广西南宁市第二中学2026届高三下学期5月月考数学试题

南宁二中2026年5月高三月考 数学 （时间120分钟，共150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，且的面积为，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 某农机合作社于今年初用98万元购进一台大型联合收割机，并立即投入生产.预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元.若当该机的年平均耗费最小时将这台收割机报废，则这台收割机的使用年限是（ ） A. 6年 B. 7年 C. 8年 D. 9年 7. 设函数，其中，若存在常数使对任意的实数x都有，则的最小值为（ ） A. 2π B. C. π D. 8. 若曲线有两条过点的切线，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部都选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在一次比赛中，10位评委给某选手的评分分别为：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100.则下列说法正确的有（ ） A. 用简单随机抽样的方法从10个评分中随机去掉2个，则每个评分被去掉的概率是 B. 这10个评分的第60百分位数为90 C. 这10个评分的平均数小于中位数 D. 去掉一个最低分和一个最高分后，评分的平均数会变大，方差会变小 10. 记，分别为函数，的导函数，若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”，则下列说法正确的有（ ） A. 函数与存在唯一“S点” B. 函数与存在两个“S点” C. 函数与不存在“S点” D. 若函数与存在“S点”，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M是棱BC的中点，N是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 点N到平面的距离为定值 B. 若N是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为 C. 若N是棱的中点，则过A，M，N的平面截正方体所得的截面图形的周长为 D. 若CN与平面所成的角为θ，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在区间上的最大值是___________. 13. 已知A、B是椭圆的左右顶点，P是C上任意一点，F是C的左焦点，圆，Q是圆E上任意一点，则的最大值为______． 14. 已知外接圆半径为2，复数，，且，则的面积的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和． 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面是等边三角形，，点E是棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 云计算技术已成为全世界各国战略发展的核心技术与关键基础，2026年我国《政府工作报告》首次明确提出“支持公共云发展”，并将其纳入“打造智能经济新形态”的核心部署.在某个云计算数据中心，某时刻同时接到不同的三个数据任务甲、乙、丙，系统需将三个任务随机分配到四个计算节点A，B，C，D上执行.假设每个任务仅被分配到其中一个计算节点执行，且每个计算节点可以同时执行多个任务，假设不同任务的分配相互独立. （1）记节点A分配到的任务个数为X，求X的分布列和数学期望； （2）对于两个不相互独立的事件M，N，，．若，称事件M与事件N正相关；若，称事件M与事件N负相关. 定义为事件M与事件N的相关系数． （ⅰ）若，求证：事件M与事件N正相关； （ⅱ）若事件M为“节点A恰好分配到一个任务”，事件N为“任务甲分配到节点A”．求，并判断事件M与事件N的相关情况． 18. 设动点到点的距离与到直线的距离相等． （1）求动点的轨迹的方程； （2）过点的直线l交轨迹于A，B两点．直线上有一动点D，其横坐标为． （i）若且直线FD经过的内心，求直线l的方程； （ii）是否存在点D，使得对任意直线l满足FD经过的内心且满足DA，DB同时与相切？若存在，则加以证明；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数，． （1）当时，讨论的单调性； （2）当，时，证明：存在唯一的极值点； （3）若在上有零点，求证：． 南宁二中2026年5月高三月考 数学 （时间120分钟，共150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部都选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明：因为底面为矩形， ，又，，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2） 【17题答案】 【答案】（1） 0 1 2 3 期望为 （2）（i）证明：由， 因为，所以， 即， 又因为，所以， 因为，可得，根据定义，可得事件和正相关. （ii）；事件与正相关 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ii）存在. 【19题答案】 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）当，时，， 设，，则， ①当时，，恒成立， 所以在上单调递减， 又，，所以在内存在唯一零点， 在单调递增，在单调递减， 即在内存在唯一极值点； ②当时，，所以， 则，故在上单调递减，无极值； ③当时，，则， 故在上单调递减，无极值. 综上所述，当，时，存在唯一的极值点. （3）在上有零点，所以， 即有实数根， 设在上的零点为，则， 则点为直线上一点， 所以表示点到原点的距离， 显然，该距离不小于原点到直线的距离， 即，即， 不妨设，，则， 所以函数在上单调递减，则， 即，又，则， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $