黑龙江大庆市大庆中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

2025--2026学年度下学期期中考试 高二年级数学试题 考试时间：120分钟：试卷总分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分） 1.若=(1+)=1+3i,则在复平面内二对应的点的坐标为() A.(2,-1) B.(2,1) C.(1,-1) D.(1,1) 2.已知某校高三学生在一次联考中的数学成绩X近似服从正态分布N(90,σ)，从该校高三学生中 任选1人，其数学成绩不低于60分的概率为0.8，则P(90≤X≤120)=() A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.8 1 3,甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为}，乙获胜的概率为、每 局比赛结果相互独立，记“甲以2：1获胜为事件A,“乙获胜为事件B,则P(BA)=() P B:19 c.9 10 D. 19 4.某空间站由A,B,C三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去 1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，则不同的安排方法的种数为() A.150 B.90 C.60 D.30 5.已知△4BC的面积是3N5,A=60,BC=3,AD是∠B4C的内角平分线，D在边BC上，则 2 AD=() A.1 B.√5 C.5 D.2 若2 的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中第6项系数为() A.1120 B.-112 C.-448 D.448 数学试题 第1页共 7.记S为等差数列{a}的前n项和，若S=4,S=+2a+1,则数列{(-1)”a}的前20项和是 A.40 B.20 C.10 D.0 8。已知函数f)e-血r-2a-e+1恰有两个零点，则实数a的取值范围是（) A.（-0,0) 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分） 9.为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分 部分满分10分.随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分（单位：分）如下：6,7,5,8， 6,7,6,8,10,7.下列说法正确的是() A.该样本的70%分位数为7分 B.该样本的极差为5分 C.用样本均值估计总体均值，其值约为7分 D.用样本方差估计总体方差，其值约为1.8 10.如图。A,,C是函数f()-4snax-}00)的图象与直线y=0>0)的三个相邻交点， 若2ABC-牙，则（) A.1=3 B.直线x=-匹是f(x)图象的一条对称轴 8 C.f(x)的单调递增区间为-匹，m+3 3兀 (k∈Z) 8 D.将f(x)的图象向左平移兀个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 4 (纵坐标不变)，得到函数g(y)的图象，则g(四的零点为x=-平k∈2 11.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点P是棱BC的中点，点Q在正方形A4BB内部（不 A D 含边界)运动，若PQW平面ACCA,则() A.点Q的轨迹经过线段AB的中点 B.点O的轨迹长度为√2 A C.直线PQ与直线AC为异面直线 2页 棱锥巴-AC℃的体积为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12.若非零向量a,i的夹角为45°，且园=4，a-b=4,则i在a上的投影向量为 13.某知识过关题库中有A,B,C三种难度的题目，数量分别为300,200,100.已知小明做对A, C型题目的概率分别为？，？，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该怎 为 14已知双线C言茶1a>06>0的左、有病点分别为名，，点P是C上一点且位于 第一象限，若∠PF2F1=,∠FPF,的平分线所在直线的斜率与∠PR乃的平分线所在直线的斜率分 别为k,k,且kk=1,则C的离心率为 四、解答题（本题共5个大题，共77分） 15.(本题13分) 已知Sn是等差数列{a}的前n项和，4=3，S=25. (1)求数列{a}的通项公式： 11,1 (2)求证： -++1<1 444,44a4aaH2 16.(本题15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/1CD,AB=2,CD=6,点E满足PE=PC B 数学试题第2页扌 (1)求证：BE//平面PAD: (2)若PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD=4,PD=6,求平面BDE与平面PBD夹角的余弦值. 17.(本题15分) 某工厂有一批同型号机器，现从中随机抽取8台该型号机器进行故障率测试，测得故障率如下表所 示： 机器编号 ny 3 4 5 6 8 故障率 1.2% 1.8% 0.7% 0.9% 2.5% 2.2% 1.5% 0.8% (1)从这8台机器中任取一台，求该机器故障率小于2%的概率； (2)从表中故障率小于2%的机器中任取3台，用随机变量X表示其中故障率小于1%的机器台数， 求X的分布列和数学期望； (3)以这8台机器中故障率小于2%的频率估计整个工厂所有此类机器中故障率小于2%的概率，现 从工厂所有此类机器中随机抽取5台，求其中至少有2台机器故障率小于2%的概率 18.(本题17分) 若+卡-a>办>9的离心率为，以椭圈五的焦点和短轴顶点为原点的四边形是 已知椭圆B:r+y 边长为2的菱形 (1)求椭圆E的标准方程： (2)己知A为椭圆E的左顶点，M,N为椭圆E上两个不同的动点（均不与点A重合），且满足直 线AM与直线AN的斜率之积为求证：直线W过定点. 19.(本题17分) 已知函f四-3-(a-2刘x-2a血x,aeR (1)讨论∫(x)的单调性： (2)当a=-2时，证明：f"(x)>∫(x)恒成立： (6)当a>0时，fx)a2+a恒成立，求实数a的取值范围， 2页2025---2026学年度下学期期中考试 高二年级数学答案 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B A A D C B D BCD BCD ACD 12.a 13. 2 14.V3+1 15.【详解】(1)设{a}公差为d,因4=3，S=25, 则 %=a+d=3 4=1 9,=5g+10d=2s○a=2'从而a.=4+(m-1d=2-1: 1 1=11 （2)由(1，aa(2n-12n+22m2nF1/' 点0高号 1 16.【详解】(1)过点E作EMI/CD,交PD于点M,连接AM, 因为P丽-}元所以EM=cD=2, 因为AB/1CD,AB=2,所以EM//AB,EM=AB, 所以四边形ABEM为平行四边形，所以AM//BE. 又AMC平面PAD,BE丈平面PAD,所以BE//平面PAD (2)因为PD⊥平面ABCD,AD,CDC平面ABCD, 所以PD⊥AD,PD⊥CD,又AD⊥CD,所以AD,CD,DP两两垂直 以D为原点，以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0),B(42,0),P(0,0,6),E(0,2,4, ZA 所以DB=(4,2,0),DE=(0,2,4,DP=(0,0,6). 设平面BDE的法向量为n=(a,b,c), i.DB=0[4a+2b=0 则 .即 i.DE=02b+4c=0' 答案第1页， 令a=1,得b=-2,c=1,则n=(1,-2,1), DB.i=0「4x+2y=0 设平面PBD的法向量为=(x,y,z),则 ,即 DP.m=0’即16Ξ=0， 令x=1,得y=-2,二=0，则m=(1,-2,0) 设平面BDE与平面PBD的夹角为O, =需需-点G要所以平面5DE与平面P8D夹角的余弦值为V0 则cos9=lcos(m·l==5 17.【详解】(1)8台机器中，故障率小于29%的机器有6台：P=6-3 84 (2)故障率小于2%的机器共6台，其中故障率小于1%的有3台， x的可佳取值为025.PX=0答-动PTSG9 C3201 P(K=2)=9 c9-1 C-20 X的分布列为： 0 3 1 9 9 20 20 20 20 9 9 数学期望：E(X)=0二+1 20 +2. 13 +3 20 20 202 (38)设Y为抽取的5台中放陈率小于26的台数，则了~A5到 1563 18.【详解】(1)由题意可得：e=￡=5，a=2,可得c=5,b=4-c2=1, a 2 所以椭圆E的标准方程为+y=1. (2)由题意可知：A(-2,0),直线MN的斜率存在， 共2页 设直线N:y=x+,M(:,),N(s,), y=+ 联立方程 +2=1’消去y可得（42+1X2+80x+4m-4= 则△=642m2-4(4k2+1)(42-4)>0,可得m2<4k2+1, 则5=4， 8a1 4k2+1 因为aw·k=当，为=+则（包，+四_5 +2x+2(:+2)(6+2)4 整理可得（4k2-5)x2+(4-10)(x1+x2)+4m-20=0, 即4k-54m-48a(4hm-10）+4m-20=0 4k2+1 4k2+1 整理可得m2-5am+62=0,解得m=2k或m=3k, 若m=2k,则直线N:y=kx+2k=k(x+2)过定点A(-2,0),不合题意： 若m=3k,则直线MN:y=c+3k=k(x+3)过定点(-3,0)，符合题意： 综上所述：直线N过定点(-3,0). 19.【详解】(1)f(x)的定义域为(0，+o) f()=x-(a-2-20--(a-2x-20_-ax+2) 其中x>0,则x+2>0,故只需讨论x-a的符号. 当a≤0时，x-a>0,则f'(x)>0,f(x)在(0，+o)上单调递增. 当a>0时，令f'(x)=0,解得x=a. 当0<x<a时，f'(x)<0,f(x)单调递减； 当x>a时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,+o)上单调递增. 综上，当a≤0时，f(x)在(0，+o)上单调递增： 当a>0时，f(x)在(0，ad)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增. （2)当a=-2时，f6)=2x产+4+4in,了()=x+4+4 网J-+4)合r+4x+r+4+4号44血号4血4 令g)=2-4nx+4(c>0),则g)=x-4-4+26x-2 当0<x<2时，g'(x)<0,g(x)单调递减：当x>2时，g(x)>0,g(x)单调递增， 故g(e在x-2处取得最小值，8(2)=方×2°-4n2+4=6-4h2>0, 因此8()-4h+4>0,即寸田寸四>0，所以寸(>f间 (3)由(1)知，当a>0时，f(x)在(0，d)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增， 放在x=a处取得最小值，为fa)女-(a-2a-2ana=女+2a-2ata 若使了()2+a恒成立，只需0+2a-2aha女+a恒成立，即-r+a-2ana≥0恒 成立即可 又a>0,即-a+1-2lna≥0恒成立. 令h(a=-a+l-2na(a>0）,则H(a)=-1-2<0, 故h(a在(0，+)上单调递减，且h(1)=-1+1-2lnl=0,所以0<a≤1. 故实数a的取值范围为(0,1]. 答案第2页，共2页