专题01 相交线与平行线（暑假复习讲义）新八年级数学新教材人教版

专题01 相交线与平行线 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 对顶角、邻补角角度计算 题型2 垂线与点到直线的距离辨析题 题型3 三线八角识别题 题型4 命题真假判断与改写题 题型5 平移性质辨析与简单计算题 题型6 平行线判定证明题（角推平行） 题型7 平行线性质计算题（平行推角） 题型8 平行线判定与性质综合大题 题型9 网格平移作图题 题型10 平行线拐点模型（必考压轴） 题型11 三角板+直尺组合动态角度题 题型12 平移动态探究题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 模块一 相交线基础 1. 对顶角与邻补角 2. 垂线的定义与基本性质 3. 点到直线的距离 4. 三线八角：同位角、内错角、同旁内角的识别 模块二 平行线核心 1. 平行公理及推论 2. 平行线的判定定理（角推平行） 3. 平行线的性质定理（平行推角） 4. 平行线判定与性质综合应用 模块三 命题、定理与平移 1. 命题的构成与真假判断 2. 基本定理与公理辨析 3. 平移的定义与核心性质 4. 平移的作图与简单计算应用 模块一 相交线基础 命题风向 本模块为几何入门基础，是期末必考基础题型，整体难度偏低，以选择、填空为主，极少单独考解答题，侧重概念辨析和基础角度计算。命题侧重基础变式考查，不会直接照搬课本原图，常通过图形旋转、线段延长、叠加垂线等方式改造图形。高频考查对顶角相等、邻补角互补的角度计算；高频设置概念陷阱，区分“垂线段”和“点到直线的距离”；重点考查复杂图形、嵌套图形中的三线八角识别，规避固定F、Z、U刻板图形，考查学生几何直观能力，是基础失分高频点。 模块二 平行线核心 命题风向 本章节全书核心重难点，是全国各地区七年级考试核心拉分点，覆盖选择、填空、解答全题型，解答题必考几何推理证明。命题核心风向为区分判定与性质，这是全国统一核心考向，严格考查逻辑顺序，判定是由角的关系证平行，性质是由平行推角的关系，考试高频设置混淆陷阱。中档题固定考查综合推理，结合角平分线、垂直、对顶角等知识点联动出题。创新题型集中在平行线拐点模型，如铅笔模型、锯齿模型、拐角模型，固定考查过拐点作辅助线的解题思路。同时常结合直尺、三角板拼接图形，考查动态角度计算，是各地期末高频压轴小题考向。 模块三 命题、定理与平移 命题风向 本模块侧重概念理解和几何应用，难度较低，属于保底题型。命题部分固定考查题型：改写“如果…那么…”句式、判断命题真假、举反例证明假命题，侧重考查学生的几何语言逻辑表达能力。平移部分命题贴合课本，一是网格图形平移作图、平移后对应线段、对应角、对应点连线的性质辨析；二是平移后图形周长、面积的简单计算；三是结合生活情境考查平移应用，同时会衔接后续平面直角坐标系平移知识点，做铺垫性考查。 考情解码： 1. 基础必考：角度计算（对顶角、邻补角、平行线性质）、三线八角识别、平移性质辨析，所有地区必考，零难度送分题型。 2. 核心重难点：平行线判定与性质的综合推理证明、拐点辅助线构造，是全国学生统一易错、拉分考点，重点考查几何逻辑和规范书写。 3. 高频易错考情：全国统一高频失分点，判定与性质逻辑混淆、点到直线距离概念误解、复杂图形中三线八角判断错误、平移对应关系理解偏差。 知识点一 对顶角与邻补角（必考基础） 对顶角：两条直线相交形成，两边互为反向延长线。核心性质：对顶角相等。 邻补角：两条直线相交形成，有一条公共边，另一边互为反向延长线。核心性质：邻补角互补，和为180°。 关键结论：两条直线相交，有2对对顶角，4对邻补角；常结合角平分线、垂直进行角度计算。 【易错提醒】 不要误认为两条直线相交有4对对顶角、2对邻补角；邻补角一定互补，但互补的角不一定是邻补角（无公共边、不相邻）。 即时即练如图，直线，相交于点，，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 知识点二 垂线及其核心性质 垂直定义：两条直线相交，若夹角为90°，则两直线互相垂直，属于特殊的相交。 两大核心性质： ① 过一点（直线上/直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直； ② 垂线段最短（生活最短路径问题必考）。 易错重点：点到直线的距离 = 直线外一点到这条直线的垂线段的长度（注意：距离是长度，不是线段本身）。 【易错警示】 考试填空、判断高频扣分！垂线段是图形，距离是数值，二者绝对不能等同；过直线上的点无“点到直线的距离”说法。 即时即练如图，直角三角形中，，，，则点A到的距离为（    ） A． B．6 C．8 D．10 知识点三 三线八角识别（几何入门核心） 两条直线被第三条直线（截线）所截，形成8个角，三类角识别口诀： 同位角：F型，截线同侧，被截两直线同一方向； 内错角：Z型，截线两侧，被截两直线之间； 同旁内角：U型，截线同侧，被截两直线之间。 注意：三类角仅反映位置关系，无固定数量关系，只有两直线平行时，才存在相等或互补关系。 【易错警示】 切勿看到同位角、内错角就默认相等，看到同旁内角就默认互补；只有满足“两直线平行”前提，才有数量关系，不平行仅为位置关系。复杂图形易找错截线和被截线，需先锁定截线再判角。 即时即练如图，下列说法正确的是（    ） A．和互为内错角 B．的同位角只有 C．和互补 D．和互补 知识点四 平行公理及推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行线传递性，用于证明两直线平行）。 【易错警示】 平行公理仅限直线外一点，直线上一点无法作已知直线的平行线；垂直的传递性不成立，垂直于同一直线的两条直线不一定垂直，而是互相平行。 即时即练有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中真命题有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 知识点五 平行线的判定（由角证平行） 核心逻辑：角的数量关系 → 直线位置平行 1. 同位角相等，两直线平行； 2. 内错角相等，两直线平行； 3. 同旁内角互补，两直线平行。 【易错警示】 判定定理必须严格对应条件，同旁内角是互补（和为180°），不是相等；证明平行必须写全角的关系，不能跳过条件直接得出平行结论。 即时即练如图，直线、交于点平分，且 (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明的理由． 知识点六 平行线的性质（由平行推角） 核心逻辑：直线平行 → 角的数量关系 1. 两直线平行，同位角相等； 2. 两直线平行，内错角相等； 3. 两直线平行，同旁内角互补。 【易错警示】 性质定理前提是已知两直线平行，无平行前提，所有角的数量关系均不成立；做题切勿因果倒置。 即时即练已知：如图，平分交于点，．求证：． 知识点七 平行线的性质与判定重难点区分（高频易错） 重难点区分（高频易错） 判定：已知角相等/互补，证明两直线平行（证位置）； 性质：已知两直线平行，推导角相等/互补（得数量）； 考试严禁混用逻辑，是几何证明核心扣分点。 【易错警示】 核心重灾区！判定是“角→平行”，性质是“平行→角”，证明过程因果颠倒直接扣分；大题书写必须分清已知条件和推导结论。 即时即练推理填空，将下面的推论过程及依据补充完整： 已知：如图，，，试说明：． 解：因为，（已知） 所以（① ）．（② ）． 又因为，（③ ） 所以④ ⑤ ．（等量代换） 所以．（⑥ ） 知识点八 必考几何模型-平行线拐点模型 平行线拐点模型：折线、拐角题型通用解法——过拐点作已知直线的平行线，拆分复杂角，转化为同位角、内错角、同旁内角求解，适配所有拐点角度计算、证明题。 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B； ②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN； 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2； 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.。 证明：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 【易错警示】 拐点题型必须主动作辅助线，不做辅助线无法解题；容易漏角、错算角度和差，需逐一拆分拐角两角再计算。 即时即练如图1是汝窑天蓝釉刻花鹅颈瓶，图2是抽象出来的外部轮廓图，，． (1)若，则的度数为多少？ (2)若，求的值． 知识点九 命题、定理重点知识 1. 命题定义与结构 判断一件事情的语句，叫做命题，由题设（条件）和结论两部分组成，均可改写为“如果……那么……”的句式。 【易错警示】 疑问句、感叹句、描述性语句不是命题；改写命题时，不能遗漏、篡改原有条件，题设和结论拆分要精准。 2. 命题分类 真命题：题设成立，结论一定成立（公理、定理均为真命题）； 假命题：题设成立，结论不一定成立，可通过举反例证明。 公理&定理：公理是无需证明的基本事实；定理是经过推理证明正确的真命题，可直接用于几何证明。 【易错警示】 真命题不一定是定理，只有经过证明且可用于推理的真命题才是定理；假命题只需举出一个反例即可推翻，无需复杂证明。 即时即练下列命题中：①点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段；②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直同一条直线的两条直线平行；⑤平行于同一条直线的两条直线平行．其中真命题的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点十 平移重点知识 1. 平移定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的形状、大小不变，仅位置改变。 【易错警示】 平移只改变位置，形状、大小、周长、面积均不改变；旋转、翻折不属于平移，切勿混淆几何变换类型。 2. 平移核心性质（必考） 1. 对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等； 2. 对应点所连线段平行（或共线）且相等； 3. 平移前后图形的周长、面积保持不变。 【易错警示】 极易忽略共线特殊情况，判断题常以此设陷阱；对应点连线不是图形的对应线段，二者概念不可混淆。 3. 常考应用 网格平移作图、平移后边长与面积计算、结合生活场景的平移现象判断，为后续平面直角坐标系平移知识点铺垫基础。 【易错警示】 平移作图需同时找准方向和距离，缺一不可；网格平移容易数错格子数，导致作图、计算出错。 即时即练如图，将三角形沿方向向右平移到三角形的位置，连接．已知三角形的周长为，四边形的周长为，则这次平移的距离为（     ） A． B． C． D． 题型1 对顶角、邻补角角度计算 例1．如图，直线，相交于点O，射线平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【技巧总结】 利用对顶角相等、邻补角和为180°、垂直为90°三个基础条件列式计算。 【变式训练1-1】如图：直线，相交于点O，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】如图，直线与相交于点O，平分．   (1)的对顶角是_________，的邻补角是_________； (2)如果，求的度数； (3)若平分，与垂直吗？请说明理由． 题型2 垂线与点到直线的距离辨析题 例1．如图，直线与相交于点，平分，，，求的度数． 【技巧总结】 记垂线段最短；点到直线的距离是垂线段的长度（数值），不是线段。 【变式训练2-1】如图，，，，是线段上的动点，则，两点之间的距离可能是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式训练2-2】如图，每个小方格都是边长为的正方形，三点都是格点，（每个小方格的顶点叫做格点） 操作： (1)找出格点，画出的平行线； (2)图中满足要求的格点D共可以找出____________个； (3)找出格点E，画的垂线，垂足为H (4)线段____________的长是点C到直线的距离． 题型3 三线八角识别题 例1．如图，下列结论错误的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【技巧总结】 先找截线，再找两条被截直线，结合F、Z、U模型快速判断，只看位置不看大小。 【变式训练3-1】如图，已知四边形，点在的延长线上，连接、，下列说法中正确的是（   ） A．和是同旁内角 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练3-2】【阅读理解】 （1）本学期第五章学习了《平行线的判定》，认识了同位角，内错角、同旁内角及它们的定义，学会了平行线的三个判定方法． 判定方法一：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． 判定方法二：内错角相等，两直线平行； 判定方法三：同旁内角互补，两直线平行． （2）如图（1），请你找出一对同位角是________；一对内错角是________；一对同旁内角是______．（说明：以上填空只找出一对即可）    【新知学习】 （3）如图（2），我们把与叫作外错角，请结合学习的同位角、内错角、同旁内角定义，给外错角下个定义：___________； （4）在图（1）中找出另一对外错角是（  ） A．与与与   D．与 （5）请你结合图（2），证明命题：“外错角相等，两直线平行”，如图（2），已知：直线，被所截，，求证：． 证明： 题型4 命题真假判断与改写题 例1．下列命题中：①内错角相等；②两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直；③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；④立方根等于本身的数有0和1；⑤过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中正确的有________．（填序号） 【技巧总结】 如果+题设条件，那么+结论；假命题只需举出1个反例即可。 【变式训练4-1】下列命题中，真命题的个数有（    ） ①连接两点的线段叫做两点之间的距离；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练4-2】下列命题中，不正确的是（　 ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线垂直 D．平行于同一直线的两条直线平行 题型5 平移性质辨析与简单计算题 例1．如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点E，若，，则阴影部分的面积为_____． 【技巧总结】 平移只变位置，不变形状、大小、角度、周长、面积；对应点连线平行或共线且相等。 【变式训练5-1】如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】如图，将长方形沿着直线平移得到长方形（其中分别对应），联结，如果平移的距离为长度的，且的面积为10，那么长方形的面积为_____． 题型6 平行线判定证明题（角推平行） 例1．如图，①，②，③，④可以判定的条件有（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【技巧总结】 解题核心思路：通过已知条件转化出同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，进而证平行。 解题步骤模板：找已知角关系→等量代换/角平分线推导→得出三类角关系→判定直线平行。 【变式训练6-1】将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练6-2】如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 题型7 平行线性质计算题（平行推角） 例1．如图所示的是一种躺椅及其简化结构示意图，与都平行于，与分别与交于点和点，与交于点，． (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 【技巧总结】 先由平行得角相等/互补，再结合基础角度性质计算。 【变式训练7-1】如图，已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式训练7-2】如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 题型8 平行线判定与性质综合大题 例1．如图，与相交于点E，，，，求证：． 【技巧总结】 角关系→证平行→新角关系，先判定、后性质，逻辑层层递进。 【变式训练8-1】如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式训练8-2】如图1，点是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点，． (1)求证：； (2)如图2，作，与的角平分线交于点，并记，若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，，则_________．（直接写出结果）． 题型9 网格平移作图题 例1．如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点都在格点上． (1)平移三角形，使点A平移到点D（点B平移到点E，点C平移到点F），画出平移后的三角形； (2)连接、，这两条线段的关系是______； (3)连接、，则三角形的面积是______． 【技巧总结】 定点平移（找关键点）→按方向和格数移动→顺次连接端点。 【变式训练9-1】在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点，使得直线，画出直线； (2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； (3)找一格点，使得直线，画出直线； (4)线段___________线段；（填“>”“<”或“=”） 【变式训练9-2】如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点和点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)过点作的平行线，点在格点上； (2)沿直线平移三角形，使点平移到点，点平移到点，点平移到点，画出平移后的三角形； (3)线段与的数量关系是__________，位置关系是__________，在平移过程中线段扫过的面积是__________． 题型10 平行线拐点模型（必考压轴） 例1．如图，，，则的关系是（    ） A． B． C． D． 【技巧总结】 万能解题方法：遇拐点，作平行，过拐点作已知平行线的辅助线，拆分复杂角。 核心规律：开口同向角度和相等，凹凸拐角角度互补/和为定值。 【变式训练10-1】问题情景： (1)如图①，已知，试问、、有什么关系？小明添加了一条辅助线．解决了这道题，得到的结果是． 请你帮他完善证明过程； 如图②，过点作， ∴____________，（          ） ∵，， ∴____________， ∴______，（       ） ∴， 即． (2)在图①中，若，且，请你计算的度数等于______． (3)问题迁移：如图③，，当点在射线上运动时，，，请你猜想，与之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【变式训练10-2】已知直线，直线分别与直线，相交于点，，点，分别在直线，上，且在直线的左侧，点是直线上一动点（不与点，重合），设，，． (1)当点在线段上运动时，试探索，，之间的关系，并给出证明； (2)当点在线段外运动时，请你在备用图中画出图形，并判断（1）中的结论是否还成立？若不成立，请你探索，，之间的关系（不需要证明）． 题型11 三角板+直尺组合动态角度题 例1．小温将含角的直角三角板与一直尺按如图所示放置，若测得，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【技巧总结】 利用直尺两边平行+三角板固定角度（30°、45°、60°、90°），结合平行线性质计算。 【变式训练11-1】综合与实践 动手操作可提高我们的思维能力，王老师和同学们利用两块直角三角板（含的直角三角板和含的直角三角板）不同的摆放方式探究平行线的相关问题． 初步认知 (1)如图1，将三角板直角顶点A与E重合，若，则____________． 深入探究 王老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答． (2)“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板的顶点B放在三角板的边上，若，平分吗？请说明理由． (3)“善思小组”提出问题：将图2位置的三角板DEF不动，三角板ABC绕点B旋转一周，在此过程中与三角板的某一边平行（不共线）时，请直接写出的度数． 【变式训练11-2】动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则的值为________； （2）当与平行时，求的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________． 题型12 平移动态探究题 例1．如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，连接，，，，三角形的周长为．下列结论： ①；②；③；④四边形的周长为；⑤阴影部分的面积为．其中正确的个数为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【技巧总结】 紧扣平移不变性，形状大小不变，结合平行线性质、角度公式探究。 【变式训练12-1】如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，交于点，，，对于下面四个结论： ，； ； 四边形的周长比三角形的周长大； 四边形的面积是． 其中，正确的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式训练12-2】如图，在中，，，，．把沿着直线向右平移后得到，连接，，有以下结论：①；②；③的最小值是；④．其中正确的结论有________．（填序号） 1．健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若， ，则的度数是(     ) A． B． C． D． 2．如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，，且平分．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，，点在同一条直线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知四边形，点在延长线上，连接，则下列条件中，能判定的是（     ）    A． B． C． D． 7．如图，，直线a平移后得到直线b，则的大小为（    ） A． B． C． D． 8．如图，将周长为的沿方向向右平移个单位得到，则四边形的周长为________________． 9．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是_______． 10．如图，在中，，，，，将沿方向平移得到，且与相交于点，连接，则阴影部分的周长为________． 11．如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧且反射角等于入射角，这就是光的反射定律．如图2，小亮同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为________． 12．如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若，则等于________． 13．如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，且在直线上方，求证：． 14．已知，如图，，相交于，，，．求证：． 15．物流公司为提高分拣包裹的效率，引进了自动分拣流水线，该流水线的示意图如图所示．请根据下列条件，完成下面的证明． 已知，与相交于点，，分别平分，，且． 求证：． 证明：（已知）， ①______（②依据：______）． ，分别平分，（已知）， ，③______（角平分线的定义）． ④______（等式的性质）． （已知）， （⑤依据：______）． （等量代换）， （垂直的定义）． 16．如图，，连接并延长至点H，平分，，与互余．求证：． 证明：， _________，（_________） 平分， ， _________，（等量代换） 又，与互余， ，（__________） ．（_________） 17．如图，直线，交于点，已知，在右侧，． (1)若，求的度数； (2)若，试说明与互余． 18．如图是健身器材划船机的使用及其简化结构示意图，人体上半身与拉绳构成的为，上半身与滑轨构成的为． (1)证明：； (2)若拉绳与地面平行，即，，，求的度数． 19．如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角．如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点C作如图②，则可以得到，其理由是： ． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； 20．如图，已知，与互补． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 2 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线与平行线 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 对顶角、邻补角角度计算 题型2 垂线与点到直线的距离辨析题 题型3 三线八角识别题 题型4 命题真假判断与改写题 题型5 平移性质辨析与简单计算题 题型6 平行线判定证明题（角推平行） 题型7 平行线性质计算题（平行推角） 题型8 平行线判定与性质综合大题 题型9 网格平移作图题 题型10 平行线拐点模型（必考压轴） 题型11 三角板+直尺组合动态角度题 题型12 平移动态探究题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 模块一 相交线基础 1. 对顶角与邻补角 2. 垂线的定义与基本性质 3. 点到直线的距离 4. 三线八角：同位角、内错角、同旁内角的识别 模块二 平行线核心 1. 平行公理及推论 2. 平行线的判定定理（角推平行） 3. 平行线的性质定理（平行推角） 4. 平行线判定与性质综合应用 模块三 命题、定理与平移 1. 命题的构成与真假判断 2. 基本定理与公理辨析 3. 平移的定义与核心性质 4. 平移的作图与简单计算应用 模块一 相交线基础 命题风向 本模块为几何入门基础，是期末必考基础题型，整体难度偏低，以选择、填空为主，极少单独考解答题，侧重概念辨析和基础角度计算。命题侧重基础变式考查，不会直接照搬课本原图，常通过图形旋转、线段延长、叠加垂线等方式改造图形。高频考查对顶角相等、邻补角互补的角度计算；高频设置概念陷阱，区分“垂线段”和“点到直线的距离”；重点考查复杂图形、嵌套图形中的三线八角识别，规避固定F、Z、U刻板图形，考查学生几何直观能力，是基础失分高频点。 模块二 平行线核心 命题风向 本章节全书核心重难点，是全国各地区七年级考试核心拉分点，覆盖选择、填空、解答全题型，解答题必考几何推理证明。命题核心风向为区分判定与性质，这是全国统一核心考向，严格考查逻辑顺序，判定是由角的关系证平行，性质是由平行推角的关系，考试高频设置混淆陷阱。中档题固定考查综合推理，结合角平分线、垂直、对顶角等知识点联动出题。创新题型集中在平行线拐点模型，如铅笔模型、锯齿模型、拐角模型，固定考查过拐点作辅助线的解题思路。同时常结合直尺、三角板拼接图形，考查动态角度计算，是各地期末高频压轴小题考向。 模块三 命题、定理与平移 命题风向 本模块侧重概念理解和几何应用，难度较低，属于保底题型。命题部分固定考查题型：改写“如果…那么…”句式、判断命题真假、举反例证明假命题，侧重考查学生的几何语言逻辑表达能力。平移部分命题贴合课本，一是网格图形平移作图、平移后对应线段、对应角、对应点连线的性质辨析；二是平移后图形周长、面积的简单计算；三是结合生活情境考查平移应用，同时会衔接后续平面直角坐标系平移知识点，做铺垫性考查。 考情解码： 1. 基础必考：角度计算（对顶角、邻补角、平行线性质）、三线八角识别、平移性质辨析，所有地区必考，零难度送分题型。 2. 核心重难点：平行线判定与性质的综合推理证明、拐点辅助线构造，是全国学生统一易错、拉分考点，重点考查几何逻辑和规范书写。 3. 高频易错考情：全国统一高频失分点，判定与性质逻辑混淆、点到直线距离概念误解、复杂图形中三线八角判断错误、平移对应关系理解偏差。 知识点一 对顶角与邻补角（必考基础） 对顶角：两条直线相交形成，两边互为反向延长线。核心性质：对顶角相等。 邻补角：两条直线相交形成，有一条公共边，另一边互为反向延长线。核心性质：邻补角互补，和为180°。 关键结论：两条直线相交，有2对对顶角，4对邻补角；常结合角平分线、垂直进行角度计算。 【易错提醒】 不要误认为两条直线相交有4对对顶角、2对邻补角；邻补角一定互补，但互补的角不一定是邻补角（无公共边、不相邻）。 即时即练如图，直线，相交于点，，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据角平分线的定义求出的度数，再根据对顶角相等求出的度数，最后根据垂直的定义及角的和差关系即可求解. 【详解】解：平分，， ， 直线，相交于点， ， ， ， . 知识点二 垂线及其核心性质 垂直定义：两条直线相交，若夹角为90°，则两直线互相垂直，属于特殊的相交。 两大核心性质： ① 过一点（直线上/直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直； ② 垂线段最短（生活最短路径问题必考）。 易错重点：点到直线的距离 = 直线外一点到这条直线的垂线段的长度（注意：距离是长度，不是线段本身）。 【易错警示】 考试填空、判断高频扣分！垂线段是图形，距离是数值，二者绝对不能等同；过直线上的点无“点到直线的距离”说法。 即时即练如图，直角三角形中，，，，则点A到的距离为（    ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】A 【详解】解：设点到的距离为， ， ， ，即点到的距离为． 知识点三 三线八角识别（几何入门核心） 两条直线被第三条直线（截线）所截，形成8个角，三类角识别口诀： 同位角：F型，截线同侧，被截两直线同一方向； 内错角：Z型，截线两侧，被截两直线之间； 同旁内角：U型，截线同侧，被截两直线之间。 注意：三类角仅反映位置关系，无固定数量关系，只有两直线平行时，才存在相等或互补关系。 【易错警示】 切勿看到同位角、内错角就默认相等，看到同旁内角就默认互补；只有满足“两直线平行”前提，才有数量关系，不平行仅为位置关系。复杂图形易找错截线和被截线，需先锁定截线再判角。 即时即练如图，下列说法正确的是（    ） A．和互为内错角 B．的同位角只有 C．和互补 D．和互补 【答案】D 【分析】根据内错角，同位角，补角的定义进行判断即可． 【详解】解：和不是内错角，选项A错误； 的同位角有和，选项B错误； 和不平行，故和不互补，选项C错误； 和互为邻补角，互补，选项D正确． 知识点四 平行公理及推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行（平行线传递性，用于证明两直线平行）。 【易错警示】 平行公理仅限直线外一点，直线上一点无法作已知直线的平行线；垂直的传递性不成立，垂直于同一直线的两条直线不一定垂直，而是互相平行。 即时即练有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中真命题有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系，平行公理及其推论，根据相关知识点逐一判断每个说法即可． 【详解】解：① 若与相交，与相交，与可能平行（如两条平行线都与第三条直线相交），因此①是假命题． ② ，，根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，，因此②是真命题． ③ 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，这是平行公理，因此③是真命题． ④ 在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，不属于独立的位置关系，因此④是假命题． 综上，真命题共有2个，故选B． 知识点五 平行线的判定（由角证平行） 核心逻辑：角的数量关系 → 直线位置平行 1. 同位角相等，两直线平行； 2. 内错角相等，两直线平行； 3. 同旁内角互补，两直线平行。 【易错警示】 判定定理必须严格对应条件，同旁内角是互补（和为180°），不是相等；证明平行必须写全角的关系，不能跳过条件直接得出平行结论。 即时即练如图，直线、交于点平分，且 (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质以及角度的比例求解即可； （2）由角平分线的性质可得角度的关系，再根据内错角相等，即可证明平行． 【详解】（1）解：平分， ， ， ． ． ． （2）解：平分平分， ． ， ， ． ． ． 知识点六 平行线的性质（由平行推角） 核心逻辑：直线平行 → 角的数量关系 1. 两直线平行，同位角相等； 2. 两直线平行，内错角相等； 3. 两直线平行，同旁内角互补。 【易错警示】 性质定理前提是已知两直线平行，无平行前提，所有角的数量关系均不成立；做题切勿因果倒置。 即时即练已知：如图，平分交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由，结合平行线的判定与性质，可推导得到与的位置关系，进而根据平行线的性质得到与的关系． 【详解】证明：∵， ∴； ∴； ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∴． 知识点七 平行线的性质与判定重难点区分（高频易错） 重难点区分（高频易错） 判定：已知角相等/互补，证明两直线平行（证位置）； 性质：已知两直线平行，推导角相等/互补（得数量）； 考试严禁混用逻辑，是几何证明核心扣分点。 【易错警示】 核心重灾区！判定是“角→平行”，性质是“平行→角”，证明过程因果颠倒直接扣分；大题书写必须分清已知条件和推导结论。 即时即练推理填空，将下面的推论过程及依据补充完整： 已知：如图，，，试说明：． 解：因为，（已知） 所以（① ）．（② ）． 又因为，（③ ） 所以④ ⑤ ．（等量代换） 所以．（⑥ ） 【答案】见解析 【详解】解：因为，（已知） 所以．（两直线平行，同位角相等） 又因为，（ 已知） 所以．（等量代换） 所以．（内错角相等，两直线平行） 知识点八 必考几何模型-平行线拐点模型 平行线拐点模型：折线、拐角题型通用解法——过拐点作已知直线的平行线，拆分复杂角，转化为同位角、内错角、同旁内角求解，适配所有拐点角度计算、证明题。 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B； ②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN； 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2； 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.。 证明：（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 【易错警示】 拐点题型必须主动作辅助线，不做辅助线无法解题；容易漏角、错算角度和差，需逐一拆分拐角两角再计算。 即时即练如图1是汝窑天蓝釉刻花鹅颈瓶，图2是抽象出来的外部轮廓图，，． (1)若，则的度数为多少？ (2)若，求的值． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）延长交于点．根据平行线的性质得到，，则．根据即可求出的度数； （2）由（1）得到．由平行线的性质得到，即可求出的值． 【详解】（1）解：如图，延长交于点． 因为，， 所以，， 所以． 因为， 所以． （2）解：由（1）知． 因为， 所以， 所以 知识点九 命题、定理重点知识 1. 命题定义与结构 判断一件事情的语句，叫做命题，由题设（条件）和结论两部分组成，均可改写为“如果……那么……”的句式。 【易错警示】 疑问句、感叹句、描述性语句不是命题；改写命题时，不能遗漏、篡改原有条件，题设和结论拆分要精准。 2. 命题分类 真命题：题设成立，结论一定成立（公理、定理均为真命题）； 假命题：题设成立，结论不一定成立，可通过举反例证明。 公理&定理：公理是无需证明的基本事实；定理是经过推理证明正确的真命题，可直接用于几何证明。 【易错警示】 真命题不一定是定理，只有经过证明且可用于推理的真命题才是定理；假命题只需举出一个反例即可推翻，无需复杂证明。 即时即练下列命题中：①点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段；②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直同一条直线的两条直线平行；⑤平行于同一条直线的两条直线平行．其中真命题的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离定义、对顶角性质、平行线相关定理，逐个判断命题真假，统计真命题个数即可得到结果． 【详解】解：①∵点到直线的距离是指这点到直线的垂线段的长度，不是垂线段本身， ∴①是假命题； ②∵对顶角相等是对顶角的基本性质， ∴②是真命题； ③∵只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上则不成立， ∴③是假命题； ④∵垂直于同一条直线的两条直线平行的结论仅在同一平面内成立，结论不成立， ∴④是假命题； ⑤∵根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线平行， ∴⑤是真命题； 综上，真命题共2个． 知识点十 平移重点知识 1. 平移定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的形状、大小不变，仅位置改变。 【易错警示】 平移只改变位置，形状、大小、周长、面积均不改变；旋转、翻折不属于平移，切勿混淆几何变换类型。 2. 平移核心性质（必考） 1. 对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等； 2. 对应点所连线段平行（或共线）且相等； 3. 平移前后图形的周长、面积保持不变。 【易错警示】 极易忽略共线特殊情况，判断题常以此设陷阱；对应点连线不是图形的对应线段，二者概念不可混淆。 3. 常考应用 网格平移作图、平移后边长与面积计算、结合生活场景的平移现象判断，为后续平面直角坐标系平移知识点铺垫基础。 【易错警示】 平移作图需同时找准方向和距离，缺一不可；网格平移容易数错格子数，导致作图、计算出错。 即时即练如图，将三角形沿方向向右平移到三角形的位置，连接．已知三角形的周长为，四边形的周长为，则这次平移的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质，平移的距离等于，且结合三角形的周长和四边形的周长，通过周长差求出的长度，即为平移的距离． 【详解】解：设平移的距离为，则 ∵平移得到， ∴ ∵的周长为， ∴ ∵四边形的周长为， ∴ ∴ ∴ 解得 ∴这次平移的距离为 题型1 对顶角、邻补角角度计算 例1．如图，直线，相交于点O，射线平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角相等得到，再根据角平分线定义即可得到． 【详解】解：∵， ， ∵射线平分， ． 【技巧总结】 利用对顶角相等、邻补角和为180°、垂直为90°三个基础条件列式计算。 【变式训练1-1】如图：直线，相交于点O，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对顶角相等和邻补角的定义得出，，再根据角平分的定义得出，再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 【变式训练1-2】如图，直线与相交于点O，平分．   (1)的对顶角是_________，的邻补角是_________； (2)如果，求的度数； (3)若平分，与垂直吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)与垂直，理由见解析 【分析】（1）根据对顶角定义直接求解即可； （2）根据角平分线的定义可得，再根据邻补角的定义可得的度数； （3）根据角平分线的定义可得，，再根据邻补角的定义可得． 【详解】（1）解：的对顶角是，的邻补角是； （2）平分，， ， ， 的度数为； （3）与垂直，理由如下： 平分，平分， ，， 又， ， ． 题型2 垂线与点到直线的距离辨析题 例1．如图，直线与相交于点，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】由对顶角得出，由补角的定义得出，由角平分线得出，由垂直定义得出，然后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【技巧总结】 记垂线段最短；点到直线的距离是垂线段的长度（数值），不是线段。 【变式训练2-1】如图，，，，是线段上的动点，则，两点之间的距离可能是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】点是线段上的动点，根据垂线段最短以及的长，可得，进而可得答案． 【详解】解：∵，，，点是线段上的动点， ∴， ． 从选项可知，只有B符合题意． 【变式训练2-2】如图，每个小方格都是边长为的正方形，三点都是格点，（每个小方格的顶点叫做格点） 操作： (1)找出格点，画出的平行线； (2)图中满足要求的格点D共可以找出____________个； (3)找出格点E，画的垂线，垂足为H (4)线段____________的长是点C到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据网格即可找出格点，画出的平行线； （2）根据网格即可得图中满足要求的格点的个数； （3）根据网格即可找出格点，画的垂线，垂足为； （4）根据点到直线的距离定义即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作， （2）解：由图可知图中满足要求的格点D共可以找出个； （3）解：如图，点即为所求作； （4）解： 线段的长是点到直线的距离． 题型3 三线八角识别题 例1．如图，下列结论错误的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】C 【分析】同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；内错角：两个角在截线的异侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角． 【详解】解：A.与是同位角，该结论正确，故选项不符合题意； B.与是内错角，该结论正确，故选项不符合题意； C.与不是同位角，该结论错误，故选项符合题意； D.与是同旁内角，该结论正确，故选项不符合题意. 【技巧总结】 先找截线，再找两条被截直线，结合F、Z、U模型快速判断，只看位置不看大小。 【变式训练3-1】如图，已知四边形，点在的延长线上，连接、，下列说法中正确的是（   ） A．和是同旁内角 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了同旁内角的定义、平行线的判定定理等知识点，灵活运用平行线的判定定理成为解题的关键． 根据同旁内角的定义可判断A选项，根据平行线的判断定理可判断B、C、D选项． 【详解】解：A、和不是同旁内角，故该选项说法错误，不符合题意； B、若，则，故该选项说法错误，不符合题意； C、若，则，故该选项说法正确，符合题意； D、若，则，故该选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式训练3-2】【阅读理解】 （1）本学期第五章学习了《平行线的判定》，认识了同位角，内错角、同旁内角及它们的定义，学会了平行线的三个判定方法． 判定方法一：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． 判定方法二：内错角相等，两直线平行； 判定方法三：同旁内角互补，两直线平行． （2）如图（1），请你找出一对同位角是________；一对内错角是________；一对同旁内角是______．（说明：以上填空只找出一对即可）    【新知学习】 （3）如图（2），我们把与叫作外错角，请结合学习的同位角、内错角、同旁内角定义，给外错角下个定义：___________； （4）在图（1）中找出另一对外错角是（  ） A．与与与   D．与 （5）请你结合图（2），证明命题：“外错角相等，两直线平行”，如图（2），已知：直线，被所截，，求证：． 证明： 【答案】（2）一对同位角和，和，和，和；一对内错角和，和；一对同旁内角和，和；（3）分别在直线，的两侧，在直线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做外错角；（4）B；（5）见解析． 【分析】（2）根据两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；两条直线被三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在两条被截直线之内的两个角，叫做同旁内角作答即可； （3）结合学习的同位角、内错角、同旁内角定义，给外错角下定义； （4）图中与是在两条被截直线的外侧且在截线的两侧的两个角，符合外错角的定义； （5）根据外错角相等、对顶角相等及等量代换得到一对内错角相等，根据“内错角相等，两直线平行”得到． 【详解】解：（2）一对同位角和，和，和，和；任意填写一组即可 一对内错角和，和；备注：任意填写一组即可 一对同旁内角和，和；备注：任意填写一组即可 故答案为：和（或和或和或和），和（或和），和（或和）； （3）两条直线，被直线所截，分别在被截直线，的两侧，在截线的两侧，具有这种位置关系的一对角叫做外错角； （4）由图可知图中与是在两条被截直线的外侧且在截线的两侧的两个角，故与是外错角， 故选B； （5）证明∶∵，， ∴， ∴。    题型4 命题真假判断与改写题 例1．下列命题中：①内错角相等；②两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直；③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；④立方根等于本身的数有0和1；⑤过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中正确的有________．（填序号） 【答案】/ 【分析】根据命题的定义，结合平行线的性质、平行公理、立方根的定义、垂直的基本性质逐一判断命题真假即可． 【详解】解：对于①：内错角相等成立的前提是两直线平行，故①错误； 对于②：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，和为，同旁内角的平分线将两个角分别平分，所得两个角的和为，因此两条平分线互相垂直，故②正确； 对于③：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，是平行公理的推论，故③正确； 对于④：立方根等于本身的数除了和外，还有，故④错误； 对于⑤：定理为在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，命题缺少“在同一平面内”的前提，故⑤错误． 综上，正确的命题为②③． 【技巧总结】 如果+题设条件，那么+结论；假命题只需举出1个反例即可。 【变式训练4-1】下列命题中，真命题的个数有（    ） ①连接两点的线段叫做两点之间的距离；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查命题，几何公理，定义和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关知识逐一判断每个命题的真假． 【详解】解：∵ 两点之间的距离是连接两点的线段的长度，而不是线段本身， ∴ 命题①错误； ∵ 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是垂线段的基本性质， ∴ 命题②正确； ∵ 过一点作与已知直线平行的直线：如果点在直线外，有且只有一条；如果点在直线上，则没有（因为过直线上一点的任何直线都会与已知直线相交，重合不算平行）， ∴ 命题③错误； ∵ 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，但是不在同一平面内，过一点作已知直线的垂线不满足有且仅有一条． ∴ 命题④错误； 综上，真命题共1个． 故选：A． 【变式训练4-2】下列命题中，不正确的是（　 ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线垂直 D．平行于同一直线的两条直线平行 【答案】C 【分析】本题考查几何命题的真假判断，涉及垂直、平行等性质，关键是熟练应用知识点解决问题；根据知识点逐一判断即可. 【详解】解：A：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； B：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确； C：∵ 垂直于同一直线的两条直线可能平行（如在平面内），不一定垂直，∴ 该命题错误； D：平行于同一直线的两条直线平行，正确； ∴ 不正确的是C； 故答案选：C． 题型5 平移性质辨析与简单计算题 例1．如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点E，若，，则阴影部分的面积为_____． 【答案】13 【分析】根据平移的性质得到，，，，则可证明，再利用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由平移的性质得，，，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【技巧总结】 平移只变位置，不变形状、大小、角度、周长、面积；对应点连线平行或共线且相等。 【变式训练5-1】如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质． 由，可得，由平移的性质可得，然后根据，即可求解． 【详解】解：，即，， ， 由平移可得， ． 故选：C． 【变式训练5-2】如图，将长方形沿着直线平移得到长方形（其中分别对应），联结，如果平移的距离为长度的，且的面积为10，那么长方形的面积为_____． 【答案】15 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是关键；由平移得，则，由面积可求得，从而求解． 【详解】解：由平移得， ∵平移的距离为长度的， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴， 即， ∴， 即长方形的面积为15． 故答案为：15． 题型6 平行线判定证明题（角推平行） 例1．如图，①，②，③，④可以判定的条件有（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】平行线的判定定理主要有：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据平行线的判定定理逐个排查即可． 【详解】解：①由于和是同位角，则由可判定； ②由于和是内错角，则由可判定； ③由于和既不是同位角、也不是内错角，则由不能判定； ④由于和是同旁内角，则由可判定； 即①②④可判定． 【技巧总结】 解题核心思路：通过已知条件转化出同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，进而证平行。 解题步骤模板：找已知角关系→等量代换/角平分线推导→得出三类角关系→判定直线平行。 【变式训练6-1】将一副三角板按如图放置，，，，则：①；②；③如果，则有；④如果，则有．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由即可判断①；由即可判断②；求出即可判断③；求出即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 如果，则，故，故③正确； 如果，则，故，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 【变式训练6-2】如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴． 题型7 平行线性质计算题（平行推角） 例1．如图所示的是一种躺椅及其简化结构示意图，与都平行于，与分别与交于点和点，与交于点，． (1)求证：． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：，， ， ； （2）解：与都平行于，即， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 【技巧总结】 先由平行得角相等/互补，再结合基础角度性质计算。 【变式训练7-1】如图，已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据已知条件和邻补角得出内错角相等，可证明平行； （2）根据平行线的性质证明即可． 【详解】（1）证明：，， ， ； （2）证明：， ， ， ， ． 【变式训练7-2】如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定与性质进行证明即可； （2）根据平行线的性质进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 题型8 平行线判定与性质综合大题 例1．如图，与相交于点E，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据可得，再根据平行线的性质得，等量代换得，即． 【详解】证明：∵， ∴，即， ， ， 又∵， ， ． 【技巧总结】 角关系→证平行→新角关系，先判定、后性质，逻辑层层递进。 【变式训练8-1】如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定和性质得到，根据等量代换得到，根据平行线的判定即可得到结论； （2）根据平行线的性质和角的和差即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴．（ 内错角相等，两直线平行 ） （2）解：∵（已证）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已证）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， ∴（对顶角相等） 【变式训练8-2】如图1，点是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点，． (1)求证：； (2)如图2，作，与的角平分线交于点，并记，若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，，则_________．（直接写出结果）． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，与的角平分线交于点， ∴，， ∴，， 由（1）可知：，， ∴； （3）解：设，， ∵平分，平分， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型9 网格平移作图题 例1．如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点都在格点上． (1)平移三角形，使点A平移到点D（点B平移到点E，点C平移到点F），画出平移后的三角形； (2)连接、，这两条线段的关系是______； (3)连接、，则三角形的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3) 【分析】本题考查作图—平移变换，利用割补法求三角形面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）利用平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质进行解答即可； （3）利用割补法求三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）解：连接、， 由平移的性质可知：，， 故答案为：平行且相等； （3）解： 故答案为：． 【技巧总结】 定点平移（找关键点）→按方向和格数移动→顺次连接端点。 【变式训练9-1】在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点，使得直线，画出直线； (2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； (3)找一格点，使得直线，画出直线； (4)线段___________线段；（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)见详解； (4)> 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平移的性质，垂线的定义，垂线段最短． （1）根据平移的性质画出图形即可； （2）根据垂直的定义画图即可； （3）根据垂直定义画图即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 【详解】（1）解：如图，则即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，直线即为所求． ； （4）解：∵， ∴根据垂线段最短，得． 故答案为：>． 【变式训练9-2】如图，每个小正方形的边长都为1，三角形的顶点和点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)过点作的平行线，点在格点上； (2)沿直线平移三角形，使点平移到点，点平移到点，点平移到点，画出平移后的三角形； (3)线段与的数量关系是__________，位置关系是__________，在平移过程中线段扫过的面积是__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，20 【分析】本题主要考查了画平移图形，平移的性质，画平行线，熟知相关知识是解题的关键． （1）取格点M，连接，则即为所求； （2）根据点D和点A的位置可确定平移方式，再根据平移方式确定点E和点F的位置，进而作图即可； （3）根据平移的性质可得，在平移过程中线段扫过的面积是四边形的面积，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由平移的性质可得，在平移过程中线段扫过的面积是． 题型10 平行线拐点模型（必考压轴） 例1．如图，，，则的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作，过点D作，得到，根据平行线的性质，角的和，等量代换思想，求解即可． 【详解】解：过点C作，过点D作， ， ， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【技巧总结】 万能解题方法：遇拐点，作平行，过拐点作已知平行线的辅助线，拆分复杂角。 核心规律：开口同向角度和相等，凹凸拐角角度互补/和为定值。 【变式训练10-1】问题情景： (1)如图①，已知，试问、、有什么关系？小明添加了一条辅助线．解决了这道题，得到的结果是． 请你帮他完善证明过程； 如图②，过点作， ∴____________，（          ） ∵，， ∴____________， ∴______，（       ） ∴， 即． (2)在图①中，若，且，请你计算的度数等于______． (3)问题迁移：如图③，，当点在射线上运动时，，，请你猜想，与之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)；；两直线平行，内错角相等；； ；；两直线平行，内错角相等 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质完成证明过程即可； （2）由（1）可知，即可求解； （3）过点作，根据两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】（1）解：如图②，过点作， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，， ∴， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∴， 即． （2）解：∵， ∴， 由（1）可知，， ∴． （3）解：． 理由：如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式训练10-2】已知直线，直线分别与直线，相交于点，，点，分别在直线，上，且在直线的左侧，点是直线上一动点（不与点，重合），设，，． (1)当点在线段上运动时，试探索，，之间的关系，并给出证明； (2)当点在线段外运动时，请你在备用图中画出图形，并判断（1）中的结论是否还成立？若不成立，请你探索，，之间的关系（不需要证明）． 【答案】(1)，证明见解析 (2)不成立．①当点在线段的延长线上，，理由见解析；②当点在线段的延长线上，，理由见解析 【分析】（1）过点作，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）不成立，分两种情况：①当点在线段的延长线上，②当点在线段的延长线上，分别画出图形，然后根据平行公理推论的应用及“两直线平行，内错角相等”即可得出结论． 【详解】（1）解：． 证明：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （2）解：不成立． 有两种情况： ①当点在线段的延长线上，此时， 理由：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； ②当点在线段的延长线上，此时， 理由：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 题型11 三角板+直尺组合动态角度题 例1．小温将含角的直角三角板与一直尺按如图所示放置，若测得，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得， ∴． 【技巧总结】 利用直尺两边平行+三角板固定角度（30°、45°、60°、90°），结合平行线性质计算。 【变式训练11-1】综合与实践 动手操作可提高我们的思维能力，王老师和同学们利用两块直角三角板（含的直角三角板和含的直角三角板）不同的摆放方式探究平行线的相关问题． 初步认知 (1)如图1，将三角板直角顶点A与E重合，若，则____________． 深入探究 王老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答． (2)“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板的顶点B放在三角板的边上，若，平分吗？请说明理由． (3)“善思小组”提出问题：将图2位置的三角板DEF不动，三角板ABC绕点B旋转一周，在此过程中与三角板的某一边平行（不共线）时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）根据平行的性质得到，即可得到答案； （2）根据平行的性质得到，证明，即可得到平分； （3）分当，且点C在的右侧时，当，且点C在的上方时，当，且点C在的左侧时，当，且点C在的下方时四种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：平分； ，， ， ， ， 平分； （3）解：或或或． 详解如下：依题意有以下四中情况： ①当，且点C在的右侧时，如图①所示： ， ； ②当，且点C在的上方时，如图②所示： ； ③当，且点C在的左侧时，如图③所示： ， ④当，且点C在的下方时，如图④所示： ， ， 综上所述：的度数是或或或． 【变式训练11-2】动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则的值为________； （2）当与平行时，求的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________． 【答案】（1）； （2）； （3）或 【分析】操作一： （1）利用和推出，结合三角板的内角得，根据旋转性质得旋转角，再由平行线的内错角相等建立方程求解； （2）通过延长线段、作平行线构造平行关系，利用平行线的同位角、内错角相等，结合三角板的固定角度算出旋转角的度数，进而建立关于的方程求解； 操作二：分与反向平行、同向平行两种情况，①当与反向平行时，利用平行线的性质推出的表达式，结合的旋转角度表示出，进而列出方程，求出的值；②当与同向平行时，利用平行线的性质推出的表达式，结合的旋转角度表示出，进而列出方程，求出的值． 【详解】操作一： （1）解：∵，， ∴． ∴， ∵，， ∴， 由旋转可知，绕点逆时针旋转的角度为，即． ∴， 解得； （2）解：如图，延长线段，交直线于点，过点作直线，使，过点作，由平行公理的推论可得． ∵， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵绕点逆时针旋转的角度为，即， ∴，解得． 操作二： 解：①如图，当时，与反向平行，过点作直线，交于点，延长，交于点，过点作，则． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， 又∵，， ∴， 解得； ②如图，当时，与同向平行，过点作直线，交于点，交于点，则． 同理，． ∵， ∴， ∴， 解得； 综上，的值为或． 题型12 平移动态探究题 例1．如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，连接，，，，三角形的周长为．下列结论： ①；②；③；④四边形的周长为；⑤阴影部分的面积为．其中正确的个数为（    ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用平移后对应线段平行且相等、对应角相等，结合线段长度、周长与面积公式逐一判断结论． 【详解】解：由平移可知，在上，因此，①正确； 平移距离相等，即，②正确； 平移后对应角相等，故，③正确； 四边形的周长， 周长为12，， 周长，④正确； ， ， 阴影面积 梯形的面积 ⑤错误， 综上，正确的个数为4． 【技巧总结】 紧扣平移不变性，形状大小不变，结合平行线性质、角度公式探究。 【变式训练12-1】如图，将直角三角形沿方向平移得到三角形，交于点，，，对于下面四个结论： ，； ； 四边形的周长比三角形的周长大； 四边形的面积是． 其中，正确的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据平移的性质：对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，结合图形逐一判断四个结论即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，，故正确； ， ． 由平移可知，， ，故正确； 四边形的周长为， 的周长为， 由平移可知，， ， 周长之差 ，故正确； ， ． ，， ， ， 四边形的面积是，故正确． 综上所述，正确的结论有个． 【变式训练12-2】如图，在中，，，，．把沿着直线向右平移后得到，连接，，有以下结论：①；②；③的最小值是；④．其中正确的结论有________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】由平移的性质可得，，再由，可得，据此可判断①②④；由垂线段最短可知，当时，有最小值，根据等面积法求出此时的长即可判断③． 【详解】解：由平移的性质可得，，故①②正确； ∵，即， ∴，故④正确； 由垂线段最短可知，当时，有最小值， 此时， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③错误． ∴正确的有①②④． 1．健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，某品牌的自行车的平面示意图如图，自行车的前轴与后轴所在直线与地面平行，车架与地面平行，自行车的中轴处与座位处在一条直线上，若， ，则的度数是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用和得到同旁内角互补，过点作得出，结合 得出，即可求解． 【详解】解：， ，即 ， ， ， ，， ， 如图，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ， ， ． 2．如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的判定定理逐项进行判断． 【详解】解：A、∵，符合内错角相等，两直线平行，∴，不符合题意． B、∵，不能判定，符合题意； C、∵，符合同旁内角互补，两直线平行，∴，不符合题意． D、∵，符合同旁内角互补，两直线平行，∴，不符合题意． 3．如图，，且平分．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平行线的性质得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据平行线的性质得出即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 4．如图，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点分别向左作，根据两直线平行同旁内角互补求解即可． 【详解】解：过点分别向左作， ∵ ∴ ∴，， ∴ ∴ 5．如图，，点在同一条直线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据垂直的定义求出，再利用角的和差求出的度数，最后根据邻补角的定义求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， 点在同一条直线上， ， ． 6．如图，已知四边形，点在延长线上，连接，则下列条件中，能判定的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据平行线的判定方法进行判断，即可得出结论． 【详解】解：若，则，故A选项不合题意； 若，则，故B选项符合题意； 若，则，故C选项不合题意； 若，则，故D选项不合题意． 7．如图，，直线a平移后得到直线b，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作直线，求得，根据，求得，得到，据此求解即可． 【详解】解：作直线， ∴， ∴，即， ， ∴， ∴， ∴． 8．如图，将周长为的沿方向向右平移个单位得到，则四边形的周长为________________． 【答案】 【分析】将四边形的周长分为、、、、，结合的周长和平移的性质进行计算即可． 【详解】解：∵的周长为， ∴， ∵沿方向向右平移个单位得到， ∴，， ∴， ∴四边形的周长为． 9．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是_______． 【答案】①②④ 【分析】由内错角相等，两直线平行可判断①，由邻补角的定义可判断②；延长交于，由平行线的性质求出，可判断③不正确；求出可判断④正确． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ∴ 故①正确，符合题意； ， 故②正确，符合题意； 如图，延长交于， ∵， ∴， ， ， ∴，故③不正确； ∵， ∴ ∵， ∴，故④正确，符合题意； 综上：正确的有①②④． 10．如图，在中，，，，，将沿方向平移得到，且与相交于点，连接，则阴影部分的周长为________． 【答案】24 【分析】先利用平移的性质得到，，则，然后计算阴影部分的周长． 【详解】解：沿方向平移得到， ，， ， 阴影部分的周长为： ． 11．如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧且反射角等于入射角，这就是光的反射定律．如图2，小亮同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为________． 【答案】/115度 【分析】先根据平行线的性质可得出，因为，可得的度数，再说明，利用平行线的性质可得出，从而可得的度数，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：过点G作，过点G作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 12．如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若，则等于________． 【答案】 【分析】直尺的两条对边互相平行，可利用“两直线平行，同旁内角互补”进行角度转化；结合含角的直角三角板的内角特征（另一个锐角为），通过角度和差关系求解． 【详解】解：设直尺的两条边平行，由“两直线平行，同旁内角互补”， 又的同旁内角与三角板的角以及的同旁内角相加为： ， 代入，解方程： ， ， ． 13．如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，且在直线上方，求证：． 【答案】(1) (2)证明：， ， ， ， ． 【分析】（1）根据对顶角相等可得，根据邻补角互补可得，根据角平分线的定义可得，进而求得； （2）根据垂直的定义可得，进而根据角平分线的定义可得，则，即可得证． 【详解】（1）解： ， ，， 平分， ， ， （2）证明：略． 14．已知，如图，，相交于，，，．求证：． 【答案】证明：∵，，而， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】由内错角相等，两直线平行，可证得，，再由，可证得，从而得到． 【详解】略 15．物流公司为提高分拣包裹的效率，引进了自动分拣流水线，该流水线的示意图如图所示．请根据下列条件，完成下面的证明． 已知，与相交于点，，分别平分，，且． 求证：． 证明：（已知）， ①______（②依据：______）． ，分别平分，（已知）， ，③______（角平分线的定义）． ④______（等式的性质）． （已知）， （⑤依据：______）． （等量代换）， （垂直的定义）． 【答案】；两直线平行，同旁内角互补；；；两直线平行，内错角相等 【详解】证明：（已知）， （②依据：两直线平行，同旁内角互补）． ，分别平分，（已知）， ，（角平分线的定义）． （等式的性质）． （已知）， （⑤依据：两直线平行，内错角相等）． （等量代换）， （垂直的定义）． 16．如图，，连接并延长至点H，平分，，与互余．求证：． 证明：， _________，（_________） 平分， ， _________，（等量代换） 又，与互余， ，（__________） ．（_________） 【答案】；两直线平行，内错角相等；；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的性质可得，再证明，根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：， ，（两直线平行，内错角相等） 平分， ， ，（等量代换） 又，与互余， ，（等角的余角相等） ．（同位角相等，两直线平行） 17．如图，直线，交于点，已知，在右侧，． (1)若，求的度数； (2)若，试说明与互余． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先根据对顶角相等和已知条件，求出，从而求出即可； （2）先根据垂直定义和已知条件求出，再根据已知条件求出，进而求出即可证明． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）证明：， ． ， ， ∴， ， ， 与互余． 18．如图是健身器材划船机的使用及其简化结构示意图，人体上半身与拉绳构成的为，上半身与滑轨构成的为． (1)证明：； (2)若拉绳与地面平行，即，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）结合邻补角定义求出，再根据“内错角相等，两直线平行”即可得证； （2）先推导出，得到，，继而求出，则，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 19．如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角．如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点C作如图②，则可以得到，其理由是： ． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； 【答案】(1)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 (2)； 【分析】（1）根据平行公理进行解答即可； （2）根据平行线的性质得出，从而求出，再根据已知角求出，根据平行线的性质求出；根据平行线的性质得出，从而求出．再根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点C作如图②，则可以得到，其理由是：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2）解：如图，∵， ， ∵， ， ∵， ， ∵， ∴， ； ∵， ， ∵， ． ∵， ； 20．如图，已知，与互补． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）首先证明，再进一步结合已知条件即可得证； （2）结合已知条件先求出，进而利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ． ． ， ， 又， ， ； （2）解：平分， ， 又， ． ， ， ． ， ， ． 60 / 61 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $