精品解析：云南昭通市正道中学等校2025-2026学年高二下学期5月联考数学试题

云南昭通市正道中学等校2025-2026学年高二下学期5月联考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册，选择性必修第一、二册，选择性必修第三册第六、七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的运算即可. 【详解】因为， 所以， 故选：A. 2. 已知复数满足，则的虚部为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求解． 【详解】由，可得, 所以的虚部为， 故选：C 3. 已知向量，，若，则（ ） A. -1 B. 2 C. 7 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直以及数量积的坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，，所以，解得. 4. 在直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以异面直线与所成的角等于与所成的角， 即或其补角. 设，因为直三棱柱，则平面， 因为平面，所以， 则，又因为，则， 而易知，则， 则，则 所以. 5. 某生态保护区定期监测野生水鸟种群数量，发现种群数量（单位：只）与监测时间（单位：年，）近似满足函数关系.已知监测第2年时，种群数量为3200只，则当种群数量达到12800只时，需要的监测时间约为（ ） A. 2.5年 B. 3年 C. 3.5年 D. 4年 【答案】B 【解析】 【详解】由题意知，所以，解得， 所以.令，解得. 6. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，若在上恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以. 由题意知，得，所以. 因为，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故的最大值为. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过凑角的方法，将未知角转化为已知角，利用三角函数关系计算即可． 【详解】因为， 且， 所以． 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过向一条渐近线作垂线，垂足为.若的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据渐近线及其垂线方程可得点的坐标，再利用面积求解. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为，过且与该渐近线垂直的直线方程为， 联立两直线方程可得点坐标为. 因为，所以的面积为. 由，得，所以双曲线的离心率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学校为调查学生每周体育锻炼时长，随机抽取100名学生进行问卷调查，将所得数据整理得到频率分布直方图（每组数据包含左端点，不包含右端点），则下列说法正确的有（ ） A. 直方图中的值为0.15 B. 估计该校学生每周体育锻炼时长的中位数为4.3小时 C. 估计该校学生每周体育锻炼时长的平均数为5.3小时 D. 估计有80%的学生每周体育锻炼时长不低于6小时 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，前两组，的频率和为，前三组频率和为， 则中位数，，得，B错误； 对于C，平均数为小时，C正确； 对于D，锻炼时长不低于6小时的频率为，则约40%的学生每周体育锻炼时长不低于6小时，D错误. 10. 函数的图象为，下列选项不正确的是（ ） A. 图象关于直线对称 B. 图象可由的图象向右平移个单位长度得到 C. 函数在上单调递减 D. 若，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【详解】因为，所以直线是图象的对称轴，故A正确； 因为将的图象向右平移个单位长度可得到的图象， 和图象不一致，所以B错误； 当时，，而在上单调递增， 因此在上单调递增，故C错误； 因为函数的最小正周期， 而相邻两个零点间的距离为半个周期，所以的最小值为，故D错误. 11. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. 是周期为4的周期函数 B. 的图象关于直线对称 C. D. 在（3，4）上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为，所以，所以的周期为4，故A正确； 因为为上的奇函数，所以，所以， 又当时，，其图象对称轴为直线， 结合奇函数的性质可知其图象也关于直线对称，故B正确； 因为，，，， 则， 所以 ，故C不正确； 当时，，， 由，得， 其在上单调递减，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线的焦点到准线的距离是________ 【答案】## 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而得解. 【详解】抛物线，即，所以焦点坐标为，准线方程为， 所以焦点到准线的距离为. 故答案为： 13. 展开式中的常数项为______． 【答案】240 【解析】 【分析】利用二项式定理，求出通项公式进行求解. 【详解】展开式的通项公式为：，令，解得：，则. 故答案为：240 14. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则__________；__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】使用正弦定理与余弦定理即可求解与的值. 【详解】因为，，，所以. 因为，所以， 化简得，解得（负根舍去）. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）证明：对任意恒成立. 【答案】（1） （2） （3）因为， 所以. 因为，所以，故. 【解析】 【分析】（1）根据等比中项含义得到方程，解出公差的值，最后再根据等差数列通项公式即可得到答案； （2）利用分组求和方法即可得到答案； （3）根据裂项求和法即可证明不等式 【小问1详解】 设数列的公差为， 因为，，成等比数列，所以. 因为，所以，解得或（舍去）， 因此的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知 . 因为等比数列的前项和为， 等差数列的前项和为， 所以. 【小问3详解】 略 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，为的中点. （1）证明：平面. （2）求点到平面的距离. （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）连接交于点，连接. 因为底面是正方形，所以为的中点. 因为为的中点，所以是的中位线，. 因为平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明； （2）以为原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，由空间向量点到平面的距离公式求解即可； （3）由空间向量直线与平面的夹角求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，. 设平面的法向量为，因为，， 所以令，得. 因为，所以点到平面的距离. 【小问3详解】 结合（2）中坐标系，知， 设直线与平面所成的角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 17. 某高校自主招生面试设置了3道必答题，每道题答对得10分，答错得0分；设置了2道选答题，考生可从中任选1道作答，答对得20分，答错得0分.已知考生甲答对每道必答题的概率均为，答对每道选答题的概率均为，各题答题结果相互独立. （1）求考生甲恰好答对2道必答题的概率； （2）记考生甲的总得分为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析，30 【解析】 【分析】（1）由独立重复试验求解即可； （2）由总得分的可能取值为0，10，20，30，40，50，由此求解分布列与数学期望即可. 【小问1详解】 3道必答题中恰好答对2道的概率. 【小问2详解】 因为必答题的得分可能为0，10，20，30，选答题的得分可能为0，20， 所以总得分的可能取值为0，10，20，30，40，50. 若必答题全错且选答题答错，则； 若只答对1道必答题且选答题答错，则； 若只答对2道必答题且选答题答错或必答题全错且选答题答对， 则； 若答对3道必答题且选答题答错或只答对1道必答题且选答题答对， 则； 若只答对2道必答题且选答题答对，则； 若答对3道必答题且选答题答对，则. 因此，的分布列为 0 10 20 30 40 50 所以. 18. 已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围. （2）若存在两个极值点，证明：. 【答案】（1） （2）证明：若存在两个极值点，，则 有两个不同的实根，，即. 令，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，所以.要证，即证. 因为，，且在上单调递减，所以只需证. 因为，所以只需证，即证，整理得. 令，则，当且仅当时，等号成立，所以在上单调递增，所以， 所以，即，故. 【解析】 【分析】(1)通过单调递增这一条件对函数求导并判断的范围. (2)利用极值点在导函数上函数值为这一特征对进行转换求证. 【小问1详解】 若在上单调递增，则恒成立. 因为，所以对恒成立. 令，则.令，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以，故的取值范围为. 【小问2详解】 略 19. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）不经过点的直线与椭圆相交于，两点，已知直线与直线的斜率之和为，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，. 因为直线不经过点，所以. 由方程组消去整理得， 则，. 因为直线与直线的斜率之和为-1， 所以 ， 整理得 ， 所以 ， 化简得 . 因为，所以， 代入直线的方程得，所以直线恒过定点（4，1）. 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，代入椭圆的方程得， 由 ，解得，但是直线与椭圆没有交点，所以斜率不存在时无符合条件的直线. 综上所述，直线过定点（4，1）. 【解析】 【分析】(1)通过离心率和定点求椭圆方程. (2)联立直线与椭圆方程利用韦达定理求出两点坐标关系后，代入到斜率之和为的条件中求解. 【小问1详解】 解：因为椭圆的离心率为，且过点，所以 因为，所以，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南昭通市正道中学等校2025-2026学年高二下学期5月联考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册，选择性必修第一、二册，选择性必修第三册第六、七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（　　） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. -1 B. 2 C. 7 D. 3 4. 在直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 某生态保护区定期监测野生水鸟种群数量，发现种群数量（单位：只）与监测时间（单位：年，）近似满足函数关系.已知监测第2年时，种群数量为3200只，则当种群数量达到12800只时，需要的监测时间约为（ ） A. 2.5年 B. 3年 C. 3.5年 D. 4年 6. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，若在上恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过向一条渐近线作垂线，垂足为.若的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学校为调查学生每周体育锻炼时长，随机抽取100名学生进行问卷调查，将所得数据整理得到频率分布直方图（每组数据包含左端点，不包含右端点），则下列说法正确的有（ ） A. 直方图中的值为0.15 B. 估计该校学生每周体育锻炼时长的中位数为4.3小时 C. 估计该校学生每周体育锻炼时长的平均数为5.3小时 D. 估计有80%的学生每周体育锻炼时长不低于6小时 10. 函数的图象为，下列选项不正确的是（ ） A. 图象关于直线对称 B. 图象可由的图象向右平移个单位长度得到 C. 函数在上单调递减 D. 若，则的最小值为 11. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. 是周期为4的周期函数 B. 的图象关于直线对称 C. D. 在（3，4）上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线的焦点到准线的距离是________ 13. 展开式中的常数项为______． 14. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则__________；__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）证明：对任意恒成立. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，为的中点. （1）证明：平面. （2）求点到平面的距离. （3）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 某高校自主招生面试设置了3道必答题，每道题答对得10分，答错得0分；设置了2道选答题，考生可从中任选1道作答，答对得20分，答错得0分.已知考生甲答对每道必答题的概率均为，答对每道选答题的概率均为，各题答题结果相互独立. （1）求考生甲恰好答对2道必答题的概率； （2）记考生甲的总得分为，求的分布列和数学期望. 18. 已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围. （2）若存在两个极值点，证明：. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）不经过点的直线与椭圆相交于，两点，已知直线与直线的斜率之和为，证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $