云南昭通市正道中学等校2025-2026学年高二下学期5月联考数学试题

云南昭通市正道中学等校2025-2026学年高二下学期5月联考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册，选择性必修第一、二册，选择性必修第三册第六、七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的虚部为（　　） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. -1 B. 2 C. 7 D. 3 4. 在直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 某生态保护区定期监测野生水鸟种群数量，发现种群数量（单位：只）与监测时间（单位：年，）近似满足函数关系.已知监测第2年时，种群数量为3200只，则当种群数量达到12800只时，需要的监测时间约为（ ） A. 2.5年 B. 3年 C. 3.5年 D. 4年 6. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，若在上恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过向一条渐近线作垂线，垂足为.若的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学校为调查学生每周体育锻炼时长，随机抽取100名学生进行问卷调查，将所得数据整理得到频率分布直方图（每组数据包含左端点，不包含右端点），则下列说法正确的有（ ） A. 直方图中的值为0.15 B. 估计该校学生每周体育锻炼时长的中位数为4.3小时 C. 估计该校学生每周体育锻炼时长的平均数为5.3小时 D. 估计有80%的学生每周体育锻炼时长不低于6小时 10. 函数的图象为，下列选项不正确的是（ ） A. 图象关于直线对称 B. 图象可由的图象向右平移个单位长度得到 C. 函数在上单调递减 D. 若，则的最小值为 11. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列说法正确的有（ ） A. 是周期为4的周期函数 B. 的图象关于直线对称 C. D. 在（3，4）上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 抛物线的焦点到准线的距离是________ 13. 展开式中的常数项为______． 14. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则__________；__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）证明：对任意恒成立. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，为的中点. （1）证明：平面. （2）求点到平面的距离. （3）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 某高校自主招生面试设置了3道必答题，每道题答对得10分，答错得0分；设置了2道选答题，考生可从中任选1道作答，答对得20分，答错得0分.已知考生甲答对每道必答题的概率均为，答对每道选答题的概率均为，各题答题结果相互独立. （1）求考生甲恰好答对2道必答题的概率； （2）记考生甲的总得分为，求的分布列和数学期望. 18. 已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围. （2）若存在两个极值点，证明：. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）不经过点的直线与椭圆相交于，两点，已知直线与直线的斜率之和为，证明：直线过定点. 云南昭通市正道中学等校2025-2026学年高二下学期5月联考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册，选择性必修第一、二册，选择性必修第三册第六、七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】240 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） （3）因为， 所以. 因为，所以，故. 【16题答案】 【答案】（1）连接交于点，连接. 因为底面是正方形，所以为的中点. 因为为的中点，所以是的中位线，. 因为平面，平面，所以平面. （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1） （2）分布列见解析，30 【18题答案】 【答案】（1） （2）证明：若存在两个极值点，，则 有两个不同的实根，，即. 令，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，所以.要证，即证. 因为，，且在上单调递减，所以只需证. 因为，所以只需证，即证，整理得. 令，则，当且仅当时，等号成立，所以在上单调递增，所以， 所以，即，故. 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，. 因为直线不经过点，所以. 由方程组消去整理得， 则，. 因为直线与直线的斜率之和为-1， 所以 ， 整理得 ， 所以 ， 化简得 . 因为，所以， 代入直线的方程得，所以直线恒过定点（4，1）. 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，代入椭圆的方程得， 由 ，解得，但是直线与椭圆没有交点，所以斜率不存在时无符合条件的直线. 综上所述，直线过定点（4，1）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $