精品解析：贵州贵阳市北京师范大学贵安新区附属学校2025-2026学年高一第二学期4月月考数学试卷

北师大贵安附校2025-2026学年度第二学期 4月月考高一数学试卷 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上.） 1. 正方形的边长是2，是的中点，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 2. 在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 3. 若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 A. （–∞，1） B. （–∞，–1） C. （1，+∞） D. （–1，+∞） 4. 设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A. B. C. D. 7. 已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ） A. 346 B. 373 C. 446 D. 473 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项符合题目要求，部分选对得部分分，选错的0分.） 9. （多选）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 设点D是所在平面内一点，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则点D是边BC的中点 B. 若，则直线AD经过的垂心 C. 若，则点D在边BC的延长线上 D. 若，且，则是面积的一半 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，请将所有答案写在答题卡上.） 12. 是虚数单位，则的值为__________. 13. 的内角的对边分别为.已知，则_________. 14. 在中，，的角平分线交BC于D，则_________． 四､解答题（本大题共5个小题，共77分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤，请将所有答案写在答题卡上.） 15. 如图，在等腰梯形中，，，，E是边的中点． （1）试用，表示，； （2）求的值． 16. 已知向量． （1）若，求x的值； （2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值． 17. 如图所示，有一艘缉毒船正在处巡逻，发现在北偏东方向､距离为4海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕. （1）求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； （2）试确定缉毒船的行驶方向. 18. 在中，内角的对边分别为，为钝角，，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大贵安附校2025-2026学年度第二学期 4月月考高一数学试卷 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上.） 1. 正方形的边长是2，是的中点，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解. 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B. 2. 在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得 ， 所以，故选A. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 3. 若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 A. （–∞，1） B. （–∞，–1） C. （1，+∞） D. （–1，+∞） 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：，故选B. 【考点】复数的运算 【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量. 4. 设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量和向量数量积的定义依次判断充分性和必要性即可得到结果. 【详解】若为非零向量，且存在负数，使得，则共线且方向相反， ，充分性成立； 当时，的夹角可能为钝角，此时不存在负数，使得，必要性不成立； “存在负数，使得”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故， 又，所以. 故选：B. 6. 的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得． 详解：由题可知 所以 由余弦定理 所以 故选C. 点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理． 7. 已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果. 【详解】 的模为2，根据正六边形的特征， 可以得到在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式， 可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是， 故选：A. 【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目. 8. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ） A. 346 B. 373 C. 446 D. 473 【答案】B 【解析】 【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案． 【详解】 过作，过作， 故， 由题，易知为等腰直角三角形，所以． 所以． 因为，所以 在中，由正弦定理得： ， 而， 所以 所以． 故选：B． 【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为． 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项符合题目要求，部分选对得部分分，选错的0分.） 9. （多选）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二倍角公式，将化简，求出的值，进而确定角，结合已知条件和余弦定理，建立方程求解边长和，最后利用正弦定理求出的值，逐一验证选项． 【详解】由，得， 因为在中，，得， 由余弦定理，得， 因为， 所以， 解得，所以． 由，得，则． 由正弦定理得． 故答案为：ABD． 10. 已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 故选：AC 11. 设点D是所在平面内一点，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则点D是边BC的中点 B. 若，则直线AD经过的垂心 C. 若，则点D在边BC的延长线上 D. 若，且，则是面积的一半 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据中点的性质即可判断；对B，根据垂心的性质及数量积公式即可判断；对C，根据向量的运算得到，即可判断；对D，根据三点共线的性质即可求解. 【详解】对A，，即， 即，即点是边的中点，故A正确； 对B，设的中点为， ， 即，故AD过的垂心，故B正确； 对C，， 即， 即， 即点在边的延长线上，故C错误； 对D，，且， 故，且， 设， 则，且， 故三点共线，且， 即是面积的一半，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，请将所有答案写在答题卡上.） 12. 是虚数单位，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模． 【详解】． 【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题. 13. 的内角的对边分别为.已知，则_________. 【答案】或 【解析】 【详解】在中，，由正弦定理得， 由，得，即，因此或， 所以或. 14. 在中，，的角平分线交BC于D，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根据等面积法求出； 方法二：利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出，即可根据三角形的特征求出． 【详解】 如图所示：记， 方法一：由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 故答案为：． 方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：， 由正弦定理可得，，解得：，， 因为，所以，， 又，所以，即． 故答案为：． 【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规． 四､解答题（本大题共5个小题，共77分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤，请将所有答案写在答题卡上.） 15. 如图，在等腰梯形中，，，，E是边的中点． （1）试用，表示，； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用几何图形，结合平面向量基本定理，利用基底表示向量； （2）以向量为基底，表示向量，结合向量数量积的运算律和定义，即可求解. 【小问1详解】 ， ， ． 【小问2详解】 由题意可知，，， 所以 ． 16. 已知向量． （1）若，求x的值； （2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值． 【答案】（1）（2）时，取到最大值3； 时，取到最小值. 【解析】 【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值． （2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值． 【详解】解：（1）∵向量． 由， 可得：， 即， ∵x∈[0，π] ∴． （2）由 ∵x∈[0，π]， ∴ ∴当时，即x＝0时f（x）max＝3； 当，即时． 【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键． 17. 如图所示，有一艘缉毒船正在处巡逻，发现在北偏东方向､距离为4海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕. （1）求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； （2）试确定缉毒船的行驶方向. 【答案】（1）缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕 （2）缉毒船的行驶方向为北偏东 【解析】 【小问1详解】 设缉毒船经过小时恰好能将毒贩抓捕， 由题意可知： ， 由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得， 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕. 【小问2详解】 由（1）可知：， 由正弦定理可得， 且为锐角，则，可得， 所以缉毒船的行驶方向为北偏东. 18. 在中，内角的对边分别为，为钝角，，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）； （2）选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可； 【小问1详解】 由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. 【小问2详解】 选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 19. 的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A，B，C均为三角形内角解得. （2）根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域. 【小问1详解】 由三角形的内角和定理得， 此时就变为 . 由诱导公式得，所以. 在中，由正弦定理知， 此时就有 ，即， 再由二倍角的正弦公式得，， 解得. 【小问2详解】 因为是锐角三角形，又，所以， 则 . 因为，所以，则， 从而，故面积的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $