12.重难题型卷(四)轴对称-【真题圈】2025-2026学年七年级下册数学练考试卷（北师大版·新教材）山西专版

真题圈数学 同调研卷 七年级下3B 12.重难题型卷（四） 草 轴对称 尽 图细 题型一 等腰三角形的性质的应用 彐期 1.(期末·23-24阳泉)如图，已知△ABC是等边三角形，中线 BE,CD交于点F,则∠BFD的度数为( A.30° B.60° C.120° D.150° 製 第1题图 第2题图 2.(月考·23-24山大附中)如图，在△ABC中，AB=AC,点D 为BC边的中点，∠B=40°，则∠CAD= 本3.数学思想分类讨论如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 130°，△AFD和△ABD关于直线AD对称，∠FAC的平分线交BC 于点G,连接FG,当△DFG为等腰三角形时，∠FDG的度数为 金星教有 C 第3题图 第4题图 4.(期中·23-24大同)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC, ∠BAC=20°，点D是AB边上一点，且AD=CB,过点D 加 作DE∥BC,且DE=AB,连接CE,CD,则∠DCE的度数 阳 为 胸 品 5.探究性试题操作实践： (1)如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=22.5°，请画出一条 直线把△ABC分割成两个等腰三角形，并标出分割成的两个 等腰三角形底角的度数 (要求用两种不同的分割方法) 分类探究： (2)在△ABC中，最小内角∠B=24°，若△ABC被一条直线分 割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出△ABC最大 内角的所有可能值 猜想发现： (3)若一个三角形能被一条直线分割成两个等腰三角形，需满 足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明） B22.50 B2250 第5题图 备用图 题型二线段垂直平分线的应用 6.如图，在△ABC中，AB,AC的垂直平分 线1，1，相交于点O,若∠BAC=78°，则 ∠OBC的度数为( A.6° B.8° 第6题图 C.12° D.16° 39 7.如图，在△ABC中，直线ED是线段BC的垂直平分线，直线 ED分别交BC,AB于点D,E,已知BD=3,△ABC的周长为 20,则△AEC的周长为( A.14 B.20 C.16 D.12 D 第7题图 第8题图 8.（月考·21-22太原志达中学)如图，在△ABC中，∠C=90°，沿 过点B的一条直线BE折叠△ABC,使点C恰好落在AB边的中 点D处，则∠A的度数是( A.20° B.30° C.40° D.45° 9.如图，在△ABC中，AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E, F,垂足分别为M,N,若∠BAC+∠EAF=144°，则∠BAC的 度数为 第9题图 10.(月考·22-23山西省实验)如图，在△ABC中，AB的垂直平 分线EF交BC于点E,交AB于点F,D为线段CE的中点， 且BE=AC. (1)试说明：AD⊥BC (2)若∠C=70°，求∠BAC的度数 第10题图 题型三角平分线的应用 11.(月考·24-25山大附中改编)如图，AD是△ABC中∠BAC 的平分线，DE⊥AB于点E,S△MBC=3.5,DE=1,AB=4, 则AC的长是()》 A.3 B.4 C.5 D.6 A 第11题图 第12题图 12.（期中·24-25晋中榆次区改编)如图，已知△ABC的周长是 18cm,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,OD⊥BC于点D, 若OD=3cm,则△ABC的面积是() A.24 cm2 B.27 cm2 C.30 cm2 D.33 cm2 13.（月考·22-23太原成成中学改编)如图所示，在△ABC 中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P,BE= BC.下列说法：①LACB=2LAPB;②SAMC:SAPAR= PC:PB;③BP垂直平分CE.其中正确的有() 精品图 金星教育 E 第13题图 A.①② B.①③ C.②③ D.① 14.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB=10cm,AC= 8cm,则SAMD:S△4cp= 第14题图 第15题图 15.（月考·24-25太原三十八中改编)如图所示，若AB∥CD, AP,CP分别平分∠BAC和∠ACD,PE⊥AC于点E,且PE= 3cm,则点P到AB与到CD的距离之和为 16.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD为 △ABC的角平分线，过点D作直线 I∥AB,点P为直线1上的一个动点， 连接AP,若△BCD的面积为16， BC=8,则AP的最小值为 第16题图 17.教材习题拓展如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB, 交BC于点D.过点D作DE⊥AB于点E,点F在AC上，且 ∠CFD=∠B. (1)证说明：CF=EB, (2)试判断AB与AF,EB之间存在的数量关系.并说明理由. 第17题图 题型四最值问题 18.（月考·23-24大同一中)如图，在等边 三角形ABC中，BC边上的中线AD= 6,E是AD上的一个动点，F是边AB 上的一个动点，在点E,F运动的过程 中，EB+EF的最小值是() B4 A.6 B.4 第18题图 C.3 D.2 —40 19.如图，∠AOB=45°，点M,N分别在射线OA,OB上，MN=8, △OMN的面积为12，P是直线MW上的动点，点P关于OA 对称的点为P,点P关于OB对称的点为P2,则△OPP,面 积的最小值为 A D 第19题图 第20题图 20.(月考·22-23山大附中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=4,AB=12,AD平分∠BAC交BC于点D,过点D作 DE⊥AD交AB于点E,P是DE上的动点，Q是BD上的动点， 则BP+PQ的最小值为 21.数学思想转化如图，网格图中每个小正方形的边长为1，点 A,B,C,M,N都在格点上 (1)在直线MW上找一点P,使PB+PC的值最小，在图中画 出点P的位置 (2)在直线MN上找一点Q,使QB-QA的值最大，直接写 出这个最大值 牛 爱学 拒绝盗印 第21题图答案与解析 21.【解1(1)因为∠D=∠B=90°，所以CD⊥AD,CB⊥AB. 又因为AC平分LBAD,所以BC=CD. (2)一定相等.理由如下： 如图，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E,作CF⊥AB 于点F 因为∠ADC与∠ABC互补，所以∠ADC+∠ABC=180° 又因为∠ADC+∠CDE=180°，所以∠CDE=∠ABC. 因为AC是∠BAD的平分线，所以CE=CE 在△BCF与△DCE中，∠CBF=∠CDE,∠CFB=∠CED= 90°，CF=CE, 所以△BCF≌△DCE(AAS),所以BC=CD D E 第21题答图 22.【解】(1)如图①所示 B A 第22题答图① (2)分别作点P关于OA,OB的对称点M,N,如图②. 连接MN,交OA,OB于点C,D,此时△PCD的周长最小，为MW 的长. 连接OM,ON. 由轴对称的性质可知，OM=OP=12,OW=OP=12, CP=CM,DP=DN,∠MON=2∠AOB=60°， 则△MON为等边三角形，所以MN=OM=12, 所以△PCD的周长的最小值为12. M A 第22题答图② 23.【解】(1)因为在△ABC中，AB=AC,AD是BC上的高，∠BAD =30°，所以∠BAD=∠CAD=30°，∠ADC=90 因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED=75°， 所以∠EDC=∠ADC-∠ADE=15°. (2)因为在△ABC中，AB=AC,AD是BC上的高， ∠BAD=40°，所以∠BAD=∠CAD=40°，∠ADC=90°， 因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED=70°， 所以∠EDC=∠ADC-∠ADE=20°， (3)LBAD-2LEDC或∠EDC=号∠BAD (4)仍有∠BAD=2∠EDC. 理由如下： 因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED. 因为∠BAD+∠B=180°-∠ADB,∠ADC=180°-∠ADB, 所以LBAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC 因为LEDC+∠C=180°-∠DEC=∠AED, 所以∠BAD+∠B=(∠EDC+∠C)+∠EDC, 即∠BAD+∠B=2∠EDC+∠C 又因为AB=AC,所以∠B=∠C,所以∠BAD=2∠EDC. 12.重难题型卷（四）轴对称 1.B【解析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60° 因为中线BE,CD交于点P,所以∠EBC=∠DCB=号×60°=30 （三线合一)，所以∠BFD=180°-∠BFC=∠EBC+∠DCB= 60°.故选B. 2.50°【解析】因为AB=AC,∠B=40°，所以∠C=∠B=40°. 因为AB=AC,D为BC边的中点，所以AD⊥BC, 所以LADC=90°，所以∠C+∠CAD=90°， 所以∠CAD=90°-40°=50°. 故答案为50°. 3.50°或65或80°【解析】因为AB=AC,∠BAC=130°， 所以∠B=∠C=25°. 因为△ABD和△AFD关于直线AD对称， 所以△ADB≌△ADF,所以∠B=∠AFD=25°，AB=AF, 所以AF=AC.因为AG平分∠FAC,所以∠FAG=∠CAG 在△AGF和△AGC中，AF=AC,∠FAG=∠CAG,AG=AG, 所以△AGF≌△AGC(SAS),所以∠AFG=∠C=25°. 因为∠DFG=∠AFD+∠AFG, 所以∠DFG=∠B+∠C=25°+25°=50° 分情况讨论：①当GD=GF时，∠FDG=∠DFG=50°. ②当DF=GF时，∠FDG=∠FGD. 因为∠DFG=50°，所以∠FDG=∠FGD=65° ③当DF=DG时，∠DFG=∠DGF=50°，所以∠FDG=80, 故答案为50°或65或80° 4.70°【解析】如图所示，连接AE. 因为DE∥BC,所以∠ADE=∠B. E 因为DE=BA,AD=CB, 所以△ADE≌△CBA(SAS), 所以∠AED=∠CAB,AE=CA. 因为AB=AC,所以AE=DE 第4题答图 因为AB=AC,∠BAC=20°， 所以∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°， ∠AED=∠BAC=20°. 因为∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°，AE=CA,以 ∠ACE=∠AEC=60°，易知△ACE是等边三角形，所以CE= AC=AE=DE,所以∠CDE=∠DCE.因为∠DEC=∠AEC ∠AED=40°，所以∠DCE=∠CDE=(180°-40°)÷2=70° 0故答案为70°. 5.【解】(1)如图①②所示. 22.567.5 45° 250 --- 67.5 22.5 22545 C ① 89 249848 24 78°】39 48o 48⊙ B D 240 D ⊙ ⑦② 24669 2448 240 48 66° 万文24 48°84 D ⑤ ⑥ 第5题答图 (2)设分割线为AD,相应示意图如图③④⑤⑥所示.图③的最 大内角=39°+78°=117°，图④的最大内角=24°+84°=108°， 图⑤的最大内角=24°+66°=90°，图⑥的最大内角=84°，故 △ABC的最大内角的可能值为117°或108°或90°或84°， (3)若一个三角形能被一条直线分割成两个等腰三角形，应满 足下列条件之一：①该三角形是直角三角形；②该三角形有一 个内角是最小内角的2倍；③该三角形有一个内角是其中一个 内角的3倍 6.C【解析】如图，连接AO,因为1垂直平分AB,1,垂直平分 AC,所以AO=BO,AO=CO, 所以∠OBA=∠OAB,∠OCA=∠OAC 因为∠OAB+∠OAC=∠BAC=78°， 所以∠OBA+∠OCA=∠OAB+∠OAC= 78°. 第6题答图 因为∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-78°=102°， 所以∠OBC+∠OCB=∠ABC-∠OBA+∠ACB-∠OCA=102°- 78°=24°.因为A0=B0,A0=C0,所以B0=C0,所以 ∠OBC=∠OCB=12°.故选C 7.A【解析】因为直线ED是线段BC的垂直平分线， 所以EC=EB,BC=2BD=6. 因为△ABC的周长为20， 所以AB+AC+BC=20,所以AB+AC=14, 所以△AEC的周长=AC+AE+EC=AC+AE+EB=AC+AB= 14.故选A. 8.B【解析】由折叠的性质可知∠CBE=∠DBE,DE⊥AB. 因为点D为AB的中点，所以EA=EB, 所以∠EAD=∠EBD,所以∠CBE=∠EBD=∠EAD. 因为∠C=90°，所以∠CBE+∠EBD+∠EAD=90°， 所以∠A=30°.故选B. 9.108°【解析】因为ME垂直平分AB,NF垂直平分AC, 所以AE=BE,AF=CF,所以∠B=∠BAE,∠C=∠CAF 设∠BAC=x°，所以∠B+∠C=180°-x°， 所以∠BAE+∠CAF=∠B+∠C=180°-x°， 真题圈数学七年级下3B 所以∠EAF=∠BAC-（∠BAE+∠CAF) =x°-(180°-x°)=2x°-180° 因为∠BAC+∠EAF=144°，所以x+(2x-180)=144, 解得x=108,即∠BAC=108° 故答案为108°. 10.【解(1)如图，连接AE.因为EF垂直平分AB, 所以AE=BE. 因为BE=AC,所以AE=AC 因为D为线段CE的中点，所以AD L BC. (2)因为BE=AE,所以∠B=∠BAE, 所以LAEC=180°-∠AEB=∠B+∠BAE=2∠B. 因为AE=AC,所以∠AEC=∠C=70°， 所以LB=3×70°=35， 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=75° AH B E D C B 第10题答图 第11题答图 11.A【解析】如图，过点D作DH⊥AC于点H. 因为AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB,DH⊥AC, 所以DH=DE=1. 因为Sac=S6c+SAm所以3×1×AC+3×1×4=3.5, 所以AC=3.故选A 12.B【解析】如图，过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F, 连接OA.因为BO平分∠ABC,OD⊥BC,OE⊥AB, 所以OE=OD=3cm,同理可得OF=OD=3cm, 所以SAMc=SAoB+Sow+SAONC=7×OE×AB+7×ODX BC+7×OF×AC=AB+BC+AC). 因为△ABC的周长是18cm, 所以Sac=号×18=27(em. 故选B. A G B M 第12题答图 第13题答图 13.B【解析】因为AP平分∠CAB,BP平分∠CBE,所以∠PAB= 3∠CAB,LPBE=i∠CBE 因为∠CBE=180°-∠ABC=∠CAB+∠ACB, 2∠PBE=2(180°-∠PBA)=2(∠PAB+∠APB)=∠CAB+ 2∠APB, 所以∠ACB=2∠APB,故①正确 如图，过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N因为AP 平分∠BAC, 答案与解析 所以PM=PN 因为SAPc:SAn=(3 AC-PN):2ABPM=AC:AB,故② 不正确· 因为BE=BC,BP平分∠CBE,所以BP垂直平分CE(三线合 一)，故③正确. 综上，正确的说法有①③.故选B. 14.5:4【解析】如图，过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别 为E,F因为AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,所以 DE=DE 因为SAm=3AB·DE=5DE,SMCm=7AC·DF=4DR, 所以SRD:SACD=5:4故答案为5：4 N D 第14题答图 第15题答图 15.6cm【解析】如图，过点P作MN LAB,分别交CD于点N, 交AB于点M因为AB∥CD,所以PN⊥CD 又因为AP平分∠BAC,CP平分∠ACD, 所以PM=PW=PE=3cm,所以MWN=PM+PW=3+3= 6(cm),所以点P到AB与到CD的距离之和为6cm 故答案为6cm. 16.4【解析】由△BCD的面积易得CD=4. 因为BD为△ABC的角平分线，∠C=90°， 所以点D到AB的距离=CD=4. 因为直线1∥AB, 所以AP的最小值与点D到AB的距离相等，故最小值为4. 故答案为4. 17.【解】(1)因为AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°， 所以DC=DE,∠C=∠DEB=90°. 在△FCD和△BED中， 因为∠CFD=∠B,∠C=∠DEB,DC=DE, 所以△FCD≌△BED(AAS) 所以CF=EB. (2)AB=AF+2EB.理由：因为AD平分∠CAB, 所以∠CAD=∠BAD 在△ACD和△AED中， 因为LCAD=∠BAD,∠C=∠DEA,DC=DE, 所以△ACD2△AED(AAS), 所以AC=AE. 所以AB=AE+EB=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB. 18.A【解析】如图，连接CE,因为△ABC是等边三角形，AD是 中线，所以AD垂直平分BC,所以BE=EC 所以BE+EF=EC+EF, 所以当C,E,F三点共线，且CF1AB时，EC+EF的值最小，G 即BE+EF的值最小. 因为△ABC是等边三角形，AD⊥BC,CF⊥AB, 所以AD=CF=6,即EB+EF的最小值是6.故选A B D 第18题答图 19.号【解析]如图，连接OP,过点0作OH1MM,交MM的延 长线于点H H M NB P 第19题答图 因为SAow=3MN·OH=12,MN=8,所以OH=3. 因为点P关于OA对称的点为P,点P关于OB对称的点为 P,所以LAOP=∠AOP,∠POB=∠P,OB,OP=OP,=OP, 因为∠AOB=45°， 所以∠P,OP,=2(∠POA+∠POB)=2∠AOB=90°， 所以△OPP,是等腰直角三角形，SA=)OPOP,-3OP 当OP=OH=3时，△OPP2的面积最小， 所以△OPP,的面积的最小值为分×3x3=号 故答案为号 20.8【解析】如图，过点D作DH⊥AB于点H,并延长DH, 所以∠AHD=90°=∠C. B-- Q 第20题答图 因为AD是∠BAC的平分线，所以∠DAH=∠DAC 又因为AD=AD,所以△ADH≌△ADC(AAS), 所以∠ADH=∠ADC,AH=AC=4, 所以BH=AB-AH=12-4=8. 因为DE⊥AD,所以∠ADE=90°， 所以∠ADC+∠BDE=90°=∠ADH+∠EDH, 所以∠BDE=∠EDH. 在DH上取一点Q',使DQ'=DQ,连接PQ',BQ. 因为DP=DP, 所以△QDP≌△Q'DP(SAS), 所以PQ=PQ',所以BP+PQ=BP+PQ'≥BQ'(当B,P,Q' 三点共线时，等号成立)，所以当BQ'L DH,即点Q与点H重合 时，BP+PQ的值最小，最小值=BH=8.故答案为8. 21.【解】(1)如图①，作点C关于直线MW的对称点D,连接BD 交MN于一点，该点即所求点P 分析：因为点C与点D关于直线MN对称，所以PC=PD, 所以PB+PC=PB+PD. 因为PB+PD≥BD,当P,B,D三点共线时，等号成立，所以当 P,B,D三点共线时，PB+PD的值最小，即PB+PC的值最小. ⑦ ⑨ 第21题答图 (2)3 分析：如图②，作点A关于直线MN的对称点A1,连接BA,并 延长交MN于一点Q.因为QA=QA,所以|QB-QA=QB- QAl根据三角形的三边关系可得1QB-QA,|<AB,当Q,A1,B三 点共线时，QB-QA|=A,B,所以QB-QA的最大值=A,B=3. 13.阶段学情调研（二） 题号12345678910 答案DDA BD AD DD C 1.D 2.D【解析】设第三根木棒的长度为xcm,由三边关系得 5-2<x<5+2,所以3<x<7.观察各个选项，只有D选项是符合题 意的.故选D. 3.A【解析】A.(a+2)(a-2)=a2-4,本选项符合题意；B.(ab2)2 =a2b≠ab,本选项不符合题意；C.x5÷x2=≠x,本选项 不符合题意；D.(a+b)2=a+2ab+b≠a+b2,本选项不符合题 意.故选A 4.B【解析】A.根据对顶角相等可知∠1=∠2，本选项不符合题 意；B.∠1+∠2=90°，但∠1与∠2不一定相等，本选项符合题意； C根据平行线的性质可知∠1=∠2，本选项不符合题意；D.根 据同角的余角相等，可知∠1=∠2，本选项不符合题意。 故选B. 5.D【解析】因为将△ABC按如图所示折叠，使点C的对应点 C'与点B重合，折痕为DE,所以BD=CD,BE=CE,所以 DE⊥BC,所以DE垂直平分边BC.故选D. 6.A 7.D【解析】如图，过点E作EF∥CD. 因为AB∥CD,所以EF∥AB, 所以∠AEF=180°-∠EAB=98° 又EF∥CD,∠ECD=110°， 所以∠CEF=180°-∠ECD=70°， B 所以∠AEC=∠AEF-∠CEF=98·- 第7题答图 70°=28°.故选D. 真题圈数学七年级下3B 8.D【解析J因为∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=100°，∠A =20°，所以∠B=60°. 根据折叠的性质可知∠CBD=∠B=60°， 因为∠DBC+∠ABD=180°，∠ABD+∠A+∠ADB'=180°， 所以∠DBC=∠A+∠ADB, 所以60°=20°+∠ADB',所以∠ADB'=40 故选D. 9.D【解析】根据作图可知OE是∠AOB的平分线， OD=OC=ED=EC. 又∠A0B=40°，所以∠C0E=)∠A0B=20°. 因为CE=CO,所以∠OEC=∠COE=20°.故选D. 10.C【解析】在△AEF和△ABC中，AE=AB, ∠AEF=∠ABC,EF=BC, 所以△AEF≌△ABC(SAS), 所以∠EAF=∠BAC,AF=AC,故②正确. 所以∠FAC=∠EAB=40°，故①正确. 因为AF=AC, 所以∠C=∠AFC=∠AFE=70°， 所以∠EFB=180°-70°-70°=40°，故⑤正确. 因为AE=AB,∠EAB=40°， 所以∠AEB=LABE=7O°. 若∠EBC=110°，则∠ABC=40°=∠EAB,则AE∥BC, 显然与题中条件不符，故③错误.。 若AD=AC,则AD=AF, 所以∠ADF=∠AFD=70°， 所以∠DAF=40°，显然与题中条件不符，故④错误 故选C 11.ASA 12.2【解析】由题意知，口袋中有黄球6×35%≈2（个）. 故答案为2. 13.3cm【解析】因为△BCE的周长为10cm, 所以BE+EC+BC=10cm. 因为AB的垂直平分线交AC于点E,所以AE=BE, 所以AE+EC+BC=10cm,即AC+BC=10cm. 因为BC=4cm,所以AB=AC=6cm. 所以BD=2AB=3cm 故答案为3cm 14.70°【解析】因为∠B=80°，∠C=30°，所以∠BAC=180° 80°-30°=70°.因为∠DAB:∠DAC=4:3,所以∠DAC= 30°.因为△ABC≌△ADE,所以∠D=∠B=80°，所以∠DFA =180°-∠D-∠DAC=70°，所以∠EFC=∠DFA=70° 故答案为70°. 15.108°或72°【解析】因为AB=AC,所以∠B=∠C=36°，所 以∠BAC=180°-36°-36°=108°. ①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=36°，所以∠DAE= 108°，所以∠DAE=∠BAC,此时点D与点B重合，不符合题意； ②当D1=DE时，即∠D1E=∠DE1=3×(180°-36)=72，