精品解析：甘肃平凉市庄浪县紫荆中学2025-2026学年第二学期第一次月考试题高二数学

紫荆中学2025-2026学年第二学期第一次月考试题（卷） 高二数学 说明： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本函数的导数，得，即可求解. 【详解】因为，则， 故选：C. 2. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中两点距离公式求解即可. 【详解】为坐标原点，，所以. 故选：A. 3. 已知向量，，若与夹角为，则的值为（ ） A. B. C. －1 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量坐标求得，，由空间向量的夹角公式和向量的数量积运算得，即可求出的值. 【详解】解：因为，，且与夹角为， 则，， 所以， 可知，解得：. 故选：A. 4. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数值直接构造方程求解即可. 【详解】，，解得：. 故选：A. 5. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数的求导公式可得结果. 【详解】令，则， 所以. 故选：B. 6. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量公式进行求解 【详解】， 故在上的投影向量为． 故选：D． 7. 丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出． 【详解】对A，，当时，，所以A错误； 对B，，在上恒成立，所以B正确； 对C，，，所以C错误； 对D，，，因为，所以D错误． 故选：B． 8. 已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导得到函数单调性，结合得到，由函数单调性得到，故，从而得到，得到答案. 【详解】在上恒成立， 故在上单调递增， 因为，故，所以，故， 所以， 当时，， 故，，则， 故， 综上，，A正确. 故选：A 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分) 9. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 为函数的零点 B. 为函数的极小值点 C. 函数在上单调递减 D. 是函数的最小值 【答案】BC 【解析】 【分析】由图中与0的大小关系可得到函数的单调区间，再根据极值、零点和最值的定义判断各选项的正误即可得出答案. 【详解】解：由的图象可知，在和上单调递增，在和上单调递减，所以为的极小值点，所以B，C均正确； 是的零点，但不一定是的零点，所以A错误； 是函数的极小值，但不一定是最小值，所以D错误. 故选：BC. 10. 已知函数，则下列结论错误的是（ ）． A. 有两个极值点 B. 有一个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A选项，对求导后判断函数单调性，即可判断极值点个数；对于B选项，结合A选项求解的函数单调性和极值点的值，根据零点存在定理可判断零点个数；对于C选项利用函数平移，构造，判断的奇偶性，进一步得到对称中心；对于D选项，根据条件直接求出切点坐标即可判断结果； 【详解】对于A选项，由，定义域为，可得， 令，可得， 因为，得或，，得， 所以，在单调递减，在，单调递增， 所以，是有极大值点，是有极小值点，故A选项正确； 对于B选项，由A可知极大值为， 极小值，， 所以，根据的单调性和零点存在定理可知，在，，各存在1个零点，即函数有3个零点，故B错误； 对于C选项， 可设，得，则为奇函数，所以图象关于对称， 将向上平移1个单位可得，故函数关于对称，故C选项正确； 对于D选项，由A知，令，解得，则，， 由于切点，均不满足， 故D选项错误； 故选：BD 11. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与夹角的余弦值为 D. 若，则共面 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示即可判断ABD；根据空间向量数量积的定义计算即可判断C. 【详解】A：，又，故A错误； B：，则，故B正确； C：因为，所以， 所以，故C正确； D：因为，故D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 曲线在处的切线方程为__________________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据条件求出x＝1时y、y′的值即可表示出切线方程． 【详解】解：根据题意可得y′＝2xlnx+x﹣， 则当x＝1时，y＝0，y′＝﹣1， 所以曲线在x＝1处的切线方程为y＝﹣（x﹣1），整理得x+y﹣1＝0， 故答案为：x+y﹣1＝0． 故答案为：. 【点睛】本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程，属于基础题． 13. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算和数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得，， 则. 故答案为： 14. 若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义及切线方程可得，由“1”的技巧及均值不等式求解即可. 【详解】∵，∴， 设切点为，则， ∴，∴． ∵， ∴原式，当且仅当，即时等号成立， 即． 故答案为： 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出，，，，五点的坐标； （2）求． 【答案】（1），，，， （2） 【解析】 【分析】(1)根据点的位置写出各点的坐标； (2)先求向量的坐标，再结合向量的坐标运算公式求解. 【小问1详解】 由题可知，，，，， 【小问2详解】 由（1）可知，，， 则， 则. 16. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）求的值； （2）求的极值. 【答案】（1）； （2）极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）求导函数，根据导数的几何意义及切点坐标列方程求解即可； （2）求导得函数的单调区间，即可确定极大值和极小值. 【小问1详解】 由题意知，所以， 解得； 【小问2详解】 由（1）知，令，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以的极小值为，无极大值. 17. 已知函数在与处都取得极值． （1）求，的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】（1）对求导，根据极值点列方程组求参数即可. （2）由（1）有，进而判断的单调性并确定最值，结合不等式恒成立求参数范围. 【详解】（1）由题设，，又，，解得，． （2）由，知，即， 当时，，随的变化情况如下表： 1 + 0 - 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 ∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，为极大值，又，则为在上的最大值， 要使对任意恒成立，则只需，解得或， ∴实数的取值范围为． 18. 已知函数． （1）若在处取得极值，求的单调区间； （2）若在区间上单调递增，求a的取值范围． 【答案】（1）的单调递减区间为，的单调递增区间为和. （2）. 【解析】 【分析】（1）求出，由题意可知，即可解得的值，然后利用和，求出的单调区间. （2）由条件可得在区间上恒成立，得在区间上恒成立，结合二次函数，可得答案. 【小问1详解】 ， ，解得，则， ， 令，解得或，令，解得， 所以的单调递减区间为，的单调递增区间为和. 【小问2详解】 ， 因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立， 因为恒大于，所以在区间上恒成立， 设， 当时，得在区间上不恒成立，所以不满足题意， 当时，由于函数的对称轴，所以要在区间上恒成立， 只需不等式组无解， 或解得， 当时，函数的对称轴， 要在区间上恒成立， 则只需，无解， 综上，实数的求值范围是. 19. 已知，. （1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）讨论函数在上的单调性； （3）对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）答案见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）求出曲线在点处的切线方程，进而求出切线与两坐标轴的交点，利用直角三角形面积公式即可求解； （2）利用导数的正负研究原函数的单调性，分与两种情况讨论即可； （3）分离参数得到，构造函数，利用导数求最大值即可. 【小问1详解】 因为，故，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即， 与两坐标轴的交点分别为， 故围成的三角形的面积为. 【小问2详解】 因为，故， 令， 当，则，故在上单调递减； 当，则时，，所以在单调递减； 时，，所以在单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在单调递减，单调递增. 【小问3详解】 即， 即对一切实数恒成立， 令 当时，单调增； 当时，单调减；故最大值为， 则， 故实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 紫荆中学2025-2026学年第二学期第一次月考试题（卷） 高二数学 说明： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若与夹角为，则的值为（ ） A. B. C. －1 D. 1 4. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的导数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分) 9. 函数的导函数的图象如图所示，则（ ） A. 为函数的零点 B. 为函数的极小值点 C. 函数在上单调递减 D. 是函数的最小值 10. 已知函数，则下列结论错误的是（ ）． A. 有两个极值点 B. 有一个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 11. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与夹角的余弦值为 D. 若，则共面 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 曲线在处的切线方程为__________________. 13. 已知，则______. 14. 若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是_________ 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出，，，，五点的坐标； （2）求． 16. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）求的值； （2）求的极值. 17. 已知函数在与处都取得极值． （1）求，的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数． （1）若在处取得极值，求的单调区间； （2）若在区间上单调递增，求a的取值范围． 19. 已知，. （1）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）讨论函数在上的单调性； （3）对一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $