， 设与的夹角为，， 则由向量数量积的定义，有，即与的夹角的余弦值为 13. 如图，正四棱锥底面边长和高均为，分别是其所在棱的中点，则几何体的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】分别计算和，作差得到答案. 【详解】正四棱锥底面边长和高均为，分别是其所在棱的中点， 则正四棱锥的底面边长和高均为， 则，， 故几何体的体积为. 14. 如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，取为基底，利用向量数量积公式求解作答. 【详解】在中，令，，则， 所以， 因为、边上的两条中线，相交于点，则，， 于是. 四、解答题 15. 直角坐标系中，已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，且和的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）由向量垂直的坐标表示，可得，然后利用齐次式即可求值； （2）根据向量夹角为锐角，可得数量积小于0且不共线，代入坐标计算即可. 【小问1详解】 因为，，且，所以. 因为，所以，故. 【小问2详解】 因为，所以，又， 所以，. 因为和的夹角为锐角， 所以且与不共线， 则，解得. 又，即， 所以的取值范围是. 16. 如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点． （1）求圆柱的侧面积； （2）求圆柱的外接球的表面积； （3）证明：平面． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用圆柱的侧面积公式，即可求解； （2）根据条件，求出外接球的半径，即可求解； （3）取的中点．连接，根据条件得，再由线面平行的判定定理，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以圆柱的母线长为，底面半径为， 则圆柱的侧面积 【小问2详解】 取的中点，连接，易求得， 即圆柱的外接球的半径为，故该球的表面积为. 【小问3详解】 取的中点．连接．因为为的中点，所以， 又，所以，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，所以平面． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求角的值及周长的最大值； （2）若角的角平分线交于，满足，求的长. 【答案】（1），周长的最大值为6； （2） 【解析】 【分析】（1）正弦定理化边，结合余弦定理求角C，最后用正弦函数的性质或基本不等式求最值 （2）利用角平分线定理定边的比例，再用余弦定理求三边，最后用向量模长公式计算CD长度 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得，整理可得， 由余弦定理得，所以，所以. 又因为，所以. （方法一）因为，由正弦定理得， 可得，，因为， 所以， 则， 又，则， 当，即时，取得最大值为4，所以周长的最大值为6； （方法二）余弦定理和基本不等式法， 由余弦定理得 得，即， ；得，即当且仅当时成立， 所以周长的最大值为6. 【小问2详解】 因为，由角平分线性质定理得，即， 在三角形ABC中，，由余弦定理得，； 因为，所以，得， 所以. 18. 如图，在边长为2的正方形中，P是对角线上一点，且，则 （1）求的值 （2）若点M为线段（含端点）上的动点，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用表示，再根据向量数量积求解即可. （2）用表示，再根据向量数量积以及二次函数的最值求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：，， 则， ， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为点M为线段（含端点）上的动点，设，， 则， ， 其中， 可得 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 19. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯视四周景色（如图1）．已知某摩天轮转盘的最低点距离地面的高度为2米，转盘半径为30米，逆时针均匀设置了依次标号为1~12号的12个座舱，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟．现从1号座舱位于圆周最右端时开始计时（如图2），旋转时间为t分钟． （1）设1号座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t的函数关系为，求的解析式； （2）当时，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值； （3）甲、乙两名乘客分别乘坐在1号和5号座舱里，在乘坐摩天轮的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差的绝对值为H（单位：米）．当时，求H的最大值． 【答案】（1）； （2）或； （3）米. 【解析】 【分析】（1）根据给定信息，设出的解析式，再利用待定系数法求解. （2）由（1）及求出值. （3）求出的表达式，并利用和差角的正弦化简，再利用正弦函数性质求出最大值. 【小问1详解】 依题意，设， 由，得，由，，得，而， 则，由转一周需要24分钟，得，解得， 所以. 【小问2详解】 由，得，当时，， 解得或，即或， 所以或. 【小问3详解】 依题意，5号座舱在1号座舱前，相隔， 则甲、乙两人距离地面的高度分别为， 因此， 当时，，则当，即时，， 所以H的最大值为米. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季学期蓬高第二次模块检测 高一数学 命题学校：昆山市蓬朗高级中学 命题人：张易冰 审核人：严烁楷 注意事项： 1．本张试卷总分为150分，考试时间为120分钟. 2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，务必在将自己的姓名、考生号填写在答题卡上. 3．请将答案填涂填写在答题卷上，写在试卷上无效. 4．考试结束，将答题卷交回. 一、单选题 1. 已知复数满足，则的虚部为（    ） A. B. C. 1 D. 2 2. 设与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线a，b，c，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则a，b，c共面 C. 若，则 D. 若a，b异面，b，c异面，则a，c异面 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ） A. 12 B. 8 C. 8 D. 8 7. 如图，在矩形中，为边上靠近点的三等分点，为边上靠近点的四等分点，且线段交于点.若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，两点都在河的对岸（不可到达）.某测量队在，处测得米，，，则（ ） A. 100米 B. 200米 C. 米 D. 米 二、多选题 9. 已知是虚数单位，下列说法正确的有（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数,满足，则 C. 在复数范围内，若是关于的实系数方程的一根，则该方程的另一根是 D. 若，则的最大值为 10. 在中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为直角三角形 B. 若为锐角三角形，则 C. 若，，，则符合条件的有两个 D. 若，则为等腰直角三角形 11. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 不存在点P，使得平面 B. 一蚂蚁从点A出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为 C. 三棱锥的体积为 D. 三棱锥的外接球表面积为 三、填空题 12. 已知，若与垂直，则向量与的夹角的余弦值为__________. 13. 如图，正四棱锥底面边长和高均为，分别是其所在棱的中点，则几何体的体积为______. 14. 如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则___________． 四、解答题 15. 直角坐标系中，已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，且和的夹角为锐角，求的取值范围. 16. 如图，矩形是圆柱的轴截面，，为的中点，为的中点． （1）求圆柱的侧面积； （2）求圆柱的外接球的表面积； （3）证明：平面． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求角的值及周长的最大值； （2）若角的角平分线交于，满足，求的长. 18. 如图，在边长为2的正方形中，P是对角线上一点，且，则 （1）求的值 （2）若点M为线段（含端点）上的动点，求的最小值. 19. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯视四周景色（如图1）．已知某摩天轮转盘的最低点距离地面的高度为2米，转盘半径为30米，逆时针均匀设置了依次标号为1~12号的12个座舱，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟．现从1号座舱位于圆周最右端时开始计时（如图2），旋转时间为t分钟． （1）设1号座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t的函数关系为，求的解析式； （2）当时，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值； （3）甲、乙两名乘客分别乘坐在1号和5号座舱里，在乘坐摩天轮的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差的绝对值为H（单位：米）．当时，求H的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $