广东深圳外国语学校2025-2026学年高三第九次月考数学试题

**基本信息** 深圳外国语学校2026届高三第九次月考数学试卷，以我国发电量数据（第16题）等时代情境为载体，覆盖复数、解三角形等基础知识点与函数导数、立体几何等综合应用，梯度分明，适配高三月考能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|复数、集合、统计（百分位数）等|基础概念辨析，如第3题百分位数与平均数结合| |选择题（多选）|3/18|三角函数、概率、空间几何|多角度考查，如第11题正四面体与球的综合| |填空题|3/15|向量、排列组合、函数零点|情境应用，如第13题AI助手分配（排列组合）| |解答题|5/77|解三角形、线性回归、立体几何、双曲线、函数与数列|综合能力考查，如第19题函数导数与数列证明结合，第16题线性回归分析现实数据|

深圳外国语学校2026届高三第九次月考数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数满足 ，则 A． B．5 C． D．10 2.已知集合A＝｛x｜2x＞4｝，B＝｛x｜4x＋3≤15｝，则A∩B＝ A．｛x｜2＜x≤3｝ B．｛x｜2≤x＜3｝ C．｛x｜1＜x≤5｝ D．｛x｜1≤x＜5｝ 3.一组从小到大排列的数据：2，8，x，18，22．若它们的第60百分位数比平均数大2，则x的值为 A．10 B．11 C．12 D．13 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则c为 A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 1或 5.圆锥的底面半径为 6，高为 6，现于圆锥内放置一个圆柱， 使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合， 则该圆柱体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 6.已知正项等比数列｛｝的前n项积为．若＝4，＝512，则＝ A．8 B．16 C．24 D．32 7.若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 8.已知函数，若关于的方程恒有解，则的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数的最小正周期为，则 A． B． C．的图象关于点对称 D．在上的最小值为 10.已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是 A． B． C． D． 11.在空间直角坐标系中，已知正四面体的四个顶点的坐标为，，，，点在四面体外接球的球面上，且平面，点在四面体内切球的球面上，则下列结论正确的有 A． B．的最大值是最小值的2倍 C．四面体外接球的体积为 D．当取得最小值时，点的坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量a＝（1，2）与向量b＝（m，3）满足a∥b，则a·b＝_______． 13.某科技公司研发了5款不同功能的AI助手，其功能分别为：文字创作、图像生成、语音交互、数据计算、智能编程，现将这5款助手分配给甲、乙、丙三个小组进行测试，规定每个小组至少分到1款AI助手且智能编程功能的必须分配给甲组．符合条件的分配方案共有___________种． 14.已知函数有三个不同的零点，且 ，则的最小值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的面积. 16.（15分）2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时） 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58 (1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面，，，.以为直径的球面分别交，于，两点（，异于所在棱端点）. (1)证明：平面； (2)求异面直线与的夹角； (3)求三棱锥的体积. 18.（17分）已知双曲线：的离心率为，左右焦点分别为，，，为双曲线左支上的两点，直线交轴于点. (1)求双曲线的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设线段的中点为，直线交轴于点，点为关于原点的对称点，以为圆心作与轴相切的圆，过作该圆的两条切线，切点分别为，，求的取值范围. 19.（17分）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若，关于的方程有两个不等实根，，且满足，求实数的取值范围； (3)数列的前项和为，设数列的前项和为，且，，求证：当时，有. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三第九次月考数学参考答案 1、 选择题：每小题5分，共40分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A A C D D C B 2、 选择题：每小题6分，共18分。 题号 9 10 11 答案 ACD AC ACD 三、填空题：每小题5分，共15分。 12． 13．50 14 . 5 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(1) (2) 解析：（1）解：， 利用正弦定理：，…………2分 整理得：，…………4分 由于， 所以，因为，所以；…………5分 （2），， ，即，…………8分 解得（负值已舍去），则，…………11分 .…………13分 16．(1)，可用线性回归模型拟合与的关系 (2)，（万亿千瓦时） 解析：（1）因为，…………2分 所以，…………4分 所以 ，…………5分 故可用线性回归模型拟合与的关系；…………6分 （2），…………8分 则， …………10分 则经验回归方程为， …………12分 令，则， …………14分 故预估2026年我国全口径发电量为（万亿千瓦时） …………15分 17．(1)证明过程见解析 (2) (3) 解析：（1）由底面，底面，得； 又，， 故，，因此平面. 平面，故. 在以为直径的球面上，直径所对的圆周角是直角，得，即. 又，平面，因此平面，得证.…………4分 （2） 以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系， 由题意得各点坐标. 由（1）可知，所以. 因为所以为的中点，得.…………6分 ， 则，， ，解得，即.…………8分 得，. ， 故，因此异面直线与的夹角为.…………9分 （3）由（2）可知，， 设平面的法向量为，则， 化简得 令，得，因此平面的一个法向量为.…………12分 ，点到平面的距离，​ 又，，​， . 故，…………14分 三棱锥体积.…………15分 18．(1) (2)或. (3) 解析：（1）由双曲线，得，即. 已知离心率，得. 由双曲线关系，得. 因此双曲线的方程为.…………4分 （2）由得，设，. 向量，， 由得，解得， 代入双曲线方程得，或， 故直线的斜率， 所以直线PQ方程为或.…………9分 （3） 设直线，，则，圆与轴相切，故半径. 联立直线与双曲线方程，整理得，…………10分 由在左支，得，设，中点， 由韦达定理得， 则，即.…………11分 故，，， 设，由切线性质，…………13分 令，代入得，由，所以， 设，代入上式得， 可知二次函数在内单调递增，所以， 因此，…………15分 由切线性质可知是直角三角形，所以是锐角，即. 则，即的取值范围.…………17分 19.(1)单调递增区间：，单调递减区间： (2) (3)证明见解析 解析：（1）当时，，则 令，则 当时，，，故，单调递减. ，故时，，即. 当时：，故，即 综上，单调递增区间：，单调递减区间：…………4分 （2）当时，，方程为 设，则，且 两式相减： …………6分 因此 令，求导， 令，，单调递减， 所以在上单调递减时，；时， 所以 …………8分 记，则，单调递增， …………9分 所以 …………10分 （3）由(1)知，当时，，即 取，得， 因此 由(2)知，当时，. 取（，此时），则 所以…………12分 记，，则 在上单调递增，因此，即 …………13分 取，则…………15分 所以，得证 …………17分 学科网（北京）股份有限公司 $