数学（北师大版）2-2025-2026学年八年级下学期阶段练习三

花 2025~2026学年八年级第二学期阶段练习三 A. 数学（北师大版） C. 6 品 注意事项： A 1.本试卷共8页.总分120分，考试时间120分钟 C. 2.仔细审题，工整作答，保持卷面整洁 密 条形码粘贴处 3.考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍 7. 如 OB 三 总分 题号 A. 17 18 19 20 21 22 23 24 棉 得分 名 选择题涂卡处 军 关 1 [A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 11 [A][B][C][D] A 心 2[A][B][C][DJ 7 [A][B][C][D] 12[A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 9[A][B][C][D] C. 5[A][B][G][D] 10[A][B]C][D] 9. 图 得分 评卷人 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题 A. 地 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) B 食 1.若分式 有意义，则x的取值范围是( x-2026 4 A.x≠2026 B.x>2026 D 条 C.x<2026 D.x≥2026 10.在 2. 不等式-2x<4的解集在数轴上表示为( ) 足 A.2-1012 B 101 遮 线 A. C.2-1013+ C 3. 若4=a42(a≠6≠0)，则▲代表的运算符号是( bb▲2 11.如 A.×或 B.+或- DE C.+或× D.-或÷ ① 州 4.将x(x-2)+x进行因式分解的结果是() A. A.x2-x B.x2-3x C.x(x-1) D.x(x-2)） C. 八年级数学<北师大版>第1页<共8页> 图1，直线MN与正六边形相交于点M,N,若∠1=25°，则∠2=( M 133° B.145° 150° D.160° 列不能用公式法因式分解的是( 图 m2-2m+1 B.x2+2x(a-b)+(a-b)2 -x2-25y2+10xy D.2a2b2-4ab+1 图2，△ABC与△A'BC关于点0对称.若△OBC的周长为13.1， =4.1,BC=5,则CC的长为( B.4.1 D.8.2 知M=2+1 11,下列正确的是() M=3 B.N= 2x-2 x2-1 M-W=3 D.M=-1 x2-1 3是石家庄某藏宝博主留下的解密纸条，则宝藏的位置在() 长安公园凉亭座位下 密码对应的明文： 赵佗公园凉亭座位下 (a-b)→长安公园；(a+b)→赵佗公园； (m-n)→凉亭；(m+n）一→座位下；(m2-n2)→雕像处 长安公园雕像处 提示：d(m2-n2)-b(n2-m)因式分解后的完整结果即宝藏的位置 赵佗公园雕像处 图3 光学实验室中，小华需要制作一个长方形的遮光板，用于控制实验中光线的照射范围.为了满 实验对遮光面积的要求，遮光板的周长不小于240cm,且遮光板的长比宽的2倍少3cm设 光板的宽为xcm,则可列不等式为( ) 2(x+2x-3)≥240 B.2(x+2x-3)>240 2[x+2(x-3)]≥240 D.x+2x-3≥240 图4，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=37°，将△ABC绕点A逆时针旋转37°得到△ADE,AD, 分别交BC于点N,M,DE交AC于点F,连接AM.下列结论正确的有( A N=BN;②△AFE是直角三角形；③MA平分∠BME B 0个 B.1个 D 2个 D.3个 图4 八年级数学<北师大版>第2页<共8页> 12.嘉淇编写了一个程序，程序以x,x一1为初始序列，每次循环用最后一项除以其前一项，将结果添 得分 加到序列末尾.第1次循环后的代数序列为x,x-1,一1；第2次循环后的代数序列为x,x-1, x1,工；…则第668次循环后的代数序列的乘积为() 题目 B.& 解 x-1 C. 1 D.(x-1)2 解 x(x-1)】 得分 评卷人 (1)解法 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） ①等式的 (2)从上这 18计第：亭 14.写出一个能被60012-6001整除的大于1的数： 15.用9张边长为a的正方形卡片，4张边长为b的正方形卡片，12张长为 a,宽为b的长方形卡片无缝隙、不重叠地拼成一个大正方形，则这个大 正方形的边长为 OE F 0'x 16.如图5，已知点A的坐标为(0,2)，将线段OA沿x轴正方向平移4个单 图5 位长度得到线段O'A',线段EF在OO上移动，且EF=1,连接AE,A'F,则AE+EF+A'F的最小 得分 值为， 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 如图 得分 评卷人 (1)用尺栽 17.(本小题满分7分) (2)在(1) 给M一个合适的“身份”，使多项式M-2x能因式分解 (1)若M的“身份”是x,因式分解M-2x2; (2)若M的“身份”是2，因式分解M-2x2 ■ 八年级数学<北师大版>第3页<共8页> 评卷人 18.(本小题满分8分) “先化简，再求值：(3x)x,)二4，其中=2026.”现有如下两种解法」 x-2x+2 十十十十十十+十十十十十十十十 十十十十十十十十+十 法一： t解法二： :原式=[，3x(x+2) x-2）]4解：原式=3x·-4-x。·-4 (x-2)(x+2)(x-2)(x+2) x-2 xx+2 十“十…十"十"十十十十十十…十十十十十“十十十十十…十+十…+”十“十十+“十以 第一步运算的依据是」 ,解法二第一步运算的依据是 ;(填序号) 密 基本性质。②分式的基本性质③乘法对加法的分配律④乘法交换律 解法中，任选一种，写出完整的解答过程」 名 评卷人 19.(本小题满分8分) 6,在△ABC中，点M在AC的右侧，且AM⊥CM 作△ABC的高AH(保留作图痕迹，不写作法)； 的条件下，若∠B=∠ACB,BC=2CM,求证：△ABH≌△ACM. 图6 线 八年级数学<北师大版>第4页<共8页> 得 分 评卷人 20.(本小题满分8分) 得 嘉嘉在设计图案时，发现图形的轴对称和平移、旋转之间存在某种联系.△ABC在边长 为1的小正方形网格中，其顶点在网格的格点处，先作△ABC关于直线a的对称△AB,C, 再作△AB,C1关于直线b的对称△AB,C2 冀对 【发现 密 1B1 0 B A2 【问题 (2)第 (3)小 图7-1 图7-2 说明到 (1)如图7-1，当直线a∥b时，△ABC2可以由△ (填字母)经过平移得到，平移 的最短距离为 ； 地 (2)如图7-2，当直线a,b相交于点0时，△AB,C2可以由△ (填字母)绕着点O 顺时针旋转得到，旋转角的最小度数为 (3)当直线a⊥b时，直接判断△AB,C2与△ABC是否成中心对称 得 分 评卷人 21.（本小题满分9分) 難 2(x-1)+1>x+a,① 已知关于x的不等式组 x4+3>x.② (1)求不等式②的解集； (2)若不等式组的解集为-1<x<2,求a的值； 线(3)若不等式组有3个整数解，求a的取值范围。 八年级数学<北师大版>第5页<共8页> ■ 评卷人 22.(本小题满分9分) 希腊毕达哥拉斯学派把1,3,6,10，…nn+1)(n为正整数)，这样的数称为“三角形数”，小 2 三角形数”进行了如下探究活动 】第1个等式：1×8+1=32； 第2个等式：3×8+1=53； 第3个等式：6×8+1=7： 第4个等式：10×8+1=92； 解决】(1)第5个等式为 m个等式为 (用含m的式子表示)，并证明该等式； 冀还发现：相邻两个“三角形数”的和是一个完全平方数.请你判断小冀的发现是否正确，并 里由. 八年级数学<北师大版>第6页<共8页> ■ 得分 评卷人 得分 23.(本小题满分11分) 综合与实践 如图 【阅读材料】奶茶的质量=糖的质量+茶水的质量；奶茶甜度=奶茶中糖的质量 将△ADE 奶茶的质量 【问题背景】一杯a(a>0)克的奶茶含糖b(b>0)克，称甜度为正常糖；含糖0.5b克，称甜度为五 △ADE的 分糖，含糖0.3b克，称甜度为三分糖.现用若干杯α克的正常糖、三分糖奶茶及若干糖制作奶茶. (1)如图8 【操作】(1)嘉嘉说：“取2杯正常糖奶茶及5杯三分糖奶茶混合，得到了五分糖奶茶.”请你说 ①求CE 明嘉嘉这样说的理由； ②求证：B (2)淇淇说：“将07b克的糖加入一杯三分糖奶茶中得到的奶茶甜度比正常糖要甜.”请你判断淇淇 (2)如图 的说法是否正确，并说明理由； 点F,G.习 【应用】(3)已知a=100,b=8,分别取一杯a克的正常糖、五分糖奶茶，从正常糖奶茶中取奶茶的 (3)点K 1(2<≤4，且m为整数)倒入五分糖奶茶中，充分混合，通过计算求混合后奶茶甜度的最大值. 锐角时，直 A 图 ■ 八年级数学<北师大版>第7页<共8页> 评卷人 24.(本小题满分12分) 8-1,已知等边三角形ABC与等边三角形ADE,点E在AC上，AB=4,AE=1. 沿射线AC以每秒1个单位长度的速度平移，平移后的图形记为△A'DE',设 2 平移时间为t秒。 -2,当=3时，连接BA',BE',BD 的长 D'垂直平分A'E'; -3,当点E与点C重合时，连接AD',BA',延长BA',DA',分别交AD',AB于 ∠A'FD'的度数； 在边BC上，且CK=连接A'K.EK,当△A"EK为直角三角形，且∠A'KE为 名 接写出1的值. 照 E 8-1 图8-2 图8-3 备用图 医 樂 八年级数学<北师大版>第8页<共8页> 2025一2026学年八年级第二学期阶段练习三 数学（北师大版）参考答案 评分说明： 1.本答案仅供参考，若考生答案与本答案不一致，只要正确，同样得分 2.若答案不正确，但解题过程正确，可酌情给分 一、（每小题3分，共36分） 题号 1 6 9 10 11 12 答案 B D D 二、（每小题3分，共12分） 13.、1 14.6001(答案不唯一，正确即可) 15.3a+2b 16.6 2y 三、17.解：(1)x(1-2x);(3分) (2)2-2x=2(1+x)(1-x).(4分) 18.解：(1)②；③：(4分) (2)原式=2x+8,当x=2026时，原式=4060.(4分) 19题图 19.解：(1)如图；(3分) (2)证明：，'∠B=∠ACB,.AB=AC.,AH⊥BC,.∠AHB=90°，BC=2BH.,BC=2CM,.BH=CM ,AM⊥CM,∴.∠AMC=90°，.Rt△ABH≌Rt△ACM(5分) 20.解：(1)ABC:(1分)5V2:(2分) (2)ABC:(1分)90°：(2分) (3)△ABC2与△ABC成中心对称.(2分) 21.解：(1)不等式②的解集为x<2;(3分) (2)解不等式组得a+1<x<2.,不等式组的解集为-1<x<2,.a+1=-1,解得a=-2;(3分) (3)由题意可得不等式组的3个整数解为-1,0,1，.-2≤a+1<-1,解得-3≤a<-2, .a的取值范围为-3≤a<-2.(3分) 22.解：(1)15×8+1=11°；(2分) (2)m(m+1 -×8+1=(2m+1)2:(2分) 2 证明：等式的左边=皿（m+1) ×8+1=4m+4m+1=(2m+1)=等式的右边；(2分) 2 (3)小冀的发现正确；(1分) 理由：设相邻两个“三角形数”分别为kk+1》,(k+1)(k+2) (k为正整数). 2 k(k+1D+k+1）（k+2)_k+1×(2k2)-k+ X2X(k+1)=(k+1)2.(2分) 2 2 2 2 23.解：(1)理由：混合后的奶茶甜度为2b+5x0.3b_35b_05b, (4分) 2a+5a 7a a 八年级数学<北师大版>第1页<共2页> (2)淇淇的说法不正确；(1分) 理由：加入糖后的奶茶甜度为036+0.飞-b bb 0.7b2 a+0.7ba+0.7ba+0.7baa(a+0.7b) a>0,b>0,.-0.7b b <二，.淇淇的说法不正确；(3分) a(a+0.7b) <0,b a+0.7b a (3》混合后的奶茶的量为10+×10-10n+10(克)，糖的质量为05X8+X8-红+8 1 (克)， n n n n 混合后的奶茶甜度为n+8÷100n+100。n+2 ,2<n≤4，且n为整数，∴.n的取值为3或4 n 25(n+1) 当n=3时， n+2 =0.05；当n=4时， n+2 =0.048.0.05>0.048,..混合后奶茶甜度的最大值为0.05 25(n+1) 25(n+1) (3分) 24.解：(1)①当t=3时，AA'=3. 由平移的性质可得A'E'=AE=1.,△ABC是等边三角形，∴.AC=AB=4, 3 0e-CAE-=2（3分) ②证明：由(1)易得CE'=AA'.:△ABC是等边三角形，.BA=BC,∠A=∠BCA,∴△ABA'≌△CBE', ∴.BA'=BE.,△A'D'E'是等边三角形，.A'D'=D'E,.BD'垂直平分A'E;(4分) (2),△ABC,△A'D'E'是等边三角形，.∠BAC=∠ABC=∠BCA=∠D'A'E'=60°，CA'=D'A', ∴.D'G∥BC,∴.∠AGA'=∠ABC=60°，∠AA'G=∠BCA=60°，∴，∠AGA'=∠AA'G=∠BAC,∴.△AGA'是等边三 角形，.GA'=AA′=AG,∴.AB-AG=AC-AA',.BG=CA′，.BG=D′A′.，∠BGA′=180°-∠AGA′=120°， ∠D'A'A=180°-∠AA'G=120°，.∠BGA'=∠D'A'A,∴.△BGA'≌△D'A'A,.∠GBA'=∠AD'A'. 又，∠BA'G=∠D'A'F,∴.∠A'FD′=∠BGA'=120°；(3分) (3)t的值为或 1 .(2分) 22 C箱期：a图1当8s0时，☑0迎0，，之光，解得 4 24 2 如图2，当∠KA'E'=90°时，∠CKA'30°，A'C=1, AA′4-1=15 -t= 5,解得=15) .1-15 4424 2 A 24题图1 24题图2 八年级数学<北师大版>第2页<共2页>2025一2026学年八年级第二学期阶段练习三 数学（北师大版）参考答案 评分说明： 1.本答案仅供参考，若考生答案与本答案不一致，只要正确，同样得分. 2.若答案不正确，但解题过程正确，可酌情给分 一、（每小题3分，共36分） 题号 9 10 11 12 答案 B D D 二、（每小题3分，共12分） 13.、1 14.6001(答案不唯一，正确即可) 15.3a+2b 16.6 2y 三、17.解：(1)x(1-2x);(3分) (2)2-2x=2(1+x)(1-x).(4分) 18.解：(1)②；③：(4分) (2)原式=2x+8,当x=2026时，原式=4060.(4分) 19题图 19.解：(1)如图：(3分) (2)证明：，∠B=∠ACB,.AB=AC.,AH⊥BC,.∠AHB=90°，BC=2BH.,BC=2CM,∴.BH=CM .'AM⊥CM,..∠AMC=90°，..Rt△ABH≌Rt△ACM.(5分) 20.解：(1)ABC;(1分)5V2;(2分) (2)ABC;(1分)90°；(2分) (3)△AB,C2与△ABC成中心对称.(2分) 21.解：(1)不等式②的解集为x<2:(3分) (2)解不等式组得a+1<x<2.,不等式组的解集为-1<x<2,.a+1=-1,解得a=-2;(3分) (3)由题意可得不等式组的3个整数解为-1,0,1，.-2≤a+1<-1,解得-3≤a<-2, .a的取值范围为-3≤a<-2.(3分) 22.解：（1)15×8+1=11°；(2分) (2)m(m+1) ×8+1=(2m+1)2;(2分) 证明：等式的左边=m（m+1) ×8+1=4m+4m+1=(2m+1)2=等式的右边；(2分) 2 (3)小冀的发现正确；(1分) 理由：设相邻两个“三角形数”分别为k(k+1）,（k+1)(k+2) (k为正整数). 2 k(k+1D,k+1)(k+2)-k+1×(2k+2)=k+1 X2×(k+1)=(k+1)2.(2分) 2 2 2 2 23.解；（1)理由：混合后的奶茶甜度为2b+5x0.3b_350-05b,(4分) 2a+5a 7a a 八年级数学<北师大版>第1页<共2页> (2)淇淇的说法不正确；(1分) 理由：加入糖后的奶茶甜度为0.3b+0,7他。b6 b b 0.7b2 a+0.7ba+0.7ba+0.7baa(a+0.7b) ·a>0,b>0,.- 0.7b2 <0,b < b 二，.淇淇的说法不正确：(3分) a(a+0.7b) a+0.7b (3)混合后的奶茶的质量为100+×10-100+10（克），精的质量为0.5×8+二×G=红+3 (克)， n n n n 混合后的奶茶甜度为4n+8÷100n+100 n+2 ,2<n≤4，且n为整数，∴.n的取值为3或4. 25(n+1) 当n=3时， n+2 =0.05;当n=4时， n+2 =0.048.0.05>0.048,.混合后奶茶甜度的最大值为0.05 25(n+1) 25(n+1) (3分) 24解：(1)①当t=3时，AA'=3 由平移的性质可得A'E'=AE=1.,△ABC是等边三角形，∴，AC=AB=4, 只CE'ACA'EAA'= (3分) ②证明：由(1)易得CE'=AA'.,△ABC是等边三角形，∴.BA=BC,∠A=∠BCA,∴.△ABA'≌△CBE', ∴BA'=BE′.，△A'D'E'是等边三角形，A'D'=D'E',.BD'垂直平分A'E';(4分) (2),△ABC,△A'D'E'是等边三角形，∴.∠BAC=∠ABC=∠BCA=∠D'A'E'=60°，CA'=D'A', ∴.D'G∥BC,.∠AGA'=∠ABC=60°，∠AA'G=∠BCA=60°，.∠AGA'=∠AA'G=∠BAC,.△AGA'是等边三 角形，.GA'=AA′=AG,.AB-AG=AC-AA′，∴.BG=CA′，.BG=D'A′.，∠BGA′=180°-∠AGA′=120°， ∠D'A'A=180°-∠AA'G=120°，.∠BGA'=∠D'A'A,.△BGA'≌△D'A'A,.∠GBA'=∠AD'A'. 又，∠BA'G=∠D'A'F,.∠AFD'=∠BGA'=120°；(3分) (3)t的值为二或 15 .(2分) 2 2 【精思博考：如图1，当∠E'A'=90°时，∠CKE'=30°，CB=,AM'=4-1-,:=,解得= 4 4424 2 如图2，当∠KA'B'=90°时，∠CA'-30°，A'C,AA=41-15, 1+=15 -t= 5,解得t15】 442 A 24题图1 24题图2 八年级数学<北师大版>第2页<共2页>2025~2026学年八年级第二学期阶段练习三 数学（北师大版） 中 注意事项： 1.本试卷共8页.总分120分，考试时间120分钟 2.仔细审题，工整作答，保持卷面整洁」 密 条形码粘贴处 3考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍， 三 总分 题号 17 18 19 20 21 22 23 24 得分 选择题涂卡处 州 1[A][B][C][DJ 6[A][B][C][D] 11 [A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 7[A][B][C][D 12[A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][C][D 5[A][B][C][D] 10[A][B][C][D 的 得 分 评卷人 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题 湿 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 屋 1. 若分式 有意义，则x的取值范围是( Y -2026 A.x≠2026 B.x>2026 姚 C.x<2026 D.x≥2026 2.不等式-2x<4的解集在数轴上表示为( ) A.2-1012 B.2-1012 线 茶 C.-2-1012 3.若？=a42(a≠b≠0)，则▲代表的运算符号是( bb▲2 A.×或 B.+或- C.+或× D.-或 4.将x(x-2)+x进行因式分解的结果是() A.x2-x B.x2-3x C.x(x-1) D.x(x-2） 八年级数学<北师大版>第1页<共8页> 5.如图1，直线MN与正六边形相交于点M,N,若∠1=25°，则∠2=() A.1339 B.145° C.150° D.160° 6.下列不能用公式法因式分解的是() A.m2-2m+1 B.x2+2x(a-b)+(a-b)2 C.-x2-25y2+10xy D.2d2b2-4ab+1 7.如图2，△ABC与△A'B'C关于点0对称.若△OBC的周长为13.1， 0B=4.1,BC=5,则CC的长为() A.4 B.4.1 C.8 D.8.2 8已知名+小产下列正确的是(） AM222 B.N= x2-1 C.M-N=3 D.M=-1 x2-1 N x 9.图3是石家庄某藏宝博主留下的解密纸条，则宝藏的位置在() A.长安公园凉亭座位下 密码对应的明文： B.赵佗公园凉亭座位下 (a-b)→长安公园；(a+b)赵佗公园； (m-n)→凉亭；(m+n)）→座位下；(m-n2)→雕像处 C.长安公园雕像处 提示：(m2-n2)-b(n2-m)因式分解后的完整结果即宝藏的位置 D.赵佗公园雕像处 图3 10在光学实验室中，小华需要制作一个长方形的遮光板，用于控制实验中光线的照射范围.为了满 足实验对遮光面积的要求，遮光板的周长不小于240cm,且遮光板的长比宽的2倍少3cm.设 遮光板的宽为xcm,则可列不等式为() A.2(x+2x-3)≥240 B.2(x+2x-3)>240 C.2[x+2(x-3)]≥240 D.x+2x-3≥240 11.如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=37°，将△ABC绕点A逆时针旋转37°得到△ADE,AD, DE分别交BC于点N,M,DE交AC于点F,连接AM.下列结论正确的有()A ①AN=BN;②△AFE是直角三角形；③MA平分∠BME A.0个 B.1个 B C.2个 D.3个 图4 八年级数学<北师大版>第2页<共8页> 12.嘉淇编写了一个程序，程序以x,x-1为初始序列，每次循环用最后一项除以其前一项，将结果添 加到序列末尾.第1次循环后的代数序列为x,x-1,1;第2次循环后的代数序列为，x-1, x1,⊥；…则第668次循环后的代数序列的乘积为(） A.1 B.x ·x-1 C. 1 D.（x-1)2 x(x-1) 得分 评卷人 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 18计算：亭 2x 14.写出，个能被60012-6001整除的大于1的数： 15.用9张边长为a的正方形卡片，4张边长为b的正方形卡片，12张长为 a,宽为b的长方形卡片无缝隙、不重叠地拼成一个大正方形，则这个大 正方形的边长为 OE万 0' 16.如图5，已知点A的坐标为(0,2)，将线段OA沿x轴正方向平移4个单 图5 位长度得到线段O'A',线段EF在OO'上移动，且EF=1,连接AE,A'F,则AE+EF+A'F的最小 值为 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 得分 评卷人 17.(本小题满分7分) 给M一个合适的“身份”，使多项式M-2x能因式分解 （1)若M的“身份”是x,因式分解M-2x2; (2)若M的“身份”是2，因式分解M-2x2 ■ 八年级数学<北师大版>第3页<共8页> 得分 评卷人 18.(本小题满分8分) 题目“先化简，再求值：(3x-X。)-4,其中x=2026.”现有如下两种解法。 x-2x+2 十十十十十十十十十十十十…十十十十十 十十十十十十十十十十十 解法一： t解法二： 解：原式=[，3x(x+2) 云222小4解：原式3·4-4 x-2x x+2 x 义十十十十十十+++++十…+十十+++…十…十+十+十“十十十十十 (1)解法一第一步运算的依据是，解法二第一步运算的依据是 ;(填序号) 密 ①等式的基本性质②分式的基本性质③乘法对加法的分配律④乘法交换律 (2)从上述解法中，任选一种，写出完整的解答过程， 得分 评卷人 19.(本小题满分8分) 如图6，在△ABC中，点M在AC的右侧，且AM⊥CM. (1)用尺规作△ABC的高AH(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的条件下，若∠B=∠ACB,BC=2CM,求证：△ABH≌△ACM. B 图6 线 八年级数学<北师大版>第4页<共8页> 得 分 评卷人 20.(本小题满分8分) 嘉嘉在设计图案时，发现图形的轴对称和平移、旋转之间存在某种联系.△ABC在边长 为1的小正方形网格中，其顶点在网格的格点处，先作△ABC关于直线a的对称△AB,C, 再作△AB,C1关于直线b的对称△ABC2 密 A 0 B C 然 图7-1 图7-2 (1)如图7-1，当直线a∥b时，△ABC2可以由△ (填字母)经过平移得到，平移 的最短距离为 ； (2)如图7-2，当直线a,b相交于点0时，△AB,C2可以由△ (填字母)绕着点O : 顺时针旋转得到，旋转角的最小度数为 封 (3)当直线a⊥b时，直接判断△AB,C2与△ABC是否成中心对称 海 图 得分 评卷人 21.(本小题满分9分) “ 2(x-1)+1>x+a,① 已知关于x的不等式组 x-4+3>x.② (1)求不等式②的解集； (2)若不等式组的解集为-1<x<2,求a的值； 线 (3)若不等式组有3个整数解，求a的取值范围. 八年级数学<北师大版>第5页<共8页> ■ 得分 评卷人 22.(本小题满分9分) 古希腊毕达哥拉斯学派把1,3,6,10，…nn+1)(n为正整数)，这样的数称为“三角形数”，小 2 冀对“三角形数”进行了如下探究活动. 【发现】第1个等式：1×8+1=32； 第2个等式：3×8+1=52； 第3个等式：6×8+1=7； 第4个等式：10×8+1=9； 【问题解决】(1)第5个等式为 (2)第m个等式为】 (用含m的式子表示)，并证明该等式； (3)小冀还发现：相邻两个“三角形数”的和是一个完全平方数.请你判断小冀的发现是否正确，并 说明理由 八年级数学<北师大版>第6页<共8页> ■ ■ 得分 评卷人 23.(本小题满分11分) 综合与实践 【阅读材料】奶茶的质量=糖的质量+茶水的质量；奶茶甜度=奶茶中糖的质量 奶茶的质量 【问题背景】一杯a(a>0)克的奶茶含糖b(b>0)克，称甜度为正常糖；含糖0.5b克，称甜度为五 分糖，含糖0.3b克，称甜度为三分糖.现用若干杯α克的正常糖、三分糖奶茶及若干糖制作奶茶. 【操作】(1)嘉嘉说：“取2杯正常糖奶茶及5杯三分糖奶茶混合，得到了五分糖奶茶.”请你说 明嘉嘉这样说的理由； (2)淇淇说：“将0.7b克的糖加入一杯三分糖奶茶中得到的奶茶甜度比正常糖要甜.”请你判断淇淇 的说法是否正确，并说明理由； 【应用】(3)已知a=100,b=8,分别取一杯a克的正常糖、五分糖奶茶，从正常糖奶茶中取奶茶的 1(2<≤4，且m为整数)倒入五分糖奶茶中，充分混合，通过计算求混合后奶茶甜度的最大值. ■ 八年级数学<北师大版>第7页<共8页> 得分 评卷人 24.(本小题满分12分) 如图8-1，已知等边三角形ABC与等边三角形ADE,点E在AC上，AB=4,AE=1. 将△ADE沿射线AC以每秒】个单位长度的速度平移，平移后的图形记为△A'DE',设 2 △ADE的平移时间为t秒. (1)如图8-2，当=3时，连接BA',BE,BD. ①求CE的长； ②求证：BD'垂直平分A'E'; (2)如图8-3，当点E与点C重合时，连接AD',BA',延长BA',DA',分别交AD,AB于 点F,G.求∠A'FD'的度数； (3)点K在边BC上，且CK=】,连接A'K,E'K,当△A'E'K为直角三角形，且∠A'KE为 织 锐角时，直接写出t的值， 7D K ...… 图8-1 图8-3 备用图 … 图 数 八年级数学<北师大版>第8页<共8页> 2025一2026学年八年级第二学期阶段练习三 数学（北师大版）参考答案 评分说明： 1.本答案仅供参考，若考生答案与本答案不一致，只要正确，同样得分. 2.若答案不正确，但解题过程正确，可酌情给分 一、（每小题3分，共36分） 题号 9 10 11 12 答案 B D D 二、（每小题3分，共12分） 13.、1 14.6001(答案不唯一，正确即可) 15.3a+2b 16.6 2y 三、17.解：(1)x(1-2x);(3分) (2)2-2x=2(1+x)(1-x).(4分) 18.解：(1)②；③：(4分) (2)原式=2x+8,当x=2026时，原式=4060.(4分) 19题图 19.解：(1)如图：(3分) (2)证明：，∠B=∠ACB,.AB=AC.,AH⊥BC,.∠AHB=90°，BC=2BH.,BC=2CM,∴.BH=CM .'AM⊥CM,..∠AMC=90°，..Rt△ABH≌Rt△ACM.(5分) 20.解：(1)ABC;(1分)5V2;(2分) (2)ABC;(1分)90°；(2分) (3)△AB,C2与△ABC成中心对称.(2分) 21.解：(1)不等式②的解集为x<2:(3分) (2)解不等式组得a+1<x<2.,不等式组的解集为-1<x<2,.a+1=-1,解得a=-2;(3分) (3)由题意可得不等式组的3个整数解为-1,0,1，.-2≤a+1<-1,解得-3≤a<-2, .a的取值范围为-3≤a<-2.(3分) 22.解：（1)15×8+1=11°；(2分) (2)m(m+1) ×8+1=(2m+1)2;(2分) 证明：等式的左边=m（m+1) ×8+1=4m+4m+1=(2m+1)2=等式的右边；(2分) 2 (3)小冀的发现正确；(1分) 理由：设相邻两个“三角形数”分别为k(k+1）,（k+1)(k+2) (k为正整数). 2 k(k+1D,k+1)(k+2)-k+1×(2k+2)=k+1 X2×(k+1)=(k+1)2.(2分) 2 2 2 2 23.解；（1)理由：混合后的奶茶甜度为2b+5x0.3b_350-05b,(4分) 2a+5a 7a a 八年级数学<北师大版>第1页<共2页> (2)淇淇的说法不正确；(1分) 理由：加入糖后的奶茶甜度为0.3b+0,7他。b6 b b 0.7b2 a+0.7ba+0.7ba+0.7baa(a+0.7b) ·a>0,b>0,.- 0.7b2 <0,b < b 二，.淇淇的说法不正确：(3分) a(a+0.7b) a+0.7b (3)混合后的奶茶的质量为100+×10-100+10（克），精的质量为0.5×8+二×G=红+3 (克)， n n n n 混合后的奶茶甜度为4n+8÷100n+100 n+2 ,2<n≤4，且n为整数，∴.n的取值为3或4. 25(n+1) 当n=3时， n+2 =0.05;当n=4时， n+2 =0.048.0.05>0.048,.混合后奶茶甜度的最大值为0.05 25(n+1) 25(n+1) (3分) 24解：(1)①当t=3时，AA'=3 由平移的性质可得A'E'=AE=1.,△ABC是等边三角形，∴，AC=AB=4, 只CE'ACA'EAA'= (3分) ②证明：由(1)易得CE'=AA'.,△ABC是等边三角形，∴.BA=BC,∠A=∠BCA,∴.△ABA'≌△CBE', ∴BA'=BE′.，△A'D'E'是等边三角形，A'D'=D'E',.BD'垂直平分A'E';(4分) (2),△ABC,△A'D'E'是等边三角形，∴.∠BAC=∠ABC=∠BCA=∠D'A'E'=60°，CA'=D'A', ∴.D'G∥BC,.∠AGA'=∠ABC=60°，∠AA'G=∠BCA=60°，.∠AGA'=∠AA'G=∠BAC,.△AGA'是等边三 角形，.GA'=AA′=AG,.AB-AG=AC-AA′，∴.BG=CA′，.BG=D'A′.，∠BGA′=180°-∠AGA′=120°， ∠D'A'A=180°-∠AA'G=120°，.∠BGA'=∠D'A'A,.△BGA'≌△D'A'A,.∠GBA'=∠AD'A'. 又，∠BA'G=∠D'A'F,.∠AFD'=∠BGA'=120°；(3分) (3)t的值为二或 15 .(2分) 2 2 【精思博考：如图1，当∠E'A'=90°时，∠CKE'=30°，CB=,AM'=4-1-,:=,解得= 4 4424 2 如图2，当∠KA'B'=90°时，∠CA'-30°，A'C,AA=41-15, 1+=15 -t= 5,解得t15】 442 A 24题图1 24题图2 八年级数学<北师大版>第2页<共2页>2025~2026学年八年级第二学期阶段练习三 数学（北师大版） 中 注意事项： 1.本试卷共8页.总分120分，考试时间120分钟 2.仔细审题，工整作答，保持卷面整洁」 密 条形码粘贴处 3考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍， 三 总分 题号 17 18 19 20 21 22 23 24 得分 选择题涂卡处 州 1[A][B][C][DJ 6[A][B][C][D] 11 [A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 7[A][B][C][D 12[A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][C][D 5[A][B][C][D] 10[A][B][C][D 的 得 分 评卷人 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题 湿 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 屋 1. 若分式 有意义，则x的取值范围是( Y -2026 A.x≠2026 B.x>2026 姚 C.x<2026 D.x≥2026 2.不等式-2x<4的解集在数轴上表示为( ) A.2-1012 B.2-1012 线 茶 C.-2-1012 3.若？=a42(a≠b≠0)，则▲代表的运算符号是( bb▲2 A.×或 B.+或- C.+或× D.-或 4.将x(x-2)+x进行因式分解的结果是() A.x2-x B.x2-3x C.x(x-1) D.x(x-2） 八年级数学<北师大版>第1页<共8页> 5.如图1，直线MN与正六边形相交于点M,N,若∠1=25°，则∠2=() A.1339 B.145° C.150° D.160° 6.下列不能用公式法因式分解的是() A.m2-2m+1 B.x2+2x(a-b)+(a-b)2 C.-x2-25y2+10xy D.2d2b2-4ab+1 7.如图2，△ABC与△A'B'C关于点0对称.若△OBC的周长为13.1， 0B=4.1,BC=5,则CC的长为() A.4 B.4.1 C.8 D.8.2 8已知名+小产下列正确的是(） AM222 B.N= x2-1 C.M-N=3 D.M=-1 x2-1 N x 9.图3是石家庄某藏宝博主留下的解密纸条，则宝藏的位置在() A.长安公园凉亭座位下 密码对应的明文： B.赵佗公园凉亭座位下 (a-b)→长安公园；(a+b)赵佗公园； (m-n)→凉亭；(m+n)）→座位下；(m-n2)→雕像处 C.长安公园雕像处 提示：(m2-n2)-b(n2-m)因式分解后的完整结果即宝藏的位置 D.赵佗公园雕像处 图3 10在光学实验室中，小华需要制作一个长方形的遮光板，用于控制实验中光线的照射范围.为了满 足实验对遮光面积的要求，遮光板的周长不小于240cm,且遮光板的长比宽的2倍少3cm.设 遮光板的宽为xcm,则可列不等式为() A.2(x+2x-3)≥240 B.2(x+2x-3)>240 C.2[x+2(x-3)]≥240 D.x+2x-3≥240 11.如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=37°，将△ABC绕点A逆时针旋转37°得到△ADE,AD, DE分别交BC于点N,M,DE交AC于点F,连接AM.下列结论正确的有()A ①AN=BN;②△AFE是直角三角形；③MA平分∠BME A.0个 B.1个 B C.2个 D.3个 图4 八年级数学<北师大版>第2页<共8页> 12.嘉淇编写了一个程序，程序以x,x-1为初始序列，每次循环用最后一项除以其前一项，将结果添 加到序列末尾.第1次循环后的代数序列为x,x-1,1;第2次循环后的代数序列为，x-1, x1,⊥；…则第668次循环后的代数序列的乘积为(） A.1 B.x ·x-1 C. 1 D.（x-1)2 x(x-1) 得分 评卷人 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 18计算：亭 2x 14.写出，个能被60012-6001整除的大于1的数： 15.用9张边长为a的正方形卡片，4张边长为b的正方形卡片，12张长为 a,宽为b的长方形卡片无缝隙、不重叠地拼成一个大正方形，则这个大 正方形的边长为 OE万 0' 16.如图5，已知点A的坐标为(0,2)，将线段OA沿x轴正方向平移4个单 图5 位长度得到线段O'A',线段EF在OO'上移动，且EF=1,连接AE,A'F,则AE+EF+A'F的最小 值为 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 得分 评卷人 17.(本小题满分7分) 给M一个合适的“身份”，使多项式M-2x能因式分解 （1)若M的“身份”是x,因式分解M-2x2; (2)若M的“身份”是2，因式分解M-2x2 ■ 八年级数学<北师大版>第3页<共8页> 得分 评卷人 18.(本小题满分8分) 题目“先化简，再求值：(3x-X。)-4,其中x=2026.”现有如下两种解法。 x-2x+2 十十十十十十十十十十十十…十十十十十 十十十十十十十十十十十 解法一： t解法二： 解：原式=[，3x(x+2) 云222小4解：原式3·4-4 x-2x x+2 x 义十十十十十十+++++十…+十十+++…十…十+十+十“十十十十十 (1)解法一第一步运算的依据是，解法二第一步运算的依据是 ;(填序号) 密 ①等式的基本性质②分式的基本性质③乘法对加法的分配律④乘法交换律 (2)从上述解法中，任选一种，写出完整的解答过程， 得分 评卷人 19.(本小题满分8分) 如图6，在△ABC中，点M在AC的右侧，且AM⊥CM. (1)用尺规作△ABC的高AH(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的条件下，若∠B=∠ACB,BC=2CM,求证：△ABH≌△ACM. B 图6 线 八年级数学<北师大版>第4页<共8页> 得 分 评卷人 20.(本小题满分8分) 嘉嘉在设计图案时，发现图形的轴对称和平移、旋转之间存在某种联系.△ABC在边长 为1的小正方形网格中，其顶点在网格的格点处，先作△ABC关于直线a的对称△AB,C, 再作△AB,C1关于直线b的对称△ABC2 密 A 0 B C 然 图7-1 图7-2 (1)如图7-1，当直线a∥b时，△ABC2可以由△ (填字母)经过平移得到，平移 的最短距离为 ； (2)如图7-2，当直线a,b相交于点0时，△AB,C2可以由△ (填字母)绕着点O : 顺时针旋转得到，旋转角的最小度数为 封 (3)当直线a⊥b时，直接判断△AB,C2与△ABC是否成中心对称 海 图 得分 评卷人 21.(本小题满分9分) “ 2(x-1)+1>x+a,① 已知关于x的不等式组 x-4+3>x.② (1)求不等式②的解集； (2)若不等式组的解集为-1<x<2,求a的值； 线 (3)若不等式组有3个整数解，求a的取值范围. 八年级数学<北师大版>第5页<共8页> ■ 得分 评卷人 22.(本小题满分9分) 古希腊毕达哥拉斯学派把1,3,6,10，…nn+1)(n为正整数)，这样的数称为“三角形数”，小 2 冀对“三角形数”进行了如下探究活动. 【发现】第1个等式：1×8+1=32； 第2个等式：3×8+1=52； 第3个等式：6×8+1=7； 第4个等式：10×8+1=9； 【问题解决】(1)第5个等式为 (2)第m个等式为】 (用含m的式子表示)，并证明该等式； (3)小冀还发现：相邻两个“三角形数”的和是一个完全平方数.请你判断小冀的发现是否正确，并 说明理由 八年级数学<北师大版>第6页<共8页> ■ ■ 得分 评卷人 23.(本小题满分11分) 综合与实践 【阅读材料】奶茶的质量=糖的质量+茶水的质量；奶茶甜度=奶茶中糖的质量 奶茶的质量 【问题背景】一杯a(a>0)克的奶茶含糖b(b>0)克，称甜度为正常糖；含糖0.5b克，称甜度为五 分糖，含糖0.3b克，称甜度为三分糖.现用若干杯α克的正常糖、三分糖奶茶及若干糖制作奶茶. 【操作】(1)嘉嘉说：“取2杯正常糖奶茶及5杯三分糖奶茶混合，得到了五分糖奶茶.”请你说 明嘉嘉这样说的理由； (2)淇淇说：“将0.7b克的糖加入一杯三分糖奶茶中得到的奶茶甜度比正常糖要甜.”请你判断淇淇 的说法是否正确，并说明理由； 【应用】(3)已知a=100,b=8,分别取一杯a克的正常糖、五分糖奶茶，从正常糖奶茶中取奶茶的 1(2<≤4，且m为整数)倒入五分糖奶茶中，充分混合，通过计算求混合后奶茶甜度的最大值. ■ 八年级数学<北师大版>第7页<共8页> 得分 评卷人 24.(本小题满分12分) 如图8-1，已知等边三角形ABC与等边三角形ADE,点E在AC上，AB=4,AE=1. 将△ADE沿射线AC以每秒】个单位长度的速度平移，平移后的图形记为△A'DE',设 2 △ADE的平移时间为t秒. (1)如图8-2，当=3时，连接BA',BE,BD. ①求CE的长； ②求证：BD'垂直平分A'E'; (2)如图8-3，当点E与点C重合时，连接AD',BA',延长BA',DA',分别交AD,AB于 点F,G.求∠A'FD'的度数； (3)点K在边BC上，且CK=】,连接A'K,E'K,当△A'E'K为直角三角形，且∠A'KE为 织 锐角时，直接写出t的值， 7D K ...… 图8-1 图8-3 备用图 … 图 数 八年级数学<北师大版>第8页<共8页>花 2025~2026学年八年级第二学期阶段练习三 A. 数学（北师大版） C. 6 品 注意事项： A 1.本试卷共8页.总分120分，考试时间120分钟 C. 2.仔细审题，工整作答，保持卷面整洁 密 条形码粘贴处 3.考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍 7. 如 OB 三 总分 题号 A. 17 18 19 20 21 22 23 24 棉 得分 名 选择题涂卡处 军 关 1 [A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 11 [A][B][C][D] A 心 2[A][B][C][DJ 7 [A][B][C][D] 12[A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 9[A][B][C][D] C. 5[A][B][G][D] 10[A][B]C][D] 9. 图 得分 评卷人 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题 A. 地 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) B 食 1.若分式 有意义，则x的取值范围是( x-2026 4 A.x≠2026 B.x>2026 D 条 C.x<2026 D.x≥2026 10.在 2. 不等式-2x<4的解集在数轴上表示为( ) 足 A.2-1012 B 101 遮 线 A. C.2-1013+ C 3. 若4=a42(a≠6≠0)，则▲代表的运算符号是( bb▲2 11.如 A.×或 B.+或- DE C.+或× D.-或÷ ① 州 4.将x(x-2)+x进行因式分解的结果是() A. A.x2-x B.x2-3x C.x(x-1) D.x(x-2)） C. 八年级数学<北师大版>第1页<共8页> 图1，直线MN与正六边形相交于点M,N,若∠1=25°，则∠2=( M 133° B.145° 150° D.160° 列不能用公式法因式分解的是( 图 m2-2m+1 B.x2+2x(a-b)+(a-b)2 -x2-25y2+10xy D.2a2b2-4ab+1 图2，△ABC与△A'BC关于点0对称.若△OBC的周长为13.1， =4.1,BC=5,则CC的长为( B.4.1 D.8.2 知M=2+1 11,下列正确的是() M=3 B.N= 2x-2 x2-1 M-W=3 D.M=-1 x2-1 3是石家庄某藏宝博主留下的解密纸条，则宝藏的位置在() 长安公园凉亭座位下 密码对应的明文： 赵佗公园凉亭座位下 (a-b)→长安公园；(a+b)→赵佗公园； (m-n)→凉亭；(m+n）一→座位下；(m2-n2)→雕像处 长安公园雕像处 提示：d(m2-n2)-b(n2-m)因式分解后的完整结果即宝藏的位置 赵佗公园雕像处 图3 光学实验室中，小华需要制作一个长方形的遮光板，用于控制实验中光线的照射范围.为了满 实验对遮光面积的要求，遮光板的周长不小于240cm,且遮光板的长比宽的2倍少3cm设 光板的宽为xcm,则可列不等式为( ) 2(x+2x-3)≥240 B.2(x+2x-3)>240 2[x+2(x-3)]≥240 D.x+2x-3≥240 图4，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=37°，将△ABC绕点A逆时针旋转37°得到△ADE,AD, 分别交BC于点N,M,DE交AC于点F,连接AM.下列结论正确的有( A N=BN;②△AFE是直角三角形；③MA平分∠BME B 0个 B.1个 D 2个 D.3个 图4 八年级数学<北师大版>第2页<共8页> 12.嘉淇编写了一个程序，程序以x,x一1为初始序列，每次循环用最后一项除以其前一项，将结果添 得分 加到序列末尾.第1次循环后的代数序列为x,x-1,一1；第2次循环后的代数序列为x,x-1, x1,工；…则第668次循环后的代数序列的乘积为() 题目 B.& 解 x-1 C. 1 D.(x-1)2 解 x(x-1)】 得分 评卷人 (1)解法 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） ①等式的 (2)从上这 18计第：亭 14.写出一个能被60012-6001整除的大于1的数： 15.用9张边长为a的正方形卡片，4张边长为b的正方形卡片，12张长为 a,宽为b的长方形卡片无缝隙、不重叠地拼成一个大正方形，则这个大 正方形的边长为 OE F 0'x 16.如图5，已知点A的坐标为(0,2)，将线段OA沿x轴正方向平移4个单 图5 位长度得到线段O'A',线段EF在OO上移动，且EF=1,连接AE,A'F,则AE+EF+A'F的最小 得分 值为， 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 如图 得分 评卷人 (1)用尺栽 17.(本小题满分7分) (2)在(1) 给M一个合适的“身份”，使多项式M-2x能因式分解 (1)若M的“身份”是x,因式分解M-2x2; (2)若M的“身份”是2，因式分解M-2x2 ■ 八年级数学<北师大版>第3页<共8页> 评卷人 18.(本小题满分8分) “先化简，再求值：(3x)x,)二4，其中=2026.”现有如下两种解法」 x-2x+2 十十十十十十+十十十十十十十十 十十十十十十十十+十 法一： t解法二： :原式=[，3x(x+2) x-2）]4解：原式=3x·-4-x。·-4 (x-2)(x+2)(x-2)(x+2) x-2 xx+2 十“十…十"十"十十十十十十…十十十十十“十十十十十…十+十…+”十“十十+“十以 第一步运算的依据是」 ,解法二第一步运算的依据是 ;(填序号) 密 基本性质。②分式的基本性质③乘法对加法的分配律④乘法交换律 解法中，任选一种，写出完整的解答过程」 名 评卷人 19.(本小题满分8分) 6,在△ABC中，点M在AC的右侧，且AM⊥CM 作△ABC的高AH(保留作图痕迹，不写作法)； 的条件下，若∠B=∠ACB,BC=2CM,求证：△ABH≌△ACM. 图6 线 八年级数学<北师大版>第4页<共8页> 得 分 评卷人 20.(本小题满分8分) 得 嘉嘉在设计图案时，发现图形的轴对称和平移、旋转之间存在某种联系.△ABC在边长 为1的小正方形网格中，其顶点在网格的格点处，先作△ABC关于直线a的对称△AB,C, 再作△AB,C1关于直线b的对称△AB,C2 冀对 【发现 密 1B1 0 B A2 【问题 (2)第 (3)小 图7-1 图7-2 说明到 (1)如图7-1，当直线a∥b时，△ABC2可以由△ (填字母)经过平移得到，平移 的最短距离为 ； 地 (2)如图7-2，当直线a,b相交于点0时，△AB,C2可以由△ (填字母)绕着点O 顺时针旋转得到，旋转角的最小度数为 (3)当直线a⊥b时，直接判断△AB,C2与△ABC是否成中心对称 得 分 评卷人 21.（本小题满分9分) 難 2(x-1)+1>x+a,① 已知关于x的不等式组 x4+3>x.② (1)求不等式②的解集； (2)若不等式组的解集为-1<x<2,求a的值； 线(3)若不等式组有3个整数解，求a的取值范围。 八年级数学<北师大版>第5页<共8页> ■ 评卷人 22.(本小题满分9分) 希腊毕达哥拉斯学派把1,3,6,10，…nn+1)(n为正整数)，这样的数称为“三角形数”，小 2 三角形数”进行了如下探究活动 】第1个等式：1×8+1=32； 第2个等式：3×8+1=53； 第3个等式：6×8+1=7： 第4个等式：10×8+1=92； 解决】(1)第5个等式为 m个等式为 (用含m的式子表示)，并证明该等式； 冀还发现：相邻两个“三角形数”的和是一个完全平方数.请你判断小冀的发现是否正确，并 里由. 八年级数学<北师大版>第6页<共8页> ■ 得分 评卷人 得分 23.(本小题满分11分) 综合与实践 如图 【阅读材料】奶茶的质量=糖的质量+茶水的质量；奶茶甜度=奶茶中糖的质量 将△ADE 奶茶的质量 【问题背景】一杯a(a>0)克的奶茶含糖b(b>0)克，称甜度为正常糖；含糖0.5b克，称甜度为五 △ADE的 分糖，含糖0.3b克，称甜度为三分糖.现用若干杯α克的正常糖、三分糖奶茶及若干糖制作奶茶. (1)如图8 【操作】(1)嘉嘉说：“取2杯正常糖奶茶及5杯三分糖奶茶混合，得到了五分糖奶茶.”请你说 ①求CE 明嘉嘉这样说的理由； ②求证：B (2)淇淇说：“将07b克的糖加入一杯三分糖奶茶中得到的奶茶甜度比正常糖要甜.”请你判断淇淇 (2)如图 的说法是否正确，并说明理由； 点F,G.习 【应用】(3)已知a=100,b=8,分别取一杯a克的正常糖、五分糖奶茶，从正常糖奶茶中取奶茶的 (3)点K 1(2<≤4，且m为整数)倒入五分糖奶茶中，充分混合，通过计算求混合后奶茶甜度的最大值. 锐角时，直 A 图 ■ 八年级数学<北师大版>第7页<共8页> 评卷人 24.(本小题满分12分) 8-1,已知等边三角形ABC与等边三角形ADE,点E在AC上，AB=4,AE=1. 沿射线AC以每秒1个单位长度的速度平移，平移后的图形记为△A'DE',设 2 平移时间为t秒。 -2,当=3时，连接BA',BE',BD 的长 D'垂直平分A'E'; -3,当点E与点C重合时，连接AD',BA',延长BA',DA',分别交AD',AB于 ∠A'FD'的度数； 在边BC上，且CK=连接A'K.EK,当△A"EK为直角三角形，且∠A'KE为 名 接写出1的值. 照 E 8-1 图8-2 图8-3 备用图 医 樂 八年级数学<北师大版>第8页<共8页>2025一2026学年八年级第二学期阶段练习三 数学（北师大版）参考答案 评分说明： 1.本答案仅供参考，若考生答案与本答案不一致，只要正确，同样得分 2.若答案不正确，但解题过程正确，可酌情给分 一、（每小题3分，共36分） 题号 1 6 9 10 11 12 答案 B D D 二、（每小题3分，共12分） 13.、1 14.6001(答案不唯一，正确即可) 15.3a+2b 16.6 2y 三、17.解：(1)x(1-2x);(3分) (2)2-2x=2(1+x)(1-x).(4分) 18.解：(1)②；③：(4分) (2)原式=2x+8,当x=2026时，原式=4060.(4分) 19题图 19.解：(1)如图；(3分) (2)证明：，'∠B=∠ACB,.AB=AC.,AH⊥BC,.∠AHB=90°，BC=2BH.,BC=2CM,.BH=CM ,AM⊥CM,∴.∠AMC=90°，.Rt△ABH≌Rt△ACM(5分) 20.解：(1)ABC:(1分)5V2:(2分) (2)ABC:(1分)90°：(2分) (3)△ABC2与△ABC成中心对称.(2分) 21.解：(1)不等式②的解集为x<2;(3分) (2)解不等式组得a+1<x<2.,不等式组的解集为-1<x<2,.a+1=-1,解得a=-2;(3分) (3)由题意可得不等式组的3个整数解为-1,0,1，.-2≤a+1<-1,解得-3≤a<-2, .a的取值范围为-3≤a<-2.(3分) 22.解：(1)15×8+1=11°；(2分) (2)m(m+1 -×8+1=(2m+1)2:(2分) 2 证明：等式的左边=皿（m+1) ×8+1=4m+4m+1=(2m+1)=等式的右边；(2分) 2 (3)小冀的发现正确；(1分) 理由：设相邻两个“三角形数”分别为kk+1》,(k+1)(k+2) (k为正整数). 2 k(k+1D+k+1）（k+2)_k+1×(2k2)-k+ X2X(k+1)=(k+1)2.(2分) 2 2 2 2 23.解：(1)理由：混合后的奶茶甜度为2b+5x0.3b_35b_05b, (4分) 2a+5a 7a a 八年级数学<北师大版>第1页<共2页> (2)淇淇的说法不正确；(1分) 理由：加入糖后的奶茶甜度为036+0.飞-b bb 0.7b2 a+0.7ba+0.7ba+0.7baa(a+0.7b) a>0,b>0,.-0.7b b <二，.淇淇的说法不正确；(3分) a(a+0.7b) <0,b a+0.7b a (3》混合后的奶茶的量为10+×10-10n+10(克)，糖的质量为05X8+X8-红+8 1 (克)， n n n n 混合后的奶茶甜度为n+8÷100n+100。n+2 ,2<n≤4，且n为整数，∴.n的取值为3或4 n 25(n+1) 当n=3时， n+2 =0.05；当n=4时， n+2 =0.048.0.05>0.048,..混合后奶茶甜度的最大值为0.05 25(n+1) 25(n+1) (3分) 24.解：(1)①当t=3时，AA'=3. 由平移的性质可得A'E'=AE=1.,△ABC是等边三角形，∴.AC=AB=4, 3 0e-CAE-=2（3分) ②证明：由(1)易得CE'=AA'.:△ABC是等边三角形，.BA=BC,∠A=∠BCA,∴△ABA'≌△CBE', ∴.BA'=BE.,△A'D'E'是等边三角形，.A'D'=D'E,.BD'垂直平分A'E;(4分) (2),△ABC,△A'D'E'是等边三角形，.∠BAC=∠ABC=∠BCA=∠D'A'E'=60°，CA'=D'A', ∴.D'G∥BC,∴.∠AGA'=∠ABC=60°，∠AA'G=∠BCA=60°，∴，∠AGA'=∠AA'G=∠BAC,∴.△AGA'是等边三 角形，.GA'=AA′=AG,∴.AB-AG=AC-AA',.BG=CA′，.BG=D′A′.，∠BGA′=180°-∠AGA′=120°， ∠D'A'A=180°-∠AA'G=120°，.∠BGA'=∠D'A'A,∴.△BGA'≌△D'A'A,.∠GBA'=∠AD'A'. 又，∠BA'G=∠D'A'F,∴.∠A'FD′=∠BGA'=120°；(3分) (3)t的值为或 1 .(2分) 22 C箱期：a图1当8s0时，☑0迎0，，之光，解得 4 24 2 如图2，当∠KA'E'=90°时，∠CKA'30°，A'C=1, AA′4-1=15 -t= 5,解得=15) .1-15 4424 2 A 24题图1 24题图2 八年级数学<北师大版>第2页<共2页>2025一2026学年八年级第二学期阶段练习三 数学（北师大版）参考答案 评分说明： 1.本答案仅供参考，若考生答案与本答案不一致，只要正确，同样得分 2.若答案不正确，但解题过程正确，可酌情给分 一、（每小题3分，共36分） 题号 1 6 9 10 11 12 答案 B D D 二、（每小题3分，共12分） 13.、1 14.6001(答案不唯一，正确即可) 15.3a+2b 16.6 2y 三、17.解：(1)x(1-2x);(3分) (2)2-2x=2(1+x)(1-x).(4分) 18.解：(1)②；③：(4分) (2)原式=2x+8,当x=2026时，原式=4060.(4分) 19题图 19.解：(1)如图；(3分) (2)证明：，'∠B=∠ACB,.AB=AC.,AH⊥BC,.∠AHB=90°，BC=2BH.,BC=2CM,.BH=CM ,AM⊥CM,∴.∠AMC=90°，.Rt△ABH≌Rt△ACM(5分) 20.解：(1)ABC:(1分)5V2:(2分) (2)ABC:(1分)90°：(2分) (3)△ABC2与△ABC成中心对称.(2分) 21.解：(1)不等式②的解集为x<2;(3分) (2)解不等式组得a+1<x<2.,不等式组的解集为-1<x<2,.a+1=-1,解得a=-2;(3分) (3)由题意可得不等式组的3个整数解为-1,0,1，.-2≤a+1<-1,解得-3≤a<-2, .a的取值范围为-3≤a<-2.(3分) 22.解：(1)15×8+1=11°；(2分) (2)m(m+1 -×8+1=(2m+1)2:(2分) 2 证明：等式的左边=皿（m+1) ×8+1=4m+4m+1=(2m+1)=等式的右边；(2分) 2 (3)小冀的发现正确；(1分) 理由：设相邻两个“三角形数”分别为kk+1》,(k+1)(k+2) (k为正整数). 2 k(k+1D+k+1）（k+2)_k+1×(2k2)-k+ X2X(k+1)=(k+1)2.(2分) 2 2 2 2 23.解：(1)理由：混合后的奶茶甜度为2b+5x0.3b_35b_05b, (4分) 2a+5a 7a a 八年级数学<北师大版>第1页<共2页> (2)淇淇的说法不正确；(1分) 理由：加入糖后的奶茶甜度为036+0.飞-b bb 0.7b2 a+0.7ba+0.7ba+0.7baa(a+0.7b) a>0,b>0,.-0.7b b <二，.淇淇的说法不正确；(3分) a(a+0.7b) <0,b a+0.7b a (3》混合后的奶茶的量为10+×10-10n+10(克)，糖的质量为05X8+X8-红+8 1 (克)， n n n n 混合后的奶茶甜度为n+8÷100n+100。n+2 ,2<n≤4，且n为整数，∴.n的取值为3或4 n 25(n+1) 当n=3时， n+2 =0.05；当n=4时， n+2 =0.048.0.05>0.048,..混合后奶茶甜度的最大值为0.05 25(n+1) 25(n+1) (3分) 24.解：(1)①当t=3时，AA'=3. 由平移的性质可得A'E'=AE=1.,△ABC是等边三角形，∴.AC=AB=4, 3 0e-CAE-=2（3分) ②证明：由(1)易得CE'=AA'.:△ABC是等边三角形，.BA=BC,∠A=∠BCA,∴△ABA'≌△CBE', ∴.BA'=BE.,△A'D'E'是等边三角形，.A'D'=D'E,.BD'垂直平分A'E;(4分) (2),△ABC,△A'D'E'是等边三角形，.∠BAC=∠ABC=∠BCA=∠D'A'E'=60°，CA'=D'A', ∴.D'G∥BC,∴.∠AGA'=∠ABC=60°，∠AA'G=∠BCA=60°，∴，∠AGA'=∠AA'G=∠BAC,∴.△AGA'是等边三 角形，.GA'=AA′=AG,∴.AB-AG=AC-AA',.BG=CA′，.BG=D′A′.，∠BGA′=180°-∠AGA′=120°， ∠D'A'A=180°-∠AA'G=120°，.∠BGA'=∠D'A'A,∴.△BGA'≌△D'A'A,.∠GBA'=∠AD'A'. 又，∠BA'G=∠D'A'F,∴.∠A'FD′=∠BGA'=120°；(3分) (3)t的值为或 1 .(2分) 22 C箱期：a图1当8s0时，☑0迎0，，之光，解得 4 24 2 如图2，当∠KA'E'=90°时，∠CKA'30°，A'C=1, AA′4-1=15 -t= 5,解得=15) .1-15 4424 2 A 24题图1 24题图2 八年级数学<北师大版>第2页<共2页>