精品解析：贵州贵阳市第一中学2025-2026学年高一年级第二学期教学质量监测卷（一）数学试题

贵阳一中2025—2026学年高一年级第二学期教学质量监测卷（一） 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效． 3．考试时间120分钟，满分150分 一、单选题（每小题8分，共40分） 1. 命题“”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 在中，设，，若点D满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在三角形ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一个解的是 A. b=7，c=3，C=300 B. b=5，c= ，B=450 C. a=6，b= ，B=600 D. a=20，b=30，A=300 7. 某广场地面上有一条直线轨道与两个固定反光点和（为灯光照射的角度参数），一移动激光灯P沿轨道l移动，激光灯P发出的光线会同时照射到A和B，形成两个光斑．为了让光斑的亮度达到最佳效果，需要计算激光灯与两个反光点之间的能量耦合值W，W定义为与的数量积．则激光灯在轨道上滑行时能量耦合值W的最小值为（ ） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 8. 已知函数若存在，，，使，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列命题中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知为复数，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若是方程的两根，则 D. 若，则 11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若函数在区间的取值范围为，则的最小值是 C. 若函数恰有4条对称轴和3个零点落在区间内，则实数的取值范围是 D. 若函数在上单调递减，在上有且只有一个零点，则的取值范围是 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若复数z满足，则z的虚部为______. 13. 已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________． 14. 已知函数，则满足的x的取值范围是______． 四、解答题（共77分） 15. 已知，． （1）求； （2）若，求实数的值． 16. 已知，， （1）求函数的最小正周期． （2）将的图象向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标扩大到原来的2倍得到的图象，若是偶函数，求在上的单调递增区间． 17. 已知、、分别为的内角、、的对边，． （1）求A； （2）已知，是边的中点，求的最大值． 18. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求a的值，并求的值； （2）求在上解不等式． （3）当时，有解，求实数m的取值范围． 19. 在平面直角坐标系中O为坐标原点，对任意两个向量，，作，，当、不共线时，记以OA、OB为邻边的平行四边形的面积；当,共线时，规定． （1）分别根据下列已知条件求： ①，；②，； （2）若向量（、不共线，，），求证：； （3）若M、N、E是以O为圆心的单位圆上不同的点，记，，，当时，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳一中2025—2026学年高一年级第二学期教学质量监测卷（一） 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效． 3．考试时间120分钟，满分150分 一、单选题（每小题8分，共40分） 1. 命题“”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题“”的否定是: 2. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为集合，， 所以，所以, 所以. 3. 在中，设，，若点D满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由图形的几何性质分解向量即可求解. 【详解】 由题意. 故选：D. 4. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数的单调性，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】由题意，易知在上单调递增， , 所以函数的零点所在区间是. 5. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 因此， 所以， ； 所以的取值范围是. 6. 在三角形ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一个解的是 A. b=7，c=3，C=300 B. b=5，c= ，B=450 C. a=6，b= ，B=600 D. a=20，b=30，A=300 【答案】C 【解析】 【详解】三角形ABC中已知（ 为锐角），若 或 则三角形有一个解.A选项已知， 且；B选项已知， 且；C选项已知，所以有一个解；D选项已知， 且；故选C. 【点睛】 已知两边和其中一边的对角，解三角形，要注意对解的个数的讨论．可按如下步骤和方法进行： 例如已知 ， （一）若 为钝角或直角，当 时，则无解；当 时，有只有一个解；  （二）若 为锐角，结合下图理解. ①若 或 ，则只有一个解. ②若 ，则有两解. ③若 ，则无解. 无解 一解 两解 一解 也可根据 的关系及 与 的大小关系来确定. 7. 某广场地面上有一条直线轨道与两个固定反光点和（为灯光照射的角度参数），一移动激光灯P沿轨道l移动，激光灯P发出的光线会同时照射到A和B，形成两个光斑．为了让光斑的亮度达到最佳效果，需要计算激光灯与两个反光点之间的能量耦合值W，W定义为与的数量积．则激光灯在轨道上滑行时能量耦合值W的最小值为（ ） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量数量积求出，可得，再求出即可得解. 【详解】设，坐标原点为 ， 则，， 即 ， 即，当最小时W最小， 而直线与轴的交点坐标为，两交点与原点围成了等腰直角三角形， 则，所以. 8. 已知函数若存在，，，使，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数性质，确定三交点的公共函数值范围，利用根的对称性与求和，得 的值域. 【详解】分段函数：， ：开口向上抛物线，对称轴，最小值 ； ：指数函数，单调递减，值域； 要存在使 ， 直线 需与两段曲线交于三点，因此， 是抛物线部分的两个交点，关于对称轴对称， 由韦达定理知：；由图得 ， 因此总和：， 当时，此时，则， 此时，即. 当时，此时，则， 综上所述，，即的取值范围为. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列命题中错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，由，，得或，则，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，满足，，而，故C错误； 对于D，当时，满足，，而，故D错误. 10. 已知为复数，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若是方程的两根，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用共轭复数的概念计算判断选项A、B，利用韦达定理计算判断选项C，利用反例法判断选项D． 【详解】选项A、B：设，则， ， ， ，故A正确； ， ， ， ，故B错误； 选项C：已知是方程的两根， 由韦达定理得， ，故C正确； 选项D：令，满足， 但，故， 不能推出，故D错误． 故选：AC． 11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若函数在区间的取值范围为，则的最小值是 C. 若函数恰有4条对称轴和3个零点落在区间内，则实数的取值范围是 D. 若函数在上单调递减，在上有且只有一个零点，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数，利用齐次式法求值判断A；利用函数值范围求出范围判断B；根据正弦函数的性质求解判断C；利用零点及正弦函数单调性求出范围判断D. 【详解】函数 ， 对于A，由，得 ，故A正确； 对于B，由，得， 则，解得， 由函数在区间的取值范围为， 得或， 因此的最小值是，故B正确； 对于C，当时，， 因为函数恰有4条对称轴和3个零点落在区间内， 所以，解得，故C错误； 对于D，， 当时，， 由函数在上有且只有一个零点，得，解得， 当时，， 而且， 由函数在上单调递减， 得，解得，则， 因此的取值范围是，故D正确. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若复数z满足，则z的虚部为______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用复数除法的法则，结合复数的虚部定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以z的虚部为1， 故答案为：1 13. 已知，若，则在方向上的投影向量的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，解得：, 则在方向上的投影向量的坐标为 14. 已知函数，则满足的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，并判断奇偶性，根据平移得到图象的对称中心为，转化原不等式为，根据单调性得，求解即可 【详解】由题意得， 设，则，的定义域为R， 且，所以为奇函数， 都是增函数，所以是增函数， 的图象是由的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，所以图象的对称中心为，所以． 易知在R上单调递增，因为， 所以，所以，解得， 故答案为：． 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键有三点： （1）得到函数图象的对称中心，从而得到； （2）得到函数的单调性； （3）利用函数的单调性去掉“f”，将原不等式转化为关于x的不等式． 四、解答题（共77分） 15. 已知，． （1）求； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由，，得， 则. 【小问2详解】 由，， 得，， 因为，所以，解得. 16. 已知，， （1）求函数的最小正周期． （2）将的图象向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标扩大到原来的2倍得到的图象，若是偶函数，求在上的单调递增区间． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先根据平面向量的数量积的坐标表示、三角恒等变换公式化简得到，再根据正弦型函数的周期公式求解即可； （2）先根据函数图象的平移变换得到，再结合是偶函数可得，进而得到，再结合余弦函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 由， 则函数的最小正周期为. 【小问2详解】 由（1）知，， 将的图象向左平移个单位长度得到， 再把所有点的横坐标扩大到原来的2倍得到， 由于是偶函数，则，即， 又，则，即， 因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上的单调递增区间为，． 17. 已知、、分别为的内角、、的对边，． （1）求A； （2）已知，是边的中点，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换公式化简求解即可； （2）先根据平面向量的线性运算、数量积运算律可得，再结合余弦定理得到、，进而求解即可. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理，得， 则， 即， 则， 因为，所以，即， 则，即， 因为，所以，则，即. 【小问2详解】 因为是边的中点，所以， 则 ， 由余弦定理，得，即 而，当且仅当时等号成立，则，即， 则，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 18. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求a的值，并求的值； （2）求在上解不等式． （3）当时，有解，求实数m的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质可得实数a的值，进而可得所求函数值； （2）由奇函数的对称性可求上的解析式，再由指数函数的单调性可得不等式的解集. （3）转化问题为在时有解，进而结合指数函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以， 又当时，，所以，解得， 则时，， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，当时，， 当时，，且是定义在上的奇函数， 所以， 由，得，即， 则，所以，得， 由指数函数在上是减函数，所以，解得. 故当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 当时，， 由，得，则， 即在时有解， 由指数函数和在上均为减函数， 所以函数在上为减函数， 且时，，时，，则， 所以实数的取值范围为. 19. 在平面直角坐标系中O为坐标原点，对任意两个向量，，作，，当、不共线时，记以OA、OB为邻边的平行四边形的面积；当,共线时，规定． （1）分别根据下列已知条件求： ①，；②，； （2）若向量（、不共线，，），求证：； （3）若M、N、E是以O为圆心的单位圆上不同的点，记，，，当时，求的最大值． 【答案】（1）①5；②0 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据新定义即可求解； （2）由新定义可证得，，即可证明； （3）由题意，可设，，，由新定义和三角恒等变换化简计算可得，而，进而求解即可. 【小问1详解】 ①因为，，且， 所以； ②因为，，所以. 【小问2详解】 因为向量，，且向量， 则， 所以， 同理， 所以. 【小问3详解】 由题意可设，，， 则， 而，则， 当时，等号成立， 则的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $