精品解析：云南玉溪师范学院附属中学2025-2026学年高二下学期第二次校测数学试题

高二下学期第二次校测数学试卷 出题人 石玉 审题人 邓敬也 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. B. 5 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可. 【详解】展开式的通项公式为：， 令可得：，则的系数为：. 故选：C. 【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 3. 已知直线，将l绕点逆时针旋转角后得到直线，若与直线垂直，则旋转角的大小为（ ） A. 15° B. 30° C. 60° D. 75° 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出直线与直线的倾斜角，结合图象可知旋转角的大小. 【详解】因为直线， 所以直线的斜率为，故直线的倾斜角为； 因为与直线垂直， 所以设的方程为， 又直线过点，所以，解得， 所以直线的方程为，斜率为，故倾斜角为， 如图， 所以， 故选：D 4. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 【答案】C 【解析】 【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得. 【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案， 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解. 5. 已知双曲线，顶点到渐近线的距离为，则离心率（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式得出，根据双曲线离心率的公式即可求解. 【详解】双曲线的顶点到渐近线的距离为， 即，又，则，即， 则离心率. 故选：A. 6. 已知p，q为正实数且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题得，再利用基本不等式求解. 【详解】解：由可知， ， 当，即时，“”成立， 故选：A. 7. 设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程. 详解：因为函数是奇函数，所以，解得， 所以，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 化简可得，故选D. 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 8. 的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得． 详解：由题可知 所以 由余弦定理 所以 故选C. 点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】先化简原三角函数，再利用图象平移规则得到的解析式，最后根据三角函数的周期、单调性、对称性逐一判断选项. 【详解】 ，向右平移个单位后得， 对于A：，最小正周期为，A正确； 对于B：当时，， 在单调递减，在单调递增，因此在该区间不单调，B错误； 对于C：  ，C错误； 对于D： ，因此是对称中心，D正确. 10. 已知球O的半径为，则下列结论正确的是（ ） A. 球O的表面积为6π B. 球O的内接正方体的棱长为1 C. 球O的外切正方体的棱长为 D. 球O的内接正四面体的棱长为2 【答案】AD 【解析】 【分析】结合几何体与球体内接、外切问题的求解方法确定正确选项. 【详解】A，球的表面积为，A正确. B，正方体的体对角线长为，棱长为，B错误. C，球的外切正方体的棱长为，C错误. D，将正四面体补形为正方体如下图所示，正方体的体对角线长为，棱长为，所以正四面体的棱长为，D正确. 故选：AD 11. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得. 【详解】对于A：，， 所以，故A错误； 对于B：，，∴， ，故B正确； 对于C：，，∴，故C正确. 对于D：， ，∴，∴， ∴，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】借助赋值法，分别令及计算即可得. 【详解】令，则，即， 令，则，即， 故. 故答案为：. 13. 直线过点，且与抛物线交于，两点．若，则线段的中点到轴的距离是______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用抛物线定义得到焦点弦长公式 ，求出、两点横坐标之和，进而计算得到中点到轴的距离. 【详解】由抛物线，得，即，准线方程为，焦点坐标为， 设，则 ， ， 所以焦点弦长 ，已知，代入得， 中点的横坐标为 ，点到轴的距离等于横坐标的绝对值， 因此距离为. 14. 接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校的学生接种了流感疫苗，已知在流感高发时期，未接种疫苗的感染率为，而接种了疫苗的感染率为.现有一名学生确诊了流感，则该名学生未接种疫苗的概率为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式求解即可. 【详解】设事件“感染流行感冒”，事件“未接种疫苗”， 则，， 故. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 一次性医用口罩是适用于覆盖使用者的口、鼻及下颌，用于普通医疗环境中佩戴、阻隔口腔和鼻腔呼出或喷出污染物的一次性口罩，按照我国医药行业标准，口罩对细菌的过滤效率达到95%及以上为合格，98%及以上为优等品，某部门为了检测一批口置对细菌的过滤效率.随机抽检了200个口罩，将它们的过滤效率（百分比）按照[95，96），[96，97），[97，98），[98，99），[99，100]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中m的值并估计这一批口罩中优等品的概率； （2）为了进一步检测样本中优等品的质量，用分层抽样的方法从[98，99）和[99，100]两组中抽取7个口罩，再从这7个口罩中随机抽取3个口罩做进一步检测，记取自[98，99）的口罩个数为X，求X的分布列与期望. 【答案】（1）0.25，0.35 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】(1)根据频率之和等于1可得m，然后直接计算优等品的概率即可； (2)先由分层抽样取得各层样板个数，然后由超几何分布计算可得. 【小问1详解】 由图可知 估计这一批口罩中优等品的概率为 【小问2详解】 因为，所以从[98，99）中抽取个，从[99，100]中抽取个. 则X的可能取值为1，2，3， 且 故X的分布列为 X 1 2 3 P 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列满足，，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用可得答案； （2）求出，，然后分组，利用等差、等比数列的前项和公式计算可得结果. 【详解】（1）因为在数列中，， 所以， 两式相减得，即， 当时，， 所以． （2）由（1）知，，， 因为数列是等比数列，设公比为，所以， 所以， 所以， 所以 ． 【点睛】本题考查了由求，考查了等比数列的通项公式，考查了等差、等比数列的前项和公式，考查了分组求和，属于基础题. 17. 如图，四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，平面平面，是的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1），平面平面，利用面面垂直的性质定理得到平面，再由线面垂直的性质可证得结论； （2）由题意，建立空间直角坐标系求得平面的一个法向量，易知平面的一个法向量，再由求解. 【小问1详解】 证明：是的中点， ， 平面平面， 平面平面平面， 平面平面， . 【小问2详解】 平面，平面，， 是正三角形，是的中点， 两两垂直. 建立如图所示空间直角坐标系.） 则， 设是平面的一个法向量， 则， 令，得， 轴与平面垂直，是平面的一个法向量 ， 设二面角的平面角为，结合图形可知为锐角，故. 二面角的余弦值为. 18. 已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于两点． （1）求椭圆标准方程； （2）若直线与坐标轴不垂直，在轴上是否存在点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在点 【解析】 【分析】（1）先确定的值，再根据点在椭圆上和的关系，可求的值，确定椭圆的方程. （2）先设直线的方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理，得到与，再设，利用可化简求出的值，得到点坐标. 【小问1详解】 设椭圆E的标准方程为（），由， 则，得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 假设存在点满足条件，设直线的方程为， 设，， 如图： 联立，得， 易知，则，， 由， 则，即， 即， 即 整理得 则 整理得，解得， 所以存在点，使得． 19. 已知函数． （1）论函数的单调性； （2）设a，b为两个不相等的正数，且，证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得导函数，由导函数的正负即可判断原函数的增减； （2）由，得，令，，则，是的两根，其中不妨令，，要证，即证，即，构造函数通过导数证明在上单调递减，且，即证得结果． 【小问1详解】 ，， 所以， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减． 【小问2详解】 （2）由，得， 令，， 则，是的两根，其中 不妨令，，则，， 要证，即证，即， 令 则， ， 所以在上单调递减，所以， 所以，所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期第二次校测数学试卷 出题人 石玉 审题人 邓敬也 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. B. 5 C. D. 10 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知直线，将l绕点逆时针旋转角后得到直线，若与直线垂直，则旋转角的大小为（ ） A. 15° B. 30° C. 60° D. 75° 4. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 5. 已知双曲线，顶点到渐近线的距离为，则离心率（ ） A. B. C. D. 2 6. 已知p，q为正实数且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　) A. B. C. D. 8. 的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 10. 已知球O的半径为，则下列结论正确的是（ ） A. 球O的表面积为6π B. 球O的内接正方体的棱长为1 C. 球O的外切正方体的棱长为 D. 球O的内接正四面体的棱长为2 11. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则___________． 13. 直线过点，且与抛物线交于，两点．若，则线段的中点到轴的距离是______． 14. 接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校的学生接种了流感疫苗，已知在流感高发时期，未接种疫苗的感染率为，而接种了疫苗的感染率为.现有一名学生确诊了流感，则该名学生未接种疫苗的概率为___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 一次性医用口罩是适用于覆盖使用者的口、鼻及下颌，用于普通医疗环境中佩戴、阻隔口腔和鼻腔呼出或喷出污染物的一次性口罩，按照我国医药行业标准，口罩对细菌的过滤效率达到95%及以上为合格，98%及以上为优等品，某部门为了检测一批口置对细菌的过滤效率.随机抽检了200个口罩，将它们的过滤效率（百分比）按照[95，96），[96，97），[97，98），[98，99），[99，100]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中m的值并估计这一批口罩中优等品的概率； （2）为了进一步检测样本中优等品的质量，用分层抽样的方法从[98，99）和[99，100]两组中抽取7个口罩，再从这7个口罩中随机抽取3个口罩做进一步检测，记取自[98，99）的口罩个数为X，求X的分布列与期望. 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列满足，，求数列的前项和． 17. 如图，四棱锥中，底面为菱形，侧面为等边三角形，平面平面，是的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 18. 已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，点在椭圆上，过点的直线交椭圆于两点． （1）求椭圆标准方程； （2）若直线与坐标轴不垂直，在轴上是否存在点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 19. 已知函数． （1）论函数的单调性； （2）设a，b为两个不相等的正数，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $