精品解析：甘肃会宁县第一中学2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试卷

2025-2026会宁一中高二数学第二学期期中考试试题 一．单选题 1. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，再令，得，即可求解． 【详解】， 令，得，得， 则，得， 故选：C 2. 函数的导函数的图象如图所示，那么该函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的图像利用导数函数知识从而得到的图像，从而求解. 【详解】由题意知与轴有三个交点，不妨设为， 当，，当，, 当，，当，， 所以在区间，单调递减，故A、C错误； 在区间,单调递增，故B错误，故D正确. 故选：D. 3. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】由，可得：， 因，则，即：，解得： 4. 对于函数，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】函数，求导得， 则 ，所以. 5. 如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则 ， 由，得，则 ， 因此 ＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 6. 统计某位篮球运动员的罚球命中率，罚中一次的概率是，连续罚中两次的概率是.已知这位篮球运动员第一次罚球命中，则第二次罚球也命中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设相应事件，根据条件概率公式运算求解. 【详解】记“第一次罚球命中”为事件A，“第二次罚球命中”为事件B， 由题意可知：， 所以. 故选：C. 7. 若是函数的极值点，则的极大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，由极值点求得参数，再确定函数的极大值点，得极大值． 【详解】由题意，∴，解得，即， 或时，，在和上递增， 时，，递减， ∴时，取得极大值． 故选：B． 【点睛】本题考查用导数求函数的极值，掌握导数与极值的关系是解题关键． 8. 设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用反函数图像关于直线对称的性质，将两曲线上点的距离最小值问题，转化为一条曲线上的点到直线的最短距离的2倍. 【详解】因为 ，则，即 ， 所以 的反函数为 ，两曲线关于直线对称. 因此，的最小值等于曲线 上的点到直线最短距离的2倍. 设曲线 上一点 ，该点到直线（即）的距离为： ， 令 ，则 ， 令，解得，则时，，单调递减， 则时，，单调递增， 则的最小值为 ， 因此最短距离：，即 . 二、多选题 9. 已知事件，满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 如果，那么 C. 如果与互斥，那么 D. 如果与相互独立，那么 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式判断各选项. 【详解】对于A，只有当与相互独立时， ，故A错误； 对于B，若，则 ，故B正确； 对于C，与互斥，则， 那么 ，故C正确； 对于D，如果与相互独立， 那么 ，故D正确. 10. 函数存在3个零点，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数求出函数的极值，再结合三次函数的图象特征求出的范围. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当时，函数在上单调递增，函数最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得或；由，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 由函数存在3个零点，得，解得， 所以实数的取值可以是，ACD是，B不是. 故选：ACD 11. 是棱长为2的正方体表面上一点，则（ ） A. 当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值 B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 设是的中点，若，则线段长度的最大值为 D. 若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，利用等体积法，即，过过作于，根据条件知为三棱锥高，即可求解；选项B，建立空间直角坐标系，设，进而求得，即可求解；选项C，通过找出一个过且与垂直的平面，进面得出点的轨迹，即可求解；选项D，根据条件得到直线与所成的角为，再对在各个面的情况进行讨论，即可求解. 【详解】对于选项A，如图1，连接，因为，易知平面即平面， 过作于，因为面，面， 所以，又，面，所以面， 又的面积为定值，而随着的变化而变化，所以三棱锥的体积不为定值，所以选项A错误， 对于选项B，如图2，建立空间直角坐标系，因为正方形的棱长为2， 则，设，， 又，， 设与所成的角为， 则， 当时，，此时， 当时，令，， 又，得到，所以，得到， 故，所以选项B正确， 对于选项C，如图3，取的中点， 连接， 易知，所以与确定唯一平面， 由正方体性质知与相交，所以， 连接，易知，又，，面， 所以面，又面，所以，同理可得， 又，所以面， 因为，所以，故面，又是正方体表面上一点，故在正六边形的边上运动， 由对称性知，当与重合时，线段长度最大，最大值为，所以选项C正确， 对于选项D，因为直线与平面所成的角为， 若点在平面内，如图4，过，连接，则为直线与平面所成的角， 由题知，则，显然只有与重合符合题意， 同理可知若点在平面内，与重合符合题意， 又因为面，得直线与所成的角为， 若点在平面内时，点的轨迹是，此时轨迹长为， 若点在平面内时，点的轨迹是，此时轨迹长为， 若点在平面时，作面，连接，如图4所示， 因为，所以，又，所以， 得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的四分之一的圆，此时轨迹长为， 所以点的轨迹长度为，故选项D正确， 故选：BCD. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在选项C和选项D，对于选项C，将问题转化成寻找一个过且与垂直的平面，从而得出点的轨迹；对于选项D，根据条件将问题转化成与直线与所成的角为，再对点在各个平面的情况进行讨论，即可求解. 三、填空题 12. 已知向量，，若，则实数________. 【答案】1 【解析】 【详解】因为向量，， 根据∥， 所以，得. 13. 若，，则_________. 【答案】 【解析】 【详解】， 又，则. 14. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数单调性可得在上有解，即在上有解，令，利用导数求其最大值即可. 【详解】因为，所以， 由存在单调递减区间，所以在上有解， 即在上有解， 令，所以， 所以时，，所以在上单调递增， 时，，所以在上单调递减， 则 ，所以. 四、解答题 15. 已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线的斜率，再利用点斜式，即可求解； （2）构造函数，利用导数，求出的单调区间，进而求出的最小值，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，又， 所以函数在点处的切线方程为. 【小问2详解】 令，易知的定义域为， 则，当时，；当，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故，则，命题得证. 16. 如图，在棱长为4的正方体中，点是的中点. （1）求证：； （2）求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由正方体的性质，先证平面，得，再由证明平面，进而即得； （2）依题意建系，求得相关点坐标，分别求出平面和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求得. 【小问1详解】 因为，且平面， 所以平面.又平面， 所以 又因为正方形,则平面， 所以平面. 因为平面， 所以. 【小问2详解】 如图，以点为原点，以向量所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则. . 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 故平面的法向量可取为. 由（1）可知，平面，所以平面的法向量可取， 设二面角的大小为由图可知为钝角， 则，因， 则，即二面角的大小为. 17. 某校高二年级数学模拟卷共有5道试题，其中代数题3道，几何题2道，现从这5道题中不放回地依次随机抽取2道题组成一份小测验（即第1次抽1题，记录后不放回，再抽第2题）. （1）求“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”的概率； （2）已知第1次抽到的是代数题，求第2次抽到几何题的概率； （3）比较（1）与（2）的结果，说明两次抽取是否相互独立，并简述理由. 【答案】（1） （2） （3）因为，所以.故两次抽取不是相互独立的. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型，通过计算即可； （2）利用条件概率公式计算即可； （3）验证是否成立，即可得出结果. 【小问1详解】 设“第1次抽到代数题”，“第2次抽到几何题” . 【小问2详解】 ，. 【小问3详解】 略 18. 在数字通信中，信号是由数字和组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号或有可能被错误地接收为或.已知发送信号时，接收为和的概率分别为和；发送信号为时，接收为和的概率分别为和.若发送信号为的概率是，发送信号为的概率是. （1）分别求接收信号为和的概率； （2）已知接收信号为，求发送信号是的概率. （3）现采用重复发送3次+多数判决，发送信号为的概率仍是，发送信号为的概率仍是，求最终判决错误的概率. 【答案】（1）0.39；0.61 （2） （3）0.01555 【解析】 【分析】（1）先定义事件，再梳理条件概率，最后套用全概率公式可得结果； （2）根据结果，反推原因，可使用贝叶斯公式算出条件概率； （3）用二项分布计算每种情况的条件概率，再用全概率公式计算总错误可得结果. 【小问1详解】 设“发送的信号为”，“接收的信号为”，则“发送的信号为”，“接收的信号为”. 由题意得，，， ，，， 则 ， ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 错判发送， 错判 发送， 判错 . 19. 设函数，为函数的导函数. （1）求证：； （2）设函数 . （i）讨论的单调性； （ii）若时，，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）答案见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，结合基本不等式即可求解； （2）（i）由（1）得，分类讨论的取值范围即可；（ii）根据函数的单调性，判断函数的最值即可. 【小问1详解】 函数，则 ，当且仅当时等号成立， 所以. 【小问2详解】 （i）函数 ，则 ， 由（1）可知， ， ①当时，，在上单调递增； ②当时，令，解得，， 由于，则有，即， 当时，；当时，， 所以在 和上单调递增，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在 和上单调递增，在上单调递减. （ii）由（i）可知： ①当时，在上单调递增；恒成立； ②当时，在上单调递减，，与题设矛盾， 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026会宁一中高二数学第二学期期中考试试题 一．单选题 1. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 2. 函数的导函数的图象如图所示，那么该函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 3 4. 对于函数，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A. B. C. D. 6. 统计某位篮球运动员的罚球命中率，罚中一次的概率是，连续罚中两次的概率是.已知这位篮球运动员第一次罚球命中，则第二次罚球也命中的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 若是函数的极值点，则的极大值为（ ） A. B. C. D. 8. 设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知事件，满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 如果，那么 C. 如果与互斥，那么 D. 如果与相互独立，那么 10. 函数存在3个零点，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 是棱长为2的正方体表面上一点，则（ ） A. 当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值 B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 设是的中点，若，则线段长度的最大值为 D. 若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 三、填空题 12. 已知向量，，若，则实数________. 13. 若，，则_________. 14. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是_________. 四、解答题 15. 已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）求证：. 16. 如图，在棱长为4的正方体中，点是的中点. （1）求证：； （2）求二面角的大小. 17. 某校高二年级数学模拟卷共有5道试题，其中代数题3道，几何题2道，现从这5道题中不放回地依次随机抽取2道题组成一份小测验（即第1次抽1题，记录后不放回，再抽第2题）. （1）求“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”的概率； （2）已知第1次抽到的是代数题，求第2次抽到几何题的概率； （3）比较（1）与（2）的结果，说明两次抽取是否相互独立，并简述理由. 18. 在数字通信中，信号是由数字和组成的序列，由于随机因素的干扰，发送的信号或有可能被错误地接收为或.已知发送信号时，接收为和的概率分别为和；发送信号为时，接收为和的概率分别为和.若发送信号为的概率是，发送信号为的概率是. （1）分别求接收信号为和的概率； （2）已知接收信号为，求发送信号是的概率. （3）现采用重复发送3次+多数判决，发送信号为的概率仍是，发送信号为的概率仍是，求最终判决错误的概率. 19. 设函数，为函数的导函数. （1）求证：； （2）设函数 . （i）讨论的单调性； （ii）若时，，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $