第五章 图形的轴对称 题型突破 2025-2026学年北师大版七年级下册（十四大题型）

**基本信息** 北师大版七年级下册第五章“图形的轴对称”单元复习卷，覆盖14大题型，通过生活情境、文化素材及分层设计，强化几何直观与空间观念，适配单元知识巩固与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |轴对称图形|5|识别（交通标志、汉字）|生活情境体现数学眼光| |对称轴条数|4|判定（瓷器纹饰）|文化素材融合空间观念| |镜面对称|5|应用（电子表读数）|实际问题发展应用意识| |等腰三角形|5|性质与分类讨论（边长、角度）|推理能力与分类思维| |作图与证明|5|轴对称作图、垂直平分线应用|操作与逻辑表达数学语言|

第五章图形的轴对称题型突破2025-2026学年 北师大版七年级下册（十四大题型） 题型一：轴对称图形 1．下列四个图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列交通标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（在下列图标中，可看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 题型二：轴对称 1．如图，每组中的两个图形成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 2．下列四个选项中，下边图形与左边图形成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 3．下面的每组图形中，左右两个图形成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 4．下列四个选项左边图形与右边图形成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 5．观察下图中各组图形，其中成轴对称的为　 　（只写序号等）． 题型三：确定轴对称图形对称轴的条数 1．图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 2．下列四个图形：其中是轴对称图形，且对称轴的条数为3的图形是（　　） A． B． C． D． 3．瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，如图所示的图形即为瓷器上的纹饰，该图形既为中心对称图形，又为轴对称图形，该图形对称轴的条数为（　　） A．1 B．2 C．4 D．5 4．下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（　　） A． B． C． D． 题型四：轴对称在镜面对称中的应用 1．小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是（　　） A．15：01 B．10：51 C．10：21 D．10：15 2．（小兰从镜子中看到挂在她背后墙上的四个钟如图所示，其中时间最接近四点钟的是（　　） A． B． C． D． 3．如图4组图形中，左边的图形与右边的图形成轴对称的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 4．从汽车后视镜中看见某车牌的号码如图所示，该汽车的号码实际是 　 ． 5．小新是一位不错的足球运动员，他衣服上的号码在镜子里如图，他是 　 号运动员． 题型五：轴对称作图 1．如图，分别以直线l为对称轴，所作轴对称图形错误的是（　　） A． B． C． D． 2．如图．在方格纸上画出了一棵树的一半，请你以树干为对称轴画出树的另一半． 3．在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，请在如图中画出三个与△ABC成轴对称的格点三角形． 4．如图，网格中每个小方格的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，△ABC与△A1B1C1关于直线l对称． （1）画出△A1B1C1； （2）求四边形AA1C1C的面积． 题型六：轴对称的操作应用 1．如图，在小方格中画与△ABC成轴对称的三角形（不与△ABC重合），这样的三角形能画出（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在3×3的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出（　　）个格点三角形与△ABC成轴对称． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 3．如图是由两个阴影的小正方形组成的图形，请你在空白网格中补画一个阴影的小正方形，使补画后的三个阴影图形为轴对称图形，共有 　 　 种画法． 4．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，在图中可画出 　　 个以格点为顶点的三角形与△ABC成轴对称． 5．在图①中描涂2个小方块，在图②中描涂3个小方块，在图③中描涂4个小方块，分别使图中的阴影图案为轴对称图形． 题型七：轴对称及轴对称的性质 1．如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D、下列结论不一定正确的是（　　） A．AD⊥BC B．PQ⊥AC C．△ABO≌△CDO D．AB＝CD 2．如图，∠AOB＝40°，点M在∠AOB内，点M关于射线OA，OB的对称点分别是M1，M2，连接OM1，OM2，则∠M1OM2＝（　　） A．80° B．70° C．60° D．无法确定 3.如图，△ABC以AC所在直线为对称轴作△ADC，∠BAD+∠BCD＝180°， 则∠B＝　 　 ． 4．如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是3cm，则P1P2的长为　 　 ． 5．如图，点P是∠AOB外的一点，点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，直线FE分别交OA、OB于C、D两点，连接PC、PD、PE、PF． （1）若∠OCP＝∠F＝20°，求∠CPD的度数； （2）若CP＝DP，CF＝13，DE＝3，求CP的长． 题型八：利用轴对称解决台球准确击球问题 1．如图是一个经过改造的规格为4×7的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 2．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图所示，∠1＝∠2．若∠3＝25°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入底袋中，那么击打白球时，必须保证∠1为（　　） A．65° B．75° C．55° D．85° 3．如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 题型九：利用等腰三角形的性质求值 1．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，若BD＝4，则DC的长是（　　） A．2 B．4 C． D．8 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝（　　） A．100° B．115° C．130° D．145° 3．四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形的形状改变而变化．当△ACD为等腰三角形时，对角线AC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线，AB=AC，∠CAD=20°，则∠ABE的度数为（　　） A．20° B．35° C．40° D．70° 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE＝EB，BC＝BD，求∠A的度数． 题型十：等腰三角形中的多结论判断问题 1．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD．则下列结论：①∠C＝2∠A；②BD平分∠ABC；③BC＝AD；④OD＝2CD．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于D．下列结论中：①∠C＝72°； ②BD是△ABC的中线；③∠BDC＝100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD＝BD＝BC．正确的序号有（　　） A．①③④ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤ 3．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，CE⊥BD，交AB于点E．关于下面两个结论，说法正确的是（　　） 结论①∠ADE＝20°；结论②BC＝BE． A．结论①②都正确 B．结论①②都错误 C．只有结论①正确 D．只有结论②正确 4．如图，在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，过点M作DE∥AC交AB于点D，交BC于点E，那么下列结论：①△ADM和△CEM都是等腰三角形；②△BDE的周长等于AB+BC；③AM＝2CM；④AD+CE＝AC．其中一定正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（如图，在△ABC中，点E、D分别在AB、AC的延长线上，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA＝GP；②CP平分∠BCD；③BP垂直平分CE，其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型十一：等腰三角形的分类讨论问题 1．等腰三角形的一条边长为4，另一条边长为7，则该三角形的周长为（　　） A．15 B．18 C．15或18 D．18或23 2．在等腰△ABC中有一个角是50°，那么另外两个角分别是（　　） A．50°、80° B．50°、80°或 65°、65° C．65°、65° D．无法确定 3．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（　　） A．80° B．20° C．100° D．80°或20° 4．一个等腰三角形的周长为13cm，一边长为5cm，则另两边长分别 为（　　） A．3cm，5cm B．4cm，4cm C．3cm，5cm或4cm，4cm D．以上都不对 5.等腰三角形的周长为21cm． （1）若已知腰长是底边长的3倍，求各边长； （2）若已知一边长为6cm，求其他两边长． 题型十二：利用等腰三角形性质证明 1．已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且AB＝AC，AP＝AQ． 求证：BP＝CQ． 2．如图，AB＝AC，BD＝CD，AD的延长线与BC交于E，求证：AE⊥BC． 3．已知，如图在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P为BC的中点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求证：PD＝PE． 题型十三：垂直平分线 1．下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A的度数为（　　） A．87° B．62° C．90° D．93° 3．如图是一风筝的骨架图，点E是BD中点，且AC垂直于BD，若AB＝2cm，四边形ABCD的周长为16cm，则CD的长为（　　） A．2cm B．6cm C．7cm D．14cm 4．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为M，N，已知△ADE的周长为22，则BC的长为 　 　 ． 5．如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为19cm，AC＝8cm，则DC的长为多少？ 题型十四：角平分线 1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 2．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为15，AB＝6，DE＝3，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．2 3．如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5.5 4.如图，∠ABC＝60°，点D在AC上，BD＝12，DE⊥BC，DF⊥AB，且DE＝DF．（1）∠CBD的度数； （2）求DF的长度． 5．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）做∠A的平分线交BC于点D（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若再作∠B的平分线交AD于点P，则∠APB的度数为　 °． 【答案】 第五章图形的轴对称题型突破2025-2026学年 北师大版七年级下册（十四大题型） 题型一：轴对称图形 1．下列四个图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 2．下列交通标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 3．（在下列图标中，可看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 4．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 5．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 题型二：轴对称 1．如图，每组中的两个图形成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 2．下列四个选项中，下边图形与左边图形成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 3．下面的每组图形中，左右两个图形成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 4．下列四个选项左边图形与右边图形成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 5．观察下图中各组图形，其中成轴对称的为　 　（只写序号等）． 【答案】①②④ 题型三：确定轴对称图形对称轴的条数 1．图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】：C． 2．下列四个图形：其中是轴对称图形，且对称轴的条数为3的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 3．瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，如图所示的图形即为瓷器上的纹饰，该图形既为中心对称图形，又为轴对称图形，该图形对称轴的条数为（　　） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C． 4．下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 题型四：轴对称在镜面对称中的应用 1．小强从镜子中看到的电子表的读数如图所示，则电子表的实际读数是（　　） A．15：01 B．10：51 C．10：21 D．10：15 【答案】C． 2．（小兰从镜子中看到挂在她背后墙上的四个钟如图所示，其中时间最接近四点钟的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 3．如图4组图形中，左边的图形与右边的图形成轴对称的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B． 4．从汽车后视镜中看见某车牌的号码如图所示，该汽车的号码实际是 　 ． 【答案】B6392． 5．小新是一位不错的足球运动员，他衣服上的号码在镜子里如图，他是 　 号运动员． 【答案】16． 题型五：轴对称作图 1．如图，分别以直线l为对称轴，所作轴对称图形错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 2．如图．在方格纸上画出了一棵树的一半，请你以树干为对称轴画出树的另一半． 【答案】解：如图所示 3．在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，请在如图中画出三个与△ABC成轴对称的格点三角形． 【答案】解：如图所示，△ABC1、△DEF、△A′BC即为所求． 4．如图，网格中每个小方格的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，△ABC与△A1B1C1关于直线l对称． （1）画出△A1B1C1； （2）求四边形AA1C1C的面积． 【答案】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）四边形AA1C1C的面积（4+8）×3＝18． 题型六：轴对称的操作应用 1．如图，在小方格中画与△ABC成轴对称的三角形（不与△ABC重合），这样的三角形能画出（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】：C． 2．如图，在3×3的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出（　　）个格点三角形与△ABC成轴对称． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A． 3．如图是由两个阴影的小正方形组成的图形，请你在空白网格中补画一个阴影的小正方形，使补画后的三个阴影图形为轴对称图形，共有 　 　 种画法． 【答案】5． 4．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，在图中可画出 　　 个以格点为顶点的三角形与△ABC成轴对称． 【答案】5． 5．在图①中描涂2个小方块，在图②中描涂3个小方块，在图③中描涂4个小方块，分别使图中的阴影图案为轴对称图形． 【答案】解：根据轴对称的性质和定义作图即可： 题型七：轴对称及轴对称的性质 1．如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D、下列结论不一定正确的是（　　） A．AD⊥BC B．PQ⊥AC C．△ABO≌△CDO D．AB＝CD 【答案】A． 2．如图，∠AOB＝40°，点M在∠AOB内，点M关于射线OA，OB的对称点分别是M1，M2，连接OM1，OM2，则∠M1OM2＝（　　） A．80° B．70° C．60° D．无法确定 【答案】A． 3.如图，△ABC以AC所在直线为对称轴作△ADC，∠BAD+∠BCD＝180°， 则∠B＝　 　 ． 【答案】90°． 4．如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是3cm，则P1P2的长为　 　 ． 【答案】3cm． 5．如图，点P是∠AOB外的一点，点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，直线FE分别交OA、OB于C、D两点，连接PC、PD、PE、PF． （1）若∠OCP＝∠F＝20°，求∠CPD的度数； （2）若CP＝DP，CF＝13，DE＝3，求CP的长． 【答案】解：（1）∵点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，∠OCP＝∠F＝20°， ∴∠OCE＝∠OCP＝20°，∠DPF＝∠F＝20°， ∴∠PCF＝40°，∠CPF＝180°﹣∠F﹣∠PCF＝120°， ∴∠CPD＝∠CPF﹣∠DPF＝100°， ∴∠CPD＝100°； （2）∵点E与点P关于OA对称，点F与点P关于OB对称，C P＝D P， ∴CE＝CP＝DP，DP＝DF， ∴CE＝DF， ∴CF＝CE+DE+DF＝2CE+3＝13， 解得CE＝5， ∴CP＝5． 题型八：利用轴对称解决台球准确击球问题 1．如图是一个经过改造的规格为4×7的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】D． 2．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题．如图所示，∠1＝∠2．若∠3＝25°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入底袋中，那么击打白球时，必须保证∠1为（　　） A．65° B．75° C．55° D．85° 【答案】A． 3．如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D． 题型九：利用等腰三角形的性质求值 1．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝AC，若BD＝4，则DC的长是（　　） A．2 B．4 C． D．8 【答案】B． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝（　　） A．100° B．115° C．130° D．145° 【答案】B． 3．四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形的形状改变而变化．当△ACD为等腰三角形时，对角线AC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C． 4．如图，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线，AB=AC，∠CAD=20°，则∠ABE的度数为（　　） A．20° B．35° C．40° D．70° 【答案】B． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE＝EB，BC＝BD，求∠A的度数． 【答案】解：∵DE＝EB ∴设∠BDE＝∠ABD＝x， ∴∠AED＝∠BDE+∠ABD＝2x， ∵AD＝DE， ∴∠AED＝∠A＝2x， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3x， ∵BD＝BC， ∴∠C＝∠BDC＝3x， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝3x， 在△ABC中，3x+3x+2x＝180°， 解得x＝22.5°， ∴∠A＝2x＝22.5°×2＝45°． 题型十：等腰三角形中的多结论判断问题 1．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD．则下列结论：①∠C＝2∠A；②BD平分∠ABC；③BC＝AD；④OD＝2CD．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 2．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线MN交AC于D．下列结论中：①∠C＝72°； ②BD是△ABC的中线；③∠BDC＝100°；④△ABD是等腰三角形；⑤AD＝BD＝BC．正确的序号有（　　） A．①③④ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②④⑤ 【答案】B． 3．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，CE⊥BD，交AB于点E．关于下面两个结论，说法正确的是（　　） 结论①∠ADE＝20°；结论②BC＝BE． A．结论①②都正确 B．结论①②都错误 C．只有结论①正确 D．只有结论②正确 【答案】A． 4．如图，在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，过点M作DE∥AC交AB于点D，交BC于点E，那么下列结论：①△ADM和△CEM都是等腰三角形；②△BDE的周长等于AB+BC；③AM＝2CM；④AD+CE＝AC．其中一定正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C． 5．（如图，在△ABC中，点E、D分别在AB、AC的延长线上，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA＝GP；②CP平分∠BCD；③BP垂直平分CE，其中正确的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D． 题型十一：等腰三角形的分类讨论问题 1．等腰三角形的一条边长为4，另一条边长为7，则该三角形的周长为（　　） A．15 B．18 C．15或18 D．18或23 【答案】C． 2．在等腰△ABC中有一个角是50°，那么另外两个角分别是（　　） A．50°、80° B．50°、80°或 65°、65° C．65°、65° D．无法确定 【答案】B． 3．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（　　） A．80° B．20° C．100° D．80°或20° 【答案】D． 4．一个等腰三角形的周长为13cm，一边长为5cm，则另两边长分别 为（　　） A．3cm，5cm B．4cm，4cm C．3cm，5cm或4cm，4cm D．以上都不对 【答案】C． 5.等腰三角形的周长为21cm． （1）若已知腰长是底边长的3倍，求各边长； （2）若已知一边长为6cm，求其他两边长． 【答案】解：（1）如图，设底边BC＝a cm，则AC＝AB＝3a cm， ∵等腰三角形的周长是21cm， ∴3a+3a+a＝21， ∴a＝3， ∴3a＝9， ∴等腰三角形的三边长是3cm，9cm，9cm； （2）①当等腰三角形的底边长为6cm时，腰长＝（21﹣6）÷2＝7.5（cm）； 则等腰三角形的三边长为6cm、7.5cm、7.5cm，能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为6cm时，底边长＝21﹣2×6＝9； 则等腰三角形的三边长为6cm，6cm、9cm，能构成三角形． 故等腰三角形其他两边的长为7.5cm，7.5cm或6cm、9cm． 题型十二：利用等腰三角形性质证明 1．已知：如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且AB＝AC，AP＝AQ． 求证：BP＝CQ． 【答案】证明：过点A作AO⊥BC于O ． ∵AB＝AC，AO⊥BC ∴BO＝CO ∵AP＝AQ，AO⊥BC ∴PO＝QO ∴BO﹣PO＝CO﹣QO ∴BP＝CQ． 2．如图，AB＝AC，BD＝CD，AD的延长线与BC交于E，求证：AE⊥BC． 【答案】解：在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AB＝AC， ∴AE⊥BC． 3．已知，如图在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P为BC的中点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求证：PD＝PE． 【答案】解：连接AP， ∵在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P为BC的中点， ∴∠BAP＝∠CAP， ∵PD⊥AB，PE⊥AC， ∴PD＝PE． 题型十三：垂直平分线 1．下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A． 2．如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A的度数为（　　） A．87° B．62° C．90° D．93° 【答案】A． 3．如图是一风筝的骨架图，点E是BD中点，且AC垂直于BD，若AB＝2cm，四边形ABCD的周长为16cm，则CD的长为（　　） A．2cm B．6cm C．7cm D．14cm 【答案】B． 4．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为M，N，已知△ADE的周长为22，则BC的长为 　 　 ． 【答案】22． 5．如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为19cm，AC＝8cm，则DC的长为多少？ 【答案】（1）证明：∵EF垂直平分AC， ∴AE＝EC， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AB＝AE， ∴AB＝EC； （2）解：∵△ABC的周长为19cm， ∴AB+BC+AC＝19cm， ∵AC＝8cm， ∴AB+BC＝11cm， ∵AB＝EC，BD＝DE， ∴AB+BD＝DE+EC＝DC， ∵AB+BC＝AB+BD+DC＝2DC＝11cm， ∴DCcm， DC的长为cm． 题型十四：角平分线 1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS 【答案】A． 2．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为15，AB＝6，DE＝3，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．2 【答案】B． 3．如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5.5 【答案】A． 4.如图，∠ABC＝60°，点D在AC上，BD＝12，DE⊥BC，DF⊥AB，且DE＝DF．（1）∠CBD的度数； （2）求DF的长度． 【答案】解：（1）∵DE⊥BC，DF⊥AB，且DE＝DF， ∴BD平分∠ABC， ∴； （2）∵∠ABD＝30°，DF⊥AB，BD＝12， ∴． 5．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）做∠A的平分线交BC于点D（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若再作∠B的平分线交AD于点P，则∠APB的度数为　 °． 【答案】解：（1）如图AD即为所求； （2）∵∠C＝90°． ∴∠ABC+∠BAC＝90°， ∵AD平分∠BAC，BP平分∠ABC， ∴∠BAP+∠ABPBACABC（∠BAC+∠ABC）＝45°， ∴∠APB＝180°﹣45°＝135°． 故答案为：135． 学科网（北京）股份有限公司 $